第三章 固體物理

第三章固體物理第一頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日3.1引言金屬的一般物理特征：強(qiáng)度高、密度大、電和熱導(dǎo)性能好以及由于光學(xué)反射性好而外表光潔等。自由電子模型：假定金屬中含有非常多的可在整個(gè)晶體中運(yùn)動(dòng)而基本上自由的電子，就能解釋上述特征。本章基本內(nèi)容：自由電子模型的概念在電場(chǎng)中電子怎樣傳導(dǎo)電流電子比熱費(fèi)米能級(jí)和費(fèi)米面金屬電導(dǎo)和熱導(dǎo)的精確描述磁場(chǎng)對(duì)自由電子運(yùn)動(dòng)的影響（回旋共振、霍爾效應(yīng)）金屬的熱電子發(fā)射自由電子模型的評(píng)價(jià)及局限性第二頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日年代科學(xué)家突出貢獻(xiàn)1780伽伐尼發(fā)明伏打電池1820奧斯特測(cè)定了Cu和BaO的電導(dǎo)率為106和10-12(cm)-1，發(fā)現(xiàn)(T)=0(1+T)，對(duì)金屬：>0；對(duì)半導(dǎo)體：<01831電磁感應(yīng)現(xiàn)象1833法拉第觀察到<0的半導(dǎo)體1853Wiedemann、Franz發(fā)現(xiàn)金屬的熱導(dǎo)率與電導(dǎo)率之間存在著關(guān)系1865Maxwell發(fā)表麥克斯韋方程，仍對(duì)電子不清楚1876Goldstain發(fā)現(xiàn)真空管中的氣體放電現(xiàn)象1897J.J.Thomson加磁場(chǎng)，發(fā)現(xiàn)偏轉(zhuǎn)，且m/e比氫離子的小，為其1/1840，發(fā)現(xiàn)了電子1898-1900伏特、安培、歐姆經(jīng)幾十年的努力，得出電流的本質(zhì)為電子的流動(dòng)，并有歐姆定律：I=V/R1900Drude將氣體分子的經(jīng)典統(tǒng)計(jì)理論運(yùn)用于金屬，提出用自由電子氣的模型解釋金屬導(dǎo)電：電子在金屬中行為類似于理想氣體1906密立根油滴實(shí)驗(yàn)，于1923年獲Nobel物理獎(jiǎng)，得出e=1.60×10-19庫(kù)侖1927Sommerfeld（索末菲）改用量子理論校正自由電子模型并獲得成功重大事件第三頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日3.2傳導(dǎo)電子以鈉為例加以說明氣態(tài)鈉：自由原子的集合，每個(gè)原子有11個(gè)繞核運(yùn)動(dòng)的軌道電子，化學(xué)上把這些電子分為兩類：離子實(shí)電子10個(gè)：它們使一、二兩殼層（玻爾軌道）為滿殼層，形成穩(wěn)定結(jié)構(gòu)；價(jià)電子1個(gè)：第三殼層的電子，與該系統(tǒng)結(jié)合得很松散，決定了Na的大多數(shù)化學(xué)性質(zhì)。Na的第三殼層半徑是1.9?。金屬鈉：金屬鈉為bcc結(jié)構(gòu)，最近鄰的原子間距為3.7?，即固態(tài)時(shí)相鄰原子間稍有交迭。因此價(jià)電子不再只受個(gè)別離子（實(shí)）所吸引，而是同時(shí)屬于各相鄰離子；進(jìn)一步引申，價(jià)電子實(shí)際上屬于整個(gè)晶體。在自由原子中稱為價(jià)電子，在整個(gè)晶體中運(yùn)動(dòng)的價(jià)電子稱為固體中的傳導(dǎo)電子。固體鈉中3S軌道的交迭第四頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日定域電子和傳導(dǎo)電子傳導(dǎo)電子：可在整個(gè)固體中非定域地運(yùn)動(dòng)，不再局限于個(gè)別原子，例如金屬鈉中的價(jià)電子。傳導(dǎo)電子決定了金屬的大多數(shù)特性。當(dāng)自由原子形成金屬時(shí)，所有價(jià)電子變成了傳導(dǎo)電子，并且它們的狀態(tài)被大大地改變了，而離子實(shí)電子仍是局域的，其特性基本上保持不變；根據(jù)金屬的原子價(jià)和金屬的密度，計(jì)算自由電子（傳導(dǎo)電子）的個(gè)數(shù)（N）：定域電子：定域電子并不傳導(dǎo)電流，例如金屬Na的離子實(shí)電子，即處于格點(diǎn)的各核周圍的電子，對(duì)電流沒有任何貢獻(xiàn)。固體中這些離子實(shí)電子的態(tài)與其在自由原子中的態(tài)差別很小。