智能儀器的數(shù)據(jù)處理

減小系統(tǒng)誤差的算法

1系統(tǒng)誤差定義是指在相同條件下多次測(cè)量同一量時(shí)，存在著其大小和符號(hào)保持不變或按一定規(guī)律變化的誤差。一系統(tǒng)誤差概述

2系統(tǒng)誤差分類恒定系統(tǒng)誤差:恒定不變的誤差稱為恒定系統(tǒng)誤差,例如,在校驗(yàn)儀器時(shí),標(biāo)準(zhǔn)表存在的固有誤差、儀器的基準(zhǔn)誤差等。變化系統(tǒng)誤差:儀表的零點(diǎn)(或基線）和放大倍數(shù)的漂移、溫度變化而引入的誤差等；例如,由儀器的零點(diǎn)漂移、放大倍數(shù)的漂移以及熱電偶冷端隨室溫變化而引入的誤差等。系統(tǒng)非線性（非比例）誤差:傳感器及檢測(cè)電路（如電橋）被測(cè)量與輸出量之間的非比例關(guān)系；線性系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性誤差。

克服系統(tǒng)誤差與抑制隨機(jī)干擾不同,系統(tǒng)誤差不能依靠概率統(tǒng)計(jì)方法來(lái)消除或削弱,它不像抑制隨機(jī)干擾那樣能導(dǎo)出一些普遍適用的處理方法,而只能針對(duì)某一具體情況在測(cè)量技術(shù)上采取一定的措施加以解決。1減小零位誤差與增益誤差的方法2復(fù)雜函數(shù)關(guān)系問(wèn)題：如何建模、標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)表3非理想系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性誤差修正4傳感器的溫度誤差二減少系統(tǒng)誤差的算法1儀器零位誤差和增益誤差的校正方法

由于傳感器、測(cè)量電路、放大器等不可避免地存在溫度漂移和時(shí)間漂移，所以會(huì)給儀器引入零位誤差和增益誤差。(1)選定增益

(2)將輸入接地(即使輸入為零)，此時(shí)整個(gè)測(cè)量通道的輸出即為零位輸出N0(一般不為零)；(3)將再把輸入接基準(zhǔn)電壓Vr測(cè)得數(shù)據(jù)Nr，并將N0和Nr存于內(nèi)存；(4)將入接Vx，測(cè)得Nx，則測(cè)量結(jié)果可用下式計(jì)算出來(lái)。

零位誤差校正

增益誤差的自動(dòng)校正

Vx

=A1*Nx+A0A1=Vr/(Nr-N0)A0=VrN0/(N0-Nr)

校正系數(shù)A1、A0

當(dāng)通道是程控增益，每個(gè)增益檔有一組系數(shù)。這種校正方法測(cè)得信號(hào)克服了放大器的漂移和增益變化的影響，降低了對(duì)電路器件的要求，達(dá)到與Vr等同的測(cè)量精度，但增加了測(cè)量時(shí)間。

這種校正方法測(cè)得信號(hào)克服了放大器的漂移和增益變化的影響，降低了對(duì)電路器件的要求，達(dá)到與Vr等同的測(cè)量精度，但增加了測(cè)量時(shí)間。由于上述過(guò)程是自動(dòng)進(jìn)行的,且每次測(cè)量過(guò)程很快，因此，即使各誤差因子隨時(shí)間有緩慢的變化，也可消除其影響，實(shí)現(xiàn)近似于實(shí)時(shí)的誤差修正。

誤差模型和校正電路圖

(a)誤差模型；(b)校正電路舉例：圖（a）所示的誤差模型在電子儀器中是具有相當(dāng)普遍意義的。

圖(a)中的x是輸入電壓（被測(cè)量）,y是帶有誤差的輸出電壓（測(cè)量結(jié)果）,ε是影響量（例如零點(diǎn)漂移或干擾）,i是偏差量（例如直流放大器的偏置電流）,k是影響特性（例如放大器增益變化）。從輸出端引一反饋量到輸入端以改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性。在無(wú)誤差的理想情況下,有ε=0,i=0,k=1,于是存在關(guān)系y=x。在有誤差的情況下,則有

y=k(x+ε+y′)

