《選擇性必修三》隨機(jī)變量及其分布 條件概率與全概率公式第1課時(shí)

第1課時(shí)7.1.1條件概率（一）教學(xué)內(nèi)容條件概率，概率的乘法公式.（二）教學(xué)目標(biāo)了解條件概率的概念，掌握條件概率的兩個(gè)公式，并能用該公式計(jì)算條件概率，掌握概率的乘法公式，并會(huì)簡(jiǎn)單的應(yīng)用.（三）教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)重點(diǎn)：條件概率與概率的乘法公式，由特殊到一般的研究方法.難點(diǎn)：對(duì)條件概率中“條件”的正確理解,條件概率與無(wú)條件概率的比較.（四）教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)1.知識(shí)回顧（1）古典概型的概率公式：（2）當(dāng)事件A與B相互獨(dú)立時(shí)，有P(AB)P(A)P(B)，如果事件A與B不相互獨(dú)立，如何表示積事件AB的概率呢?2.情境引入問(wèn)題1：某班級(jí)有45名學(xué)生，其中男、女生人數(shù)及團(tuán)員的人數(shù)如表1所示.表1團(tuán)員非團(tuán)員合計(jì)男生16925女生14620合計(jì)301545在班級(jí)里隨機(jī)選擇一人做代表：（1）選到男生的概率是多少？（2）如果已知選到的是團(tuán)員，那么選到的是男生的概率是多少？師生活動(dòng)：學(xué)生嘗試?yán)霉诺涓判妥灾魍瓿缮厦娴膯?wèn)題，并要求學(xué)生在每個(gè)問(wèn)題中用符號(hào)表示樣本空間和相關(guān)的事件,教師完善解題過(guò)程.在問(wèn)題（1）中，隨機(jī)選擇1人做代表，則樣本空間包含45個(gè)等可能的樣本點(diǎn).設(shè)=“選到團(tuán)員”，=“選到男生”，則有,,.根據(jù)古典概型知識(shí)可知，選到男生的概率.對(duì)于問(wèn)題（2），引導(dǎo)學(xué)生分析“在選到團(tuán)員的條件下，選到男生”的概率就是“在事件發(fā)生的條件下，事件發(fā)生”的概率，記為.此時(shí)相當(dāng)于以為樣本空間來(lái)考慮事件B發(fā)生的概率，而在新的樣本空間中事件就是積事件，包含的樣本點(diǎn)數(shù).根據(jù)古典概型知識(shí)可知：.追問(wèn)1：事件A的發(fā)生是對(duì)樣本空間產(chǎn)生了怎樣的影響？追問(wèn)2：在新的樣本空間中,事件B的樣本點(diǎn)發(fā)生了什么樣的變化？師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生思考、交流、總結(jié).設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)具體的實(shí)例，引入條件概率的直觀概念，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到在事件A發(fā)生的條件下，會(huì)縮小樣本空間，條件概率P(B|A)本質(zhì)上是在新的樣本空間A中事件AB的概率，即.問(wèn)題2：假定生男孩和生女孩是等可能的，現(xiàn)在考慮有兩個(gè)小孩的家庭.隨機(jī)選擇一個(gè)家庭，那么（1）該家庭中兩個(gè)小孩都是女孩的概率是多大？（2）如果已經(jīng)知道這個(gè)家庭有女孩，那么兩個(gè)小孩都是女孩的概率有多大？師生活動(dòng)：在問(wèn)題1的基礎(chǔ)上,鼓勵(lì)學(xué)生自主完成,盡可能規(guī)范解題步驟,然后教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行互動(dòng)交流.對(duì)于問(wèn)題(1),它與拋擲硬幣問(wèn)題很相似,所以學(xué)生不難判斷它滿足古典概型,用A表示事件“選擇的家庭中有女孩”，B表示“選擇的家庭中兩個(gè)小孩都是女孩”，直接用古典概型的計(jì)算；對(duì)于問(wèn)題(2),首先要引導(dǎo)學(xué)生分析所求的概率就是“在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生”的概率，記為P(B|A).此時(shí)A成為樣本空間，事件B就是積事件AB.根據(jù)古典概型知識(shí)可知，.追問(wèn)：兩個(gè)事件的概率計(jì)算中分子都是1，它們表達(dá)的意義一樣嗎？設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)問(wèn)題1和問(wèn)題2，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)對(duì)于一般的古典概型，在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率都是.3.抽象條件概率的概念問(wèn)題3：結(jié)合以上兩個(gè)問(wèn)題，關(guān)于條件概率的計(jì)算，你能得出什么結(jié)論？