2020版高中數(shù)學(xué)第一章解三角形專題突破一三角形中隱含條件學(xué)案新人教B版

專題打破一三角形中的隱含條件解三角形是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是高考的一個(gè)熱門．因?yàn)楣皆S多且性質(zhì)靈巧，解題時(shí)稍有不慎，常會出現(xiàn)增解、錯(cuò)解現(xiàn)象，其根來源因是對題設(shè)中的隱含條件發(fā)掘不夠．下面聯(lián)合例子說說在解三角形時(shí)，題目中隱含條件的發(fā)掘．隱含條件1.兩邊之和大于第三邊例1已知鈍角三角形的三邊a＝k，b＝k＋2，c＝k＋4，求k的取值范圍．解設(shè)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.∵c>b>a，且△ABC為鈍角三角形，∴C為鈍角．a(chǎn)2＋b2－c2k2－4k－12由余弦定理得cosC＝2ab＝2kk＋<0.k2－4k－12<0，解得－2<k<6.由兩邊之和大于第三邊得k＋(k＋2)>k＋4，∴k>2，綜上所述，k的取值范圍為2<k<6.反省感悟固然是隨意兩邊之和大于第三邊，但實(shí)質(zhì)應(yīng)用時(shí)往常不用都寫上，只要最小兩邊之和大于最大邊就能夠．追蹤訓(xùn)練

1

在△ABC中，AB＝6，AC＝8，第三邊上的中線

AD＝x，則

x的取值范圍是

______．答案

(1,7)分析

以AB，AC為鄰邊作平行四邊形

ABEC，則

BE＝AC＝8.AE＝2x.2x＋6＞8，由2x＋8＞6，解得＜＜7.1x6＋8＞2x，x的取值范圍是(1,7)．隱含條件2.三角形的內(nèi)角范圍例2已知△中，＝30°，＝23，＝2，則△的面積是________．ABCBABACABC答案23或3ABsinB3分析由正弦定理，得sinC＝AC＝2.∴C＝60°或C＝120°.當(dāng)C＝60°時(shí)，A＝90°，1則S△ABC＝2AB·AC·sinA＝23；當(dāng)C＝120°時(shí)，A＝30°，1則S△ABC＝2AB·AC·sinA＝3.∴△ABC的面積是23或3.反省感悟利用正弦定理解決“已知兩邊及此中一邊對角，求另一角”問題時(shí)，因?yàn)槿切蝺?nèi)角的正弦值都為正的，而這個(gè)內(nèi)角可能為銳角，也可能為鈍角，簡單掌握不正確犯錯(cuò)．追蹤訓(xùn)練2在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若asinBcosC＋csinBcosA12b，則B＝________.答案π56或π61分析由正弦定理，得sinAsinBcosC＋sinCsinBcosA＝2sinB.∵0＜＜π，∴sin≠0.BB1∴sinAcosC＋cosAsinC＝，2111sin(A＋C)＝2，sin(π－B)＝2.sinB＝2.5又B∈(0，π)，∴B＝6或B＝6π.tanAa2例3在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.tanB＝b2，試判斷三角形的形狀．tanAa2sinAcosBsin2A解由tanB＝b2和正弦定理，得cosAsinB＝sin2B，又A，B∈(0，π)，cosBsinAcosA＝sinB，即sinAcosA＝sinBcosB，即sin2A＝sin2B，∴2A＝2B或2A＋2B＝π.π∴A＝B或A＋B＝2.∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．反省感悟在△ABC中，sinA＝sinB?A＝B是建立的，但sin2A＝sin2B?2A＝2B或2A＋2B180°.追蹤訓(xùn)練3△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若c－a＝2acosB，則B－2A＝____.答案0分析由正弦定理，得sinC－sinA＝2sinAcosB.∵A＋B＋C＝π，∴C＝π－(A＋B)，sinC－sinA＝sin(A＋B)－sinAsinAcosB＋cosAsinB－sinA2sinAcosB，sinBcosA－cosBsinA＝sinA，sin(B－A)＝sinA.A，B∈(0，π)．∴B－A＝A或B－A＝π－A(舍)．∴B－2A＝0.例4在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.B＝3A，求ba的取值范圍．sinBsin3A解由正弦定理得a＝sinA＝sinAA＋2A

