第三章 電路定理

第三章電路定理第一頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日第一節(jié)疊加定理一．定理陳述及其解釋性證明1．定理陳述：在線(xiàn)性電路中，任一支路的電流或電壓是電路中各個(gè)獨(dú)立源(激勵(lì))分別作用時(shí)在該支路中產(chǎn)生的電流或電壓的代數(shù)和。

aR1R3+

US1

-

I1IS2-US3+Ua、I1與各個(gè)激勵(lì)關(guān)系第二頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日疊加定理R1R3I1′＋US1－aUS1單獨(dú)作用時(shí)(IS2不作用時(shí)開(kāi)路，US3不作用時(shí)短路)：R1R3IS2I1″IS2單獨(dú)作用時(shí):US3單獨(dú)作用時(shí)：R1R3-

US3+I1'''顯然有第三頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日疊加原理證明２．解釋性證明：

線(xiàn)性電路獨(dú)立變量方程是線(xiàn)性代數(shù)方程，其方程右端項(xiàng)與各電源成正比，由克萊姆法則知獨(dú)立變量與各電源成正比，再由支路VAR可知各支路u、i亦與各電源成正比。二．疊加定理注意點(diǎn)

1、疊加定理是線(xiàn)性電路疊加特性的概括表征。

2、若uS不作用，則短接之，若iS不作用，則開(kāi)路之；而受控源不是激勵(lì)，即作圖分解時(shí)受控源始終保留在電路中，此外，定理中“各個(gè)獨(dú)立源”可換為“各組獨(dú)立源”(分組疊加)。Ua=K1US1+K2IS2+K3US3

3、對(duì)非線(xiàn)性電路不適用。4、要注意電壓或電流的參考方向（代數(shù)和）。第四頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日6、只適用于線(xiàn)性電路中求解電壓與電流響應(yīng)，而不能用來(lái)計(jì)算功率。這是由于只有線(xiàn)性電路中的電壓或電流才是激勵(lì)的一次函數(shù)，而功率與激勵(lì)不再是一次函數(shù)關(guān)系。求“代數(shù)和”時(shí)要注意各電壓或電流的參考方向。

7、當(dāng)線(xiàn)性電路只有一個(gè)激勵(lì)時(shí)，則激勵(lì)擴(kuò)大k倍，任意支路的響應(yīng)也擴(kuò)大k倍。這稱(chēng)為線(xiàn)性電路的齊次性。實(shí)際上：線(xiàn)性性質(zhì)包括疊加性(可加性)和齊次性(比例性，均勻性)。5、疊加時(shí)，電路的連接以及電路中所有的元件（除不作用的獨(dú)立源）都不允許更動(dòng)。第五頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日

求圖(a)中的uab

、i1。(b)6Ω3Ω1Ω3Ai1′ab

解：采用“分組疊加”方法①3A電流源單獨(dú)作用時(shí)（圖(b)）②其它獨(dú)立源共同作用時(shí)（圖(c)）(a)6Ω3Ω1Ω-6V

++12V-2A3Ai1ab例1(c)6Ω3Ω1Ω-6V

++12V-2Ai1″ab第六頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日?qǐng)D示電路中NS為有源線(xiàn)性三端口網(wǎng)絡(luò)，已知：IS1=8A、US2=10V時(shí)，UX=10V；IS1=–8A、US2=–6V時(shí)，UX=–22V；IS1=US2=0時(shí)，UX=2V；試求：IS1=2A、US2=4V時(shí)，UX=？

＋UX

－IS1

＋US2

－NS解：用“待定系數(shù)法”求解：設(shè)UX=K1IS1+K2US2+K3

其中K3為NS內(nèi)部所有獨(dú)立源對(duì)UX

所產(chǎn)生的貢獻(xiàn)。若為無(wú)源線(xiàn)性網(wǎng)絡(luò)，則不考慮內(nèi)部電源的作用.例2第七頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日第二節(jié)替代定理(置換定理)一．定理陳述：在給定的線(xiàn)性或非線(xiàn)性電路中，若已知第k條支路的電壓uk和電流ik

，且該支路不含有受控源或受控源的控制量，則該支路可以用下列任何一種元件來(lái)替代：⑴uS=uk的電壓源；⑵iS

=ik的電流源；⑶若pk吸＞0，則可替代為Rk=|uk／ik

|的電阻。若替代前后電路均具有唯一解，則替代后電路中各支路的電壓與電流均保持為原值。2）替代前后電路均具有唯一解，因此替代后①u(mài)k

不變；②其它各支路的電壓、電流不變。1）設(shè)第k條支路用iS

=ik

來(lái)替代，則替代前后①ik不變；②其它支路VAR未變；③KCL、KVL未變；二．定理證明第八頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日