原子價(jià)（化合價(jià)）原子量密度阿佛加德羅常數(shù)第五頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日3.3自由電子模型：自由電子氣自由電子模型（D.Drude模型）1、傳導(dǎo)電子由原子的價(jià)電子提供；2、電子之間的相互作用可以忽略；3、外電場(chǎng)為零時(shí)，兩次碰撞之間電子自由飛行；4、每次碰撞時(shí)，電子失去它在電場(chǎng)作用下獲得的能量。與理想氣體中的分子很象，稱為自由電子氣。金屬真空自由電子模型的勢(shì)壘自由電子氣與氣體不同之處在于：（1）自由電子是帶電的，氣體分子多數(shù)為中性的；（2）金屬的電子濃度大（1029電子/米3），普通氣體僅為1025分子/米3。把金屬中的自由電子氣看作是濃的等離子氣較為合適。第六頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日問題1：為什么傳導(dǎo)電子與離子的相互作用很微弱？回答（1）：盡管電子與離子間必然有庫(kù)侖作用，但量子效應(yīng)卻產(chǎn)生了一個(gè)推斥勢(shì)，有助于抵消庫(kù)侖引力的作用。凈余的勢(shì)能通稱為贗勢(shì)，確是弱的，對(duì)于堿金屬尤其微弱（詳見第四章）。由于離子為其它電子所屏蔽，所以當(dāng)電子相離較遠(yuǎn)時(shí)，其作用力是很弱的，這意味著相互作用形式為短程屏蔽勢(shì)，而不是長(zhǎng)程純庫(kù)侖勢(shì)?；卮穑?）：當(dāng)電子越過離子時(shí)，由于離子附近的勢(shì)能降低，電子的速率急劇增大，因此電子在離子附近呆的時(shí)間很短，大部分時(shí)間是在勢(shì)能弱的區(qū)域，這也是在一定的近似程度下，電子的行為很像自由粒子。勢(shì)能離子電子在離子附近的速度變化速度第七頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日問題2：為什么傳導(dǎo)電子之間的相互作用很微弱？回答：（I）根據(jù)泡利不相容原理，自旋平行的電子往往會(huì)彼此遠(yuǎn)離；（II）即使自旋相反，彼此也傾向于遠(yuǎn)離，以便使系統(tǒng)能量最低。每個(gè)電子被一個(gè)不存在其它電子的球形區(qū)所圍繞，稱該區(qū)為一個(gè)空穴（稱為費(fèi)米穴，它不是一般所講的空穴），半徑約為1?（精確值取決于電子濃度）。當(dāng)電子運(yùn)動(dòng)時(shí)，其空穴也隨之運(yùn)動(dòng)。由于空穴的存在，致使兩個(gè)電子互相屏蔽，導(dǎo)致兩電子之間相互作用很小。第八頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日3.4電導(dǎo)率歐姆定律電流是傳導(dǎo)電子在電場(chǎng)作用下運(yùn)動(dòng)的結(jié)果。離子均被系于格點(diǎn)并在其附近振動(dòng)，對(duì)電流沒有貢獻(xiàn)。（宏觀）（微觀）第九頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日電導(dǎo)率與傳導(dǎo)電子的微觀特性之間的關(guān)系場(chǎng)給電子一個(gè)作用力：考慮一個(gè)典型的電子電子與介質(zhì)其余部分發(fā)生碰撞所產(chǎn)生的阻力：應(yīng)用牛頓第二定律，得到：穩(wěn)恒狀態(tài)（）的解即為穩(wěn)恒速度，電子有效質(zhì)量：一般情況下，與自由電子的質(zhì)量不同，其差別是由于電子與晶格相互作用造成的；電子速度：碰撞時(shí)間（平均自由壽命、馳豫時(shí)間）：第十頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日漂移速度：有外場(chǎng)時(shí)，與外場(chǎng)反向的凈附加速度電子的兩種不同性質(zhì)的速度無(wú)規(guī)速度：由電子的無(wú)規(guī)則運(yùn)動(dòng)引起的，即使沒有外電場(chǎng)，電子仍象普通氣體分子那樣作無(wú)規(guī)則運(yùn)動(dòng)，但對(duì)電流沒有貢獻(xiàn)。

---(a)(b)作用于金屬導(dǎo)線上的電場(chǎng)；電子的隨機(jī)運(yùn)動(dòng)與漂移運(yùn)動(dòng)。圓圈和大圓點(diǎn)表示散射中心金屬的約等于費(fèi)米速度，大約為106ms-1；金屬的約等于10-2ms-1；

