第12講數(shù)學猜想

/第１２講 數(shù)學猜想數(shù)學發(fā)展到今天，可謂枝葉繁碩,每個分支都有自己的基本問題。但就整個數(shù)學而言，最最根本的沒過于“數(shù)”?；卮饠?shù)是什么的問題，應(yīng)該說是數(shù)學家們最為根本的目的.美籍德國數(shù)學家柯朗(ＲｉｃhardCｏuraｎt，1８88.1。8—1９７2。1.27)曾說過:“數(shù)是近代數(shù)學的基礎(chǔ)?！m然希臘人曾把點和線等幾何概念作為他們的數(shù)學基礎(chǔ)，但是，所有的數(shù)學命題最終都應(yīng)歸結(jié)為關(guān)于自然數(shù)１,２，3,……的命題。這一點已變成了現(xiàn)代數(shù)學的指導原則?！标P(guān)于數(shù)，人們曾提出過許許多多的問題,有的業(yè)已獲得解決，有的至今依舊是謎,我們習慣上稱其為“猜想”(coｎjecture）.著名的如費馬猜想,哥德巴赫猜想等等。為了將其變?yōu)槎ɡ恚淮?、一批批?shù)學家們，通過自己的工作,極大地革新并豐富了數(shù)學的內(nèi)容與方法。對于數(shù)學猜想之于數(shù)學發(fā)展的作用，高斯有言:“若無某種大膽果敢的猜想,一般是不可能有知識進展的?！庇捎谑苣芰εc時間限制,我們本講只能通過費馬大定理的來龍去脈，體味一下數(shù)學猜想的魅力所在。關(guān)于這個故事的開始和結(jié)局其實很簡單。那就是：很久以前（1637年左右)，一位名叫費馬的法國人說xn+yn=ｚn在n>２時無整數(shù)解，三個半世紀之后（1994年），一位名叫懷爾斯的英國人證明了他所講為真.據(jù)懷爾斯稱：“它看上去如此簡單,但歷史上所有的大數(shù)學家都未能解決它.這里正擺著一個連我這樣只有十歲的孩子都能理解的問題,從那個時刻起，我知道我永遠不會放棄它.我必須解決它?！睉褷査沟莱隽速M馬問題的魅力所在。這個問題看似如此簡易，就連10歲的學童都能理解。其中一個原因就在于,它與人們在很小時就已記住的一段數(shù)學術(shù)語——畢達哥拉斯定理極其親密。歷史性背景１。1萬物皆數(shù)畢氏定理稱：在一個直角三角形中，斜邊的平方等于兩直角邊的平方之和.寫成公式既是x２+y2=ｚ2.畢達哥拉斯是數(shù)學史上最具影響但又是最神秘的人物之一。由于缺少相關(guān)資料，他的一生顯得頗為神秘。但可以肯定的是畢達哥拉斯發(fā)展了關(guān)于數(shù)的邏輯的思想，并且在確立數(shù)學證明思想方面功不可沒。生活在公元前6世紀的畢達哥拉斯十分熱衷于哲學研究，尤其是從哲學的角度思考他在多年游歷過程中所獲得的數(shù)學法則。他的志趣是要理解數(shù)，而不僅僅是使用它們。由他創(chuàng)建的兄弟會崇拜的偶像之一就是數(shù)，他們相信，通過了解數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系就能夠提示宇宙的神圣和秘密,從而使自己更接近神。兄弟會曾致力于“計數(shù)數(shù)”和分數(shù)的研究。他們很樂于尋找那些具有特殊意義的數(shù)，如所謂的“完全數(shù)”。除了是它們的各因數(shù)之和外，所有的完全數(shù)還顯示出另外幾個美妙的性質(zhì),如它們總等于一系列相鄰的計數(shù)數(shù)之和。6和２8就是這樣的數(shù).除了數(shù)間的關(guān)系，數(shù)與自然之間的關(guān)系也引起了畢達哥拉斯的興趣。畢達哥拉斯將自己稱為哲學家，以揭示自然奧秘為己任。畢達哥拉斯意識到從音樂的和聲到行星的軌道，一切事物中皆藏有數(shù).這導致他宣布“萬物皆數(shù)".通過探究數(shù)學的內(nèi)涵,畢達哥拉斯發(fā)展著使他和其他人能描述宇宙性質(zhì)的這種語言。事實上,數(shù)學上在此后的每一次突破都會給科學家們帶來解釋周圍現(xiàn)象而需要的詞匯。可以講，數(shù)學的進展往往會喚起科學的革命。在畢達哥拉斯兄弟會研究的數(shù)與自然之間的所有關(guān)系之中，最為重要的當推畢氏定理.該定理為我們提供了一個方程，它對一切直角三角形都成立，因而它也定義了直角三角形本身.接著，直角定義垂直,即豎直與水平的關(guān)系;最后定義我們熟悉的宇宙中的三維關(guān)系。數(shù)學就這樣利用直角定義了我們生活著的空間的結(jié)構(gòu)。畢達哥拉斯完全相信該定理的正確性與普遍性。使他有這種信念的理由是數(shù)學證明了這種關(guān)系。畢達哥拉斯定理的意義在于：它發(fā)展了證明的思想。一個被證明的數(shù)學結(jié)果具有比任何別的真理更可靠的真實性，因為它是一步接一步的邏輯結(jié)果.