這相當(dāng)于數(shù)學(xué)上將具有唯一解的一組方程中的某一未知量用其解答代替，不會(huì)引起方程中其它任何未知量的解答在量值上有所改變。

三．定理應(yīng)用說(shuō)明：1、實(shí)際上，某一支路的電壓和電流不一定全要知道，才能用替代定理，而是知道其中之一，就可用相應(yīng)的元件去替代。如：已知uk，則可用電壓為uk的獨(dú)立源來(lái)置換該支路的元件。2、電壓源的極性和電流源的方向必須和原網(wǎng)絡(luò)中的被替代量一致。第九頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日替代定理應(yīng)用大網(wǎng)絡(luò)的“撕裂”：

i2BCAi1Ai2i1Bi1i2C

①替代定理推廣用于二端網(wǎng)絡(luò)時(shí)，要求該二端網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部某部分電壓或電流不能是外部受控源的控制量。②某些線(xiàn)性電路問(wèn)題的解決(如定理的證明);③具有唯一解非線(xiàn)性電路問(wèn)題的簡(jiǎn)化分析。i+u-Ni+u-N④是測(cè)試或試驗(yàn)中采用假負(fù)載的理論依據(jù)。第十頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日作業(yè)：3-1，Δ3-3，3-5第十一頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日

課前練習(xí)題圖示電路,求電壓U。解法1:疊加定理U''=-6V6Ω6Ω＋18V

－3A3Ω+U-3ΩU'=12V

6Ω6Ω3A3Ω+U''-3Ω6Ω6Ω＋18V

－3Ω+U'-3Ω6Ω6Ω3A3Ω+U''-3Ω解法2:節(jié)點(diǎn)法U=U'+U''=6V第十二頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日一端口網(wǎng)絡(luò)——兩個(gè)端鈕電流相等的二端網(wǎng)絡(luò)無(wú)源一端口網(wǎng)絡(luò)（無(wú)源二端網(wǎng)絡(luò)）第三節(jié)戴維南定理與諾頓定理3Ω6Ω4Ω2A+24V-ab(a)-8V+3Ω6Ω4Ω4Aab(b)abR6Ω+16V-ab(c)？含源一端口網(wǎng)絡(luò)（有源二端網(wǎng)絡(luò)）ab含源ab無(wú)源第十三頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日Ri

──NS

的“除源電阻”是指將NS內(nèi)所有的獨(dú)立源令為零(將uS短路，將iS開(kāi)路)時(shí)的入端電阻(除源后的一端口用N0表示)。NSi+u-外電路(a)uOC──NS

端口的開(kāi)路電壓

1．定理陳述：任何一個(gè)含獨(dú)立源、線(xiàn)性電阻、線(xiàn)性受控源的一端口網(wǎng)絡(luò)NS

，對(duì)于外電路來(lái)說(shuō)都可以等效成為有伴電壓源(uOC

與Ri

的串聯(lián)組合)，其中：一．戴維南定理i+u-外電路(b)Ri+uoc–第十四頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日2.定理證明：開(kāi)路NS

+u'=uOC

-NOi+u"-

iNSi+u-

i替代定理

u=u'+u''=uOC

-

Ri

i

定理證畢

兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)若在端口處的VCR相同，則兩者對(duì)外電路而言是等效的。(b)i+u-外電路Ri+uoc–NSi+u-外電路(a)Rii

+u"=－Rii-

i第十五頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日二．諾頓定理

任何一個(gè)含獨(dú)立源、線(xiàn)性電阻、線(xiàn)性受控源的一端口網(wǎng)絡(luò)NS，對(duì)于外電路來(lái)說(shuō)都可以等效成為有伴電流源(iSC與Gi的并聯(lián)組合)，其中：iSC

──NS端口的短路電流；iSC

方向由u的“+極”沿外電路至“-

極”！

Gi

=1／Ri──NS的“除源電導(dǎo)”

先將NS等效為戴維南等效電路，再用有伴電源等效變換即證。由等效關(guān)系可知：iSC=i|u=0=uOC／Ri

NSi+u-外電路(a)iiSC外電路(b)+u–Gi1．定理2．證明第十六頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日三．戴維南等效電路或諾頓等效電路的求法方法一(若除源后N0為簡(jiǎn)單純電阻電路)：①求uOC