師生活動(dòng)：學(xué)生集體回答，教師整理，借助圖1可知，若已知事件A發(fā)生，則A成為樣本空間.此時(shí)，事件B發(fā)生的概率是AB包含樣本點(diǎn)數(shù)與A包含樣本點(diǎn)數(shù)的比值，即.圖1追問(wèn)：在圖1學(xué)生探索：又因?yàn)?，所以在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率也可以通過(guò)來(lái)計(jì)算.教師總結(jié)：雖然此表達(dá)式是在古典概型中得到的，但是它適用于一般的概率模型.所以以此作為條件概率的定義（教師板書(shū)）.于是，給出一般的條件概率的定義：一般地，設(shè)A，B為兩個(gè)隨機(jī)事件，且P(A)0，我們稱(chēng)為事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率，簡(jiǎn)稱(chēng)條件概率.設(shè)計(jì)意圖：由具體實(shí)例抽象概括共同特征以形成數(shù)學(xué)概念，是數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)的重要表現(xiàn)形式，也是重要的數(shù)學(xué)思想方法，條件概率的定義不再局限于古典概型，對(duì)于一般的概率模型都成立，這也是數(shù)學(xué)概念的一般性的體現(xiàn).4.條件概率與獨(dú)立性的關(guān)系，乘法公式問(wèn)題4：在問(wèn)題1和問(wèn)題2中，都有P(B|A)P(B).一般地,P(B|A)與P(B)不一定相等.如果P(B|A)與P(B)相等，那么事件A與B應(yīng)滿足什么條件？師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)P(B|A)P(B)的直觀意義，先猜結(jié)果，再根據(jù)條件概率的定義及事件獨(dú)立性的定義推理得出結(jié)論，教師可引導(dǎo)學(xué)生自己根據(jù)定義推導(dǎo)條件概率和獨(dú)立性的關(guān)系.直觀上看，當(dāng)事件A與事件B相互獨(dú)立時(shí)，事件A發(fā)生與否不影響事件B發(fā)生的概率，這等價(jià)于P(B|A)P(B).事實(shí)上，若事件A與B相互獨(dú)立，即P(AB)P(A)P(B)，且P(A)0，則.反之，若P(B|A)P(B)，且P(A)0，即，所以有P(AB)P(A)P(B)，即事件A與B相互獨(dú)立.以上過(guò)程安排兩位學(xué)生上黑板推導(dǎo).因此，當(dāng)P(A)0時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)A與B相互獨(dú)立時(shí)，有P(B|A)P(B).追問(wèn)1：關(guān)于獨(dú)立性的充要條件，你還有其它的表達(dá)式嗎？學(xué)生探索：當(dāng)P(B)0時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)A與B相互獨(dú)立時(shí)，有P(A|B)P(A).即當(dāng)P(A)0，P(B)0時(shí)，A與B相互獨(dú)立等價(jià)于P(B|A)P(B)，也等價(jià)于P(A|B)P(A).追問(wèn)2：對(duì)于任意兩個(gè)事件與，如果已知與，如何計(jì)算呢？師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)對(duì)條件概率公式進(jìn)行變形，得到計(jì)算的公式，即對(duì)于任意兩個(gè)事件與，若，則，稱(chēng)此式為概率的乘法公式.同理，若，則.提醒學(xué)生此結(jié)論適用于任意兩個(gè)事件,獨(dú)立事件作為特例自然也是滿足.設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)對(duì)問(wèn)題的進(jìn)一步深入探究，得到兩事件A，B相互獨(dú)立的充要條件，并推導(dǎo)出概率的乘法公式.有了條件概率的定義、條件概率與獨(dú)立性的關(guān)系、概率乘法公式，就初步具備了解決較復(fù)雜概率問(wèn)題的能力.5.應(yīng)用新知例1在5道試題中有3道代數(shù)題和2道幾何題，每次從中隨機(jī)抽出1道題，抽出的題不再放回，求：（1）第1次抽到代數(shù)題且第2次抽到幾何題的概率.（2）在第1次抽到代數(shù)題的條件下，第2次抽到幾何題的概率.師生活動(dòng)：教師先作示范性分析，再由學(xué)生獨(dú)立完成.在學(xué)生完成本例題的解答以后，教師給出完整的解題過(guò)程.追問(wèn)1：通過(guò)本例，你能談?wù)劮e事件與條件概率的區(qū)別和聯(lián)系嗎?追問(wèn)2：通過(guò)以上的例題的解答，請(qǐng)問(wèn)條件概率一般有幾種求法嗎？追問(wèn)3：條件概率只是縮小了樣本空間，你認(rèn)為條件概率有什么性質(zhì)？師生活動(dòng)：關(guān)于追問(wèn)1，學(xué)生自主回答，感受積事件的“同時(shí)”與條件概率的“序”.