第十一頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日單位體積的電量為：電導(dǎo)率的表達(dá)式電子的漂移速度為：?jiǎn)挝粫r(shí)間單位面積上通過的電量（電流密度）為：電導(dǎo)率的表達(dá)式電流密度的方向與電場(chǎng)方向相同電子濃度N增大，載流子數(shù)目增多，增大；越大，粒子的惰性越大，越難于加速，越小；是連續(xù)兩次碰撞的時(shí)間間隔，越大，電子在兩次碰撞間被電場(chǎng)加速的時(shí)間越長(zhǎng)，漂移速度越大，越大

第十二頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日假定外加電場(chǎng)的時(shí)間足夠長(zhǎng)，使得漂移速度被建立，然后在某個(gè)時(shí)刻電場(chǎng)突然撤去，則此后的漂移速度由下式?jīng)Q定：馳豫時(shí)間滿足初始條件的解為隨時(shí)間t按指數(shù)趨向于零的現(xiàn)象稱為馳豫過程，而是表示該過程快慢程度的一個(gè)量。由于很小，迅速趨向于零。由于表示兩次相繼碰撞的時(shí)間間隔，可用相繼兩次碰撞的距離（平均自由程）和無(wú)規(guī)速度表示，電導(dǎo)率進(jìn)一步表示為第十三頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日金屬和半導(dǎo)體電導(dǎo)率的比較金屬半導(dǎo)體電子（載流子）濃度N（m-3）10291020無(wú)規(guī)速度（ms-1）106104電導(dǎo)率（-1m-1）51071金屬的無(wú)規(guī)速度約等于費(fèi)米速度；半導(dǎo)體中無(wú)規(guī)速度由常用的公式給出，代入T=300K及半導(dǎo)體中有效質(zhì)量的典型值，可求出第十四頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日碰撞時(shí)間的起源由于阻力而引入作為碰撞時(shí)間，自然要假定該阻力是電子與離子碰撞造成的。按照這種特殊的碰撞模型，即電子在晶格中運(yùn)動(dòng)時(shí)與離子相碰撞，離子將使電子的動(dòng)量較小?；谶@種模型很多地方與實(shí)驗(yàn)不符，如：電子在兩次碰撞之間通過的距離比原子間距要大20倍之多。如果電子每當(dāng)經(jīng)過離子都要碰撞的話，則上述平均自由程值比預(yù)料的要大得多。特別是在原子被緊密堆積的二種密堆積結(jié)構(gòu)中，更無(wú)法理解兩次碰撞之間電子何以能運(yùn)動(dòng)這么遠(yuǎn)。第十五頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日這一難題只有應(yīng)用量子力學(xué)概念才能加以解釋：（1）電子具有波動(dòng)性，電子在晶格中的波長(zhǎng)按德布羅意關(guān)系給出：（2）波通過周期性晶格時(shí)，將沒有散射，連續(xù)傳播。晶格中原子的效應(yīng)是由波吸收能量再將能量輻射給波?？偟慕Y(jié)果是：波是連續(xù)的，無(wú)論其方向還是強(qiáng)度均不改變，然而傳播的速度改變了（在第二章曾給出了規(guī)則晶格并不散射波的原因，除非布拉格條件被滿足，波（X射線、中子、電子）是不會(huì)被散射或衍射的）。（3）除了這種特殊條件之外，傳導(dǎo)電子完全不應(yīng)該受規(guī)則的離子晶格的散射。第十六頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日光學(xué)例子：（1）光波在晶體中傳播完全不散射，晶體的唯一影響是引入了折射率n，使得光在晶體中的速度變?yōu)閏/n；（2）如果離子形成理想晶格，就不會(huì)發(fā)生碰撞，即：然而平均自由程約為100?，因此有限必定是由于晶格偏離了理想的周期性所導(dǎo)致的，這種偏離既可以是由于離子的熱振動(dòng)，也可以是由于缺陷或雜質(zhì)的存在所造成的。第十七頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日3.5電阻率與溫度的關(guān)系定性描述T0K時(shí)，為小的常數(shù)；>0K，隨T升高而增大。最初很緩慢，而后隨T線性增加；在熔化之前一直保持為線性。Na在低溫區(qū)的歸一化的電阻率(T)/(290K)與T的關(guān)系較高溫度區(qū)的情況。(290K)2.1010-8m06101418221234510-3(T)/(290K)(T)/(290K)7142110-3020406080100(a)(b)第十八頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日定量分析1/實(shí)際上等于單位時(shí)間內(nèi)電子被散射的可能次數(shù)。