、iSC二者之一，其中：uOC

─

令端口i=0(開(kāi)路)

iSC

──令端口u=0(短路)②對(duì)除源網(wǎng)絡(luò)N0(簡(jiǎn)單純電阻電路)用串、并聯(lián)的方法求出Ri

．方法二：同時(shí)求出uOC

、i

SC

則：Ri=uOC

／iSC但當(dāng)uOC

=0時(shí)，iSC

也為零，此時(shí)就不能用上式求Ri

第十七頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日方法三(一步法或激勵(lì)－響應(yīng)法)：直接對(duì)NS求解端口的VAR，若求得為u’

=A+Bi’

則由戴維南等效電路知：uOC=A，Ri=B（當(dāng)求uOC或iSC的電路仍然較復(fù)雜時(shí)用此法的計(jì)算量最少）

方法四：實(shí)驗(yàn)測(cè)量法（限于直流電路）+U

R-

+UOC

-

RiI①測(cè)開(kāi)路電壓UOC

；②允許短路時(shí)測(cè)ISC

，則Ri

=UOC／ISC;否則用R作為外電路并測(cè)其U、I，此時(shí)NSi'+u'-

+uS

-

第十八頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日

試分別求當(dāng)負(fù)載電阻RL為7Ω和11Ω時(shí)電流I之值

。解：特點(diǎn)─求解量均在RL支路(a圖)。最好選用戴維南定理（或諾頓定理）求解：①求UOC

用回路法(b圖)②對(duì)除源后的簡(jiǎn)單電阻電路用串并聯(lián)的方法求Ri3Ω20Ω4Ω8ΩRL-16V+1AIab(a)32I1-20×1=16得I1=9／8AUOC=–8I1+16–3×1=4V3Ω20Ω4Ω8ΩabRi(c)ab(b)3Ω20Ω4Ω8Ω-16V+1A1AI1+UOC

-例1第十九頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日③由戴維南等效電路求I

IRL＋4V－

9Ω此解法簡(jiǎn)單！第二十頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日求圖(a)電路的最簡(jiǎn)等效電路。

②除源（受控源不得除去）求Ri（圖b）消去非端口變量I1得：Ri=15Ω+20V-15Ωa+U-bI解法一：求UOC、Ri①I(mǎi)=0

求UOC

（圖a）5Ω10Ω5Ω1Ω+12V-2I1I1Ia+U-b(a)I1I15Ω10Ω5Ω1Ω2I1I1Ia+U-b(b)例2第二十一頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日解法二：同時(shí)求UOC與ISC①UOC的求法同解法一（UOC=20V）②求ISC

注意控制量I1在不同狀態(tài)時(shí)的變化：短路時(shí)I1=2／3A開(kāi)路時(shí)I1=2A5Ω10Ω5Ω1Ω+12V-2I1I1I(c)ISC5Ω10Ω5Ω1Ω+12V-I1I-10I1+ISCI0ISC

16I0-10ISC=12+10I1

-10I0+15ISC=0I1=I0-ISC網(wǎng)孔法+20V-15Ωa+U-bI第二十二頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日解法四：先等效變換化簡(jiǎn)再求解（略）.I1=(-5I+U)／10=0.1U-0.5I

I2=I1+I

=0.1U+0.5I

I3=2I1–I2=0.1U-1.5I

U=5I＋5I2–I3+12解法三：一步法（直接求端口VAR）5Ω10Ω5Ω1Ω+12V-2I1I1Ia+U-b(a)I2I3+20V-15Ωa+U-bIU=5I+0.5U+2.5I-0.1U+1.5I+12U=20+15I

第二十三頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日注意點(diǎn)：

1、對(duì)端鈕處等效，即對(duì)外電路等效。

2、含源一端口網(wǎng)絡(luò)一定是線(xiàn)性網(wǎng)絡(luò)。

3、開(kāi)路電壓uOC與端電壓u不同，要注意等效電壓源uOC的參考極性。

4、外電路為任意（線(xiàn)性、非線(xiàn)性、有源、無(wú)源、支路或部分網(wǎng)絡(luò)均可）。

5、若含源一端口網(wǎng)絡(luò)NS內(nèi)具有受控源時(shí)，這些受控源只能受NS內(nèi)部（包括端口）有關(guān)電壓或電流控制，而NS內(nèi)部的電壓或電流也不能作為外電路中受控源的控制量。即NS與外電路之間一般應(yīng)沒(méi)有耦合關(guān)系。第二十四頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日第四節(jié)最大功率傳輸定理一．最大功率傳輸定理Ia+U－