由此可以推出

可改寫成下列簡(jiǎn)明形式：

x=b1y+b0

其中,

x=b1y+b0即為誤差修正公式,其中,b0、b1為誤差因子。如果能求出b0、b1的數(shù)值,即可由誤差修正公式獲得無(wú)誤差的x值,從而修正了系統(tǒng)誤差。誤差修正公式中含有兩個(gè)誤差因子b0和b1,因而需要做兩次校正。假設(shè)建立的校正電路圖（b）所示,圖中E為標(biāo)準(zhǔn)電池,則具體校正步驟如下：

（1）零點(diǎn)校正：先令輸入端短路,即S1閉合,此時(shí)有x=0,于是得到輸出為y0。按照式可得方程如下 0=b1y0+b0

（2）增益校正：再令輸入端接上標(biāo)準(zhǔn)電壓,即S2閉合(S1、S3斷開(kāi)),此時(shí)有x=E,于是得到輸出為y1。同樣可得方程如下：E=b1y1+b0聯(lián)立求解上述兩個(gè)方程,即可求得誤差因子為

（3）實(shí)際測(cè)量：最后,令S3閉合（S1、S2斷開(kāi)）,此時(shí)得到輸出為y（結(jié)果）。于是,由上述已求出的誤差因子b0和b1可獲得被測(cè)量的真值為

2系統(tǒng)復(fù)雜關(guān)系建模算法

傳感器的輸出電信號(hào)與被測(cè)量之間的關(guān)系呈非比例關(guān)系（非線性）；儀器采用的測(cè)量電路是非線性的。智能儀器采用軟件算法：建模或查表建立被測(cè)量與采集數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，給出被測(cè)量傳感器或檢測(cè)電路非比例關(guān)系采用硬件校正電路實(shí)現(xiàn)比例關(guān)系按比例關(guān)系刻度或顯示傳統(tǒng)儀器的模擬表頭或數(shù)字顯示輸出結(jié)果2.1系統(tǒng)誤差的模型校正法

在某些情況下，對(duì)儀表的系統(tǒng)誤差進(jìn)行理論分析和數(shù)學(xué)處理，可以建立儀表的系統(tǒng)誤差模型，從而可以確定校正系統(tǒng)誤差的算法和表達(dá)式。

2.1.1反函數(shù)法

如果知道傳感器或檢測(cè)電路的非線性特性的解析式y(tǒng)=f(x)，則就有可能利用基于此解析式的校正函數(shù)（反函數(shù)）來(lái)進(jìn)行非線性校正。例：某測(cè)溫用熱敏電阻的阻值與溫度之間的關(guān)系為

RT為熱敏電阻在溫度為T的阻值。當(dāng)溫度在0～50℃之間：α=1.44×10-6，β=4016K2.1.2建模方法：代數(shù)插值法

插值法又稱“內(nèi)插法”。利用函數(shù)f(x)在某區(qū)間中若干點(diǎn)的函數(shù)值，作出適當(dāng)?shù)奶囟ê瘮?shù)，在這些點(diǎn)上取已知值，在區(qū)間的其他點(diǎn)上用這特定函數(shù)的值作為函數(shù)f(x)的近似值，這一法稱為插值法。如果這特定函數(shù)是多項(xiàng)式，就稱它為插值多項(xiàng)式。

最常用的多項(xiàng)式插值—性插值和拋物線插值

(1)線性插值：從一組數(shù)據(jù)（xi,yi）中選取兩個(gè)有代表性的點(diǎn)（x0,y0）和（x1,y1），然后根據(jù)插值原理，求出插值方程。

yxVi=|P1(Xi)－f(Xi)|,i=1,2,…,n–1若在x的全部取值區(qū)間[a,b]上始終有Vi＜ε(ε為允許的校正誤差)，則直線方程P1(x)=a1x+a0就是理想的校正方程。(2)拋物線插值（二階插值）：拋物線插值法的基本原理是通過(guò)特性曲線上的三個(gè)點(diǎn)作一拋物線，用它代替曲線。yxF(x)P(x)x0y0y1y2x2x1