sin

Acos2A＋cosAsin2

A＝

sin

A

＝

sin

Acos2A＋2cos2A＝4cos2A－1.∵A＋B＋C＝180°，B＝3A，∴A＋B＝4A<180°，∴0°<<45°，∴2<cos<1，A2A∴1<4cos2b－1<3，∴1<<3.Aa反省感悟解三角形問題，角的取值范圍至關(guān)重要．一些問題，角的取值范圍隱含在題目的條件中，若不認(rèn)真審題，深入發(fā)掘，常常疏忽而致使解題失?。粉櫽?xùn)練4若在銳角△ABC中，B＝2A，則A的取值范圍是________．答案ππ，46分析由△ABC為銳角三角形，π0＜A＜2，得0＜B＝2A＜π，2π0＜C＝π－A－B＝π－3A＜2，ππ解得6＜A＜4.例5設(shè)銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a＝2bsinA.求B的大??；求cosA＋sinC的取值范圍．解(1)由正弦定理及a＝2bsinA得，ab1sinA＝sinB＝2b，sinB＝2，又∵∈0，π，∴＝π.260＜A＜π，2(2)由△ABC0＜B＝π＜π，為銳角三角形，得625ππ0＜C＝6－A＜2，ππ解得3＜A＜2，＋sin＝＋sin5π－A＝3sinA＋π，cosACcosA632ππ＜5π1π＜3∵＜＋.∴＜sinA＋，3A362323π32＜3sinA＋3＜2.∴cosA＋sinC的取值范圍為3，3.22反省感悟事實(shí)上，銳角三角形三個(gè)內(nèi)角均為銳角對角A的范圍都有影響，故＝π－－CAB＝5π－∈0，π.由此得A∈π，π.6A232追蹤訓(xùn)練5銳角△ABC中，B＝60°，b＝3，求△ABC面積S的取值范圍．b3解由正弦定理，a＝sinBsinA＝3sinA＝2sinA.2同理c＝2sinC，∴S＝21acsinB＝21·2sinA·2sinC·sin60°＝3sinAsinC，2π∵A＋B＋C＝π，∴C＝π－A－B＝3－A.2ππππ又∵A，C為銳角，∴0<3－A<2，6<A<2，∴＝3sinsin2π2π2π3＋32－A＝3sinAsincosA－cossinA＝sincossinA33322＝3＋3·1－cos2A＝32A－π＋3，4sin2A222sin64∵πππ<2－π5<<，∴<6A26A66π，1π2<sin2A－6≤1，332－π333∴2<2sinA6＋4≤4.即S的取值范圍為333，.241．在△ABC中，必有( )A．sinA＋sinB＜0B．sinA＋cosB＜0C．sinA＋cosB＞0D．cosA＋cosB＞0答案D分析在△ABC中，A＋B＜π，0＜A＜π－B＜π.cosA＞cos(π－B)＝－cosB.cosA＋cosB＞0.2．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若c<bcosA，則△ABC為( )A．鈍角三角形B．直角三角形C．銳角三角形D．等邊三角形答案A分析由已知得sinC<sinBcosA，sin(A＋B)<sinBcosA，sinA·cosB＋cosA·sinB<sinB·cosA，又sinA>0，∴cosB<0，∴B為鈍角，故△ABC為鈍角三角形．353．在△ABC中，已知sinA＝5，cosB＝13，則cosC＝________.答案

