實數(shù)與向量相乘及向量的線性運算(提高)知識講解

aaaa實與量乘向的性算提）識解【習(xí)標1．理解實數(shù)與向量相乘的定義向量數(shù)乘的運算律；2.對給定的一個非零實數(shù)和一個非零向量，能畫出它們相乘所得的向量；3．認識兩個平行向量的代數(shù)表形式；4.在量的線性運算和平行向量定理的學(xué)習(xí)與應(yīng)用中體會代數(shù)與幾何的聯(lián).【點理要一實與量乘實與量乘意：一般地為整數(shù)

為向量們

表示個

相加用

表示n個

相加又為整數(shù)時，要詮：

nna表與同且長度為

的向量設(shè)P為一個正數(shù)P就將的度進行放縮，而方向保持不變-P也是將的度進行放縮，但方向相反.．向數(shù)的義一般地實

與向量

a

的相乘所得的積是一個向量記

ka

它的長度與方向規(guī)定如下：（）果

k且

時，則：①

ka

的長度：

||

；②

ka

的方向：當

k

時，

ka

與

a

同方向；當

k時，與a反向；（）果

k或時，則：，的向任意實數(shù)

與向量

a

相乘，叫做向量的數(shù).要詮：（）量數(shù)乘結(jié)果是一個與已知向量平行（或共線）的向量；（）數(shù)與向量不能進行加減運算；（）表向量的數(shù)乘運算，書寫時應(yīng)把數(shù)寫在向量前面且省略乘號，注意不要將表示向量的箭頭寫在數(shù)字上面；（）量的數(shù)乘體現(xiàn)幾何圖形中的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān).實與量相的算律設(shè)

、

為實數(shù)，則：（）

m())a

（結(jié)合律）；（）（）

(mamamb

（向量的數(shù)乘對于實數(shù)加法的分配律）；（向量的數(shù)乘對于向量加法的分配律）要二平向定

1.單向：度為1的向量叫做單位向量.要詮：任意非零向量a與同向的單位向量

0

的關(guān)系：

aa，a

1a

a

.2.平向定：果向量與零向量a平，那么在唯一的實數(shù)m，b.要詮：（）理中，m

b

，

m

的符號由

與

同向還是反向來確定.（）理中的“

a0

”不能去掉，因為若

a

，必有

b

，此時

m

可以取任意實數(shù)，使得成.（向平行的判定定理：是一個非零向量，若存在一個實數(shù)使，向量b與非零向量

a

平行.（）量平行的性質(zhì)定理：若向量

b

與非零向量

a

平行，則存在一個實數(shù)

m

，使

bma

.（）、、三點的共線

若存實，使

.要三向的性算．向的性算義向量的加法、減法、實數(shù)與向量相乘以及它們的混合運算叫做向量的線性運.要詮：（）果沒有括號，那么運算的順序是先將實數(shù)與向量相乘，再進行向量的加.（）如果有括號，則先做括號內(nèi)的運算，按小括號、中括號、大括號依次進行．．向的解平向基定：果

1

是同一平面內(nèi)兩個不共線（或不平行）的向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量

a

，有且只有一對實數(shù)

1

2

，使得

12

.要詮：（同平面內(nèi)兩個不共（或平行向量一組基底中，必不含有零向量．

12

叫做這一平面內(nèi)所有向量的一組基.(2)一個面向量用一組基底

1

表示為

12

形式做量的分解

1相互垂直時，就稱為向量的正分.(3)以面內(nèi)任意兩個不共線的向量為一組基底，該平面內(nèi)的任意一個向量都可表示成這組基底的線性組合，基底不同，表示也不同．．用量法決面何題（）用知量示知量用已知向量來表示另外一些向量，除利用向量的加、減、數(shù)乘運算外，還應(yīng)充分利用平面幾何的一些定理此求量時要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中用角

,得：DE(1),得：DE(1)形中位線相似三角形對應(yīng)邊成例等平面幾何的性質(zhì)未知向量轉(zhuǎn)化為與已知向量有直接關(guān)系的向量來求解．（）向方研平幾的題“步①建立平面幾何與向量的聯(lián)系，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問.②通過向量運算，研究幾何元素的關(guān).③把運算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān).【型題類一實與量乘1．當時求：a+)=+【答案與解析】

證明：當

=0時左=0?

+

b

)=

，

右邊=0?

+0?

b

=

，等式成立；當

為正整數(shù)時，令n,

則有：n(

a

+

b

)=(

a

+

b

)+(

a

+

b

)+…+(

a

+

b

)=

a

+

a

+…

a

+

b++

+…+

b

=n

a

+n

b即

為正整數(shù)時，等式成立；當為負整數(shù)時，令（為整數(shù)有：(+b)=[+b)]=n)+()]=(

a

)+(

b

)=

a

+(

b

)=

a

b

,等式成立；綜上所述，當

為整數(shù)時，

(

a

+

)=

+

恒成立【總結(jié)升華本是“向量的數(shù)乘對于向量加法的分配律”的求證過程，用到了數(shù)乘的意義及向量加法的交換律2.如，已知點D、E分在ABC的邊AB與AC上DEBC

A4DB試用向量BC表向量DE【答案與解析】

D

E解：由3ADDB可：

34

AD

B

C∵DE∥∴

AD4374∵DE

BC且DE與BC同向，∴BC【總結(jié)升華已向量表示未向量要看未知向量與已知向量之間的大小關(guān)系又要看方向關(guān)系舉反：【變式】如圖所示，是△的邊AB上的點，則向量CD)

B.D.1B.D.1A.C.