若=10-14s，則電子每秒碰撞1014次，電子僅與晶格的缺陷發(fā)生碰撞，偏離完美晶格的缺陷分為兩類：偏離完美晶格的缺陷由于熱激發(fā)在平衡位置附近離子的晶格振動(dòng)（聲子）；一切靜態(tài)缺陷，例如外來(lái)雜質(zhì)或晶格缺陷。假設(shè)聲子和雜質(zhì)缺陷所起作用的機(jī)制是相互獨(dú)立的，則電子被聲子和雜質(zhì)散射的幾率是可加的，所以有：第一項(xiàng)為聲子散射引起的，決定于溫度T；第二項(xiàng)為雜質(zhì)散射引起的，由雜質(zhì)決定與溫度T無(wú)關(guān)電阻率表示為：第一項(xiàng)為聲子散射引起的，稱為理想電阻率，是純凈樣品的電阻率；第二項(xiàng)為雜質(zhì)散射引起的，稱為剩余電阻率第十九頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日當(dāng)溫度T極低時(shí)：振動(dòng)幅度非常小，聲子散射可以忽略，此時(shí)：升高溫度T：聲子散射較為明顯，增加，這就是電阻率增加的原因。溫度T足夠高時(shí)：聲子散射占支配地位，，且隨T線性增加第二十頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日碰撞時(shí)間為：電子與雜質(zhì)之間的彈性碰撞指定雜質(zhì)的散射截面（一個(gè)雜質(zhì)原子對(duì)入射電子所暴露的面積）為，通過普遍的氣體動(dòng)力論的論證可得到：由雜質(zhì)引起的電阻率表達(dá)式：：電子與雜質(zhì)碰撞的自由程：雜質(zhì)濃度：與雜質(zhì)原子實(shí)際幾何截面的數(shù)值相同（1?2）電阻率與雜質(zhì)濃度成正比第二十一頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日電子與聲子彈性碰撞的平均自由程：電子與聲子之間的彈性碰撞假定偏離平衡位置的位移是x，則散射的平均截面為：頻率可使用愛因斯坦頻率或德拜頻率：晶格中金屬離子的濃度，對(duì)一價(jià)的金屬等于傳導(dǎo)電子數(shù)：每個(gè)離子散射截面，這里與離子的幾何截面無(wú)關(guān)，相當(dāng)于熱振動(dòng)的離子對(duì)通過它的電子所暴露的面積。<x2>是x2的平均值，可作如下估算：由于離子是諧振子，其勢(shì)能的平均值等于總能量的一半，于是有：注意這里是力常數(shù)第二十二頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日應(yīng)用愛因斯坦溫度，碰撞時(shí)間的倒數(shù)表示為：由聲子振動(dòng)引起的電阻率表達(dá)式：在高溫區(qū)（T>>E），，與實(shí)驗(yàn)一致；M為離子的質(zhì)量在低溫區(qū)（T<<E），，與測(cè)量結(jié)果按T5減小不符，這個(gè)差異的出現(xiàn)在于采用了愛因斯坦模型，愛因斯坦模型是把相鄰離子作為獨(dú)立振子處理的。若按晶格振動(dòng)的德拜理論，考慮離子間的耦合，得到T5特性。第二十三頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日馬德森定則和近藤效應(yīng)馬德森（Matthiessen）定則這一定則為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的分析帶來(lái)很多方便。在缺陷濃度不算大時(shí)，ph通常不依賴于缺陷數(shù)目，而i通常不依賴于溫度，這種經(jīng)驗(yàn)性結(jié)論被稱為馬德森定則。近藤效應(yīng)（Kondoeffect）背離馬德森定則也可歸因于傳導(dǎo)電子能帶的復(fù)雜化。經(jīng)常觀察到背離馬德森定則的現(xiàn)象，最熟悉的是近藤效應(yīng)。例如Cu中溶有一些Fe的雜質(zhì)時(shí)，其低溫下的電阻率的形式與圖中并不相同。在低溫下有一個(gè)極小值。這種異常行為是由于電子受雜質(zhì)中心磁矩的附加散射引起的。第二十四頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日在非磁性的簡(jiǎn)單金屬（如Cu、Ag、Au、Mg、Zn等）中滲入微量3d殼層不滿的磁性雜質(zhì)（如Fe、Mn、V、Mo等）稱為稀磁合金，這類材料大都在低溫下（10-20K）觀察到在電阻隨溫度變化曲線上出現(xiàn)極小值，這種電阻反?，F(xiàn)象稱為近藤效應(yīng)。