第二章 損失分布

第二章?lián)p失分布第一頁，共四十七頁，2022年，8月28日2.1研究損失分布的數(shù)學(xué)工具2.1.1隨機變量及其分布隨機變量：取值依賴于隨機現(xiàn)象基本結(jié)果的變量，稱為隨機變量，常用X、Y、Z等大寫字母表示。Example：我們可以用X表示一個風(fēng)險單位在一次事故中的損失，用N表示同類合同在保險期限內(nèi)發(fā)生的保險事故次數(shù)等等。這里X、N都是隨機變量。分布函數(shù)：隨機變量X取值不超過實數(shù)x的概率，稱為隨機變量X的分布函數(shù)，記作F（x）=P(X≤x)，x∈R.第二頁，共四十七頁，2022年，8月28日分布函數(shù)的性質(zhì)：對任意x∈R，0≤F（x）≤1；F（－∞）=F(x)=0;F(＋∞)=F(x)=1;F(x)單調(diào)不減，即：對任意x1、x2∈R,且x1<x2,都有F(x)≤F(x);F(x)右連續(xù)，即對任意x∈R,F(x)=F(x).分布函數(shù)全面地刻劃了隨機變量的統(tǒng)計規(guī)律性。第三頁，共四十七頁，2022年，8月28日Example:X表示保險標的的損失額，a表示合同規(guī)定的免賠額，則保險公司承擔保險責任的概率為P(X>a)=1－F(a).損失不超過b(b>a)且保險公司承擔保險責任的概率:P(a<X≤b)=F(b)－F(a).第四頁，共四十七頁，2022年，8月28日多維隨機變量的分布：二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合分布：F(x,y)=P(X≤x,Y≤y)二維隨機變量(X,Y)的邊際分布：F(x)=F(x,y)=P(X≤x）F(y)=F(x,y)=P(Y≤y)第五頁，共四十七頁，2022年，8月28日獨立：設(shè)二維隨機變量（X，Y）的聯(lián)合分布函數(shù)為F(x,y),兩個邊際分布函數(shù)分別為F(x)和F(y),若對任意(x,y)∈R,都有F(x,y)=F(x)·F(y),則稱隨機變量X與Y互相獨立。第六頁，共四十七頁，2022年，8月28日離散型隨機變量和連續(xù)型隨機變量離散型隨機變量：只能取有限個值或可列個值的隨機變量。Example:保險期限內(nèi)，保險標的發(fā)生保險事故的次數(shù)：N=0、1、2、…可用分布列、分布函數(shù)描述連續(xù)型隨機變量：取值布滿某個區(qū)間，并且有密度函數(shù)的隨機變量。Example:在非壽險精算中，一次事故的損失額或者保險期限內(nèi)的全部損失額X的取值范圍是一個區(qū)間（0，+∞）?？捎妹芏群瘮?shù)、分布函數(shù)描述第七頁，共四十七頁，2022年，8月28日隨機變量的數(shù)字特征數(shù)學(xué)期望：描述隨機變量的平均取值離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望，離散型隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望連續(xù)型隨機變量的數(shù)學(xué)期望，連續(xù)型隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望的特征數(shù)學(xué)方差、標準差、變異系數(shù)第八頁，共四十七頁，2022年，8月28日Example1:（二點分布）設(shè)同類保單在保險期限內(nèi)只有索賠和不索賠兩種情況，根據(jù)以往經(jīng)驗，索賠的概率為p，那么，任意一份保單在保險期限內(nèi)的索賠次數(shù)X就是取值為0、1的離散型隨機變量，其分布列為P(X=x)=p^x(1－p)^(1-x),x=0、1.求其分布函數(shù)，期望，方差？第九頁，共四十七頁，2022年，8月28日Example2:（均勻分布）如果某類保單的免賠額為a,保險金額為b(0<a<b),賠款額取[a,b]中的每個值是等可能的，那么賠款額X就是一個在[a,b]均勻分布的隨機變量，其密度函數(shù)為：f(x)=求分布函數(shù)，期望，方差，變異系數(shù)？第十頁，共四十七頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)期望和方差有如下性質(zhì)：設(shè)X、Y是兩個隨機變量，k為常數(shù)，那么（1）E(kX)=kEX;(2)E(X±Y)=EX±EY;(3)若X與Y相互獨立，那么，E（XY）=EX·EY;