1665332π分析若A為鈍角，由sinA＝5＜2，知A＞3.又由cosB＝5＜1.知B＞π.1323進(jìn)而A＋B＞π.與A＋B＋C＝π矛盾．4∴A為銳角，cosA＝5.512由cosB＝13，得sinB＝.13cosC＝－cos(A＋B)＝－(cosAcosB－sinAsinB)4531216＝－5×13－5×13＝65.4．在△ABC中，C＝120°，c＝2a，則a與b的大小關(guān)系是a________b.答案＞分析方法一由余弦定理cosC＝a2＋b2－c22ab，得cos120°＝a2＋b2－2a22ab，整理得a2＝b2＋ab＞b2，∴a＞b.方法二由正弦定理a＝ca＝2a，sin，得sin120°AsinCsinA整理得sinA＝6＞1＝sin30°.2C＝120°，∴A＋B＝60°，∴A＞30°，B＜30°，∴a＞b.2b5．在△ABC中，若b＝ac，則a的取值范圍是________．答案－1＋1＋55，22b2bc分析設(shè)a＝q，則由b＝ac，得a＝b＝q.b＝aq，c＝aq2.a＋b＞c，a＋aq＞aq2，＋＞，得a＋2＞，由acbaqaqb＋c＞a，aq＋aq2＞a，解得－1＋5＜q＜1＋5.22c6．在鈍角△ABC中，2B＝A＋C，C為鈍角，a＝m，則m的取值范圍是________．答案(2，＋∞)π分析由A＋B＋C＝3B＝π，知B＝.ππ1又C＞2，∴0＜A＜6，∴tanA∈(3，＋∞)．csinCsinπ13A＋32sinA＋2cosAa＝sinA＝sinA＝sinA13132＋2tanA＞2＋2·3＝2，∴m∈(2，＋∞)．π27．在△ABC中，若c＝2，C＝4，求a－2b的取值范圍．π3解∵C＝4，∴A＋B＝4π，∴外接圓直徑2R＝c＝2＝2.sin2C222∴a－2b＝2RsinA－2·2RsinB＝2sinA－2sinB＝2sinA－2sin3－π.443πππ∵0＜A＜4π，∴－4＜A－4＜2，2－π－π＜2.∴－2＜sinA4＜1.－1＜2sinA42即a－2b∈(－1，2)．一、選擇題1．已知三角形三邊之比為5∶7∶8，則最大角與最小角的和為( )A．90°B．120°C．135°D．150°答案B分析設(shè)最小邊為5，則三角形的三邊分別為5，7，8，設(shè)邊長為7的邊對應(yīng)的角為θ，則由余弦定理可得49＝25＋64－80cosθ，解得cosθ＝1，∵θ∈(0°，180°)，2∴θ＝60°.則最大角與最小角的和為180°－60°＝120°.2．在△中，＝π，＝3，＝6，則C等于()ABCA3BCABπ3π3πA.4或4B.4πD.πC.64答案C分析由BC＝AB，得sin＝2.sinAsinCC2∵BC＝3，AB＝6，∴A>C，則C為銳角，故C＝π4.3．在△中，a＝15，b＝20，＝30°，則cosB等于()ABCA52A．±3B.3C．－5D.533答案A分析因?yàn)閍＝b，所以15＝20，sinAsinBsin30°sinB解得sin2＝.B35因?yàn)閎>a，所以B>A，故B有兩解，所以cosB＝±3.4．已知△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝k∶(k＋1)∶2k，則k的取值范圍是( )A．(2，＋∞)B．(－∞，0)11C.－2，0D.2，＋∞答案D分析由正弦定理得a＝mk，b＝m(k＋1)，c＝2mk(m>0)，＋>，＋，1abcmkmk∵a＋c>b，即3mk>mk＋，∴k>2.5．在△ABC中，三邊長分別為a－2，a，a＋2，最大角的正弦值為32，則這個(gè)三角形的面積為()15153A.4B.4213353C.D.44答案B分析∵三邊不等，∴最大角大于60°.設(shè)最大角為α，故α所對的邊長為＋2，∵sinαa3＝2，∴α＝120°.由余弦定理得(a＋2)2＝(a－2)2＋a2＋a(a－2)，即a2＝5a，故a＝5，1153故三邊長為3，5，7，S△ABC＝2×3×5×sin120°＝4.6．△ABC中，若lga－lgc＝lgsinB＝－lg2且B∈0，π，則△ABC的形狀是( )2A．等邊三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．直角三角形答案C分析∵lga－lgc＝lgsinB＝－lg2，a2∴c＝sinB，sinB＝2.∵∈0，π，∴＝π.24∴a＝sinA＝2，∴sin＝2sin＝2sin3π－C＝22＋2C，∴cosCcsinC2422＝0，∵C∈(0，π)，C＝π2.π∴A＝π－B－C＝

4.∴△ABC是等腰直角三角形．應(yīng)選

C.7．(2017·全國Ⅰ)△

ABC的內(nèi)角

A，B，C的對邊分別為

a，b，c.已知

sin

B＋sin

A(sin

C－cos

C)＝0，a＝2，c＝

2，則

C等于(

)π

πA.12

B.

