第二章平面力系和平面力偶系

第二章平面力系和平面力偶系第一頁，共三十七頁，2022年，8月28日研究平面匯交力系的前提是力在坐標(biāo)軸上的投影

X=Fx=Fcosa=FsinbY=Fy=F

cosb

=

F

sina第一節(jié)力在坐標(biāo)軸上的投影第二頁，共三十七頁，2022年，8月28日合力投影定理：合力在任一軸上的投影，等于各分力在同一軸上投影的代數(shù)和。第三頁，共三十七頁，2022年，8月28日一、平面匯交力系的合成1）兩個共點力的合成合力方向由正弦定理：由余弦定理： 由力的平行四邊形法則合成，也可用力的三角形法則合成。第二節(jié)平面匯交力系的合成與平衡1.幾何法第四頁，共三十七頁，2022年，8月28日2）任意個共點力的合成(力多邊形法）先作力多邊形abcde再將R平移至A點

平面匯交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用線通過各力的匯交點。即結(jié)論：推廣至n個力第五頁，共三十七頁，2022年，8月28日二、平面匯交力系平衡的幾何條件在上面幾何法求力系的合力中，合力為零意味著力多邊形自行封閉。所以平面匯交力系平衡的必要與充分的幾何條件是：平面匯交力系平衡的充要條件是：力多邊形自行封閉或力系中各力的矢量和等于零。第六頁，共三十七頁，2022年，8月28日平面匯交力系平衡的充要條件是：注意：對力的方向判定不準(zhǔn)的，一般用解析法。利用平衡方程通過解析法解題時，力的方向可以任意假設(shè)，如果求出負(fù)值，說明力的方向與假設(shè)相反。

三、平面匯交力系的平衡方程第七頁，共三十七頁，2022年，8月28日第三節(jié)力矩、平面力偶系的合成與平衡一、力對點的矩1.力矩的概念和性質(zhì)將力F對點O的矩定義為：力F的大小與從O點到力F的作用線的垂直距離的乘積，即

方向用右手法則確定：以使物體作逆時針轉(zhuǎn)動為正（圖示為正），作順時針轉(zhuǎn)動為負(fù)，將O點到力O的作用線的垂直距離h稱為力臂。

第八頁，共三十七頁，2022年，8月28日2、合力矩定理平面匯交力系的合力對平面內(nèi)任意一點之矩等于力系中所有各分力對同一點之矩的代數(shù)和，即3、力矩與合力矩的解析表達(dá)式第九頁，共三十七頁，2022年，8月28日二、力偶力偶：兩力大小相等、作用線不重合的反向平行力叫力偶。1、力偶及其性質(zhì)力偶使物體轉(zhuǎn)動效應(yīng)一般通過力偶矩來衡量，力偶矩的大小為Fd，方向由右手法則確定，平面力偶矩也為代數(shù)量，用M（F，F(xiàn)′）來表示，即M（F，F(xiàn)′）=±2S△ABC第十頁，共三十七頁，2022年，8月28日由此可以推出

即平面力偶系合成結(jié)果還是一個力偶,其力偶矩為各力偶矩的代數(shù)和。

平面力偶系平衡的充要條件是：所有各力偶矩的代數(shù)和等于零。

第十一頁，共三十七頁，2022年，8月28日第四節(jié)力線的平移定理一、力線平移定理作用在剛體上某點的力，可以平移至剛體上任意一點，但同時必須增加一個附加力偶，該力偶的力偶矩等于原力對該點之矩。第十二頁，共三十七頁，2022年，8月28日（1）力線平移定理揭示了力與力偶的關(guān)系：力等效與力和力偶的共同作用；（2）力平移的條件是附加一個力偶M，且M與d有關(guān)，M=Fd；（3）力線平移定理是力系簡化的理論基礎(chǔ)。由證明過程可以歸納出：第十三頁，共三十七頁，2022年，8月28日二、固定端約束在工程實際中，有很多構(gòu)件的一部分嵌固于另一物體上而受到約束作用，這樣的約束稱為固定端約束。

這種約束不但限制物體在約束處沿任意方向的線位移，也限制物體在約束處的角位移，即物體在A端沒有移動和轉(zhuǎn)動。

固定端約束：其約束反力在平面情況下，通常用兩正交分力和一個力偶表示；AFAxFAyMA第十四頁，共三十七頁，2022年，8月28日第五節(jié)平面任意力系的簡化一、力系向平面內(nèi)任意一點的簡化平面任意力系的簡化主要依據(jù)是力線平移定理，簡化的實質(zhì)是將一個平面任意力系分解為一個平面匯交力系和一個平面力偶系，然后將這兩個力系進(jìn)行合成。第十五頁，共三十七頁，2022年，8月28日主矢主矩由合力投影定理，將上式寫成解析形式，得：第十六頁，共三十七頁，2022年，8月28日設(shè)剛體受到力系Fi(i=1,2,…,n)作用，諸作用點相對固定點O的矢徑依次為ri(i=1,2,…,n)。力系Fi的矢量和，稱為力系的主矢。記為FR,主矢僅取決于力系中各力的大小和方向，而不涉及作用點，是一個自由矢量。計算力系Fi對固定點O的力矩的矢量和，稱為力系對點O的主矩。記為MO它不僅取決于力系中各力的大小、方向和作用點，還取決于矩心的選擇。因此，主矩是定位矢量。第十七頁，共三十七頁，2022年，8月28日平面力系總可以簡化為一個主矢和一個主矩，可能有以下幾種情況：該力系等效一個合力偶該力系等效一個合力仍然可以繼續(xù)簡化為一個合力，方法如下：OOO’O’O稱該力系平衡只要滿足：二、簡化結(jié)果分析與合力矩定理第十八頁，共三十七頁，2022年，8月28日合力矩定理——平面任意力系的合力對作用面內(nèi)任一點之矩等于力系中各力對于同一點之矩的代數(shù)和。第十九頁，共三十七頁，2022年，8月28日