RLbNS問(wèn)題：如圖RL=?時(shí)，NS傳給RL的PRL=Pmax=?得RL=Ri，此時(shí)RL可獲得Pmax匹配求解：戴維南等效電路如圖則有：最大功率傳輸定理

I

a+U-

RLb+UOC-Ri第二十五頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日若用諾頓等效電路通常UOC

發(fā)出的功率并不等于NS

中原來(lái)電源所發(fā)出的功率，匹配時(shí)的效率并不高，對(duì)UOC來(lái)講，η只有50％。因此，對(duì)于強(qiáng)電而言，不能工作在匹配狀態(tài)；但對(duì)弱信號(hào)的傳輸，往往就需要實(shí)現(xiàn)最大功率傳輸。RiRLISC第二十六頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日求RL=?時(shí),PRL吸=Pmax=?解：先進(jìn)行戴維南等效例RL

20Ω20Ω10Ω

2A11'+

15V

-

+

5V

-

iRi+

UOC

-

RL11'

i第二十七頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日作業(yè)：3-7(a)、(c)、(d)，Δ3-8，Δ3-9，3-9第二十八頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日（2）

解：（1）練習(xí)題

圖所示電路。求:（1）RL為何值時(shí)它可獲得最大功率，并求此最大功率Pmax;（2）若RL=2Ω,再求RL消耗的功率。RL6Ω3Ω4Ω

2Aab+

12V

-

第二十九頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日第五節(jié)特勒根定理

對(duì)于一個(gè)具有n個(gè)節(jié)點(diǎn)和b條支路的電路，若其第k條支路的電壓uk

、電流ik取為關(guān)聯(lián)方向（k=1,2,…，b），則恒有：考慮n=4、b=6的電路如圖，各支路只用線(xiàn)段表示，線(xiàn)段的方向表示電壓（或電流）的參考方向，并令0為參考節(jié)點(diǎn)，則：4①2②3③1560證明：一、特勒根定理１第三十頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日原式=un1i1+(un1-un2)

i2+(un2-un3)

i3+(un1-un3)

i4+un2i5+un3i6=

un1(i1+i2+i4)+un2(-i2+i3+i5)+un3(-i3–i4+i6)=un1·0+un2·0+un3·0=0對(duì)任何具有n個(gè)節(jié)點(diǎn)和b條支路的集總電路，均可證明上式成立！

物理意義：功率守恒4①2②3③1560第三十一頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日對(duì)于兩個(gè)具有n個(gè)節(jié)點(diǎn)和b條支路的電路N和N^

，若它們的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)（圖）相同，設(shè)N與N^

的對(duì)應(yīng)支路編號(hào)一致，所取關(guān)聯(lián)方向相同，如支路電流與電壓分別記為(i1，i2，…，ib)、(u1，u2，…，ub)和(i^1，i^2，…，i^b)、(u^1，u^2，…，u^b)，則恒有：

特勒根定理２同樣適用于任何集總參數(shù)電路，物理意義為似功率守恒定理證明在書(shū)上P77～78頁(yè)，請(qǐng)自學(xué)！二．特勒根定理有時(shí)兩個(gè)電路結(jié)構(gòu)并不完全相同，可用開(kāi)路或短路來(lái)替代或填補(bǔ)某些支路。第三十二頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日第六節(jié)互易定理若線(xiàn)性電路只有一個(gè)激勵(lì)，則該激勵(lì)與電路中某個(gè)響應(yīng)的位置互換后，其激勵(lì)與響應(yīng)的關(guān)系保持不變（共有三種形式）：+uS-

i1i2+u2=0

-

NR+u1-

122'2+uS

-

122'2+u1=0-

+u2

-

i1i2NR“互易”─設(shè)共有b條支路，則由特勒根定理2證明一、互易定理的第一種形式設(shè)NR為同一僅含線(xiàn)性電阻的網(wǎng)絡(luò)：則

