薄板彎曲問題2

12.1IntroductionandAssumptions

12BendingofThinPlates12.2DifferentialEquationforBendingofThinPlate12.3StressResultantsandStressCouples12.4BoundaryConditions12.5ASimpleSolutionforEllipticalPlates12.6Navier’sSolutionbyDoubleTrigonometricSeries12.7Levy’sSolutionbySingleTrigonometricSeries邊界條件下面以矩形板為例，說明各種邊界條件：求薄板的小撓度彎曲問題，就是在滿足板邊的邊界條件下，由方程求出撓度w如圖所示矩形板，OA邊固定，OC邊簡支AB、BC邊是自由邊一、邊界條件12.4BoundaryConditionsAOBCabxy邊界條件：a、OA邊b、OC邊OC邊的邊界條件為：如果OC邊作用有分布力矩M，則邊界條件為：或?qū)憺椋篶、AB、BC邊（自由邊）AOBCabxyAB邊：BC邊：AOBCabxy邊界條件中的扭矩可以變換為等效剪力，與原來的剪力合并

二、扭矩的等效剪力例如，上述AB邊上，其扭矩如何轉(zhuǎn)換為等效剪力？ABdxdxEFG將微段EF上的扭矩等效變換成兩個力，一個在E點(diǎn)，方向向下，一個在F點(diǎn)，方向向上？將微段FG上的扭矩等效變換成兩個力，一個在F點(diǎn)，方向向下，一個在G點(diǎn)，方向向上？ABEFG將每一點(diǎn)的等效剪力疊加，得：相應(yīng)的分布剪力為：AB邊上的總剪力為：A點(diǎn)：B點(diǎn)：AB邊的邊界條件：AOBCabxyAOBCabxyBC邊的邊界條件：將My、Mx、Qy、Qx、Mxy=Myx的表達(dá)式代入，得最后邊界條件：AB邊：BC邊：如果邊界上的力矩M和橫向荷載V不為零，則邊界條件中，等式右邊不為零，如AB邊：AOBCabxy在兩條邊的交點(diǎn)，如B點(diǎn)若B是自由點(diǎn)，則RB=0，即若B有支座，則B點(diǎn)的條件為：四邊簡支的矩形薄板的重三角級數(shù)解12.6Navier’sSolutionbyDoubleTrigonometricSeriesOBCabxyA圖示四邊簡支的矩形薄板，邊界條件為：Letusconsiderasimplysupportedrectangularplatesubjectedtoanytransverseloading.Theboundaryconditionsare:OBCabxyA納維葉(Navier)把撓度w的表達(dá)式取為如下的重三角級數(shù)：其中，m、n是正整數(shù)將w代入邊界條件，全部都能滿足將w代入方程：Theseconditionscanbesatisfiedbytaking將q=q（x，y）也展開為重三角級數(shù)：將q左右兩邊同乘（i為任意整數(shù)）并對x積分：由于：所以，上式變?yōu)椋和?，將上式兩邊同乘（j為任意整數(shù)），并對y積分后得：將i、j替換為m、n，上式變?yōu)椋簩、n代入q式，得：將上式代入微分方程：最后求得Amn：代入w的表達(dá)式，即可求出w，然后用公式可以求應(yīng)力和內(nèi)力例如，當(dāng)薄板在任意點(diǎn)上受集中力P時(shí)，如何計(jì)算？可以用微面積dxdy上的均布荷載來代替qAmn表達(dá)式中，除了在（，）處等于q外，其余各處均為零積分后得：撓度的表達(dá)式：由此，根據(jù)內(nèi)力表達(dá)式可以求內(nèi)力矩形薄板的單三角級數(shù)解圖示矩形薄板，兩邊簡支，承受任意橫向荷載q（x，y），可以用較簡單的單三角級數(shù)求解（李維解法）Oab/2xyb/2a可假設(shè)：12.7Levy’sSolutionbySingleTrigonometricSeriesYm是y的任意函數(shù)，m為正整數(shù)邊界條件：將w代入邊界條件，均能滿足將w代入方程：并要求滿足時(shí)的邊界條件將q/D展開為傅立葉級數(shù)，得：將此式代入上述微分方程，得：此常微分方程的解答為：其中，fm（y）是任意一個特解，由的結(jié)果而定Am、Bm、Cm、Dm是任意積分常數(shù)，由的邊界條件來確定最后求得w的表達(dá)式：注意：

應(yīng)用本節(jié)所述的李維(Levy)解法，可以得出四邊簡支的矩形薄板受各種橫向荷載時(shí)的解答，還可以得出薄板在某一邊界上受分布力矩作用或發(fā)生沉陷時(shí)的解答，利用這些解答，再根據(jù)結(jié)構(gòu)力學(xué)的方法，可以得出任意薄板受任意橫向荷載作用時(shí)的解答很多專著給出了矩形薄板在各種邊界條件下承受各種橫向荷載作用時(shí)的撓度和彎矩，供工程設(shè)計(jì)使用

很多專著給出