第三章第二節(jié)函數的單調性與極值

第三章第二節(jié)函數的單調性與極值第一頁，共二十六頁，2022年，8月28日一、函數的單調性從幾何圖形上來分析abxyo都是銳角，即斜率是上升的。如果曲線在內所有切線的傾斜角時，那么曲線在第二頁，共二十六頁，2022年，8月28日可見，函數的單調性可以用導數的符號來判定。aboyx同樣，當時，曲線在內是下降。我們有如下定理：第三頁，共二十六頁，2022年，8月28日定理1設函數在上連續(xù)，在區(qū)間內可導，（1）如果在內，則在上單調增加；上單調減少。（2）如果在內，則在注意：（1）將定理中的閉區(qū)間換成其他各種區(qū)間定理的結論仍成立。第四頁，共二十六頁，2022年，8月28日單調增加的充分條件，而不是必要條件。（2）在內，只是在上考察函數，但等號只在個別處成立，（3）如果在區(qū)間內（或）仍是單調增加（或單調減少）的。則函數在上考察函數第五頁，共二十六頁，2022年，8月28日例1判定函數的單調性。解的定義域是。在區(qū)間和都有，只有當時，，所以在內單調減少。例2求函數的單調區(qū)間。解的定義域是第六頁，共二十六頁，2022年，8月28日令，得，它們將定義域當時，當時，。所以的單調增加區(qū)間是和；單調遞減區(qū)間是例3確定函數的單調區(qū)間。解的定義域是分成三個區(qū)間第七頁，共二十六頁，2022年，8月28日令，得，又處導數不存在，，這兩點將分成三個區(qū)間，列表分析在各個區(qū)間的符號：由表可知，的單調增加區(qū)間為和，單調減少區(qū)間為。第八頁，共二十六頁，2022年，8月28日二、函數的極值設函數在點的某鄰域內有定義，1定義（1）如果對該領域內的任意點，都有，則稱是的極大值，稱是的極大值點。（2）如果對該領域內的任意點，都有，則稱是的極小值，稱是的極小值點。第九頁，共二十六頁，2022年，8月28日函數的極大值和極小值統稱為極值，極大值點和極小致點統稱為極值點。注意：極值是局部性的。因而，函數可以有許多個極大值和極小值，并且極大值不一定大于極小值。oxy第十頁，共二十六頁，2022年，8月28日2極值存在的必要條件和充分條件定理2（極值的必要條件）如果函數在點處可導，且在點取得極值，則。定理2指出：可導函數的極值點必定是駐點。使的點稱為函數得駐點。反過來，駐點不一定是極值點?？疾旌瘮盗硪环矫?，函數不可導的點也可能是極值點?？疾旌瘮档谑豁?，共二十六頁，2022年，8月28日定理3（極值的第一充分條件）設函數在點連續(xù)，且在點的某一空心鄰域內可導。（1）如果在內，在內，則函數在點處取極大值；（2）如果在內，在內，則函數在點處取極小值；（3）如果在和內不變號，則在處無極值。第十二頁，共二十六頁，2022年，8月28日定理3即：設在點的某一空心鄰域內可導，當有小增大經過時，如果由正變負，則是極大值點；如果由負變正，極小值點；如果則是不變號，則不是極值點。例4求函數的極值。

解的定義域是令，得駐點。當時，當時，第十三頁，共二十六頁，2022年，8月28日當時，。在處取得極小值例5求函數的極值。

解

的定義域是令，得駐點，而時不存在。由定理3知，在處取得極大值。第十四頁，共二十六頁，2022年，8月28日因此函數只可能在這兩點取得極值，列表討論如下：極大值1極小值不存在由表可知，在處取得極大值，在處取得極小值。函數的圖形如圖第十五頁，共二十六頁，2022年，8月28日函數在駐點處二階導數存在時，還可以用函數的二階導數判定函數是否有極值。01x1y定理4（極值的第二充分條件）設函數在點處有二階導數，且，，則（1）如果，則在取得極大值；（2）如果，則在取得極小值。第十六頁，共二十六頁，2022年，8月28日例6求函數的極值。解的定義域是令，得到兩個駐點。由定理4可知，都是的極小值點，為函數的極小值。又第十七頁，共二十六頁，2022年，8月28日函數的極值是局部性概念，而最值是一個全局性概念。可以由駐點及導數不存在的點與區(qū)間端點的函數值相比較，其中最大的就是函數在上的最大值，最小的就是函數在上的最小值。注意下述三種情況：（1）如果在上是單調函數；三、函數的最值1閉區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函數第十八頁，共二十六頁，2022年，8月28日（2）如果連續(xù)函數在某區(qū)間內只有一個極大（?。┲担鵁o極?。ù螅┲?；（3）在實際問題中，由問題的實際意義可知，確實存在最大值或最小值，又若函數在所討論的區(qū)間內只有一個可能的極值點，則該點處的函數值一定是最大值或最小值。例7求函數在區(qū)間上的最大值與最小值。解第十九頁，共二十六頁，2022年，8月28日比較可知，在上最大值為，最小值為例9將邊長為a的一塊正方形鐵皮，四角各截去一各大小相同的小正方形，然后將四邊折起做成一個無蓋的方盒。問截去的小正方形邊長為多大時，所得方盒的容積最大？解如圖設小正方形的邊長為x，則盒底的邊長為得駐點:令，第二十頁，共二十六頁，2022年，8月28日令，得（舍去）。又所以函數在處取得唯一極大值，此極大值就是最大值。因此，當截去的正方形的邊長等于所給正方形鐵皮邊長的時，所做的方盒容積最大。ax方盒的容積為：第二十一頁，共二十六頁，2022年，8月28日例10制作一個容積為的圓柱形密閉容器，怎樣設計才能使所用材料最??？

解如圖，設容器的底面半徑為，高為，則表面積為所以令，得駐點hr由已知得故第二十二頁，共二十六頁，2022年，8月28日所以，所做容器的高和底直徑相等時，所用材料最省。例11一工廠A與鐵路的垂直距離為，垂足B到火車站C的鐵路長為，要在BC段上選一點M向工廠修一條公路，已知鐵路與公路每公里運費之比為3：5，問M選在離C多少公里處，才能使從A到C的運費最少？S有唯一駐點，而實際容器存在最小表面積，因此求得的駐點為最小值點，此時第二十三頁，共二十六頁，2022年，8月28日解設,則設鐵路、公路上每公里運費分別為從A到C需要的總運費為，則令，得（舍去）。因為第二十四頁，共二十六頁，2022年，8月28日是在區(qū)間[0,b]上的唯一駐點，而實際問題中存在最小值，因而是最小值點，因此，M選在離C點距離為處時總運費最省。例12工廠生產某產品，當年產量為x（單位：百臺）時，總成本