小學(xué)奧數(shù) 計(jì)數(shù)之對(duì)應(yīng)法 精選例題練習(xí)習(xí)題(含知識(shí)點(diǎn)撥)

7-6-3數(shù)之應(yīng)教學(xué)目前面在講加法原理、乘法原理、排列組合時(shí)已經(jīng)穿插講解了計(jì)數(shù)中的一些常用的方法，比如枚法、樹形圖法、標(biāo)數(shù)法、捆綁法、排除法、插板法等等，這里再集中學(xué)習(xí)一下計(jì)數(shù)中其他常見(jiàn)的方法主要有歸納法、整體法、對(duì)應(yīng)法、遞推法．對(duì)這些計(jì)數(shù)方法與技巧要做到靈活運(yùn)用．例題精將難以計(jì)數(shù)的數(shù)量與某種可計(jì)量的事物聯(lián)系起來(lái)，只要能建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，那么這兩種事在數(shù)量上是相同的．事實(shí)上插入法和插板法都是對(duì)應(yīng)法的一種表現(xiàn)形式．模塊一、圖形中的對(duì)應(yīng)關(guān)系【】在×的方格盤，出個(gè)三小格成“L”形（圖一有多種同方？【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)之圖形中的對(duì)應(yīng)關(guān)系【度3星【型】解答【解析】注意數(shù)不則幾何”個(gè)數(shù)時(shí)，常用對(duì)應(yīng)法．第1步找對(duì)應(yīng)圖形每一種取法，有一個(gè)點(diǎn)與之對(duì)應(yīng)，這就是圖中，是棋盤上橫線與豎線的交點(diǎn)，且不在棋盤邊上．第2步：明確對(duì)應(yīng)關(guān)系從圖可以看出，棋盤內(nèi)的每一個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)著4個(gè)同的取法（L形角在正形的不“角上第3步：計(jì)算對(duì)應(yīng)圖形個(gè)數(shù)由在8×8的棋盤上，內(nèi)部有（個(gè)）交叉點(diǎn)，第4步：按照對(duì)應(yīng)關(guān)系，給出答案故不的取法共有49×4=196（評(píng)注通上面兩個(gè)范例我們知道,當(dāng)直接去求一個(gè)集合元素的個(gè)數(shù)較為困的時(shí)候考慮采用相等的原則把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求另一個(gè)集合的元素個(gè)數(shù)．【答案【】在8×8的黑白間色國(guó)象棋中以格為的恰含兩白小格一黑小格長(zhǎng)形有少？【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)之圖形中的對(duì)應(yīng)關(guān)系【度3星【型】解答【解析】首先以知道題中所講1長(zhǎng)形中間的那個(gè)小主格為黑色，這是因?yàn)閮蓚€(gè)白格不相鄰，所以不能在中間．顯然，位于棋盤角上的黑色方格不可能被包含在這樣的長(zhǎng)方形中．下面分兩種情況來(lái)析第種情況一個(gè)位于棋盤部的黑色方格對(duì)應(yīng)著兩個(gè)這樣的長(zhǎng)形一橫一)第二種情況，位于邊上的黑色方格只能對(duì)應(yīng)一1長(zhǎng)形．由于在棋盤上的32個(gè)色方格中，位于棋盤內(nèi)33部的個(gè)，位于邊上的有個(gè)，位于角上的有2，所以共有個(gè)這樣的長(zhǎng)形．本題也可以這樣來(lái)考慮：事實(shí)上，每一行都有個(gè)長(zhǎng)形，所以棋盤上橫、豎共有方形個(gè)由棋盤上的染色具有對(duì)性，因此包含兩個(gè)白色小方格與一個(gè)黑色小方格的長(zhǎng)方形正好與包含兩個(gè)黑色小方格與一個(gè)白色小方格的長(zhǎng)方形具有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系明們各占一半，因此所求的長(zhǎng)方形個(gè)數(shù)為948個(gè)【答案】48【固用張圖示紙蓋6方表中四小格共多種同放方？【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)之圖形中的對(duì)應(yīng)關(guān)系【度3星【型】解答【解析】如圖，將紙片中的一個(gè)特殊方格染為黑色，下面考慮此格在方表中的位置．