11BABC211BCBABC22【答案】提：CDBA.2類二向的性算3.如向量

b

滿足關(guān)系式

3

，試用向量

表示向量

.【答案與解析】解：

3去括號得：

x移項，系數(shù)化為1得

x

34

a【總結(jié)升華面量的數(shù)乘運類似于代數(shù)中實數(shù)與未知數(shù)的運算法則解時兼顧到向量的性質(zhì)舉反：【變式】設(shè)

為未知向量，

、

b

為已知向量，解方程：

+3

b

)+

12

b

=0【答案】解：原方程可化為：x)+(+

12

a)+(4b)=0∴=

92

a+.4．如圖：已知兩個不平行的非向量

,

，求作：向量

a

112

a)【答案與解析】解：

(6ab)

112

a)ab)

1111a)2如圖，在平面內(nèi)任取一點O，

OA

12

a

，

，

根據(jù)向量加法的多邊形法則，得：OB即為所求．

OBAB

12

ab【總結(jié)升華先將所求向量進行化簡，然后根據(jù)向量線性運算法則做出答案．5.如圖所示正邊形PABCDE邊長為b有五個力

PA、PB、PC、

、

作用于同一點P，求五個力的合力.【答案與解析】解：所求五個力的合力為

PPB

，如圖所示PAPE為邊平四邊形PAOE，

PA

，由正六邊形的性質(zhì)可知PA|

，且O點PC上，以PB、為邊作平行四邊形PBFD則PFPBPD，正六邊形的性質(zhì)可知

|PF|

，且F點在PC的延長線上由六形的性質(zhì)還可求得

|2b

.故由向量的加法可知所求五個力的合力的大小為

bbb

，方向與

PC

的方向相同【總結(jié)升華向量運算在物理學(xué)中應(yīng)用，掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng).類三平向（本定的用6.設(shè)兩非零向量

1

和

2

不共線，(1)如果

,BCe,CDe),12

求證

AB,D

三點共線.(2)試確定實數(shù)

，使

1

和

1

2

共.【答案與解析】(1)證明：

,BCCDee)5(),121212A又有公共點，∴

AB,D

三點共線.(2)解：∵

1

和

1

2

共線，∴存在

，使

12

(e)12

，

11則(ke,由于e和e不線，11只能有則0【總結(jié)升華當兩向量共線且有公共點時，可得三點共線；當兩向量共線且沒有公共點時，可得兩直線平行.舉反：【變式】用向量的方法證明三角形中位線定.【答案】證明：如右圖，由E，F(xiàn)分是AB，AC的點，得：AE

11ABAFAC22∵AC∴EFAF

11ACAB(ACABBC222根據(jù)EFBC，點E在直線BC上，可得：2EFBC，EF

12

BC7.下列有關(guān)平面向量分解定理的個命題中，所有正確命題的序號是．①一個平面內(nèi)有且只有一對不平行的向量可作為表示該平面所有向量的基；②一個平面內(nèi)有無數(shù)多對不平行向量可作為表示該平面內(nèi)所有向量的基；③平面向量的基向量可能互相垂直；④一個平面內(nèi)任一非零向量都可唯一地表示成該平面內(nèi)三個互不平行向量的線性組合．【答案】②、③【解析】解：根據(jù)平面向量基本定理知：①一個平面內(nèi)任何一對不平行的向量可作為表示該平面所有向量的基底；故錯誤；②一個平面內(nèi)有無數(shù)多對不平行向量都可作為表示該平面內(nèi)所有向量的基底；故正確；③平面向量的基向量只要不共線，也可能互相垂直；故正確；④一個平面內(nèi)任一非零向量都可唯一地表示成該平面內(nèi)兩個互不平行向量的線性組合是三個不共線的向量，表示法不唯一，故錯誤．故答案為：②、③．【總結(jié)升華本考查平面向量基本定理，解題的關(guān)鍵是理解定理，明確概念，可作為基底的兩個向量必不共線．類四綜應(yīng)8.在中DEF

分別為三邊

ABBC

上的動點在t0時別A，B，出發(fā)各以一定的速度沿各向B，CA移動當t=1時，分別到達B，C，，證：在

0

的任何一時刻t，

的重心不變【答案與解析】解：設(shè)

AB,,CA

的重心為G.

由已知點D，，在AB，BC，上的度分別是

ca,,

在任意時刻

t

時，有

ADBEDFAC)t,DEDB(1)c211DGDFDE)[tattc323又

c1AGAD[tatt](3為確定向量.

DEF

的重心不變【總結(jié)升華熟地進行向量的線性運算是解決本題的關(guān)鍵外應(yīng)該熟練記憶并靈活運用.AGAB舉反：

中設(shè)重心為G則【變式】如圖，已知