2022年中考數(shù)學專題復習：“隱形圓”-點到圓最值問題 課件

中考復習專題題“隱形圓”

——點到圓最值問題不積洼步無以至千里。引入定理不積洼步無以至千里。

隱形圓的應用是中考中的常見題目，這類題目在條件中沒有直接給出有關圓的信息，但我們通過分析和轉化，最終都可以利用圓的知識求解。這類題目構思巧妙，綜合性強，它將復雜的問題轉化為圓內的求角問題，體現(xiàn)了轉化和化歸的數(shù)學思想，處理這類題目，關鍵在于能否把“隱形圓”找出來。探究定理不積洼步無以至千里。

平面內一定點D和圓O上動點E的連線中，當連線過圓心O時，線段DE有最大值和最小值．具體分以下三種情況討論(規(guī)定：OD＝d，圓O半徑為r)：1、

當D點在圓O外時，d>r，如圖①、②：當D、E、O三點共線時，線段DE出現(xiàn)最值，DE的最大值為d＋r，DE的最小值為d－r；分析：當D、E、O三點共線時，線段DE出現(xiàn)最值。理由，當三點不共線時，構成三角形，依據(jù)三角形三邊關系，可證探究定理不積洼步無以至千里。

2、當D點在圓O上時，d＝r，如圖③、④：當D、E、O三點共線時，線段DE出現(xiàn)最值，DE的最大值為d＋r＝2r(即為圓O的直徑)，DE的最小值為d－r＝0(點D、E重合)；

探究定理不積洼步無以至千里。3、當D點在圓O內時，d<r，如圖⑤、⑥：當D、E、O三點共線時，線段DE出現(xiàn)最值，DE的最大值為d＋r，DE的最小值為r－d.應用定理例1如圖，E、F是正方形ABCD的邊AD上的兩個動點，滿足AE=DF，連接CF交BD于點G，連接BE交AG于點H，若正方形邊長為2，則線段DH長度的最小值是________．不積洼步無以至千里。不積洼步無以至千里。證明：在正方形ABCD中，AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，在△ABE和△DCF中，AB＝CD∠BAD＝∠CDA＝90°AE＝DF∴△ABE≌△DCF（SAS），∴∠1=∠2，在△ADG和△CDG中，AD＝CD∠ADG＝∠CDG＝45°DG＝DG∴△ADG≌△CDG（SAS），∴∠2=∠3，∴∠1=∠3，∵∠BAH+∠3=∠BAD=90°，∴∠1+∠BAH=90°，∴∠AHB=180°-90°=90°，∴BE⊥AG；∴∠AHB=90°｛｛取AB的中點O為圓心畫弧即：點H在弧AB上∴DH的最小值為d－r∵正方形的邊長為2，OA=1=r∴d=∴DH長度的最小值O應用定理例2.某城市街角有一草坪，草坪是由草地和弦與其所對的劣弧圍成的草地組成，如圖所示．管理員王師傅在M處的水管上安裝了一噴灌龍頭，以后，他想只用噴灌龍頭來給這塊草坪澆水，并且在用噴灌龍頭澆水時，既要能確保草坪的每個角落都能澆上水，又能節(jié)約用水．于是，他主噴灌龍頭的轉角正好等于(即每次噴灌時噴灌龍頭由轉到，然后再轉回，這樣往復噴灌)，同時，再合理設計好噴灌龍頭噴水的射程就可以了．如圖，已測出，MB=10mAB=24m,?ABM的面積為96m2;過弦AB的中點D作DE⊥AB交弧AB于點E，又測得DE=8m．請你根據(jù)以上提供的信息，幫助王師傅計算噴灌龍頭的射程至少多少米時，才能實現(xiàn)他的想法?為什么?不積洼步無以至千里。解：作射線ED交AM于點C∵AD=DB,ED⊥AB,弧AB為劣弧

DE=8mAB=24m∴弧AB所在圓心在射線DC上假設圓心為O，半徑為r,連接OA,則r2=122+（r-8）2解得r=13∴OD=5過點M作MN⊥AB,垂足為N∵S?ABM=96.AB=24∴MN=8,NB=6,AN=18∵?ADC∽?ANM∴∴DC=OD<CD∴點O在?AMB內部，M在圓O的內部∴M到圓上最大距離為d＋r，r=13過點O作OH⊥MN,則OH=DN=6,MH=3∴OM==d∴最大距離=d＋r=+13不積洼步無以至千里。應用定理

例3.所示，AB、AC、BC是某新區(qū)的三條規(guī)劃路其中，AB＝6km，AC＝3km，∠BAC＝60°，BC所對的圓心角為60°．新區(qū)管委會想在BC路邊建物資總站點P，在AB、AC路邊分別建物資分站點E、F．也就是，分別在BC線段AB和AC上選取點P、E、F．由于總站工作人員每天要將物資在各物資站點間按P→E→F→P的路徑進行運輸，因此，要在各物資站點之間規(guī)劃道路PE、EF和FP．為了快捷環(huán)保和節(jié)約成本要使得線段PE、EF、FP之和最短，試求PE＋EF＋FP的最小值(各物資站點與所在道路之間的距離、路寬均忽略不計)．不積洼步無以至千里。不積洼步無以至千里。解：假設P點即為所求點，分別作出點P關于AB、AC的對稱點P′、P＂連接PP′、P′E，PE，P＂F，PF，PP＂由對稱性可知PE＋EF＋FP＝P′E＋EF＋FP＂＝P′P＂，當P′、E、F、P＂在一條直線上，P′P＂即為最短距離，∵?AP′P＂是120°等腰三角形，P′P＂=AP∴當PA最小時P′P＂也最小∵點A在圓外，PA最短=d－r∴作出弧BC的圓心O，連接AO，與弧BC交于P，∵AB＝6km，AC＝3km，∠BAC＝60°，∴?ABC是直角三角形，∠ABC＝30°，BC＝BC所對的圓心角為60°，∴?OBC是等邊三角形，∠CBO＝60°，BO＝BC＝∴∠ABO＝90°，AO＝

，PA＝-∠P′AE＝∠EAP，∠PAF＝∠FAP＂，∴∠P′AP＂＝2∠ABC＝120°，P′A＝AP＂，∴∠AP′E＝∠AP＂F＝30°∵P′P＂＝

P′A＝

－9所以PE＋EF＋FP的最小值為（

－9）km．課堂檢測1.已知正方形ABCD邊長為2，E、F分別是BC、CD上的動點，且滿足BE=CF，連接AE、BF，交點為P點，則PD的最小值為_________不積洼步無以至千里。課堂檢測2.如圖，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC內部的一個動點，且滿足∠PAB=∠PBC，則線段CP長的最小值是_________．不積洼步無以至千里。2課堂檢測3.