近年-近年學年高中數(shù)學第二講證明不等式的基本方法二綜合法與分析法教案(含解析)新人教A版選修4-5

二綜合法與分析法(1)定義:一般地，從已知條件出發(fā)，利用定義、公理、定理、性質等，經過一系列的推． (2)特點：由因導果,即從“已知”看“可知"，逐步推向“未知"．用P表示已知條件或已有的不等式，用Q表示所要證明的結論,則綜合法可用框圖表示為 (1)定義：證明命題時，常常從要證的結論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至所需條件為已知條件或一個明顯成立的事實(定義、公理或已證明的定理、性質等)(2)特點：執(zhí)果索因,即從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知"．式 求證：錯誤!＋錯誤!＋錯誤!<錯誤!＋錯誤!＋錯誤!.[思路點撥]答本題可從左到右證明，也可從右到左的差異，這種差異正是我們思考的方向．左端含有根錯誤!＝錯誤!〈錯誤!實現(xiàn)；也可以由右到左證明，按上述思路逆向證明即 [證明]法一：∵a，b,c是不等正數(shù)，且abc＝1，∴a＋錯誤!＋錯誤!＝錯誤!＋錯誤!＋錯誤!〈錯誤!＋錯誤!＋錯誤!＝錯誤!＋錯誤!＋錯誤!。c∴錯誤!＋錯誤!＋錯誤!＝bc＋ca＋ab＝2＝2＋錯誤!＋錯誤!>錯誤!＋錯誤!＋錯誤!＝錯誤!＋錯誤!＋錯誤!.綜合法證明不等式,揭示出條件和結論之間的因果聯(lián)系，為此要著力分析已知與求證之a2＋b2＋c2≥錯誤!(a＋b＋c)2≥ab＋bc＋ca。2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)，①即a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.②bc3(a2＋b2＋c2)≥(a＋b＋c)2，即即a2＋b2＋c2≥3(a＋b＋c)2.③在不等式②的兩端同時加上2(ab＋bc＋ca)得:(a＋b＋c)2≥3(ab＋bc＋ca),即錯誤!(a＋b＋c)2≥ab＋bc＋ca。④bcabbcca式本題考查分析法在證明不等式中的應用．[證明]要證c－錯誤!<a<c＋錯誤!，即證|a－c|〈錯誤!,222222c (1)當所證不等式與重要不等式、基本不等式沒有什么直接聯(lián)系，或條件與結論之間的(2)分析法證明的關鍵是推理的每一步都必須可逆．證明：∵錯誤!＋錯誤!>0，2錯誤!>0，∴要證錯誤!＋錯誤!<2錯誤!。只需證(錯誤!＋錯誤!)2〈(2錯誤!)2.即證221<10,即證21<25(顯然成立)．證明：要證明(x2＋y2)錯誤!>(x3＋y3)錯誤!，(x2＋y2)3〉(x3＋y3)2.6422466336即證x＋3xy＋3xy64224663364224333xy＋3x42243322∵3x2＋3y2>x2＋y2≥2xy?！?x2＋3y2>2xy成立．∴(x2＋y2)錯誤!>(x3＋y3)錯誤!。[例3]設a〉0,b>0，且a＋b＝1，求證:錯誤!＋錯誤!≤錯誤!。[思路點撥]所證不等式含有開方運算且兩邊都為正數(shù)，可考慮兩邊平方，用分析法轉 [證明]要證錯誤!＋錯誤!≤錯誤!，只需證(錯誤!＋錯誤!)2≤6，即證(a＋b)＋2＋2錯誤!≤6。由a＋b＝1得只需證錯誤!≤錯誤!，即證ab≤錯誤!。得ab≤錯誤!2＝錯誤!,即ab≤錯誤!成立．(1)通過等式或不等式的運算，將待證的不等式化為明顯的、熟知的不等式，從而使原(2)有些不等式的證明，需要一邊分析一邊綜合，稱之為分析綜合法,或稱“兩頭擠"法,證明：要證2錯誤!≤3錯誤!，只需證a＋b－2錯誤!≤a＋b＋c－3錯誤!，即－2錯誤!≤c－3錯誤!.移項,得c＋2錯誤!≥3錯誤!。得c＋2錯誤!＝c＋錯誤!＋錯誤!≥3錯誤!成立．∵錯誤!＋錯誤!>錯誤!＋錯誤!>2錯誤!。A.＋錯誤!≥2B.錯誤!＋錯誤!≥a＋bC。錯誤!＋錯誤!≤錯誤!D.錯誤!＋錯誤!≥錯誤!解析：選CA項滿足基本不等式；B項可等價變形為(a－b)2(a＋b)≥0,正確;C項中b＝錯誤!－錯誤!＝錯誤!?！噱e誤!＜錯誤!,即a<b.222222222222∴a2＋b2＋c2<2(ab＋bc＋ca)，即S<2P.5．設a,b，c都是正實數(shù),且a＋b＋c＝1，若M＝錯誤!·錯誤!·錯誤!，則M的取值范圍是________．∴M＝錯誤!·錯誤!·錯誤!＝錯誤!·錯誤!·錯誤!＝錯誤!·錯誤!·錯誤!≥2錯誤!·2錯誤!·2錯誤!＝8.即M的取值范圍是[8，＋∞)．答案:[8，＋∞)∴R＝錯誤!≤Q＝錯誤!≤P＝錯誤!，又(a－c)·錯誤!＝[(a－b)＋(b－c)]·錯誤!≥2錯誤!·2錯誤!＝4,當且僅當a－b＝b－∴m∈(－∞,4]．＋b＋c)． (1)a＋b＋c≥錯誤!；(2)錯誤!＋錯誤!＋錯誤!≥錯誤!(錯誤!＋錯誤!＋錯誤!)．abc錯誤!，由于a,b,c＞0，因此只需證明(a＋b＋c)2≥3.即證a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3，故只需證明：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3(ab＋bc＋ca)．22即證a＋b＋c≥ab＋bc22而這可以由ab＋bc＋ca≤錯誤!＋錯誤!＋錯誤!＝a2＋b2＋c2(當且僅當a＝b＝c時等號成立)證得． (2)錯誤!＋錯誤!＋錯誤!＝錯誤!。中已證a＋b＋c≥3.只需證明錯誤!≥錯誤!＋錯誤!＋錯誤!，即證abc＋b錯誤!＋c錯誤!≤1，即證a錯誤!＋b錯誤!＋c錯誤!≤ab＋bc＋ca。而a錯誤!＝錯誤!≤錯誤!，b錯誤!≤錯誤!,c錯誤!≤錯誤!.所以a錯誤!＋b錯誤!＋c錯誤!≤ab＋bc＋ca(當且僅當a＝b＝c＝錯誤!時等號成立)．所以a＋a≥xy2錯誤!＝2錯誤!。因為x－x2＝x(1－x)≤錯誤!2＝錯誤!,又因為0〈a<1，axxax立．所以ax＋ay＞2a，又∵0<a<1，a來，本文檔在發(fā)布之前我們對內容進行仔如有疏漏之處請指正，希望本文能為您解ThisarticleiscollectedandcompiledbymycolleaguesandIinourbusyschedule.Weproofreadthecontentcarefullybeforethereleaseofthisarticlebutitisinevitablethattherewill