(4)Var(kX)=k

2VarX;(5)VarX=EX2－(EX)2

;

(6)若X與Y相互獨立，那么，Var(X+Y)=VarX+VarY.第十一頁，共四十七頁，2022年，8月28日隨機變量的矩原點矩：隨機變量X的k次冪的數(shù)學(xué)期望=EXk為隨機變量X的k階原點矩。中心矩：稱X－EX的k次冪的數(shù)學(xué)期望=E(X－EX)k為隨機變量X的k階中心矩，k=1、2、…。偏度系數(shù)：分布的對稱性的度量，也就是偏斜程度。=分布對稱時，偏度等于0。偏度大于0時，正偏斜的；偏度小于0時，負偏斜。對一般非壽險業(yè)務(wù)的大多數(shù)險種來說，因為有大額賠款的發(fā)生，所以賠款額的分布常有明顯的正偏斜。第十二頁，共四十七頁，2022年，8月28日隨機變量的特征函數(shù)與矩母函數(shù)設(shè)X是一個隨機變量，i是虛數(shù)單位，分別稱關(guān)于t的函數(shù)=Ee,t∈R和M(t)=Ee為X的特征函數(shù)和矩母函數(shù)特征函數(shù)一定存在，與分布函數(shù)一一對應(yīng)第十三頁，共四十七頁，2022年，8月28日矩母函數(shù)的性質(zhì)第十四頁，共四十七頁，2022年，8月28日條件分布、條件期望和條件方差第十五頁，共四十七頁，2022年，8月28日兩個重要性質(zhì)：EX=E[E（X|Y）]VarX=E[Var（X|Y）]+Var[E（X|Y）]第十六頁，共四十七頁，2022年，8月28日相互獨立隨機變量和的分布與卷積第十七頁，共四十七頁，2022年，8月28日2.2損失的理論分布正態(tài)分布正態(tài)分布的密度函數(shù)f(x)=e,x∈R。正態(tài)分布密度函數(shù)曲線的特點關(guān)于直線x=對稱;當x<時,f(x)單調(diào)增加，反之，f(x)單調(diào)減少;當x=時,f(x)有極大值.標準正態(tài)分布、標準正態(tài)分布表第十八頁，共四十七頁，2022年，8月28日中心極限定理第十九頁，共四十七頁，2022年，8月28日第二十頁，共四十七頁，2022年，8月28日賠款額的理論分布非壽險精算中的賠款額X：非負連續(xù)型隨機變量，它的分布一般是正偏斜，它的密度函數(shù)在右邊有長的“尾巴”。常用來表示賠款額的理論分布有：對數(shù)正態(tài)分布,log-normaldistribution帕累托分布,Paretodistribution伽瑪分布,Gammadistribution第二十一頁，共四十七頁，2022年，8月28日對數(shù)正態(tài)分布若隨機變量X的對數(shù)函數(shù)Y=lnX~N(),則稱X服從以為參數(shù)的對數(shù)正態(tài)分布，記作X~LN().對數(shù)正態(tài)分布的密度函數(shù)：f(x)=X的數(shù)學(xué)期望和方差分別為:EX=e,VarX=e(e－1).第二十二頁，共四十七頁，2022年，8月28日Example已知某一特定風(fēng)險的賠款額服從參數(shù)為=7.0,=1.7的對數(shù)正態(tài)分布。問：從400元到40,000元的賠案在全部賠案中占多大的比例？解：X~LN(7.0,1.72),所以，lnX~N(7.0,1.72).P(400<X≤40000)=P()=(2.12)－(－0.59)≈0.7054第二十三頁，共四十七頁，2022年，8月28日帕累托分布(Paretodistribution)右偏，但尾部趨于0的速度比對數(shù)正態(tài)分布慢密度函數(shù)：f(x)=分布函數(shù)：F(x)=當時，帕累托分布的數(shù)學(xué)期望存在：E(x)=.當時，帕累托分布的方差存在：Var(x)=-()2第二十四頁，共四十七頁，2022年，8月28日第二十五頁，共四十七頁，2022年，8月28日伽瑪（Gamma）分布第二十六頁，共四十七頁，2022年，8月28日第二十七頁，共四十七頁，2022年，8月28日伽瑪分布第二十八頁，共四十七頁，2022年，8月28日伽瑪分布特征當=1時，伽瑪分布就是以為參數(shù)的指數(shù)分布。