近藤效應(yīng)示意圖若從電阻曲線中扣除電子被晶格振動(dòng)散射的電阻AT5的貢獻(xiàn)，得到磁性雜質(zhì)對(duì)電阻的貢獻(xiàn)為隨溫度降低按對(duì)數(shù)式規(guī)律增長(zhǎng)：近藤1964年指出，磁性雜質(zhì)不能僅看到它們破壞周期性的勢(shì)場(chǎng)而引起的散射，還必須考慮當(dāng)電子被磁性雜質(zhì)散射時(shí)，電子的自旋狀態(tài)將發(fā)生變化，同時(shí)雜質(zhì)本身的自旋狀態(tài)也會(huì)發(fā)生相應(yīng)的變化。第二十五頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日3.6傳導(dǎo)電子的熱容量經(jīng)典描述電子的熱容量Ce按照氣體動(dòng)力學(xué)，在熱平衡時(shí)一個(gè)自由粒子的平均能量是3/2KT，因此每摩爾的平均能量為：聲子的熱容量Cph=3R電子的熱容量為：金屬的總熱容量C實(shí)驗(yàn)事實(shí)C在高溫時(shí)與絕緣體相同基本上等于3R精確測(cè)量電子單獨(dú)對(duì)熱容的貢獻(xiàn)證明，Ce比經(jīng)典值小得多，僅為它的10-2倍。第二十六頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日量子力學(xué)描述泡利不相容原理按照量子力學(xué)，金屬中的電子能量是量子化的。下圖給出了各個(gè)量子能級(jí)，金屬電子占據(jù)這些能級(jí)的時(shí)候，遵守極為重要的量子力學(xué)原理——泡利不相容原理。金屬中的上述情況是在T=0K時(shí)得到的。即使在最低的可能溫度下，由于泡利不相容原理，電子系統(tǒng)也具有相當(dāng)大的能量。這與經(jīng)典理論：T0K時(shí)所有運(yùn)動(dòng)停止、能量為零的結(jié)論明顯不同。一個(gè)能級(jí)至多能容納2個(gè)電子，一個(gè)自旋朝上，一個(gè)自旋朝下。因此，在填充能級(jí)時(shí)，有兩個(gè)電子填充最低能級(jí)，再有兩個(gè)填充次低能級(jí)，如此等等，直到金屬的所有電子被填完。被占據(jù)的最高能級(jí)稱為費(fèi)米能級(jí)，金屬中費(fèi)米能級(jí)的典型值約為5eV。按泡利不相容原理占據(jù)能級(jí)第二十七頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日分布函數(shù)電子在能級(jí)中的分布通常用分布函數(shù)描述，它被定義為電子占據(jù)能級(jí)E上一個(gè)狀態(tài)的幾率。如果能級(jí)是空的，，而若能級(jí)被填滿則。一般而言，的值在0和1之間。在T=0K時(shí)，電子分布函數(shù)的形式應(yīng)為：在T=0K和T>0K時(shí)分布函數(shù)f（E）隨E的變化1001第二十八頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日T>0K時(shí)，熱能要激發(fā)電子，但與經(jīng)典結(jié)果相反。該能量并非同等地分配給所有電子：這好似因?yàn)槟芰勘荣M(fèi)米能級(jí)EF低得多的電子不可能吸收能量。要是果真吸收的話，就要往那些已被占據(jù)的較高能級(jí)跳，這是違背不相容原理的。電子吸收熱能的數(shù)量級(jí)為kT（在室溫時(shí)為0.025eV），這比數(shù)量級(jí)為5eV的EF小得多，因而只有費(fèi)米能級(jí)附近的那些電子才能被激發(fā)；由于EF以上能級(jí)是空的，電子跳到較高能級(jí)時(shí)并不違背不相容原理。從而只有總數(shù)很小的一部分電子能被熱激發(fā)，這就解釋了電子比熱小得原因。T>0K的分布函數(shù)如下，又稱為費(fèi)米-狄拉克分布。其分布與T=0K的分布基本相同，只是費(fèi)米能級(jí)下面極小范圍內(nèi)的電子才被激發(fā)到EF以上。第二十九頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日利用分布函數(shù)計(jì)算電子的熱能和熱容量（近似處理）由于只有費(fèi)米能級(jí)附近kT范圍內(nèi)的電子才被激發(fā)，可認(rèn)為只有kT/EF部分的電子受影響，因此每摩爾被激發(fā)的電子數(shù)約為：由于平均地每個(gè)電子吸收的能量為：每摩爾的熱能近似地表示為：比熱為：該電子的比熱較經(jīng)典值（數(shù)量級(jí)為R）縮小了，縮減因子為1/200，與實(shí)驗(yàn)值相符。第三十頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日引入費(fèi)米溫度TF，定義為EF=kTF，于是比熱改寫為，電子熱容量的精確計(jì)算值：當(dāng)EF=5eV時(shí)，TF=60000K。