=

i2

即恒壓源與短路電流響應(yīng)可互易第三十三頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日又因+uS-

i1i2+u2=0

-

NR+u1-

122'2+uS

-

122'2+u1=0-

+u2

-

i1i2NR第三十四頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日

i1

i2+u2

-

NR+u1-

122'1'iS

i1

i2+u2-

NR+u1

-

122'1'iS此時(shí)將，代入式（*）設(shè)下列兩圖中NR為同一僅含線(xiàn)性電阻的網(wǎng)絡(luò)，則

(恒流源與開(kāi)路電壓響應(yīng)可互易)二．互易定理的第二種形式證明：第三十五頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日設(shè)下列兩圖中NR為同一僅含線(xiàn)性電阻的網(wǎng)絡(luò)，若

uS=iS(量值上)，則(量值上)。

i1

i2+u2=0

-

+u1-

122'2iS

NR2'2

i1=0

i2+u2-

NR+u1-

12＋uS－此時(shí)將；代入式（*）

三．互易定理的第三種形式證明：第三十六頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日四、互易定理應(yīng)用時(shí)的幾點(diǎn)說(shuō)明①式（*）是互易定理三種形式的統(tǒng)一表達(dá)式，用各種互易定理解題時(shí)，可統(tǒng)一使用它，但根據(jù)其證明中使用了特勒根定理，就要求這些端口變量取關(guān)聯(lián)參考方向（對(duì)NR以外的端口支路而言）。此外，若NR的激勵(lì)端口與響應(yīng)端口的總和超過(guò)２，則該式可作相應(yīng)的推廣。②網(wǎng)絡(luò)互易條件是兩網(wǎng)絡(luò)為同一純電阻網(wǎng)絡(luò)NR

，這只是網(wǎng)絡(luò)互易的充分條件。若網(wǎng)絡(luò)中還含有受控源，則有時(shí)互易?、垌憫?yīng)與激勵(lì)位置互換后，NR內(nèi)部支路的電壓、電流一般會(huì)改變。第三十七頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日＋10V－121'2'i1i2=0NR2A＋5V－＋u2－2A5Ω＋u1－

i1

i2121'2'NR例．如圖，求

。解法一：直接用(*)式來(lái)解

解法二：

15Ω1’+UOC-Ri=5Ω第三十八頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日第七節(jié)對(duì)偶原理

在電路分析中，發(fā)現(xiàn)有些關(guān)系式、物理量及電路是成對(duì)出現(xiàn)的，它們之間存在著一種明顯的類(lèi)比關(guān)系。例如：

歐姆定律的兩種形式關(guān)聯(lián)參考方向：u=Ri，i=Gu通過(guò)對(duì)應(yīng)元素（對(duì)偶元素）互換后又能彼此轉(zhuǎn)換，這種類(lèi)比的性質(zhì)就稱(chēng)對(duì)偶性，即對(duì)偶原理。第三十九頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日對(duì)偶變量對(duì)偶關(guān)系式對(duì)偶元素分壓公式—

分流公式對(duì)偶關(guān)系串聯(lián)—并聯(lián)i=GuψL=LiL

u=RiqC

=CuC

對(duì)偶方法節(jié)點(diǎn)法—網(wǎng)孔法節(jié)點(diǎn)自電導(dǎo)網(wǎng)孔自電阻有伴電壓源有伴電流源戴維南定理—諾頓定理R—GL—CuS—

iS節(jié)點(diǎn)—網(wǎng)孔串聯(lián)—

并聯(lián)開(kāi)路

—短路串聯(lián)—并聯(lián)……u—iq—

ψu(yù)OC

—i

SC

……第四十頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日

R1

R3+uS1-il1

R2il2+uS3-①②G2G1G3iS1iS3互為對(duì)偶的電路例如：必須注意，“對(duì)偶”和“等效”是兩個(gè)不同的概念，不可混淆。根據(jù)對(duì)偶原理，如果導(dǎo)出了電路某一個(gè)關(guān)系式或結(jié)論，就等于解決了與之對(duì)偶的另一個(gè)關(guān)系式或結(jié)論。

由此及彼，舉一反三。第四十一頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日例1、圖示電路。求兩電源的功率，并分別說(shuō)明電源在電路中的作用？

解：

習(xí)題課一直流電路2Ω1Ω5A+4V-4Ω4Ω①+us-iS2Ω1Ω5A+4V-4Ω4Ω第四十二頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日例2、圖所示含運(yùn)算放大器電路，求輸出電流IO

。解：注意：+-2V+

+

￥

-10kΩ4kΩIO4kΩ5kΩ第四十三頁(yè)，共五十頁(yè)，