其次,該定理將抽象的數(shù)學方法與有形的實體結(jié)合起來。畢氏向人們展示了數(shù)學的真理可以應(yīng)用于科學世界并為其提供邏輯基礎(chǔ)。尋找一個數(shù)學證明就是尋找一種認識，這種認識比任何別的訓練所積累的認識都更不容置疑。約二千五百多年以來,驅(qū)使數(shù)學家們的正是這種以證明的方法發(fā)現(xiàn)最終真理的欲望。費馬大定理的故事以尋找遺失的證明為中心。經(jīng)典的數(shù)學證明是從一系列公理、陳述出發(fā)，這些陳述有些可以是假定為真的,有些則是顯然真的；然后通過邏輯論證，一步接一步,最后就可能得到某個結(jié)論。如果公理是正確的，邏輯也無缺陷,那么得到的結(jié)論將是不可否定的。這個結(jié)論就是一個定理.數(shù)學證明依靠這個邏輯過程,而且一經(jīng)證明就永遠是對的.需要經(jīng)過確實無疑地證明才能承認某個結(jié)論，對這一點數(shù)學家是以其一絲不茍而著稱的.１。2反證法數(shù)學證明的思想在文明世界中迅速傳播著，在畢達哥拉斯學派被毀２個世紀后,數(shù)學研究的中心移至亞歷山大城。位于亞歷山大城的圖書館因其藏書豐富而吸引了來自世界各地的數(shù)學家。其中的頭號人物就是我們熟知的歐幾里得。一提起歐幾里得,人們也許很快就會聯(lián)想到他的《幾何原本》，似乎這完全是一本幾何著作，其實不然，該書還包含了許多數(shù)論思想，和其他處理問題的方法。這些方法的影響至今仍在。歐幾里得生于公元前330年,與畢達哥拉斯一樣，歐幾里得只是為數(shù)學本身而探求數(shù)學真理,在他的著作中并不尋求應(yīng)用。自畢達哥拉斯之后,數(shù)學家們已經(jīng)發(fā)明了許多可以應(yīng)用于不同場合的邏輯推理方法，歐幾里得嫻熟地在《原本》中使用了這些方法。特別是，他用到了一種稱之為“反證法”的邏輯武器，這種方法圍繞這樣一個有點不合情理的想法展開：企圖證明某個定理是真的,但首先假定它是假的;然后數(shù)學家去探討由于定理不真而產(chǎn)生的邏輯矛盾,而數(shù)學不能容忍矛盾，于是原來的定理不可能是假的。歐幾里得曾使用這種方法證明了素數(shù)的個數(shù)有無窮多個.所謂素數(shù)是指沒有因數(shù)的數(shù),也就是除了1和該數(shù)本身以外沒有其他數(shù)能夠整除它。數(shù)學家們認為素數(shù)是最重要的數(shù),因為它們是數(shù)學中的原子。素數(shù)是數(shù)的建筑材料,所有別的數(shù)都可以表示為若干個素數(shù)的乘積，而且這種表示是唯一的,也就是說任何數(shù)的本質(zhì)和特征都可以通過其素數(shù)構(gòu)成得以反映。歐幾里得使用反證法的另一個典型實例是對所謂“無理數(shù)”存在性的證明。無理數(shù)的確定，第一次使數(shù)具有了一種嶄新的、更為抽象的性質(zhì)。歷史上在這之前,一切數(shù)都只能表示成自然數(shù)或正分數(shù)。無疑，無理數(shù)的概念是一個重大的突破.從《原本》的內(nèi)容來看，歐幾里得對于數(shù)的研究也很感興趣,但這不是他對數(shù)學的最大貢獻。他的真正愛好是幾何學.在數(shù)論方面,編纂了有同樣價值的數(shù)學書籍的是丟番圖。1.3不定方程亞歷山大的丟番圖，可謂是希臘數(shù)學的最后一位衛(wèi)士。丟番圖在亞歷山大的生涯以收集問題并對其整理創(chuàng)新為主。他將這些問題及其解法匯集成一部名為《算術(shù)》的論著。組成《算術(shù)》的13卷書中,只有６卷逃過了歐洲中世紀黑暗時代的騷亂幸存下來，繼續(xù)激勵著文藝復(fù)興時期的數(shù)學家們,包括費馬在內(nèi)。其余的７卷則在一系列悲劇性事件中被遺失.丟番圖《算術(shù)》特別以求解不定方程的整數(shù)解而著稱。所謂不定方程，是指末知數(shù)個數(shù)多于方程個數(shù)的代數(shù)方程或代數(shù)方程組。這類問題在丟番圖之前已有人接觸過,但丟番圖是第一個對不定方程問題作出廣泛深入研究的數(shù)學家,以致于我們今天已習慣于將不定方程問題稱為丟番圖問題。其求解過程也被稱為丟番圖分析,由求解這類問題而發(fā)展起來的當代兩大先進手段也被稱為丟番圖逼近和丟番圖幾何?！端阈g(shù)》第2卷問題8是一個與畢達哥拉斯定理類似的問題:將一個已知的平方數(shù)分為兩個平方數(shù)。即已知Z２，求x，y，使x2+y2＝Ｚ2.丟番圖以實例給出了這一問題的求解辦法.以Ｚ2=16為例,求數(shù)ｘ和y?？上仍O(shè)一個平方數(shù)是x2，則另一個平方數(shù)是１６–x2。所以問題變?yōu)橐?6–x2是平方數(shù)y2.