為了使固體的電子比熱達(dá)到經(jīng)典值，固體必須被加熱到可與TF相比，這是不可能的，在遠(yuǎn)未達(dá)到此溫度之前，固體早就溶解或汽化了！因此對(duì)于所有實(shí)際溫度，電子比熱遠(yuǎn)低于經(jīng)典值。電子熱容量為溫度的線性函數(shù)（與晶格熱容量完全不同，高溫時(shí)為常數(shù)，低溫時(shí)與T3成正比）第三十一頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日3.7費(fèi)米面速度空間金屬中的傳導(dǎo)電子處于持續(xù)無(wú)規(guī)則運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。若把這些電子看成自由粒子，它們的能量全部為動(dòng)能，定義：以為坐標(biāo)軸，此空間中每個(gè)點(diǎn)代表一個(gè)唯一的速度（大小和方向都包括在內(nèi)）。由于電子的速度各不相同，且雜亂無(wú)章，所以代表電子速度的點(diǎn)就均勻充滿該空間。第三十二頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日費(fèi)米球及費(fèi)米面在速度空間內(nèi)存在一個(gè)球，球外的所有點(diǎn)是空著的，該球的半徑等于費(fèi)米速率，它和費(fèi)米能的關(guān)系為：球外的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的能量大于EF，在T=0K時(shí)是未被占據(jù)的，而球內(nèi)各點(diǎn)則完全被充滿。該球稱為費(fèi)米球，其表面稱為費(fèi)米面（FS）。費(fèi)米球和費(fèi)米面費(fèi)米面費(fèi)米球第三十三頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日費(fèi)米面的主要性質(zhì)費(fèi)米面受溫度影響不明顯：溫度升高，只有比較少的電子從FS之內(nèi)激發(fā)到FS之外，與T=0K時(shí)的情況差別很小。與FS一樣，費(fèi)米速率與溫度沒有關(guān)系。費(fèi)米速率：費(fèi)米能量：主要決定于電子濃度。濃度越大，容納全部電子所需的最高能級(jí)越大，EF也就越大。若將典型值n=1028m-3代入，可得EF5eV。第三十四頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日費(fèi)米能（FermiEnergy）費(fèi)米半徑（FermiWaveVector）費(fèi)米速度（FermiVelocity）費(fèi)米溫度（FermiTemperature）費(fèi)米動(dòng)量（FermiMomentum）費(fèi)米面態(tài)密度第三十五頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日T=0K時(shí)費(fèi)米能的計(jì)算自旋因子K空間Fermi球體積K空間態(tài)密度電子數(shù)電荷密度第三十六頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日3.8電導(dǎo)率費(fèi)米面的作用從費(fèi)米面出發(fā)理解電導(dǎo)率平衡時(shí)的費(fèi)米球無(wú)外場(chǎng)，F(xiàn)S的球心在原點(diǎn)。各電子都在運(yùn)動(dòng)，有些電子的速率還很大，而且它們都各自運(yùn)載電流。但是，系統(tǒng)的總電流卻為零。因?yàn)槊總€(gè)速度為V的電子，必然有一個(gè)（-V）的電子，這一對(duì)電子的電流總計(jì)為零。由于各對(duì)電子的電流都相互抵消，系統(tǒng)總的電流為零。有外場(chǎng)，每個(gè)電子得到一個(gè)漂移速度，整個(gè)FS球向左平移。盡管平移很小，以及絕大多數(shù)電子的速度仍然相互抵消，但某些電子，圖中綠色的部分電子速度卻不能對(duì)消，因而產(chǎn)生宏觀電流。外場(chǎng)下費(fèi)米球的平移第三十七頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日電導(dǎo)率的計(jì)算未被對(duì)消的這部分電子近似為，因此這部分電子的濃度為，由于每個(gè)電子的速度約為，電流密度表示為：以代入得到（F是FS上一個(gè)電子的碰撞時(shí)間）由此得到電導(dǎo)率的表達(dá)式：第三十八頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日討論電導(dǎo)率的經(jīng)典圖像：電流是所有電子均以很小的速度運(yùn)動(dòng)所產(chǎn)生的。