第七章 圓軸的扭轉(zhuǎn)

第七章圓軸的扭轉(zhuǎn)第一頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日7.1工程中的扭轉(zhuǎn)問(wèn)題在第五章中我們已經(jīng)討論了桿件受軸向載荷作用時(shí)，桿件發(fā)生軸向拉伸或壓縮變形，桿件的橫截面上產(chǎn)生拉或壓的軸力，橫截面上的點(diǎn)受到軸向的正應(yīng)力。在這一章中我們將討論另一類(lèi)基本變形—扭轉(zhuǎn)變形。當(dāng)一根直桿受到繞桿的軸線(xiàn)轉(zhuǎn)動(dòng)的力偶作用時(shí)，桿會(huì)發(fā)生扭曲，即桿的截面發(fā)生繞軸線(xiàn)轉(zhuǎn)動(dòng)的扭轉(zhuǎn)變形。例如當(dāng)你要擰緊一個(gè)木螺絲時(shí)(見(jiàn)圖7-1a)，你在螺絲批的把手上作用了一個(gè)力偶(見(jiàn)圖7-1b)，在螺絲批的另一端則受到木螺絲對(duì)它的反力偶作用，螺絲批發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形。又例如圖7.2的掘土機(jī)械中的螺旋鉆的空心圓軸和圖7.3的手槍鉆的麻花鉆頭都發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形。在工程中有許多軸類(lèi)構(gòu)件，截面大多是圓形截面，有些是實(shí)心圓軸，也有空心圓軸。當(dāng)受到繞軸線(xiàn)轉(zhuǎn)動(dòng)的力偶作用時(shí)，截面將繞軸線(xiàn)轉(zhuǎn)動(dòng)，截面之間發(fā)生相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，即產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形，如圖7.4所示。返回第二頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日7.2外力偶矩、扭矩和扭矩圖一、外力偶矩在工程中，圓軸經(jīng)常用來(lái)傳遞力偶所做的功。例如自行車(chē)的車(chē)軸，汽車(chē)的驅(qū)動(dòng)軸和車(chē)床的齒輪軸等。而功的大小取決于作用在軸上力偶的矩和軸的轉(zhuǎn)速?，F(xiàn)在來(lái)考慮一根用馬達(dá)驅(qū)動(dòng)的軸，如圖7.5所示。如果軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)速是n(r/m)，傳遞的力偶矩是M，馬達(dá)的功率是P(kW)。則軸的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度是下一頁(yè)返回第三頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日7.2外力偶矩、扭矩和扭矩圖傳遞力偶的功率與馬達(dá)的功率相等，即由此，已知軸的轉(zhuǎn)動(dòng)速度和輸入或輸出的功率，就可以換算出作用在軸上的外力偶矩，換算公式是下一頁(yè)上一頁(yè)返回第四頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日7.2外力偶矩、扭矩和扭矩圖二、扭矩如圖7.6a所示的圓軸，兩端受到一對(duì)大小相等、轉(zhuǎn)向相反的外力偶作用，力偶矩是M，并處于平衡狀態(tài)。為了求出軸的內(nèi)力，在軸內(nèi)的任意一個(gè)橫截面m-m處將軸切開(kāi)，分成兩個(gè)部分，它們的受力分析分別如圖7.6b和7.6c所示。截出的兩個(gè)部分仍然保持平衡狀態(tài)，所以截面上的內(nèi)力必定是一個(gè)力偶，稱(chēng)之為扭矩。左右兩截面上的扭矩是一對(duì)作用和反作用力，它們的大小一定相等而轉(zhuǎn)向相反。扭矩的大小和實(shí)際轉(zhuǎn)向可以通過(guò)兩部分的平衡方程得到。下一頁(yè)上一頁(yè)返回第五頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日7.2外力偶矩、扭矩和扭矩圖三、扭矩圖求出軸內(nèi)任意一個(gè)截面上的扭矩以后，就可以用圖線(xiàn)來(lái)表示扭矩與截面位置之間的關(guān)系，這個(gè)圖線(xiàn)稱(chēng)為扭矩圖。圖7.6d就是軸7.6a的扭矩圖。從圖中可以看出，在兩個(gè)集中力偶作用之間的截面上，扭矩是一個(gè)常量。上一頁(yè)返回第六頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日7.3圓軸的扭轉(zhuǎn)變形一、純扭轉(zhuǎn)考慮一根等截面圓軸，兩端受到一對(duì)力偶作用，如圖7.7a所示。軸內(nèi)扭矩是一常量。此時(shí)圓軸所發(fā)生的扭轉(zhuǎn)變形稱(chēng)為純扭轉(zhuǎn)。在小變形的條件下，由對(duì)稱(chēng)性知，軸的橫截面在繞軸線(xiàn)轉(zhuǎn)動(dòng)的過(guò)程中仍保持為平面，它的形狀還是圓，半徑仍是直線(xiàn)，軸的長(zhǎng)度和半徑的大小都保持不變。