設(shè)y=ｍx–4，其中m是某一整數(shù),例如m=2，于是就有16–x２＝4x2–16x＋1６,容易解出x=16/５或１2/5。顯然還有其他解的存在,也就是說,應(yīng)該存在無窮多組三元組,使得不定方程x２+y2=z２成立.我們只所以在此獨獨提到丟番圖的這一個問題，是因為，大約16個世紀之后，正是在這一問題的啟發(fā)下，費馬在其旁白處寫下了一段邊注,從而誕生了一個讓整個數(shù)學界為之若思冥想了三百多年的問題。猜想與證明2.1謎面的誕生圖9-1費馬(1601-1665)１60１年的8月20日，費馬出生在法國西南部的博蒙—德羅馬涅鎮(zhèn).他的父親是位富有的皮革商，所以費馬有幸接受良好地教育并最終當上了圖盧茲的大法官.為了避免社會動蕩時期政治風波的影響，除了小心履行職責之外，費馬將業(yè)余時間全都用以閉門讀書。他是一位真正的業(yè)余數(shù)學家,一個被稱為“業(yè)余數(shù)學家之王”圖9-1費馬(1601-1665)丟番圖的每個問題都有詳細解答。費馬的做法卻與之不同，他只想通過解出問題而獲得自我滿足.在研究丟番圖的問題和解答時,他常因某種觸動而去思考和解決一些相關(guān)問題，并偶爾寫下部分心得體會,但卻很少給出詳細證明。在《算術(shù)》第２卷問題8的旁邊,就是這樣一條結(jié)論：不可能將一個立方數(shù)寫成兩個立方數(shù)之和；或者將一個四次冪與成兩個四次冪之和；或者，一般地，不可能將一個高于2次的冪寫成兩個同樣次冪的和。按照費馬的說法,似乎根本不存在這樣的3個數(shù)，它們完全適合方程xn+yｎ=zn，這里n代表3，４,5,……。這是一個異乎尋常的結(jié)論，但費馬卻自信自己已經(jīng)找到了一種證明方法。在這個結(jié)論的后面，他又草草寫下一個注記:對于該命題,我確信已發(fā)現(xiàn)一種奇妙的證明，可惜這里的空白太小，寫不下。費馬的話暗示人們，他由于發(fā)現(xiàn)這個美妙的證明而特別愉快，但卻不想勞神寫出證明的細節(jié)，更無心去發(fā)表它.《算術(shù)》中的注記大約寫于1６37年前后，在費馬于166５年1月1１日因病去世后,他的各種發(fā)現(xiàn)處于被永遠遺失的危險之中。幸運的是,16７０年，費馬的長子塞繆爾在圖盧茲出版《附有費馬評注的丟番圖的算術(shù)》，與的原版希臘文和拉丁譯文一起的還有費馬所做的４８條評注.不幸的是，費馬對這些評注或者根本沒有任何解釋，或者僅僅只給出對相關(guān)證明的一點點提示。其中略微透露出的帶有挑逗性的邏輯推理,足以使數(shù)學家們毫不懷疑費馬已經(jīng)有了證明的方法，而補全所有的細節(jié)就作為一種挑戰(zhàn)留給了他們。數(shù)學家們習慣于將已經(jīng)證明的定理作為通向其他成果的階梯，定理是數(shù)學的基礎(chǔ),因為一旦它們的正確性被證明，就可以放心地在它們上面建立別的定理。未經(jīng)證實的想法是很難評價的，因此被稱之為猜想。任何依靠猜想而進行的邏輯推理,其本身也是一個猜想。費馬所寫下的每一條定理，實際上應(yīng)該稱為猜想，都應(yīng)該加以證明,這是至關(guān)重要的。不能僅因為費馬說過他對某一定理已有一個證明就信以為真.每一個定理在能被使用之前，必須經(jīng)過極其嚴格的證明，否則其后果可能是災(zāi)難性的。隨著幾個世紀的時光流逝,費馬的眾多評注一個接一個地獲得證明。然而,我們剛才提到的那個,卻固執(zhí)地拒絕被如此輕易地征服。事實上，它之所以被稱為“最后”定理(Fermaｔ’sLastTheory）,是因為它是需要被證明的評注中的最后一個.費馬說過他對他的每一個評注都有證明，因而在他看來它們都是定理。然而,在數(shù)學界能重新發(fā)現(xiàn)這一個個的證明之前,每個評注只能被當作猜想。事實上，近350年來,費馬大定理應(yīng)該更準確地被稱為費馬大猜想。2.2解謎的方法圖9-2歐拉(1707-1783)費馬去世一個世紀以后，對于費馬大定理僅發(fā)現(xiàn)兩種特殊情況的證明。1７５3年歐拉寫信給哥德巴赫稱自己證明了n圖9-2歐拉(1707-1783)借助于無窮遞降法，歐拉找到了ｎ=4時的證明.隨之便開始實始自己的計劃，對一切ｎ構(gòu)造一種證明方法。除了要向上構(gòu)造至無窮外，他還必須向下構(gòu)造n=3的情形。為了將費馬的證明延伸到n=3的情形,歐拉引入了一類特殊的復(fù)整數(shù)概念。通過修改費馬的證明,即引入復(fù)整數(shù)a+ｂ–３后,無窮遞降法也可證明ｎ=3時的費馬大猜想.歐拉的策略曾使他從著名的哥尼斯堡七橋問題很快發(fā)展出一般的網(wǎng)絡(luò)理論。然而，面對費馬大猜想,歐拉的這一方法卻在走出第一步之后就顯得舉步維艱。他引進復(fù)整數(shù)的方法在其他情形下并不湊效。