如特性曲線y＝f(x)，用拋物線來(lái)逼近它，拋物線方程為三元一次方程，其一般形式為

y=k0+k1x+k2x2

（12-26）

式中，k0、k1、k2為待定系數(shù)，由曲線y＝f(x)的三個(gè)點(diǎn)A、B、C的三元一次方程組聯(lián)解求得。為了使計(jì)算簡(jiǎn)便，采用另外一種形式：

y=m0+m1(x-x0)+m2(x-x1)(12-27)式中，m0、m1、m2為待定系數(shù)，由A、B、C三點(diǎn)的值決定。

當(dāng)x=x0，y=y0時(shí)，有y0=m0；當(dāng)x=x1，y=y1時(shí)，有y1=m0+m1（x-x0），得

當(dāng)x=x2，y=y2時(shí)，有

，得

（12-29)

分段插值法，即把非線性曲線的整個(gè)區(qū)間劃分成若干段,將每一段用直線或拋物線去插值逼近。只要分點(diǎn)足夠多，就完全可以滿足精度要求，從而回避高階運(yùn)算，使問(wèn)題化繁為簡(jiǎn)。

分段插值法

分段插值法基本思想如下：將曲線y=f(x)分成N段，每段用一個(gè)插值多項(xiàng)式Pni(x)進(jìn)行非線性校正（i=1,2,…N）。分段基點(diǎn)的選取可按實(shí)際情況決定，既可采用等距分段法，也可采用非等距分段法。（1）等距節(jié)點(diǎn)分段插值適用于非線性特性曲率變化不大的場(chǎng)合。分段數(shù)N及插值多項(xiàng)式的次數(shù)n均取決于非線性程度和儀器的精度要求。非線性越嚴(yán)重或精度越高，則N取大些或n取大些，然后存入儀器的程序存儲(chǔ)器中。實(shí)時(shí)測(cè)量時(shí)只要先用程序判斷輸入x（即傳感器輸出數(shù)據(jù)）位于折線的哪一段，然后取出與該段對(duì)應(yīng)的多項(xiàng)式系數(shù)并按此段的插值多項(xiàng)式計(jì)算Pni(x)，就可求得到被測(cè)物理量的近似值。（2）不等距節(jié)點(diǎn)分段插值對(duì)于曲率變化大的非線性特性，若采用等距節(jié)點(diǎn)的方法進(jìn)行插值，要使最大誤差滿足精度要求，分段數(shù)N就會(huì)變得很大（因?yàn)橐话闳≤2）。這將使多項(xiàng)式的系數(shù)組數(shù)相應(yīng)增加。此時(shí)更宜采且非等距節(jié)點(diǎn)分段插值法。即在線性好的部分，節(jié)點(diǎn)間距離取大些，反之則取小些，從而使誤差達(dá)到均勻分布。

非等距插值基點(diǎn)的選取比較麻煩，但在相等精度條件下，非等距插值基點(diǎn)的數(shù)目將小于等距插值基點(diǎn)的數(shù)目，從而節(jié)省了內(nèi)存，減少了儀器的硬件投入。在處理方法的選取上，通過(guò)提高插值多項(xiàng)式的階數(shù)來(lái)提高精度的方法，遠(yuǎn)不如采用分段曲線插值法更為恰當(dāng)。分段插值的不足之處是光滑度不太高，這對(duì)某些應(yīng)用是有缺陷的。

舉例：分段直線插值設(shè)某傳感器的輸入輸出特性下圖所示。圖中,x是測(cè)量數(shù)據(jù),y是實(shí)際被測(cè)變量，分三段直線來(lái)逼近該傳感器的非線性曲線。由于曲線低端比高端陡峭，因此采用不等距分段法。

由此可寫出各端的線性差值公式為

y=k1x

當(dāng)0≤x<x1時(shí)

y1+k2(x-x1) 當(dāng)x1≤x<x2時(shí)

y2+k3(x-x2)當(dāng)x2≤x<x3時(shí)

y3

當(dāng)x≥x3時(shí)式中：

編程時(shí)將系數(shù)k1、k2、k3以及數(shù)據(jù)x1、x2、x3、y1、y2、y3分別存放在指定的ROM中。進(jìn)行校正時(shí)，先根據(jù)測(cè)量值的大小找到所在的直線段，從存儲(chǔ)器中取出該直線段的系數(shù)，然后通過(guò)計(jì)算，即可獲得實(shí)際被測(cè)值y。分段直線插值程序流程圖2.1.3建模方法之：曲線擬合法