左右兩端截面繞軸線(xiàn)相對(duì)轉(zhuǎn)過(guò)一個(gè)角度，稱(chēng)為扭轉(zhuǎn)角。假設(shè)左端面轉(zhuǎn)過(guò)的角度是0，則右端面轉(zhuǎn)過(guò)角度就是，軸內(nèi)任一橫截面的扭轉(zhuǎn)角用(x)表示。下一頁(yè)返回第七頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日7.3圓軸的扭轉(zhuǎn)變形二、切應(yīng)變和扭曲率在純扭轉(zhuǎn)的圓軸內(nèi)用兩個(gè)橫截面截出長(zhǎng)度為dx的微段，如圖7.7b所示。兩截面繞軸線(xiàn)相對(duì)轉(zhuǎn)過(guò)的角度是d，兩條母線(xiàn)ad和bc分別傾斜了一個(gè)相同的角度。矩形abcd變形成平行四邊形abc′d′，ab與ad的夾角從90°減小了一個(gè)角度max，這個(gè)角度的改變稱(chēng)為切應(yīng)變。在小變形的條件下，由圖示的幾何關(guān)系得到在純扭轉(zhuǎn)的情況下，可以用軸兩端截面的相對(duì)轉(zhuǎn)角除以軸的長(zhǎng)度l來(lái)表示，即下一頁(yè)上一頁(yè)返回第八頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日7.3圓軸的扭轉(zhuǎn)變形由此可以得到圓軸外表面的切應(yīng)變的表達(dá)式根據(jù)類(lèi)似的分析可以得到圓軸內(nèi)部的切應(yīng)變，見(jiàn)圖7.7c所示。在dx的微段內(nèi)截出半徑為的圓柱體，因?yàn)榘霃饺员３种本€(xiàn)，所以其表面的切應(yīng)變是上一頁(yè)返回第九頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日7.4圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的切應(yīng)力一、純剪切在小變形的前提下，圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面始終保持為平面，而且圓截面的形狀、大小不變，半徑仍為直線(xiàn)，截面之間的距離也不變。所以在橫截面上沒(méi)有正應(yīng)力，而切應(yīng)力與過(guò)這點(diǎn)的半徑垂直，朝向與截面上的扭矩轉(zhuǎn)向相一致。在圖7.8純扭轉(zhuǎn)的圓軸中取一個(gè)微體，它的邊長(zhǎng)分別是dx、dy和。見(jiàn)圖7.8b所示。在微體的左右側(cè)面上各有一個(gè)相等的剪力dy，它們的方向相反，組成一個(gè)力偶，其力偶矩是dydx。因?yàn)槲Ⅲw處于平衡狀態(tài)，所以在微體的頂面和底面上必定存在切應(yīng)力，上下兩個(gè)面上的剪力必然也要組成一個(gè)反力偶，反力偶矩是’dxdy，與上述的力偶相平衡，即下一頁(yè)返回第十頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日7.4圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的切應(yīng)力上面的表達(dá)式表示微體的兩個(gè)正交面上如果有切應(yīng)力的話(huà)，則切應(yīng)力的數(shù)值相等，方向與兩個(gè)正交面的交線(xiàn)垂直，共同指向或共同背離交線(xiàn)。這就是切應(yīng)力互等定理。上面微體的四個(gè)側(cè)面上只有切應(yīng)力沒(méi)有正應(yīng)力，這種應(yīng)力狀態(tài)稱(chēng)為純剪切。二、剪切胡克定律發(fā)生純剪切的微體由原來(lái)的正六面體變形成平行六面體，見(jiàn)圖7.8c。原來(lái)互相正交的棱邊由于變形發(fā)生了一個(gè)角度的改變，就是切應(yīng)變。對(duì)于線(xiàn)彈性的材料，切應(yīng)力與切應(yīng)變成正比關(guān)系，即下一頁(yè)上一頁(yè)返回第十一頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日7.4圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的切應(yīng)力表達(dá)式中的比例常數(shù)G稱(chēng)為切變彈性模量，它與拉壓彈性模量E一樣是反映材料特性的彈性常數(shù)。上面的關(guān)系式稱(chēng)為剪切胡克定律。對(duì)于各向同性材料，拉壓彈性模量E、切變彈性模量G和泊松比之間存在如下關(guān)系：可以得到下一頁(yè)上一頁(yè)返回第十二頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日7.4圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的切應(yīng)力由此可見(jiàn)，圓截面上點(diǎn)的切應(yīng)力分布與該點(diǎn)的半徑成正比，如圖7.8d所示。顯然，截面上最大切應(yīng)力位于圓截面的外邊緣上，其大小是：由切應(yīng)力互等定理可知，圓軸的縱向截面上只有切應(yīng)力，分布如圖7.9所示。