截止歐拉的時代，數(shù)學家們對于費馬大猜想所取得的進展慢得讓人發(fā)窘,但情況還不像初看時感到的那么糟糕。這是因為，反證法可以使數(shù)學家們認識到如下事實，即如果證明了n＝k的情形,數(shù)學家們便在實質(zhì)上也證明了n為k的倍數(shù)時的情形。所以歐拉的工作實質(zhì)上也證明了n=6，9，１2,15,……等多種情形。這使得我們想起，既然任何正整數(shù)都可以表成某些素數(shù)的乘積,那么，只要證明n取奇素數(shù)時費馬大猜想成立,也就等于證明了費馬大猜想對于所有正整數(shù)n都成立。在0和100之間有25個素數(shù),除去2和3，只剩下2３個。而且越往后素數(shù)的個數(shù)會越來越稀少。合數(shù)的個數(shù)似乎遠遠多于素數(shù)的個數(shù),因此從表面上看來，費馬大猜想的證明似乎也已經(jīng)解決了一大半。然而,我們不要忘了歐幾里得證明的那個結(jié)論，即素數(shù)的個數(shù)是無窮的。也就是說，我們?nèi)匀挥袩o窮多個命題需要證明。轉(zhuǎn)而考慮n為奇素數(shù)時的費馬大猜想，并沒有在實質(zhì)上給我們帶來任何解決問題的希望。但這一思想?yún)s為下一次關(guān)于證明費馬大猜想的突破指明了方向。就在歐拉聲稱他證明了n=3情形下的費馬大猜想之后半個世紀，關(guān)于費馬大猜想的證明又迎來了第二次突破性成果。取得此次突破的是一位年輕的法國女性，她叫索菲·熱爾曼。據(jù)傳熱爾曼在13歲時便被阿基米德之死的故事所震憾：如果一個人會如此癡迷于一個數(shù)學問題而不顧生死,那么數(shù)學必定是世界上最迷人的學科了。從此他便開始迷戀于數(shù)學。為了尋求數(shù)學知識，熱爾曼冒名一位退學的男生，進入巴黎綜合工科學校學習。不久，她的才華便得到了拉格朗日的賞識。在拉格朗日的鼓勵下，熱爾曼開始與高斯通信。正是在與高斯的通信過程中，她提出了自己關(guān)于費馬大猜想的若干想法。圖9-3熱爾曼(1776-1831)熱爾曼采用了一種新的策略：她直接的目標并不是去證明一種特殊情形下的費馬大猜想，而是一次就得出適合許多情形的解答.即當p和2ｐ+1皆為素數(shù)時,xp+yｐ、=zp大概無整數(shù)解。今天我們已習慣于將使得(2p+1）也為素數(shù)的那類素數(shù)p稱為熱爾曼素數(shù),以紀念這位女性。而這里的“大概"意指，對于n為熱爾曼素數(shù)時，費馬方程有解存在是不太可能的。因為如果有解存在,那么x，y中的一個或z將是n的倍數(shù),而這就將對解加上非常嚴格的限制。熱爾曼的工作,使得費馬大猜想的證明被劃分為兩種情形。即在p為奇素數(shù)時，方程xｐ+yｐ、＝zp無其積不能被p整除的整數(shù)解，和方程xp＋yp、=ｚp也無其積可以被p整除的整數(shù)解。熱爾曼自己驗證了在p<100時，第一種情形成立。在熱爾曼的工作基礎(chǔ)上,1825年，狄利克雷(180５—圖9-3熱爾曼(1776-1831)圖9-4拉梅(1795-1870)１8４7年３月1日，巴黎科學院開會,拉梅宣稱他證明了費馬大定理,而且報告了他的證明梗概。拉梅的策略是想把自己對n=7時的證明方法推廣到一般情形。為了把費馬方程的左端分解成一次因子,拉梅借用了1的n次復(fù)根,從而引入了分圓整數(shù)的概念。事實上,歐拉對n=3就是這么做的，而且拉格朗日曾指出，在研究費馬大定理時，可以引入n次單位根把xｎ+yn分解成n個一次因子的乘積。拉梅在引入分圓整數(shù)后,不加證明地把通常的素數(shù)理論推廣到分圓整數(shù)上,從而埋下了失敗的伏筆。這個表面上沒有問題的證明當時就遭到劉維爾的反對，因為他看出了拉梅證明中的薄弱環(huán)節(jié)：在分圓整數(shù)域中，素因子唯一分解定理并不成立.不過拉梅的證明過程所存在的主要問題，卻導致了一個全新的數(shù)學領(lǐng)域的誕生：(1）在分圓整數(shù)域Ｚ（）之中,兩個整數(shù)的最大公因數(shù)是什么?（2）分圓整數(shù)是一個分圓整數(shù)的p次冪，且和沒有公因數(shù)或說互素時,是否可以推出和也是分圓整數(shù)的p次冪?（3)對圖9-4拉梅(1795-1870)2.3產(chǎn)下金蛋就在拉梅準備發(fā)表他的論文時，法國科學院收到了德國軍事工程專家?guī)炷瑺柕膩硇?。根?jù)拉梅事前透露的信息，庫默爾發(fā)現(xiàn)法國人正在走入一條邏輯死胡同：他們的證明都要借助“唯一因子分解定理”,而該定理對于復(fù)整數(shù)是不成立的。為了重建唯一因子分解定理,庫默爾創(chuàng)立了理想數(shù)理論，使得數(shù)域的內(nèi)涵得到再次擴張.利用理想數(shù)理論，庫默爾成功證明對于許多素數(shù)費馬大定理成立。