連續(xù)函數(shù)一般采用多項(xiàng)式來(lái)進(jìn)行擬合（當(dāng)然也不排除采用解析函數(shù),如ex、lnx和三角函數(shù)等），多項(xiàng)式的階數(shù)應(yīng)根據(jù)儀器所允許的誤差來(lái)確定。一般情況下，擬合多項(xiàng)式的階數(shù)愈高，逼近的精度也就愈高。但階數(shù)的增高將使計(jì)算繁冗,運(yùn)算時(shí)間也迅速增加，因此，擬合多項(xiàng)式的階數(shù)一般采用二階或三階。

設(shè)有n+1組離散點(diǎn)：(x0,y0)，(x1,y1)，…，(xn,yn)，x∈[a，b]和未知函數(shù)f(x)，用n次多項(xiàng)式去逼近f(x)，使Pn(x)在節(jié)點(diǎn)xi處滿足系數(shù)an，…，a1，a0應(yīng)滿足方程組

用已知的（xi,yi）(i=0,1,…,n)去求解方程組，可求得ai(i=0,1,…,n)，從而得到Pn(x)。對(duì)于每一個(gè)信號(hào)的測(cè)量數(shù)值xi就可近似地實(shí)時(shí)計(jì)算出被測(cè)量yi=f(xi)≈Pn(xi)。以熱電偶的電勢(shì)與溫度之間的關(guān)系式為例，討論連續(xù)函數(shù)擬合的方法。熱電偶的溫度與輸出熱電勢(shì)之間的關(guān)系一般可用下列三階多項(xiàng)式來(lái)逼近R=a+bx+cx2+dx3x由下式導(dǎo)出

x=xr+a’+b’T0+c’T20

式中，xr是被校正量，即熱電偶輸出的電壓值。T0是使用者預(yù)置的熱電偶環(huán)境（冷端）溫度。上述公式中，系數(shù)a、b、c、d、a’、b’、c’是與熱電偶材料有關(guān)的校正參數(shù)。R=a+bx+cx2+dx3

首先求出各校正參數(shù)a、b、c、d、a’、b’、c’。然后根據(jù)測(cè)得的x值并通過(guò)運(yùn)算求出對(duì)應(yīng)的R（溫度值）。注意：多項(xiàng)式算法通常采用嵌套形式，對(duì)于一個(gè)n階多項(xiàng)式一般需要進(jìn)行次乘法。如果采用嵌套形式，只需進(jìn)行n次乘法，從而使運(yùn)算速度加快。

最小二乘法連續(xù)函數(shù)擬合自變量x與因變量y之間的單值非線性關(guān)系可由下式來(lái)逼近對(duì)于n個(gè)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)（xi，yi）（i=1，2，…，n），則可得如下n個(gè)方程

解即為aj（j=0，…，m）的最佳估計(jì)值舉例：分段拋物線擬合

若輸入輸出特性曲線很彎曲，而測(cè)量精度又要求比較高，可考慮采用多段拋物線來(lái)分段進(jìn)行插值。該曲線可以把它劃分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四段，每一段都分別用一個(gè)二階拋物線方程以下方程來(lái)描述y=aix+2+bix+ci(i=1,2,3,4）其中，拋物線方程的系數(shù)ai、bi和ci可以通過(guò)下述方法獲得：每一段找出三個(gè)，即點(diǎn)xi1、xi1和xi（含兩分段點(diǎn)）,例如在線段Ⅰ中找出x0、x11和x1及對(duì)應(yīng)的y0、y11和y1，在線段Ⅱ中找出x1、x21和x2點(diǎn)及對(duì)應(yīng)的y值y1、y21和y2等。

yi-1=aix2i-1+bixi-1+ci

yi1=aix2i1+bixi1+ci

yi=aix2i+bixi+ci求出的系數(shù)ai、bi、ci與x0、x1、x2、x3、x4值一起存放在指定的ROM中。進(jìn)行校正時(shí)，先根據(jù)測(cè)量值x的大小找到所在分段,再?gòu)拇鎯?chǔ)器中取出對(duì)應(yīng)段的系數(shù)ai、bi、ci最后運(yùn)用公式y(tǒng)=ai

x2+bi

x+ci去進(jìn)行計(jì)算就可得到y(tǒng)值。

圖2-15分段拋物線擬合程序流程圖2.2系統(tǒng)誤差的標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)校正法