下一頁(yè)上一頁(yè)返回第十三頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日7.4圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的切應(yīng)力三、扭轉(zhuǎn)的切應(yīng)力公式在知道了圓截面上的切應(yīng)力分布后，現(xiàn)在來(lái)分析切應(yīng)力與扭矩之間的關(guān)系。見(jiàn)圖7.10。在半徑為的圓周處取一個(gè)微面積dA，上面作用微剪力dA，它對(duì)圓心O的微力矩是dA，所有這些微力矩的和等于截面上的扭矩，即將公式(7-9)代入上式得下一頁(yè)上一頁(yè)返回第十四頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日7.4圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的切應(yīng)力令上式中的積分為IP，它僅與截面的幾何尺寸有關(guān)，稱(chēng)為極慣性矩，即由此可以得到把上式代入到(7-9)式中，就得到切應(yīng)力計(jì)算公式下一頁(yè)上一頁(yè)返回第十五頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日7.4圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的切應(yīng)力顯然，橫截面上的最大切應(yīng)力是：式中，IP/R項(xiàng)也是一個(gè)僅與截面有關(guān)的量，稱(chēng)為抗扭截面系數(shù)，用Wt表示，即下一頁(yè)上一頁(yè)返回第十六頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日7.4圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的切應(yīng)力所以，最大切應(yīng)力計(jì)算公式又可以寫(xiě)成：四、極慣性矩和抗扭截面系數(shù)的計(jì)算直接用積分就可以求出圓截面的極慣性矩和抗扭截面系數(shù)。見(jiàn)圖7.10取微面積dA=dd，代入到式(7-11)中，得到極慣性矩，即下一頁(yè)上一頁(yè)返回第十七頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日7.4圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的切應(yīng)力把上式代入到式(7-14)中得到抗扭截面系數(shù)：如果是空心圓截面，如圖7.11所示。用相同的的方法可以求出極慣性矩和抗扭截面系數(shù)：下一頁(yè)上一頁(yè)返回第十八頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日7.4圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的切應(yīng)力和其中，是內(nèi)徑與外徑之比，即空心圓截面上的切應(yīng)力分布如圖7.12所示。上一頁(yè)返回第十九頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日7.5扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度和剛度問(wèn)題一、圓軸的扭轉(zhuǎn)失效通過(guò)扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，不同材料的圓軸在扭轉(zhuǎn)破壞時(shí)，斷口的形狀也不一樣。塑性材料在扭轉(zhuǎn)時(shí)，當(dāng)外力偶矩逐漸增大時(shí)，材料首先屈服，這時(shí)在圓試件的表面出現(xiàn)縱向和橫向的滑移線(xiàn)，橫截面上的最大切應(yīng)力稱(chēng)為扭轉(zhuǎn)屈服應(yīng)力。當(dāng)外力偶矩增大到某個(gè)數(shù)值時(shí)，試件就在某一橫截面處發(fā)生剪斷，如圖7.13a所示，這時(shí)破壞截面上的最大切應(yīng)力稱(chēng)為扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度極限。而當(dāng)脆性材料在扭轉(zhuǎn)時(shí)，扭轉(zhuǎn)變形很小，沒(méi)有明顯的屈服階段，最后發(fā)生約45°的螺旋面的斷裂破壞，如圖7.13b所示。扭轉(zhuǎn)的屈服應(yīng)力和強(qiáng)度極限稱(chēng)為扭轉(zhuǎn)的極限應(yīng)力，用u表示。