高中數(shù)學函數(shù)的概念

關于高中數(shù)學函數(shù)的概念第一頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四教學目標

使學生理解函數(shù)的概念，明確決定函數(shù)的三個要素，學會求某些函數(shù)的定義域，掌握判定兩個函數(shù)是否相同的方法；使學生理解靜與動的辯證關系.教學重點：函數(shù)的概念，函數(shù)定義域的求法.教學難點：函數(shù)概念的理解.第二頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四函數(shù)的概念：在某變化過程中，有兩個變量x、y，如果給定一個x，相應地確定唯一的一個y值。那么就稱y是x的函數(shù)，其中x是自變量，y是因變量。從上面概念知道：可以用函數(shù)描述變量x，y之間的依賴關系。下面我們將進一步的學習函數(shù)及其構(gòu)成要素。首先請看這幾例子：第三頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四

引例一一枚炮彈發(fā)射后，經(jīng)過60s落到地面擊中目標。炮彈的射高為4410m，且炮彈距地面的高度h（單位：m）隨時間（單位：s）變化的規(guī)律是

h=294t-4.9t2思考以下問題:(1)炮彈飛行1秒、8秒、15秒、25秒時距地面多高？(2)炮彈何時距離地面最高?(3)你能指出變量t和h的取值范圍嗎?分別用集合A和集合B表示出來。(4)對于集合A中的任意一個時間t,按照對應關系,在B中是否都有唯一確定的高度h和它對應?第四頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四引例二近幾十年來，大氣層中的臭氧迅速減少，因而出現(xiàn)了臭氧層空洞問題．下圖中的曲線顯示了南極上空臭氧層空洞的面積從1979～2001年的變化情況思考：(1)能從圖中看出哪一年臭氧層空洞的面積最大？(2)哪些年的臭氧層空洞的面積大約為1500萬平方千米？(3)變量t的取值范圍是多少？第五頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四引例三請問：(1)恩格爾系數(shù)與年份之間的關系是否和前兩個事例中的兩個變量之間的關系相似？(2)如何用集合與對應的語言來描述這個關系？“八五”計劃以來我國城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)變化情況如下表：年份19911992199319941995199619971998199920002001家庭恩格爾系數(shù)%53.852.950.149.949.948.646.444.541.939.237.9第六頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四以上三個實例有那些公共的特點？思考它們的關系可以描述為：對于數(shù)集A中的每一個t，按照某種對應關系f，在數(shù)集B中都有唯一確定的h和它對應，記作：f：AB第七頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四所以得到函數(shù)的概念：設A和B是兩個非空集合，如果按照某種對應關系f，使A的任何一個x，在B中都有唯一確定的f(x)和它對應，那么就稱f：AB為從集合A到集合B的一個函數(shù)。記作:x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域,與x的值對應的y值叫做函數(shù)值。函數(shù)值的集合{}叫做函數(shù)的值域。第八頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四例如:(1)一次函數(shù)y=ax+b（a≠0）定義域為R值域為Ry=ax+b（a≠0）x(2)二次函數(shù)定義域為R值域為B

x第九頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四例題分析例1已知函數(shù)（1）求函數(shù)的定義域（2）求的值（3）當a>0時，求的值解（1）有意義的實數(shù)x的集合是{x|x≥-3}

有意義的實數(shù)x的集合是{x|x≠2}所以這個函數(shù)的定義域就是

第十頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四（2）（3）因為a>0,所以f（a），f（a-1）有意義課堂練習：P21練習1/2第十一頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四問題思考設A={1,2,3}，B={1,4,8,9}，對應關系是f:平方。問對應f:AB是否為從A到B的一個函數(shù)？這個函數(shù)的定義域是什么？值域C又是什么？一般情況下,C與B之間有關什么關系？兩個函數(shù)相等的條件是什么？第十二頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四函數(shù)定義域值域?qū)P系＊值域是由定義域和對應關系決定的。＊如果兩個函數(shù)的定義域和對應關系完全一致，就知這兩個函數(shù)相等。今后如無特別聲明，已知函數(shù)即指B為函數(shù)值域。于是函數(shù)有三要素，即：＊通常用表示函數(shù)已有所反映。第十三頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四例2下列函數(shù)哪個與函數(shù)y=x相等解（1），這個函數(shù)與y=x（x∈R）對應一樣，定義域不不同，所以和y=x（x∈R）不相等