高溫時(shí)，（與溫度有關(guān)的量是平均自由程）電導(dǎo)率的量子力學(xué)圖像：電流是由很少量但速度極大的電子運(yùn)動(dòng)所形成的。電流是費(fèi)米面附近的電子所輸運(yùn)的，這些輸運(yùn)現(xiàn)象與費(fèi)米面的特性、形狀等關(guān)系極為密切。費(fèi)米球內(nèi)離FS較遠(yuǎn)的電子，就所討論的電傳導(dǎo)過程來(lái)說是沒有關(guān)系的。第三十九頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日3.9熱導(dǎo)率基本概念熱流密度（單位時(shí)間內(nèi)通過單位橫截面的熱能）與溫度梯度成正比：在絕緣體中，熱能完全由聲子傳輸，而金屬中則電子和聲子都參與傳輸，所以熱導(dǎo)率等于兩者貢獻(xiàn)的總和，即：在大多數(shù)金屬中，因?yàn)殡娮拥臐舛却螅虼?，電子的貢獻(xiàn)遠(yuǎn)大于聲子。典型情況為：第四十頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日熱傳導(dǎo)的物理過程熱端（即左端）的電子向所有方向運(yùn)動(dòng)，但有某一部分向右面運(yùn)動(dòng)并向冷端輸運(yùn)能量；熱傳導(dǎo)的物理基礎(chǔ)。左面高能電子向右面?zhèn)鬟f凈的能量冷端（即右端）也有一部分電子向左面運(yùn)動(dòng)，將能量輸運(yùn)給熱端；這些反方向傳輸?shù)碾娮樱潆娏魇窍嗟鹊?。但是，由于左端電子的平均能量高于右端，結(jié)果是向右端輸運(yùn)了凈能量，產(chǎn)生一個(gè)熱流。熱能幾乎全是由費(fèi)米能級(jí)附近的電子輸運(yùn)的，因?yàn)檫h(yuǎn)低于費(fèi)米能級(jí)的那些電子對(duì)輸運(yùn)的貢獻(xiàn)彼此抵消了。因此FS上的電子在輸運(yùn)現(xiàn)象中起著主要作用。第四十一頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日熱導(dǎo)率的計(jì)算熱傳導(dǎo)公式：CV是電子單位體積的比熱，涉及的是單位體積而非一摩爾，

為速度，因?yàn)橹挥匈M(fèi)米能級(jí)上的電子才有效，此處需要用；

為所含粒子的平均自由程，因?yàn)橹挥匈M(fèi)米能級(jí)上的電子才有效，此處需要用；第四十二頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日洛侖茲數(shù)定義為洛侖茲數(shù)。L僅由基本常數(shù)kB和e決定，所以，L對(duì)所有金屬都應(yīng)該是相同的，其數(shù)值是2.4210-8J/sK；由于電流和熱流的載流子相同，電導(dǎo)率和熱導(dǎo)率直接相關(guān)，這是所預(yù)期的。室溫下熱導(dǎo)率和洛侖茲數(shù)元素NaCuAgAuAlCdNiFeK(J/mKs)1383934182972091005867L(J/sK)108

2.172.262.342.471.962.631.552.30不同金屬的洛侖茲數(shù)接近于理論值，但并不嚴(yán)格一致；原因在于：（1）所采用的是過于簡(jiǎn)單的自由電子模型；（2）計(jì)算輸運(yùn)系數(shù)和k時(shí)作了簡(jiǎn)化。更精確的研究表明，L確與具體金屬有關(guān)。維德曼-弗蘭茲定律第四十三頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日3.10電子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)回旋共振及霍爾效應(yīng)回旋共振垂直于厚金屬板加一磁場(chǎng)，在與磁場(chǎng)垂直的平面內(nèi)，使電子沿逆時(shí)針方向作圓周運(yùn)動(dòng)，這個(gè)回旋運(yùn)動(dòng)的頻率通稱為回旋頻率，由下式給出：若用自由電子質(zhì)量代入，則可得：式中B以千高斯為單位。當(dāng)B=1KG時(shí)，回旋頻率為2.8GHz，屬于微波波段。--電子信號(hào)回旋運(yùn)動(dòng)第四十四頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日若沿B方向有一電磁信號(hào)穿過厚金屬板，信號(hào)電場(chǎng)作用在電子上有些能量將被電子所吸收，若信號(hào)頻率等于回旋頻率，即：則其吸收率最大。