易見(jiàn)它不能位于四個(gè)角上；若黑格位于方格表中間如圖淺色陰影所示的正形內(nèi)的某格時(shí)，紙片有種不同的放法，共計(jì)464種若黑格位于方格表邊上如圖深色陰影所示的方格中時(shí)，紙片的位置隨之確定，即只有種放法，此類放法有種．所以，紙片共有種同的放置方．【答案】種【】圖可出三形個(gè)為．【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)之圖形中的對(duì)應(yīng)關(guān)系【度4星【型】填空【解析】這個(gè)不像我們以前數(shù)角形那樣規(guī)則，粗看似乎看不出其中的規(guī)律，不妨我們?nèi)〕銎渲械囊粋€(gè)三角形，發(fā)現(xiàn)它的三條邊必然落在這個(gè)圖形中的三條大線段上，而每三條大線段也正好能構(gòu)成一個(gè)角形，因此三角形的個(gè)數(shù)和三條大線段的取法是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，圖中一共有8條大線段，因此有C個(gè)角形．8【答案】個(gè)角形【】如所，直上有個(gè)，線CD上個(gè)點(diǎn)．AB的為個(gè)點(diǎn)CD上的為另個(gè)點(diǎn)所線中任3線都相交同個(gè)，所這線在與CD之間的點(diǎn)．【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)之圖形中的對(duì)應(yīng)關(guān)系【度4星【型】解答D【解析常的思路是這樣的：直線上個(gè)，每個(gè)點(diǎn)可以與直D上9點(diǎn)連9根線段，然后再分析這些線段相交的情況．如右圖所示果注意到下面這個(gè)事實(shí)對(duì)于直線上任意兩點(diǎn)、直線CD上任意兩點(diǎn)都以構(gòu)成一個(gè)四邊形MNQP而這四邊形的兩條對(duì)角線MQ、NP交點(diǎn)恰好是我們要計(jì)數(shù)的點(diǎn)，同時(shí)，對(duì)于任意四點(diǎn)AB與上意兩點(diǎn)都可以產(chǎn)生一個(gè)這樣的交點(diǎn)，所以圖中兩條線段的交點(diǎn)與四邊形有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系．這說(shuō)明，為了計(jì)數(shù)出有多少個(gè)點(diǎn)們需要求出在直線AB與CD中有多少滿足條件的四邊形MNQP就以了從而問(wèn)題轉(zhuǎn)22419982241998化為：在直線上點(diǎn)，直線CD上個(gè)．四邊形MNQP有少個(gè)？其中點(diǎn)M、位于直線上點(diǎn)P、Q位于直線CD上這是一個(gè)常規(guī)的組合計(jì)數(shù)問(wèn)題，可以用乘法原理進(jìn)行計(jì)算：由于線段有C21種選擇方式，線段PQ有C種擇方式，根據(jù)乘法原理，共可產(chǎn)生7921756個(gè)邊形．因此在直線AB之共有756交點(diǎn)．【答案】756個(gè)點(diǎn)模塊二、數(shù)字問(wèn)題中的對(duì)應(yīng)關(guān)系【】有少四數(shù)滿足位的字千數(shù)大千位字百大，位字十?dāng)?shù)大【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)之?dāng)?shù)字問(wèn)題中的對(duì)應(yīng)關(guān)系【難度【題型】解答【解析由四位數(shù)的四個(gè)數(shù)位上的數(shù)的大小關(guān)系已經(jīng)非常明確對(duì)從0中意選取的個(gè)數(shù)字它們的大小關(guān)系也是明確的那么這個(gè)字只能組成個(gè)合條件的四位數(shù)(題目中要求千位比百位大，所以千位不能為，本身已符合四位數(shù)首位不能為0的要求，所以進(jìn)行選擇時(shí)可以把0包含在內(nèi))，也就是說(shuō)滿足條件的四位數(shù)的個(gè)數(shù)與從～9中取個(gè)字的選法是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，那么滿足條件的四位數(shù)有C10