不過,庫默爾的工作也使人們意識到費馬大定理的完整證明是當時的數(shù)學方法不可能實現(xiàn)的。這是數(shù)學邏輯的光輝一頁,但也是對希望能解決這個世界上最為棘手的數(shù)學問題的整整一代數(shù)學家的巨大打擊.圖9-5圖9-5庫默爾(1810-1893)人們普遍認為高斯是在證明了歐拉發(fā)現(xiàn)的二次互反律之后，為了將其結(jié)論推廣到三次或四次互反律而引進復(fù)整數(shù)的，但我們有理由相信，他的某些思想原本是他在探尋證明費馬定理的過程中所獲得的結(jié)果。有證據(jù)顯示,高斯曾研究過n=3和n＝7情形的費爾馬定理。只是高斯平生比較謹慎，對于自己沒有完全把握的事很少聲張而已，這從他對非歐幾何的工作也可見一般。高斯對各種數(shù)域中的素因子唯一分解定理給予了高度重視。他明確指出，在復(fù)整數(shù)域中，若不把四個可逆單位元素作為不同的因數(shù),那么,唯一因子分解定理仍然成立。高斯的學生戴德金以全新而富有啟發(fā)性的方式探討唯一分解問題.1871年,他推廣了高斯的復(fù)整數(shù)和庫默爾的代數(shù)數(shù)理論，創(chuàng)立了現(xiàn)代代數(shù)數(shù)理論。在代數(shù)數(shù)的概念一般化之后,戴德金就用一種不同于庫默爾的做法來重建代數(shù)數(shù)域中的唯一因子分解定理，他引進了代數(shù)數(shù)類代替理想數(shù)，為了紀念庫默爾的理想數(shù)，今天，我們就把它們稱為理想.代數(shù)數(shù)論的工作,在十九世紀末被希爾伯特推至頂峰。數(shù)學上一個看似平常的特殊問題,有時甚至會對數(shù)學本身的發(fā)展產(chǎn)生難以估量的影響。費馬大猜想與代數(shù)數(shù)論的關(guān)系就是這方面的一個極好的例子。代數(shù)數(shù)論本來是研究費馬大猜想的一種方案,而現(xiàn)在，自身卻變成了一個目的。它的創(chuàng)立被認為十九世紀代數(shù)學上最大的成就。難怪在問及為何不設(shè)法證明費馬大猜想時，希爾伯特的回答卻是：“我為什么要殺死一只會產(chǎn)金蛋的鵝”。當然，希爾伯特的話還有另一層含義.1908年，德國人沃爾夫斯凱爾遺贈10萬馬克為解決費爾馬大定理設(shè)獎,這筆獎金頒發(fā)之前，其利息交由格廷根科學院一個委員會處置，而希爾伯特是該委員會的主席。于是在定理尚未證明之前,希爾伯特有權(quán)將其利息用來發(fā)展格廷根的數(shù)學事業(yè)。面對費馬大定理一時難以證明的事實，數(shù)學家們不再在庫默爾和其他19世紀數(shù)論學家的工作上添磚加瓦，而是開始探索他們自己學科的基礎(chǔ)，目的在于提出關(guān)于數(shù)的一些最基本的問題.羅素、希爾伯特、哥德爾先后開始了他們重建數(shù)學基礎(chǔ)的工作。他們有一個目的，就是要弄清楚數(shù)學的最深刻的性質(zhì)以便掌握它們的真實意義和發(fā)現(xiàn)哪些問題是數(shù)論能夠解決的,更重要的是發(fā)現(xiàn)哪些問題是數(shù)論無法回答的。1931年哥德爾的不完全性定理發(fā)表以后，給所有正在堅持嘗試證明費馬大猜想的數(shù)學家送去了令人煩惱的信息-—或許費馬大猜想是不可判定的！數(shù)學家們花了幾個世界的時間卻是在尋找一個根本不存在的證明.然而，奇怪的是，根據(jù)哥德爾的理論,如果費馬大猜想結(jié)果是不可判定的，那么這將隱含著它必定是對的。關(guān)于這一點,反證法的思想仍然可以給我們一點說明:大定理說費馬方程無解.如果大定理事實上是錯的,那么就有可能通過確定一個解（一個反例）來證明這一點.于是，大定理將是可判定的.也就是說,是錯的將與不可判定不相容。3.神秘的終結(jié)者3．1終結(jié)者降生現(xiàn)在終于輪到終結(jié)者出場了。懷爾斯于1953年4月11日生于英國劍橋。從10歲起，費馬大定理就一直是他最大的興趣所在.在隨后的十幾年里，懷爾斯所做的大部分事情都是為迎接費馬的挑戰(zhàn)作著準備。然而,當他步入劍橋大學開始自己的研究生學業(yè)之后，他不得不暫時放棄自己的夢想：“我進入劍橋時，我真正把費馬大定理擱在一邊了.這不是因為我忘了它，它總在我的心頭，而是我認識到我們所掌握的用來攻克它的全部技術(shù)已經(jīng)反復(fù)使用了130年。這些技術(shù)似乎沒有真正地觸及問題的根本所在.”懷爾斯于1975年進入劍橋大學，跟隨導師從事“橢圓曲線”的研究。所謂橢圓曲線實質(zhì)上是一些特殊形式的三次不定方程，之所以如此稱呼，是因為它們在過去常常被用來計算橢圓的周長和行星軌道的長度。為了清晰起見,我們不妨稱其為橢圓方程。