淺析集合論的發(fā)展

淺析集合論的發(fā)展第一頁，共十五頁，2022年，8月28日悖論——科學(xué)的難題

低估悖論的重要性，把它們當(dāng)作詭辯或者笑料，從科學(xué)進(jìn)步的角度看來是十分危險的......我們必須找到它的原因，就是說，必須分析出悖論所依據(jù)的前提；然后，在這個前提中我們必須至少拋棄其中一個，而且還必須研究這將給我們的整個探討帶來什么樣的后果。

——阿爾弗雷德·塔爾斯基第二頁，共十五頁，2022年，8月28日邏輯悖論

——悖論的核心在某些公認(rèn)正確的知識背景下，可以合乎邏輯地建立兩個矛盾語句相互推出的矛盾等價式。K真，當(dāng)且僅當(dāng)，K假。認(rèn)識論悖論（語義悖論）——“我正在說謊”狹義邏輯悖論（語形悖論）——→集合論第三頁，共十五頁，2022年，8月28日集合論及其發(fā)展背景18世紀(jì)，無窮未定義，使微積分理論遇到嚴(yán)重的邏輯困難。19世紀(jì)上半葉，柯西給出了極限概念的精確描述。卻沒有徹底完成微積分的嚴(yán)密化。柯西的思想中甚至能產(chǎn)生邏輯矛盾。19世紀(jì)后期，許多數(shù)學(xué)家又致力于分析的嚴(yán)格化。涉及到對連續(xù)函數(shù)的描述。在數(shù)與連續(xù)性的定義中，再次涉及關(guān)于無限的理論。一切問題指向一個中心——無窮概念、無限集合第四頁，共十五頁，2022年，8月28日∞

的悖論

——漫長的困擾

兩個同心圓點可以一一對應(yīng)周長相等嗎？

線段的整體等于部分嗎？

N={0，1，2，3，...}A={0，1，4，9，...}F(X)=X?XA是N的子集嗎？第五頁，共十五頁，2022年，8月28日在歷史長時期內(nèi)，哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家認(rèn)為：無窮特別是存在無窮是理性思維永遠(yuǎn)不可能到達(dá)的彼岸。整體總是大于部分的實無窮是不存在的不存在無限集合伽利略，高斯，柯西。。。整體可以等于部分存在實無窮無限集合與其真子集可一一對應(yīng)康托爾，戴德金。。。第六頁，共十五頁，2022年，8月28日康托爾超限集合論超限基數(shù)?0——自然數(shù)集的基數(shù)，且N,Z,Q之間可一一對應(yīng)，基數(shù)均為?0得到實數(shù)集基數(shù)C(連續(xù)統(tǒng)基數(shù))，并且證得C>?0對任意集合，其冪集PS的基數(shù)大于S本身的基數(shù)超限序數(shù)理論。。。。。。第七頁，共十五頁，2022年，8月28日素樸集合論的輝煌成就人類對無限的認(rèn)識擺脫了單純的∞，無窮有了量度，進(jìn)入嶄新的認(rèn)識階段—伊夫斯分析和函數(shù)論有了嚴(yán)格的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)——集合論“數(shù)學(xué)已經(jīng)取得了完全可靠的基礎(chǔ)，已經(jīng)被算術(shù)化，絕對嚴(yán)格已經(jīng)取得”

—彭加勒.數(shù)學(xué)家第二次國際會議集合論成為構(gòu)建整個數(shù)學(xué)大廈的基石

第八頁，共十五頁，2022年，8月28日集合論悖論

——歷史的譏諷康托爾悖論（1895）大全集U的冪集基數(shù)比U大嗎？布拉里—弗蒂悖論（1897）

有關(guān)最大序數(shù)和良序的悖論羅素悖論（1902）第九頁，共十五頁，2022年，8月28日羅素悖論——數(shù)學(xué)的災(zāi)難數(shù)學(xué)描述：設(shè)z={xx∈x}z∈z,則z應(yīng)滿足x∈x，故z∈zz∈z,則已經(jīng)滿足了x∈x，故z∈z綜上，z∈z，當(dāng)且僅當(dāng)，z∈z第十頁，共十五頁，2022年，8月28日羅素悖論的影響——第三次數(shù)學(xué)危機(jī)集合論的悖論，尤其是羅素和策梅羅所發(fā)現(xiàn)的一個矛盾，直接在數(shù)學(xué)界產(chǎn)生災(zāi)難性的作用——希爾伯特狄德金放棄了劃時代著作《什么是數(shù)和數(shù)的應(yīng)用》的出版弗雷格：我的著作要出版時，發(fā)現(xiàn)建筑物的基礎(chǔ)塌了拓?fù)鋵W(xué)權(quán)威勞威爾宣布自己過去的工作全在說廢話。。。。。。第十一頁，共十五頁，2022年，8月28日集合論，何去何從？？？理查德、羅素、萊姆塞

“類型分支論”“足夠狹窄，不夠?qū)拸V”策梅羅、米里曼洛夫、馮諾依曼

公理化系統(tǒng)哥德爾——關(guān)于形式算術(shù)的不完全性定理第十二頁，共十五頁，2022年，8月28日

總之，悖論貫穿了整個集合論的發(fā)展，一路走來，無窮悖論也似乎并沒有被我們完美的解決，但是使我們足以相信的是：

關(guān)于集合論悖論及其它邏輯悖論的努力會讓我們走的更遠(yuǎn)，變得更深刻。。。。。。keepmoving第十三頁，共十五頁，2022年，