物體在力系作用下，保持平衡的充分必要條件是:力系的主矢與對任一點的主矩均為零

，即：上式稱為平衡方程一矩式，二矩式和三矩式分別為：條件是：AB兩點的連線不能與x軸或y軸垂直條件是：ABC三點不能共線第六節(jié)平面任意力系的平衡方程及應(yīng)用第二十頁，共三十七頁，2022年，8月28日1、二矩式限制A、B兩點的連線AB不能垂直于x軸。為什么上述的平衡方程也能滿足力系平衡的必要和充分條件？第二十一頁，共三十七頁，2022年，8月28日這是因為，如果力系對點A的主矩等于零，則這個力系不可能簡化為一個力偶；但可能有兩種情形：這個力系或者是簡化為經(jīng)過A的一個力，或者平衡，如果力系對另一點B的主矩也同時為零，則這個力系或有一合力沿A，B兩點的連線，或者平衡。

如果再加上X=0，那么力系如有合力，則此合力必與X軸垂直。附加條件（x軸不得垂直連線AB）完全排除了力系簡化一個合力的可能性，故所研究的力系必為平衡力系。第二十二頁，共三十七頁，2022年，8月28日問題：在應(yīng)用平面力系二矩式平衡方程時,所選擇的矩心A、B，投影軸x為什么要滿足附加條件？

如下圖所示，一剛體只受一個力F作用（顯然剛體不平衡，二矩式平衡方程不能成立），若所選的矩心A、B和投影軸x違背附加條件的要求，則二矩式平衡方程成立，因此就出現(xiàn)了錯誤。所以，在使用二矩式平衡方程時，選擇矩心和投影軸時必須滿足附加條件

即：投影軸不能與矩心A、B兩點的連線相垂直。第二十三頁，共三十七頁，2022年，8月28日2、三矩式限制A、B、C三點不能在同一條直線上。第二十四頁，共三十七頁，2022年，8月28日問題：在應(yīng)用平面力系三矩式平衡方程時，矩心A、B、C三點為什么要滿足附加條件？

如果一剛體只受一個力F作用（顯然剛體不平衡，三矩式平衡方程不能成立),若在選擇矩心時,違背附加條件的要求，即：A、B、C選在一條直線上，如下圖所示：

則三矩式平衡方程也成立，因此就出現(xiàn)了錯誤。所以，在使用三矩式平衡方程時，三矩心的選擇必須滿足附加條件，即：三點不能在一條直線上。第二十五頁，共三十七頁，2022年，8月28日

例2-4如圖所示的體系，已知P=150kN，AC=1.6m，BC=0.9m，CD=CE=1.2m，AD=2m且AB水平，ED鉛垂，BD垂直于斜面，求FB和A支座反力。解(1)以體系整體為研究對象。(2)畫出受力圖。(3)選坐標(biāo)列方程。第二十六頁，共三十七頁，2022年，8月28日(4)再研究AB桿。第二十七頁，共三十七頁，2022年，8月28日

例2-5簡支梁受力如圖所示，已知：均布荷載q=1kN/m，集中力F=5kN，力偶M=4kN·m，求支座反力。

解:(1)以AB梁為研究對象。(2)畫出受力圖。(3)選坐標(biāo)列方程。結(jié)果為正值，說明與假設(shè)方向一致。

由得由得結(jié)果為正值，說明與假設(shè)方向一致。

第二十八頁，共三十七頁，2022年，8月28日第七節(jié)靜定與靜不定問題及物系的平衡一、靜定與靜不定問題靜定問題——未知力數(shù)目等于對應(yīng)的獨立平衡方程的數(shù)目，因此可以由平衡方程求得所有的未知量，這一類問題我們稱之為靜定問題。

第二十九頁，共三十七頁，2022年，8月28日靜不定問題——未知力數(shù)目多于對應(yīng)的獨立平衡方程的數(shù)目。靜不定問題的求解必須借助變形協(xié)調(diào)方程。第三十頁，共三十七頁，2022年，8月28日二、物系的平衡物系——兩個或兩個以上的物體通過一定的聯(lián)結(jié)（約束）方式組合在一起的系統(tǒng)稱為物系或物體系。物系內(nèi)部物體之間作用的力稱為內(nèi)力；物體外部作用于整個物系的力稱為外力。一般情況下，研究物系的受力時不考慮內(nèi)力，但當(dāng)研究物系中個別物體時必須考慮內(nèi)力。當(dāng)物系處于平衡狀態(tài)時，物系內(nèi)的每個物體也處于平衡狀態(tài)，因此在研究物系平衡時，選取研究對象，既可以選個別物體，也可以選幾個物體的組合甚至整個物系

。

第三十一頁，共三十七頁，2022年，8月28日

例2-6多跨靜定梁受力如圖所示，求支座A、B、C處的反力

。

解(1)首先取BC段為研究對象。第三十二頁，共三十七頁，2022年，8月28日(2)再取CDE段為研究對象。

////第三十三頁，共三十七頁，2022年，8月28日(3)取AB段為研究對象。

//////第三十四頁，共三十七頁，2022年，8月28日(1)力線平移定理：作用在剛體上的力F可以平行移動到剛體內(nèi)任意一點，但必須同時附加一個力偶，其力偶矩等于原力F對平移點之矩。本章小結(jié)（2）平面力系總可以簡化為一個主矢和一個主矩，可能有以