這時它的密度函數(shù)f(x)在x=0處最大，并呈單調(diào)遞減。當>1時，f(0)=0,在x>0處單調(diào)遞增至極大值，然后再單調(diào)遞減。當<1時，f(x)在x=0處無定義，在x>0處單調(diào)遞減。第二十九頁，共四十七頁，2022年，8月28日賠款次數(shù)的理論分布泊松（Poisson）分布：常被用來刻劃小概率事件發(fā)生的次數(shù)，因此在非壽險精算中用它來作為賠款次數(shù)的分布是適當?shù)牟此煞植嫉姆植剂惺牵篜(X=x)=e，x=0、1、2、…其中參數(shù)q>0.泊松分布的數(shù)學(xué)期望和方差都是q.泊松分布的一個重要性質(zhì)是：n個相互獨立的參數(shù)為q的泊松隨機變量的和服從的是參數(shù)為nq的泊松分布?！杉有?。譬如：正態(tài)分布也具有可加性。第三十頁，共四十七頁，2022年，8月28日二項分布n重貝努里試驗中事件A(成功)發(fā)生x次的概率，可以用來作為同質(zhì)風(fēng)險等額保單賠款次數(shù)的概率分布分布列：P(X=x)=px(1－p)x,x=1、2、…、n參數(shù)為n和p,n為非負整數(shù)，0<p<1.數(shù)學(xué)期望和方差分別為：EX=np和VarX=np(1－p).矩母函數(shù)為M(t)=(pet+1－p)n.第三十一頁，共四十七頁，2022年，8月28日二項分布的兩種近似方法當n充分大時，近似地服從標準正態(tài)分布。一般，在np和np(1－p)都大于10時近似程度就不錯了?！行臉O限定理。利用二項分布的極限分布——泊松分布來作近似計算：當n充分大，p又相當小時，可令q=np>0,則有Cpx(1-p)n-xe-q.第三十二頁，共四十七頁，2022年，8月28日負二項分布貝努里試驗中，第k次發(fā)生事件A（成功）前，事件(失敗)發(fā)生的次數(shù)。負二項分布常用于災(zāi)害事故和發(fā)病情形的統(tǒng)計問題，在非壽險精算中，常被用來描述風(fēng)險不同質(zhì)情況下賠款發(fā)生次數(shù)的分布。負二項分布也稱巴斯卡（Pascal）分布。第三十三頁，共四十七頁，2022年，8月28日負二項分布分布列為：P(X=x)=Cpk(1－p)x,x=0、1、2、…其中參數(shù)k=1、2、…,0<p<1.負二項分布的數(shù)學(xué)期望和方差分別為：EX=VarX=特別，k=1時的負二項分布就是幾何分布。第三十四頁，共四十七頁，2022年，8月28日幾何分布描述的是貝努里試驗中首次發(fā)生事件A(成功)之前，（失?。┌l(fā)生的次數(shù)的分布。幾何分布的分布列：P（X=x）=,x=0、1、2、…幾何分布隨機變量X的數(shù)學(xué)期望和方差：EX=，VarX=.第三十五頁，共四十七頁，2022年，8月28日Example設(shè)某個險種的某個保單持有人在保險期限內(nèi)的索賠次數(shù)服從參數(shù)為q的泊松分布。由于保單持有人的風(fēng)險狀況不同。所以q是一個隨機變量，假設(shè)其服從伽瑪分布，即：f(q)=e(q),q>0于是索賠次數(shù)X的條件分布為：P(X=x|q)=,x=0、1、2、…第三十六頁，共四十七頁，2022年，8月28日X的邊際分布為:P(X=x)=

==C()(),x=0,1,2,……這是一個以，為參數(shù)的負二項分布第三十七頁，共四十七頁，2022年，8月28日賠款總量的分布對非壽險公司來說，某一特定險種在一定時期內(nèi)的賠款總量就是它的總損失。如果在這一定時期內(nèi)，這險種一共發(fā)生N次賠款，Xi為其中第i次賠款額，那么相應(yīng)的賠款總量為：N為取非負整數(shù)的離散型隨機變量；