第一節(jié)矩陣的初等變換

第一節(jié)矩陣的初等變換第一頁，共二十三頁，2022年，8月28日

本章先討論矩陣的初等變換，建立矩陣的秩的概念,并提出求秩的有效方法．再利用矩陣的秩反過來研究齊次線性方程組有非零解的充分必要條件和非齊次線性方程組有解的充分必要條件，并介紹用初等變換解線性方程組的方法．內(nèi)容豐富，難度較大.第二頁，共二十三頁，2022年，8月28日引例一、消元法解線性方程組求解線性方程組分析：用消元法解下列方程組的過程．第三頁，共二十三頁，2022年，8月28日解第四頁，共二十三頁，2022年，8月28日用“回代”的方法求出解：第五頁，共二十三頁，2022年，8月28日于是解得（2）第六頁，共二十三頁，2022年，8月28日小結(jié)：1．上述解方程組的方法稱為消元法．2．始終把方程組看作一個(gè)整體變形，用到如下三種變換（1）交換方程次序；（2）以不等于０的數(shù)乘某個(gè)方程；（3）一個(gè)方程加上另一個(gè)方程的k倍．（與相互替換）（以替換）（以替換）第七頁，共二十三頁，2022年，8月28日3．上述三種變換都是可逆的．由于三種變換都是可逆的，所以變換前的方程組與變換后的方程組是同解的．故這三種變換是同解變換．第八頁，共二十三頁，2022年，8月28日因?yàn)樵谏鲜鲎儞Q過程中，僅僅只對方程組的系數(shù)和常數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，未知量并未參與運(yùn)算．若記則對方程組的變換完全可以轉(zhuǎn)換為對矩陣B(方程組（1）的增廣矩陣）的變換．第九頁，共二十三頁，2022年，8月28日定義1下面三種變換稱為矩陣的初等行變換:二、矩陣的初等變換第十頁，共二十三頁，2022年，8月28日定義2矩陣的初等列變換與初等行變換統(tǒng)稱為初等變換．

初等變換的逆變換仍為初等變換,且變換類型相同．同理可定義矩陣的初等列變換(所用記號是把“r”換成“c”)．逆變換逆變換逆變換第十一頁，共二十三頁，2022年，8月28日等價(jià)關(guān)系的性質(zhì)：具有上述三條性質(zhì)的關(guān)系稱為等價(jià)．例如，兩個(gè)線性方程組同解，就稱這兩個(gè)線性方程組等價(jià)第十二頁，共二十三頁，2022年，8月28日用矩陣的初等行變換解方程組（1）：第十三頁，共二十三頁，2022年，8月28日第十四頁，共二十三頁，2022年，8月28日第十五頁，共二十三頁，2022年，8月28日第十六頁，共二十三頁，2022年，8月28日特點(diǎn)：（1）、可劃出一條階梯線，線的下方全為零；（2）、每個(gè)臺(tái)階只有一行，臺(tái)階數(shù)即是非零行的行數(shù)，階梯線的豎線后面的第一個(gè)元素為非零元，即非零行的第一個(gè)非零元．第十七頁，共二十三頁，2022年，8月28日注意：行最簡形矩陣是由方程組唯一確定的，行階梯形矩陣的行數(shù)也是由方程組唯一確定的．

行最簡形矩陣再經(jīng)過初等列變換，可化成標(biāo)準(zhǔn)形．第十八頁，共二十三頁，2022年，8月28日例如，第十九頁，共二十三頁，2022年，8月28日特點(diǎn)：所有與矩陣等價(jià)的矩陣組成的一個(gè)集合，稱為一個(gè)等價(jià)類，標(biāo)準(zhǔn)形是這個(gè)等價(jià)類中最簡單的矩陣.第二十頁，共二十三頁，2022年，8月28日三、小結(jié)1.初等行(列)變換初等變換的逆變換仍為初等變換,且變換類型相同．3.矩陣等價(jià)具有的性質(zhì)2.初等變換第二十一頁，共二十三頁，2022年，8月28日思考題已知四元齊次方程組及另