橢圓方程之所以特別吸引人，原因在于它們占有一個很有意思的地位——介于別的較簡單的幾乎是平常的方程與另一些復(fù)雜得多甚至是不可能解出的方程之間.通過簡單地改變一般橢圓方程中的系數(shù)值，數(shù)學家可以構(gòu)造出無窮多種方程,每種都有自己的特性，但它們都恰好是可解的.在懷爾斯讀研期間研究的方程中,決定其解的確切個數(shù)是非常困難的。因而取得進展的唯一辦法是將問題簡化.為此，數(shù)學家們采取了一種類似于時鐘的算法,即同余類算法。數(shù)可以被想象成為沿著一條無窮伸展的數(shù)軸上的點。為了使數(shù)的范圍有限，時鐘算術(shù)采用了截斷這條數(shù)直線并將其繞回去的方法構(gòu)成一條環(huán)路。因為在時鐘算法中，數(shù)的同余類是有限的,對給定的時鐘算術(shù)算出橢圓方程的所有可能的解就相對容易完成.由于在無限個數(shù)的范圍內(nèi)無法列出一個橢圓方程的所有解，數(shù)學家們(包括懷爾斯)就改為在各種不同的時鐘算術(shù)中求出解的個數(shù)。概括地說，一個橢圓方程若在n格時鐘算法中有m個解，數(shù)學家們就會寫下一個記號Ｅn=ｍ。把該橢圓方程在每個時鐘算法中的解的個數(shù)列成一張表，它就是橢圓方程對應(yīng)的L序列.L序列濃縮著關(guān)于它描述的那個橢圓方程的許多信息.如同生物中的DNＡ攜帶著構(gòu)成生命組織所需的全部信息一樣，L序列攜帶著橢圓方程的本質(zhì)要素。數(shù)學家們希望通過研究Ｌ序列這個方程的ＤNA,最終能夠算出他們曾想要知道的有關(guān)橢圓方程的一切東西。懷爾斯在導師的指導下，很快就對橢圓方程及其L序列具有了深刻理解。３年的研究生學習，已經(jīng)為懷爾斯徹底解決費馬大猜想奠定了堅實的基礎(chǔ)。可是我們的這位注定了將要成為終結(jié)者的主人公，當時對此卻并無知覺.要讓其意識到自己的使命，還必須等待其他一些人物的出場.1978年,懷爾斯取得博士學位。之后便橫渡大西洋前往普林斯頓大學工作.3。2朗蘭茲綱領(lǐng)也是在普林斯頓，時間回溯至１9６７年，一位名叫朗蘭茲的數(shù)學家提出一個猜想，意思大概是在數(shù)論、自守形式、表示論之間存在著一種對應(yīng)關(guān)系。后來他將這一猜想進一步拓展，試圖尋找所有主要數(shù)學領(lǐng)域之間原本就存在著的統(tǒng)一的連接鏈環(huán)。朗蘭茲爭取說服其他數(shù)學家加入這個被稱為朗蘭茲綱領(lǐng)的計劃，齊心協(xié)力地尋找這種鏈環(huán)的存在性。如果這個夢想成圖9-6圖9-6朗蘭茲(1936-)截止70年代,朗蘭茲綱領(lǐng)已經(jīng)成了數(shù)學未來的一份藍圖，但這條通向問題解答者天堂的道路卻被一個簡單的事實所阻攔,即沒有人有任何切實可行的方法來證明朗蘭茲的任何一個猜想。在數(shù)學王國的所有島嶼之間,似乎只有一座橋梁若隱若現(xiàn)，那就是谷山—志村猜想。它的提出者是兩位日本數(shù)學家，谷山豐和志材五郎。后者今天依然健在,而前者卻在英年31歲時自殺身亡。谷山志村猜想使人們看見了橢圓方程與模形式兩個截然不同的數(shù)學世界間隱藏著一座溝通橋梁。模形式(mｏduｌarfｏｒmｓ）是數(shù)學中最為深奧的內(nèi)容之一。處于四維“雙曲空間”中的模形式在外形和規(guī)模上是各種各樣的，但好在每一個都是由相同的一些基本要素構(gòu)造出來的，各個模形式之間的差別在于它包含各種要素的量不同。模形式的要素可以從１開始編號到無窮,因此一個特定的模形式可能包含1個1號要素，3個２號要素，２個3號要素，等等。這些刻畫了模形式是如何構(gòu)造的信息可以概括成為所謂的模序列,或稱Ｍ序列，即要素(n)及每一要素所需要的數(shù)量（k)組成的表Mn=ｋ。Ｍ序列是模形式的DＮA。模形式是一種異乎尋常的復(fù)雜對象，之所以要研究它，主要是因為它的對稱性以及由于它只是在1９世紀剛被發(fā)現(xiàn)。然而,谷山和志村卻使數(shù)學界震驚地想到橢圓方程和模形式實質(zhì)上是完全相同的東西.按照這兩位有獨特見解的數(shù)學家的說法，他們能夠?qū)⒛Ｊ澜缗c橢圓方程世界統(tǒng)一起來.這是一個驚人的發(fā)現(xiàn)，表面上完全不同的研究方向之間存在的聯(lián)系對于創(chuàng)造新的成果至關(guān)重要,這一點在數(shù)學中與在別的學科中是一樣的。這種聯(lián)系暗示著存在某種深藏的使這兩個方向都更為增色的真理。谷山志村的猜想在兩個原本被獨立研究著的數(shù)學領(lǐng)域內(nèi)設(shè)計了一座橋梁.數(shù)學中的橋有著巨大的價值。它們使生活在孤島上的各個數(shù)學家能夠相互交流想法，探討彼此的創(chuàng)造。