當(dāng)難以進(jìn)行恰當(dāng)?shù)睦碚摲治鰰r(shí)，未必能建立合適的誤差校正模型。但此時(shí)可以通過(guò)實(shí)驗(yàn)，即用實(shí)驗(yàn)手段獲得校正數(shù)據(jù)，然后把校正數(shù)據(jù)以表格形式存入內(nèi)存。實(shí)時(shí)測(cè)量中，通過(guò)查表來(lái)求得修正的測(cè)量結(jié)果。

利用校準(zhǔn)曲線通過(guò)查表法修正系統(tǒng)誤差

在較復(fù)雜的儀器中，對(duì)較多的誤差來(lái)源往往不能充分的了解，因此難以建立適當(dāng)?shù)恼`差模型。這時(shí)可通過(guò)實(shí)驗(yàn)，即通過(guò)實(shí)際校準(zhǔn)求得測(cè)量的校準(zhǔn)曲線，然后將曲線上各校準(zhǔn)點(diǎn)的數(shù)據(jù)存入存儲(chǔ)器的校準(zhǔn)表格中，在以后的實(shí)際測(cè)量中，通過(guò)查表求得修正了的測(cè)量結(jié)果。

校準(zhǔn)過(guò)程（1）在儀器的輸入端逐次加入輸入量x1，x2，…xn，并得到實(shí)際測(cè)量結(jié)果y1，y2，…yn。（2）將實(shí)際測(cè)量得到的這些yn值作為存儲(chǔ)器中的一個(gè)地址，把對(duì)應(yīng)的xn值作為內(nèi)容存入其中，從而建立校準(zhǔn)表格。（3）在實(shí)際測(cè)量時(shí)測(cè)得一個(gè)yn值，就去訪問(wèn)這個(gè)地址yn，讀出其內(nèi)容xn，此xn即為被測(cè)量經(jīng)修正過(guò)的值。（4）對(duì)于y值介于某兩個(gè)校準(zhǔn)點(diǎn)yn和yn+1之間時(shí)，可按最鄰近的一個(gè)值yn或yn+1去查找對(duì)應(yīng)的x值作為最后結(jié)果，那么這個(gè)結(jié)果將帶有一定的殘余誤差。

殘差分析在任意兩個(gè)校準(zhǔn)點(diǎn)之間的校準(zhǔn)曲線段，可以近似地看成是一段直線段，設(shè)這段直線的斜率為s=dx/dy，(注意，校正時(shí)y是自變量，x是函數(shù)值)，校準(zhǔn)曲線的最大斜率為sm，由圖(b)可見(jiàn)，可能引起的最大殘余誤差為

Δx=smΔy其中Δy=yn+1-yn若考慮取雙向誤差，殘余誤差的絕對(duì)值可減小一半，即為

±Δx=±smΔy/2設(shè)Y為y的量程，校準(zhǔn)時(shí)取恒等間隔的N個(gè)校準(zhǔn)點(diǎn)，即

yn+1-yn=Δy=Y/N

于是得Δx=smY/2N

此外，還應(yīng)考慮到數(shù)據(jù)字長(zhǎng)有限引起的誤差，假定字長(zhǎng)為B位2進(jìn)制數(shù)，由此造成的誤差將為數(shù)據(jù)字長(zhǎng)的最低位的一半，即

這里Ｘ是x的量程，于是實(shí)際總誤差應(yīng)為校準(zhǔn)表所占的存儲(chǔ)空間為：M=N×Ｂ位M盡可能小以節(jié)約存儲(chǔ)器。可得令dM/dB=0，有從而得最小存儲(chǔ)空間為：式中S=X/Y。

存儲(chǔ)空間分析（1）實(shí)測(cè)值介于兩個(gè)校正點(diǎn)之間時(shí)，若僅是直接查表，則只能按其最接近查找，這顯然會(huì)引入一定的誤差。（2）可進(jìn)行如下誤差估計(jì)，設(shè)兩校正點(diǎn)間的校正曲線為一直線段，其斜率S=△X／△Y，并設(shè)最大斜率為Sm，可能的最大誤差為△Xm=Sm△Y，設(shè)Y的量程為Ym，校正時(shí)取等間隔的N個(gè)校正點(diǎn)，則△Xm=SmY/N（3）點(diǎn)數(shù)越多，字長(zhǎng)越長(zhǎng)，則精度越高，但是點(diǎn)數(shù)增多和字節(jié)變長(zhǎng)都將大幅度增加存儲(chǔ)