關(guān)于追問(wèn)2，教師根據(jù)學(xué)生回答，進(jìn)行總結(jié).求條件概率一般有兩種方法：一種是基于樣本空間，先計(jì)算P(A)和P(AB)，利用條件概率公式求P(B|A)；另一種是根據(jù)條件概率的直觀意義，增加了“A發(fā)生”的條件后，樣本空間縮小為A，求P(B|A)就是以A為樣本空間計(jì)算AB的概率.關(guān)于追問(wèn)3，教師給出概率性質(zhì)，讓學(xué)生類(lèi)比得到條件概率性質(zhì)，并將證明留給學(xué)生課下探索.條件概率只是縮小了樣本空間，因此條件概率同樣具有概率的性質(zhì).設(shè)，則①②如果和是兩個(gè)互斥事件，則③設(shè)互為對(duì)立事件，則設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)具體實(shí)例分清條件概率與積事件概率的聯(lián)系與區(qū)別，歸納求條件概率的兩種一般方法，總結(jié)條件概率的三個(gè)基本性質(zhì).課堂練習(xí)已知3張獎(jiǎng)券中只有一張有獎(jiǎng)，甲、乙、丙3名同學(xué)依次無(wú)放回地各抽一張.他們中獎(jiǎng)的概率與抽獎(jiǎng)的次序有關(guān)嗎？師生活動(dòng)：原本教材中例題作為課堂練習(xí)以例代練，由學(xué)生自主完成，教師引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注“中獎(jiǎng)的概率與抽獎(jiǎng)的次序有關(guān)嗎？”這個(gè)問(wèn)題的本質(zhì)是計(jì)算甲、乙、丙中獎(jiǎng)的概率.如果概率相等，那么與抽獎(jiǎng)次序無(wú)關(guān)；如果概率不相等，那么與抽獎(jiǎng)次數(shù)有關(guān).追問(wèn)：如果是有放回隨機(jī)抽樣，中獎(jiǎng)的概率與抽獎(jiǎng)的次序有關(guān)嗎？獲獎(jiǎng)的情況會(huì)有什么改變？師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生與放回隨機(jī)抽樣中獎(jiǎng)的概率進(jìn)行比較，得出結(jié)論：在抽獎(jiǎng)問(wèn)題中，無(wú)論是放回還是不放回，中獎(jiǎng)的概率都與抽獎(jiǎng)的次序無(wú)關(guān).設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)一個(gè)簡(jiǎn)單的具體問(wèn)題，把對(duì)問(wèn)題的判斷轉(zhuǎn)化成概率的計(jì)算問(wèn)題，根據(jù)概率計(jì)算的結(jié)果作出正確的判斷.這個(gè)問(wèn)題雖然可以利用古典概型概率公式求解，安排在本節(jié)的意圖是讓學(xué)生體會(huì)用乘法公式計(jì)算概率，具有解題思路清晰，運(yùn)算量小等優(yōu)點(diǎn).例2銀行儲(chǔ)蓄卡的密碼由6位數(shù)字組成.某人在銀行自助取款機(jī)上取錢(qián)時(shí)，忘記了密碼的最后一位數(shù)字，求：（1）任意按最后1位數(shù)字，不超過(guò)2次就按對(duì)的概率.（2）如果記得密碼的最后1位是偶數(shù)，不超過(guò)2次就按對(duì)的概率.師生活動(dòng)：教師先要求學(xué)生分析例2中的問(wèn)題，嘗試自主解決問(wèn)題，并實(shí)時(shí)將解題過(guò)程中的困難，通過(guò)師生互動(dòng)加以解決.教師在分析中，應(yīng)重點(diǎn)提示學(xué)生，最后1位密碼“不超過(guò)2次就按對(duì)“等價(jià)于”第1次按對(duì)，或者第1次按錯(cuò)但第2次按對(duì)“.可以先把復(fù)雜事件用簡(jiǎn)單事件的運(yùn)算結(jié)果表示，再利用概率性質(zhì)求解.設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)具體實(shí)例，讓學(xué)生進(jìn)一步感受計(jì)算復(fù)雜事件的概率的方法，將復(fù)雜事件分解為簡(jiǎn)單事件，再利用互斥事件概率的加法公式、乘法公式、條件概率等求出概率.6.總結(jié)提升教師引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)過(guò)程，并讓學(xué)生回答以下問(wèn)題：（1）什么是條件概率？（2）對(duì)于隨機(jī)事件A，B，請(qǐng)你說(shuō)一說(shuō)“事件A，B同時(shí)發(fā)生”與“在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生”的區(qū)別，這兩個(gè)事件的概率有什么關(guān)系？（3）求條件概率一般有幾種方法？（4）條件概率有哪些性質(zhì)？設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)以上4個(gè)問(wèn)題，梳理本節(jié)課的核心內(nèi)容和主要方法，