4

210個(gè)【答案】個(gè)【固三數(shù)，位比位大十?dāng)?shù)個(gè)數(shù)大數(shù)多個(gè)【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)之?dāng)?shù)字問(wèn)題中的對(duì)應(yīng)關(guān)系【難度【題型】解答【解析】相當(dāng)在10個(gè)數(shù)字中選出3個(gè)數(shù)字后按從大到小排.有10×9×8÷（=120種際上，前鋪中每一種劃法都對(duì)應(yīng)著一個(gè)數(shù)．【答案120種【】數(shù)可以種方表為個(gè)幾個(gè)整的，3，，，1．：1999示為個(gè)幾正數(shù)和方有少？【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)之?dāng)?shù)字問(wèn)題中的對(duì)應(yīng)關(guān)系【難度【題型】解答【解析我將1999個(gè)寫成一行，們之間留有空隙，在這些空隙處，或者什么都不填，或者填上＋號(hào)例如對(duì)于數(shù)，上述4種的表達(dá)方法對(duì)應(yīng)：11，111，11．可見(jiàn)，將1999表成和的形式與填寫個(gè)隙處的方式之間是一一對(duì)的關(guān)系，而每一個(gè)空隙處都有填“＋”號(hào)不填“＋”號(hào)種能，因此可以表示為正整數(shù)之和的不同方法有2種2相乘【答案】2種【】請(qǐng)至出一數(shù)3并是3的數(shù)五數(shù)共多個(gè)【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)之?dāng)?shù)字問(wèn)題中的對(duì)應(yīng)關(guān)系【難度【題型】解答【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽【解析五數(shù)共有90000個(gè)，其中的數(shù)有個(gè)可以采用排除法，首先考慮有多少個(gè)五位數(shù)是3的倍數(shù)但不含有數(shù)碼3.位數(shù)碼有種擇，第二、三、四位數(shù)碼都有9種擇．當(dāng)前四位的數(shù)碼確定后，如果它們的和除以余數(shù)為，則第五位數(shù)碼以為0、；如果余數(shù)為，則第五位數(shù)碼可以為、、8；如果余數(shù)為，則第五位數(shù)碼可以為147.可見(jiàn)只要前四位數(shù)碼確定了，第位數(shù)碼都有種選擇，所以五位數(shù)中是倍數(shù)但不含有數(shù)碼的數(shù)共有個(gè)所以滿足條件的五位數(shù)共有1749612504個(gè)．【答案?jìng)€(gè)模塊三、對(duì)應(yīng)與階梯型標(biāo)數(shù)法【】游園門元1張，每限張現(xiàn)有個(gè)朋排購(gòu)，中個(gè)朋只元的票另5個(gè)朋只2元鈔，票沒(méi)準(zhǔn)零．有少排方法使票員能得零？【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)之對(duì)應(yīng)與階梯型標(biāo)數(shù)法【難度星【型】解答【解析與似題目找對(duì)應(yīng)關(guān)系．要保證售票員總能找得開(kāi)零錢，必須保證每一位拿2元錢的小朋友前面的若干小朋友中，拿1元要比拿元人數(shù)多，先將拿元錢的小朋友看成是相同的，將拿2元的小朋友看成是相同的，可以利用斜直角三角模型．在下圖中，每條小橫線段代1元的小朋友，每條小豎線段代表元的小朋友，因?yàn)閺狞c(diǎn)沿格線走到B點(diǎn)每次只能向右或向上走，無(wú)論到途中哪一點(diǎn)，只要不超過(guò)斜線，那么經(jīng)過(guò)的小橫線段都不少于小豎線段，所以本題相當(dāng)于求下圖從到B有多少種不同走法．使用標(biāo)數(shù)法，可求出從A到B有種走法．B

42145

422

14281

5

92

3

45A

1111但是由于10個(gè)朋友互不相同，必須將他們排隊(duì)，可以分成兩步，第一步排拿的小朋友，5個(gè)人共有種排法；第二步排拿到元的小朋友，也有種法，所以共有種隊(duì)方法．這樣，使售票員能找得開(kāi)零錢的排隊(duì)方法共有2種)．【答案】種【】學(xué)和思起個(gè)不同的（序定思洗的一一往上，學(xué)從上面?zhèn)€個(gè)拿放碗摞一，思邊，學(xué)邊，那學(xué)摞的一有種同摞．【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)之對(duì)應(yīng)與階梯型標(biāo)數(shù)法【難度星【型】解答【關(guān)鍵詞】學(xué)而思杯年級(jí)，第題【解析】方法：如下所示，共42種不同的摞法：455，，，5，，5，，。方法二：我們把學(xué)學(xué)洗的5個(gè)過(guò)程看成從起點(diǎn)右走步（即洗幾個(gè)碗就代表向右走幾步），思思拿5碗的過(guò)程看成是向上走5步即拿幾個(gè)碗就代表向上走幾步），摞好碗的摞法，就代表向右向走步達(dá)終點(diǎn)短路線的方法由于洗的碗要多余拿的碗，所以向右走的路線要多余向上走的路線，所以我們用下面的斜三角形進(jìn)行標(biāo)數(shù)，共有種走法，所以共有42不同的摞法。