數(shù)學是由未知海洋中的一個個知識孤島組成的。谷山志村猜想的巨大潛力在于它將溝通這兩個孤島。使孤島上操有不同語言的數(shù)學家們可以彼此對話。有人曾形象地將其比作羅賽塔石碑.谷山志村猜想的證明將會是實現(xiàn)朗蘭茲綱領(lǐng)的第一步,正因為如此，它成為了現(xiàn)代數(shù)論中最有價值的猜想之一。在朗蘭茲綱領(lǐng)的引領(lǐng)下,一些急切的熱心解題者，已經(jīng)開始在這座尚未建成的橋梁上搭建大廈.歐幾里得的反證法在此再次發(fā)揮了它巨大的作用.1984年,一位名叫格哈德·費賴的人給出了如下猜想：假如谷山志村猜想成立,則費爾馬猜想為真。通過將費馬方程轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€橢圓方程，我們姑且稱其為弗賴橢圓方程，費賴進行了如下推理：當且僅法費馬大猜想是錯的,則存在弗賴橢圓方程；弗賴橢圓方程是如此地古怪以致它決不可能被模形式化；谷山-志村斷言每一個橢圓方程必定可以模形式化；因而谷山—志村猜想必定是錯的。將這一推理過程倒轉(zhuǎn)過來，即可證明他的猜想成立。費賴的杰出見解在198６年由肯·里貝特給出完整嚴密的證明。從此，費馬大定理不可擺脫地與谷山志村猜想聯(lián)結(jié)在一起,如果有人能證明每一個橢圓方程都可以模形式化,那么這就隱含費馬方程無解，于是可立即證明費馬大定理。3。3終結(jié)之路自懷爾初識費馬大定理以來，已經(jīng)2０多年過去了，但現(xiàn)在,他第一次望見了一條實現(xiàn)童年夢想的道路。他雖然懂橢圓方程，但他也清楚即使憑借自己廣博的基礎(chǔ)知識和數(shù)學修養(yǎng)，未來的工作仍然極為艱巨。于是他把自己關(guān)在閣樓上,著手籌劃著一次終結(jié)之旅。懷爾斯決定要完全獨立和保密地進行研究.現(xiàn)代數(shù)學已經(jīng)發(fā)展成為一種合作性的文化。因此，懷爾斯的決定似乎使他返回到了以前的時代,仿佛他正在仿效著著名的數(shù)學隱士費馬本人。為了證明費馬大猜想，懷爾斯必須證明谷山志村猜想：每一個橢圓方程可以相關(guān)于一個模形式.即使在它與費馬大猜想聯(lián)系起來之前，數(shù)學家們也曾徒勞地試圖證明這個猜想,但每一次嘗試都以失敗而告終。經(jīng)過一年多的思考,懷爾斯決定采用歸納法的一般方法作為他的證明基礎(chǔ)。盡管這是一個傳統(tǒng)的證明方法，但卻是一種極其有效的證明形式,因為它允許數(shù)學家通過只對一種情形證明某個命題的辦法,來證明該命題對無限多個情形都成立。歸納法的基本思路在于：先證明命題對第一種情形成立；再證明若該命題對任何一種情形成立,則它一定對下一個情形成立。懷爾斯面臨的挑戰(zhàn)是,構(gòu)造一個歸納法的論證來證明無窮多個橢圓方程中的每一個都和無窮多個模形式中的每一個相配對。借助于伽羅瓦發(fā)明的群理論，懷爾斯在他的歸納法上走出了證明的第一步。懷爾斯一改數(shù)學家以往對待谷山志村猜想的方法，借助于L序列和M序列的自然順序，創(chuàng)造性的證明了每一個L序列的第一個元素可以與M序列的第一個元素相配對。懷爾斯要走出的第二步是證明，如果L序列的任一個元素和M序列的對應(yīng)元素配對，那么下一個元素必定也可以配對。然而就在他秘密地工作了兩年之后，1９８8年，《華盛頓郵報》和《紐約時報》等都以頭版標題宣布了費馬大猜想已被一位日本數(shù)學家宮岡洋一（ＹoｉｃｈiMｉyaoka）所證明的消息.這不能不令懷爾斯大吃一驚。宮岡洋一是從一個全新的角度，即從微分幾何學的角度出發(fā)來處理費馬問題的。他依據(jù)的是一種所謂的并行論哲學，即希望通過考察微分幾何學中對應(yīng)的已被解答的問題來解決數(shù)論中未解答的問題。這其實也是朗蘭茲綱領(lǐng)的一部分。嘗試解決數(shù)論中問題的微分幾何學家被稱為算術(shù)代數(shù)幾何學家,１9８３年，他們宣布了第一個重大勝利.當時也在普林斯頓的法爾廷斯對理解費馬大定理作出了一個重要貢獻。他并沒有給出費馬大定理的完整證明,但他的工作至少已經(jīng)能夠排除費馬方程有無限多個解的可能.而這一次，宮岡宣稱他更進了一步.他在20出頭時就提出了一個有關(guān)所謂宮岡不等式的猜想。已經(jīng)清楚的是，如果他自己的這個幾何猜想得到證明,那么這將表明費馬方程解的個數(shù)不僅僅是有限的，而且只能是零。宮岡和懷爾斯的處理方式相似之處在于他們都試圖通過把大定理與另一個不同數(shù)學領(lǐng)域中的基本猜想聯(lián)系起來加以證明。這個數(shù)學領(lǐng)域在宮岡的情形中是微分幾何，而對懷爾斯來說則是橢圓方程和模形式。圖9-7圖9-7懷爾斯(1953-)虛驚一場過后,為了走完歸納法中的第二步,徹底證明谷山志村猜想，從而證明費馬大定理，懷爾斯幾乎動用了20世紀及以前的大部分數(shù)學工具。