當(dāng)上述條件成立時(shí)，每個(gè)電子的運(yùn)動(dòng)和電磁波同步，從而電子在整個(gè)圓周上都不斷吸收能量，因此上式為回旋共振條件。若不滿足上述條件，則只在圓周的一個(gè)部分上與波同相，也只有這段時(shí)間才吸收波的能量，而在圓周的其余部分，由于二者位相不同，電子將把能量歸還給信號(hào)波。作為頻率的函數(shù)，吸收曲線如右圖所示。吸收系數(shù)和頻率的關(guān)系回旋共振用來(lái)測(cè)量金屬和半導(dǎo)體內(nèi)的電子質(zhì)量。根據(jù)吸收曲線確定回旋頻率，即可計(jì)算出有效質(zhì)量，精度取決于C和B的精確度。第四十五頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日霍爾效應(yīng)導(dǎo)線中的電流為ｘ方向，外加一垂直于導(dǎo)線的磁場(chǎng)Ｂ指向ｚ，則產(chǎn)生一個(gè)附加電場(chǎng)，該電場(chǎng)既垂直于Ｊｘ，又垂直于Ｂｚ，即指向ｙ。外加磁場(chǎng)下，在洛侖茲力作用下電子朝下發(fā)生偏轉(zhuǎn)，電子積累在下表面，產(chǎn)生凈負(fù)電荷，同時(shí)上表面由于缺少電子而出現(xiàn)凈正電荷。這個(gè)正負(fù)表面電荷的系統(tǒng)建立一個(gè)向下的電場(chǎng)，稱為霍爾電場(chǎng)?；魻栯妶?chǎng)和霍爾效應(yīng)的起源--+＋＋＋＋＋－－－－－－當(dāng)洛侖茲力與霍爾力平衡時(shí)，達(dá)到穩(wěn)態(tài)：電流密度為：霍爾電場(chǎng)為：霍爾場(chǎng)與電流密度及磁感應(yīng)強(qiáng)度的乘積成正比，比例常數(shù)通稱為霍爾系數(shù)，用ＲＨ表示霍爾系數(shù)與電子濃度成反比，因此可以通過測(cè)量霍而電場(chǎng)來(lái)確定Ｎ，已成為確定電子濃度的權(quán)威方法?；魻栂禂?shù)的符號(hào)能確定載流子的種類。第四十六頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日3.11熱電子發(fā)射基本原理熱電子發(fā)射：加熱金屬時(shí)，電子從金屬表面被發(fā)射的現(xiàn)象。T=0K時(shí)，費(fèi)米能級(jí)EF以下所有能級(jí)均被填滿，EF以上是空的。由于表面勢(shì)壘的存在，EF能級(jí)以上的電子是不能從金屬逸出的。勢(shì)壘的高度，用表示，通稱為功函數(shù)，功函數(shù)隨金屬的不同而不同，在1.5~5eV。T>0K時(shí)，有些電子會(huì)從EF下面向上轉(zhuǎn)移，使EF以上的能級(jí)開始被占據(jù)。依照自由電子氣模型，電子在深度為E0的勢(shì)阱內(nèi)，電子要離開金屬至少要從外界得到能量為：熱電子發(fā)射該圖是按自由電子模型畫出的金屬電子能級(jí)示意圖金屬真空為逸出功或功函數(shù)。當(dāng)金屬絲被加熱到很高溫度時(shí)，有一部分電子獲得的能量多于，它們就可能逸出金屬，產(chǎn)生熱電子發(fā)射電流。第四十七頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日陰極射線管——里查遜-杜師曼方程對(duì)自由電子而言，電子的能量為：將表面的法向取為x方向，電子能量E應(yīng)滿足以下條件才能發(fā)射：對(duì)于熱電子發(fā)射該圖是按自由電子模型畫出的金屬電子能級(jí)示意圖金屬真空電流密度表示為：第四十八頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日利用遠(yuǎn)離費(fèi)米能級(jí)EF的區(qū)域有，并利用考慮自旋第四十九頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日，其數(shù)值為120A/cm2K2上述方程稱為里查遜——杜師曼方程，與實(shí)驗(yàn)符合很好。表明電流密度隨溫度增加很快。在通常溫度范圍內(nèi)由于>>kT，其電流密度基本上歲溫度指數(shù)增加。采用熱電子發(fā)射可以測(cè)定金屬的功函數(shù)，見下表：WTaNiAgCaPt4.54.24.64.81.85.3Richardson-Dushman公式第五十頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日接觸電勢(shì)差（contactpotential）兩塊不同的金屬I和II相接觸，或者用導(dǎo)線聯(lián)結(jié)起來(lái)，產(chǎn)生不同的電勢(shì)VI和VII，這稱為