下一頁(yè)返回第二十頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日7.5扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度和剛度問(wèn)題二、強(qiáng)度條件和強(qiáng)度計(jì)算從扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)得到了扭轉(zhuǎn)的極限應(yīng)力，再考慮一定的安全裕度，即將扭轉(zhuǎn)極限應(yīng)力除以一個(gè)安全系數(shù)，就得到扭轉(zhuǎn)的許用切應(yīng)力：這個(gè)許用切應(yīng)力是扭轉(zhuǎn)的設(shè)計(jì)應(yīng)力，即圓軸內(nèi)的最大切應(yīng)力不能超過(guò)許用切應(yīng)力。對(duì)于等截面圓軸，各個(gè)截面的抗扭截面系數(shù)相等，所以圓軸的最大切應(yīng)力將發(fā)生在扭矩?cái)?shù)值最大的截面上，強(qiáng)度條件就是下一頁(yè)上一頁(yè)返回第二十一頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日7.5扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度和剛度問(wèn)題而對(duì)于變截面圓軸，則要綜合考慮扭矩的數(shù)值和抗扭截面系數(shù)，所以強(qiáng)度條件是三、剛度條件和剛度計(jì)算在純扭轉(zhuǎn)的等截面圓軸中，從扭曲率的公式(7-12)可以得到下一頁(yè)上一頁(yè)返回第二十二頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日7.5扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度和剛度問(wèn)題它表示圓軸中相距dx的兩個(gè)橫截面之間的相對(duì)轉(zhuǎn)角，所以長(zhǎng)為l的兩個(gè)端截面之間的扭轉(zhuǎn)角可以積分上式得到：因?yàn)樵诩兣まD(zhuǎn)中，扭矩T和扭轉(zhuǎn)剛度GIP是常量，所以上式可以簡(jiǎn)化成下一頁(yè)上一頁(yè)返回第二十三頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日7.5扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度和剛度問(wèn)題如果是階梯形圓軸并且扭矩是分段常量，則式(7-12)的積分可以寫(xiě)成分段求和的形式，即圓軸兩端面之間的扭轉(zhuǎn)角是在工程上，對(duì)于發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形的圓軸，除了要考慮圓軸不發(fā)生破壞的強(qiáng)度條件之外，還要注意扭轉(zhuǎn)變形問(wèn)題，這樣才能滿(mǎn)足工程機(jī)械的精度等工程要求。所以用扭曲率作為衡量扭轉(zhuǎn)變形的程度，它不能超過(guò)規(guī)定的許用值，即要滿(mǎn)足扭轉(zhuǎn)變形的剛度條件。對(duì)于扭矩是常量的等截面圓軸，扭曲率最大值一定發(fā)生在扭矩最大的截面處，所以，剛度條件可以寫(xiě)成下一頁(yè)上一頁(yè)返回第二十四頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日7.5扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度和剛度問(wèn)題上式中，扭曲率的單位是rad/m。如果使用°/m單位，則上式可以寫(xiě)成對(duì)于扭矩是分段常量的階梯形截面圓軸，其剛度條件是或者寫(xiě)成上一頁(yè)返回第二十五頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日?qǐng)D7.1返回第二十六頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日?qǐng)D7.2返回第二十七頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日?qǐng)D7.3返回第二十八頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日?qǐng)D7.4bab’bbRbb’rMbMb圖7.4返回第二十九頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日?qǐng)D7.5返回第三十頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日?qǐng)D7.6返回第三十一頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日?qǐng)D7.6返回第三十二頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日?qǐng)D7.7返回第三十三頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日?qǐng)D7.7返回第三十四頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日?qǐng)D7.7返回第三十五頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28