6C.4

D.3答案

B分析

因?yàn)?/p>

a＝2，c＝

2，2所以由正弦定理可知，sinA＝sinC，故sinA＝2sinC.故sinB＋sinA(sinC－cosC)＝sin(A＋C)＋sinAsinC－sinAcosC＝sinAcosC＋cosAsinC＋sinAsin

C－sin

Acos

C(sinA＋cosA)sinC＝0.又C為△ABC的內(nèi)角，故sinC≠0，則sinA＋cosA＝0，即tanA＝－1.3π又A∈(0，π)，所以A＝.進(jìn)而sin＝1sin＝2×2＝1.2222由＝3π知，C為銳角，故＝π.應(yīng)選B.46二、填空題8．設(shè)△的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，若＝3，sin＝1，＝π，則b＝________.ABCABCabcaB2C6答案11π5π分析因?yàn)閟inB＝2且B∈(0，π)，所以B＝6或6.又因?yàn)椋溅?，所以＝π，＝π－－?π.663ab又因?yàn)閍＝3，由正弦定理得sinA＝sinB，b即2π＝π，解得b＝1.sin3sin69．△的內(nèi)角，，C的對邊分別為，，.已知sin＋sin＝4sinsin，2＋c2ABCABabcbCcBaBCb－a2＝8，則△ABC的面積為________．答案233分析∵bsinC＋csinB＝4asinBsinC，∴由正弦定理得sinsin＋sinsin＝4sinsinsin.BCCBABC1又sinBsinC＞0，∴sinA＝2.b2＋c2－a284由余弦定理得cosA＝2bc＝2bc＝bc＞0，3483cosA＝2，bc＝cosA＝3，1183123S△ABC＝2bcsinA＝2×3×2＝3.10．若△ABC的面積為3222c(a＋c－b)，且C為鈍角，則B＝________；的取值范圍是________．4a答案π(2，＋∞)3分析由余弦定理得a2＋c2－b2＝2accosB.∵＝322－21sin＝3，(a＋cb)，∴2ac×2cosS4B4acBB＝3，又B∈(0，π)，∴B＝π∴tan3.2πππ又∵C為鈍角，∴C＝3－A＞2，∴0＜A＜6.2π－Acsin3由正弦定理得a＝sinA31Acos＋sin1312A2＝sinA＝＋·.22tanA31∵0＜tanA＜3，∴tanA＞3，c13c∴a＞2＋2×3＝2，即a＞2.c∴a的取值范圍是(2，＋∞)．三、解答題2π11．在△ABC中，設(shè)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知C＝3，c＝3，求△ABC周長的取值范圍．a(chǎn)bcC＝2，解由正弦定理得sinA＝sinB＝sin∴a＝2sinA，b＝2sinB，則△的周長為L＝＋＋＝2(sin＋B)＋＝＋π－A＋3ABCabcAsin32sinAsin3＝231A＋3sin＋cos－sinA2A2212sinA＋2cosA＋33＝2sin＋π＋3.A3πππππ2π∵0<B＝3－A<3，∴0<A<3，∴3<A＋3<3，3π2<sinA＋3≤1，π∴23<2sinA＋3＋3≤2＋3，∴△ABC周長的取值范圍是(23，2＋3]．12．在△ABCABC所對的邊分別為abc.已知bsinAacos6.中，內(nèi)角，，，，＝B－π求角B的大??；設(shè)a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值．b解(1)在△ABC中，由正弦定理sinA＝sinB，可得bsinA＝asinB.又由

bsin

A＝acos

πB－6

，得

asin

B＝acos

πB－6

，π即sinB＝cosB－6，所以tanB＝3.π又因?yàn)锽∈(0，π)，所以B＝.π(2)在△ABC中，由余弦定理及

a＝2，c＝3，B＝

3，得b2＝a2＋c2－2accosB＝7，故b＝7.由＝B－π，可得＝21bsinAacos6sinA7.7因?yàn)閍＜c，所以cosA＝7.所以sin2＝2sincos＝43，AAA71cos2A＝2cosA－1＝7.所以sin(2－)＝sin2cos－cos2sinABABAB4311333＝7×2－7×2＝14.13.(2018·河北省衡水中學(xué)調(diào)研)如圖，在△ABC中，B＝π，D為邊BC上的點(diǎn)，E為AD上的3點(diǎn)，且＝8，＝410，∠＝π.AEACCED4求CE的長；若CD＝5，求cos∠DAB的值．解(1)由題意可得∠AEC＝π－π＝3π，44在△AEC中，由余弦定理得222AC＝AE＋CE－2AE·CEcos∠AEC，所以160＝64＋2＋82，CECE22CE－96＝0，解得CE＝42.整理得CE＋8故的長為42.CE(2)在△CDE中，由正弦定理得CECD＝，sin∠CDEsin∠CED即42＝5，sin∠CDEπsin4所以5sin∠CDE＝42sinπ24＝42×2＝