1

【答案】種【固學(xué)學(xué)和思起4個(gè)互相的（序定，思思好的一一往摞學(xué)再最面一一地走入柜成摞思一洗學(xué)一拿問(wèn)學(xué)摞的一有種不的法【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)之對(duì)應(yīng)與階梯型標(biāo)數(shù)法【難度星【型】填空【關(guān)鍵詞】學(xué)而思杯年級(jí)，第題【解析】按思洗碗的順序?qū)⑦@碗依次標(biāo)號(hào)為23學(xué)摞好的碗一共有如下1種擺法，，1342，，，，2314，，2431，3241，3421，?！敬鸢浮?4【】一個(gè)在進(jìn)的人列每身各相同按低高次排，在們變并的2列隊(duì)每仍是從到的序列同要并的兩人左的比邊人矮那，2列縱有種同法【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)之對(duì)應(yīng)與階梯型標(biāo)數(shù)法【難度星【型】填空【關(guān)鍵詞】第七屆，走美杯【解析首將的身高從低到高依次編號(hào)為8個(gè)填到一個(gè)的方格中，要求每一行的數(shù)依次增大，每一列上面的要比下面的大．下面我們將題規(guī)則，很容易就發(fā)現(xiàn)：第二行填的的數(shù)字的個(gè)數(shù)永遠(yuǎn)都小于或等于第一行數(shù)字填的個(gè)數(shù)．也就是說(shuō)，不能出現(xiàn)下圖這樣的情況．而這個(gè)正好階梯型標(biāo)數(shù)題型的基本原則．于是，我們可以把原題轉(zhuǎn)化成：在這個(gè)階梯型方格中，橫格代表在第一行的四列，縱格代表第二行的四列，那么此題所有標(biāo)數(shù)方法就相當(dāng)于從A到的最短路線有多少條．例如，我們選擇一條路線：它對(duì)應(yīng)的填法就是：．最后，用標(biāo)法得出從到的最短路徑有14，如下圖：【答案】14種【固將這12個(gè)填到2行6列的格中使每右邊左的，每列面下的，共多種法【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)之對(duì)應(yīng)與階梯型標(biāo)數(shù)法【難度星【型】解答【解析根對(duì)應(yīng)關(guān)系，再運(yùn)用階梯型標(biāo)數(shù)法畫圖如下：132421

22

553

13214429014284894511

1

1

1

1

1共有132種法．【答案種【】在一小長(zhǎng)選中錚與昊人為選參競(jìng)，共了7張票在7張票逐唱的程，昊得始沒(méi)超錚。么樣唱票程不的況【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)之對(duì)應(yīng)與階梯型標(biāo)數(shù)法【難度星【型】填空【關(guān)鍵詞】學(xué)而思杯年級(jí)，1試，第題【解析】標(biāo)數(shù)（1）張全是錚錚；錚錚1張昊6種錚錚2張昊14種錚錚3張昊14種一共35種【答案】模塊四、不完全對(duì)應(yīng)關(guān)系【】圓周有12個(gè)點(diǎn)其中個(gè)涂，有個(gè)涂藍(lán)，余個(gè)點(diǎn)有色以些為頂?shù)亩嘈危敯它c(diǎn)藍(lán)的邊稱雙多邊；包紅(藍(lán))的邊形為色(藍(lán))多形不含點(diǎn)藍(lán)的無(wú)多形試，這個(gè)點(diǎn)頂點(diǎn)所凸邊(邊數(shù)可從角到12形)中雙色邊的數(shù)無(wú)多形個(gè)哪一較？多少？【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)之不完全對(duì)應(yīng)關(guān)系【難度4星【題型】解答【解析從意一個(gè)雙色的N邊出發(fā)時(shí)在掉這個(gè)雙色多邊形中的紅色頂點(diǎn)與藍(lán)色頂點(diǎn)后得到一個(gè)無(wú)色的形；另一方面，對(duì)于一個(gè)任意的無(wú)色的M形，如果加上紅色頂點(diǎn)和藍(lán)色頂點(diǎn)，就得到一個(gè)雙色的M邊形，所以無(wú)色多邊形與雙色多邊中的五邊形以上的圖形是一一對(duì)n42n42應(yīng)的關(guān)系，所以雙色多邊形的個(gè)數(shù)比較多，多的是雙色三角形和雙色四邊形的個(gè)數(shù)．而雙色三角有個(gè)，雙色四邊形有C45個(gè)所以雙色多邊形比無(wú)色多邊形多155個(gè)．【答案】雙色多邊形比無(wú)色多邊形155【】有一各數(shù)字不同五數(shù)M，它千數(shù)比右兩數(shù)大十?dāng)?shù)也左兩數(shù)大另一各數(shù)各相的位W，它千數(shù)比右個(gè)字，位數(shù)也比右位字．問(wèn)合求數(shù)M與哪類的數(shù)？多？【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)之不完全對(duì)應(yīng)關(guān)系【難度5星【題型】解答【解析M與都是五位數(shù)都有千位和十位其它數(shù)位的大小關(guān)系以兩類數(shù)有一定的對(duì)應(yīng)關(guān)系比如有一個(gè)符合要求的五位數(shù)ABCDE(為，那么就有一個(gè)與之相反并對(duì)應(yīng)的五位數(shù)(9A)(9)(9)必屬于4類比如13254為M類，則與之對(duì)應(yīng)的86754為類所以對(duì)于M類的每一個(gè)數(shù)，n