（2）這個函數(shù)和y=x（x∈R）對應關系一樣，定義域相同x∈R，所以和y=x（x∈R）相等x，x≥0-x，x<0（3）這個函數(shù)和y=x（x∈R）定義域相同x∈R，但是當x<0時，它的對應關系為y=-x所以和y=x（x∈R）不相等第十四頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四（4）的定義域是{x|x≠0}，與函數(shù)y=x（x∈R）的對應關系一樣，但是定義域不同，所以和y=x（x∈R）不相等課堂練習：P21練習３第十五頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四區(qū)間的概念⒈滿足不等式a≤x≤b的實數(shù)x的集合叫做閉區(qū)間，表示為[a，b]設a，b是兩個實數(shù)，而且a<b,我們規(guī)定：⒉滿足不等式a<x<b的實數(shù)x的集合叫做開區(qū)間，表示為(a，b)⒊滿足不等式a≤x<b或a<x≤b的實數(shù)x的集合叫做半開半閉區(qū)間，表示為[a，b）或（a，b]這里的實數(shù)a，b叫做相應區(qū)間的端點第十六頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四定義名稱符號數(shù)軸表示{x|a≤x≤b}閉區(qū)間[a，b]ab{x|a<x<b}開區(qū)間(a,b)ab{x|a≤x<b}半開半閉區(qū)間[a,b)ab{x|a<x≤b}半開半閉區(qū)間(a,b]ab第十七頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四實數(shù)集R可以表示為（-∞，+∞）x≥ax>ax≤bx<b（-∞，b]（-∞，b）（a，+∞）[a，+∞）第十八頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四例3設f(x)的定義域是[-1,3]，值域為[0,1],試求函數(shù)f(2x+1)的定義域及值域。分析：函數(shù)f(2x+1)的自變是仍是x，不是2x+1，故應由2x+1滿足的條件中求出x的取值范圍，進而得所求定義域；而2x+1已取遍定義域內(nèi)的每一個實數(shù)，所以值域沒有改變。解：由已知-1≤2x+1≤3，得-1≤x≤1。得函數(shù)f(2x+1)的定義域是[-1,1]，值域仍為[0,1]。辯：將值域?qū)懗蓎∈[0,1]行嗎？0≤y≤1呢？第十九頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四例4(1)（孿生問題1）已知f(x)=x2-x+1，求f(2x+1)。

(2)(孿生問題2）已知f(2x+1)的定義域是[-1,3]，且f(x)的定義域由f(2x+1)確定，試求f(x)的定義域。解(1)：f(2x+1)=(2x+1)2-(2x+1)+1=4x2+2x+1。解(2)：由已知-1≤x≤3，得2x+1∈[-1,7]，又f(x)的定義域由f(2x+1)確定，故f(x)的定義域為[-1,7]。注:(1)f(x)意含對x的一種運算法則；

(2)解題時經(jīng)常將一個變量作為整體看；

(3)2x+1∈[-1,7]與-1≤2x+1≤7是同義句。第二十頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四課堂小結(jié)一個概念，二種語言，三個要素。四項注意：1、已知函數(shù)均指由定義域到值域的函數(shù)；2、函數(shù)問題首先看定義域；3、f(x)含對x的一種操作規(guī)定；4、根據(jù)需要，常常要用整體看問題。第二十一頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四數(shù)學天才——萊布尼茲

函數(shù)這個數(shù)學名詞是萊