1993年6月，懷爾斯回到劍橋,在那里，他終于可以公布自己七年來所取得的成果了。然而，就在懷爾斯將他的證明手稿投交ＩnvｅnｔionesMathematｉcae之后，不幸的事情還是發(fā)生了。懷爾斯的證明中存在著一個小問題。不過，在查德·泰勒的協(xié)助下,經(jīng)過一年多的努力。問題獲得圓滿解決.１9９4年1０月5日,從普林斯頓送出了兩份手稿，《模橢圓曲線和費馬大定理》（安德魯·懷爾斯）、《某些赫克代數(shù)的環(huán)論性質(zhì)》（理查德·泰勒和安德魯·懷爾斯)。這一次，對證明不再有懷疑了.這兩篇論文總共13０頁，作為歷史上核查得最徹底的數(shù)學稿件，最終發(fā)表在《數(shù)學年刊》（AｎnａlsofMathematiｃs，1９95年5月)上。懷爾斯的工作完全可以為自己贏得費爾茲獎，可惜的是,在正式完成證明的時候,他剛剛度過了獲獎的年限.1996年3月，懷爾斯與朗蘭茲共同分享了10萬美元的沃爾夫獎(ＷoｌfＰｒｉzｅ），這算是數(shù)學界里的終身成就獎。此外,沃爾夫斯凱爾獎的最后申請期限還沒有截止。1997年6月27日,懷爾斯還收到了價值５成美元的沃爾夫斯凱爾獎?？梢钥隙ǖ氖?懷爾斯的證明不同于費馬的證明,對于費馬遺失的證明，數(shù)學家們?nèi)匀荒K于是。不容置疑的是,懷爾斯的確利用20世紀的方法證明了一個1７世紀的難題。在懷爾斯經(jīng)受嚴峻考驗的8年中，他實際上匯集了2０世紀數(shù)論中所有的突破性工作，并把它們?nèi)诤铣梢粋€萬能的證明。他創(chuàng)造了全新的數(shù)學技術(shù),并將它們和傳統(tǒng)的技術(shù)以人們從未考慮過的方式結(jié)合起來。通過這樣的做法，他開辟了處理為數(shù)眾多的其他問題的新思路。谷山志村猜想，現(xiàn)在應(yīng)該稱谷山志村定理的重要性前已提及，懷爾斯使宏偉的朗蘭茲計劃跨出了第一步?，F(xiàn)在,在數(shù)學的其他領(lǐng)域之間證明統(tǒng)一化猜想的努力又重新恢復(fù)起來。4。無盡的追求4。１未解之謎成功之后的失落感是難免的,為了把最杰出的證明之一獻給數(shù)學,懷爾斯不得不使數(shù)學喪失了一個最誘人的謎。此后的一段時間里,常常有人半開玩笑的對懷爾斯講，你奪走了我們想要解決的問題，現(xiàn)在是否能給我們一點別的事情做做。其實世界上的解謎者們無需失去希望，因為還有大量未解決的數(shù)學難題.這些艱深的問題中有許多像費馬大定理一樣起源于古希臘的數(shù)學,并且中學生都能理解。例如關(guān)于完全數(shù)還有許多不解之謎（它們都是偶數(shù)嗎？它們有無窮多嗎？）。素數(shù)理論也是如此，如孿生素數(shù)問題((５,7),(17，19）,(2２27１,2２273)，（1０00０00000０61，10０００００0000６3）這樣的數(shù)對有多少？）,哥德巴赫猜想（1742年哥德巴赫寫信問歐拉是否能夠證明每個偶數(shù)可以分解成兩個素數(shù)之和，19６6年陳景潤證明了“每個大偶數(shù)都是一個素數(shù)及一個不超過兩個素數(shù)的乘積之和",這是迄今在哥德巴赫猜想方面最好的結(jié)果。如同谷山志村猜想之于費馬大猜想一樣，有人證明了如果黎曼猜想成立，則哥德巴赫猜想也成立,可在如何證明黎曼猜想方面，迄今取得的成就仍然少得可憐。)等等,此外，還有連接數(shù)論與函數(shù)論領(lǐng)域的黎曼猜想，拓撲學的的龐加萊猜想,像這樣具體的問題舉不勝數(shù)。以下讓我們僅從戰(zhàn)略上來看看費馬大定理解決后的數(shù)學格局。（1)費馬大定理只是千千萬萬個丟番圖方程中的一個,其它許許多多丟番圖問題并未解決,或者并沒有徹底解決，而這些方程仍將成為數(shù)學繼續(xù)前進的動力。(2)費馬大定理引出的代數(shù)數(shù)論已經(jīng)成為一門獨立的前沿學科，它經(jīng)歷過代數(shù)數(shù)理論、類域論、局部理論、非阿貝爾理論，現(xiàn)已匯入朗蘭茲綱領(lǐng)的框架之中,與許多學科,如代數(shù)K理論，群表示等密切相關(guān)。另外，它的一些原始問題如類數(shù)的計算仍是令人頭痛的事。(3）代數(shù)數(shù)論與代數(shù)幾何已密不可分，特別是韋依猜想證明之后,這種關(guān)系越發(fā)密切，有一些統(tǒng)一的猜想，如貝林森猜想等正等待大手筆的解決.（４）代數(shù)曲線論仍然還有一些遺留問題，特別是橢圓曲線的三大猜想仍然迫在眉睫，但是,人們已經(jīng)開始向代數(shù)曲線進軍了。（5)更一般的理論，數(shù)論和代數(shù)幾何的理論和工具庫中還有