第六章三常用連續(xù)型隨機(jī)變量的理論分布

第六章三常用連續(xù)型隨機(jī)變量的理論分布第一頁，共七十九頁，2022年，8月28日一、正態(tài)分布正態(tài)分布是最重要的概率分布。因?yàn)?第一，許多自然現(xiàn)象與社會現(xiàn)象，都可用正態(tài)分布加以敘述；第二,許多概率分布以正態(tài)分布為其極限；第三，許多統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布呈現(xiàn)正態(tài)分布。因此，許多統(tǒng)計(jì)分析方法都是以正態(tài)分布為基礎(chǔ)的。第二頁，共七十九頁，2022年，8月28日（一）正態(tài)分布的概率函數(shù)若連續(xù)型隨機(jī)變量x的概率分布密度函數(shù)為其中μ為平均數(shù)，σ2為方差，則稱隨機(jī)變量x服從正態(tài)分布(normaldistribztion)，記為x～N(μ,σ2)。相應(yīng)的概率分布函數(shù)為第三頁，共七十九頁，2022年，8月28日分布密度曲線99.74%68.26%95.46%第四頁，共七十九頁，2022年，8月28日(二)正態(tài)分布的特征1.正態(tài)分布密度曲線是單峰、對稱的懸鐘形曲線，對稱軸為x=μ；2.f(x)在x=μ處達(dá)到極大，極大值；3.f(x)是非負(fù)函數(shù)，以x軸為漸近線，分布從-∞至+∞；第五頁，共七十九頁，2022年，8月28日4.曲線在x=μ±σ處各有一個拐點(diǎn)，即曲線在(-∞,μ-σ)和(μ+σ,+∞)區(qū)間上是下凸的，在[μ-σ,μ+σ]區(qū)間內(nèi)是上凸的；5.正態(tài)分布有平均數(shù)μ和標(biāo)準(zhǔn)差σ兩個參數(shù)。μ是位置參數(shù)，σ是變異度參數(shù)。第六頁，共七十九頁，2022年，8月28日圖1

標(biāo)準(zhǔn)差相同(1)而平均數(shù)不同(=0、=1、=2)的三個正態(tài)分布曲線圖2

平均數(shù)相同(0)而標(biāo)準(zhǔn)差不同(=1、=1.5、=2)的三個正態(tài)分布曲線第七頁，共七十九頁，2022年，8月28日6.分布密度曲線與橫軸所夾面積為1，即：第八頁，共七十九頁，2022年，8月28日正態(tài)分布是依賴于參數(shù)μ和σ的一簇分布。將一般的N(μ，σ2)轉(zhuǎn)換為μ=0，σ2=1的正態(tài)分布，應(yīng)用就方便了。稱μ=0,σ2=1的正態(tài)分布為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布(standardnormaldistribztion)。（三）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布第九頁，共七十九頁，2022年，8月28日標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)及分布函數(shù)分別記作φ(z)和Φ(z)，得：

隨機(jī)變量z服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記作z～N(0，1)。2221)(zez-=pjdzezzzò￥--=22121)(pf第十頁，共七十九頁，2022年，8月28日對于任何一個服從正態(tài)分布N(μ,σ2)的隨機(jī)變量x，都可以通過標(biāo)準(zhǔn)化變換：z=(x-μ)／σ將其變換為服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量z。z稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量或標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)離差(standardnormaldeviate)。第十一頁，共七十九頁，2022年，8月28日（四）正態(tài)分布的概率計(jì)算１．標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率計(jì)算設(shè)z服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則z在[z1,z2）何內(nèi)取值的概率為：＝Φ(z2)－Φ(z1)而Φ(z1)與Φ(z2)可由附表查得。dzedzedzezzzPzzzzzzzòòò￥--￥----==<￡122221221212121212121)(ppp第十二頁，共七十九頁，2022年，8月28日【例】已知z-N(0，1)，試求：(1)P(z＜-1.64)＝?(2)P(z≥2.58)=?(3)P(｜z｜≥2.56)=?(4)P(0.34≤z＜1.53)=?第十三頁，共七十九頁，2022年，8月28日關(guān)于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，以下幾種概率應(yīng)當(dāng)熟記：P（-1≤z＜1）=0.6826P（-2≤z＜2）=0.9546

P（-3≤z＜3）=0.9974P（-1.96≤z＜1.96）=0.95P(-2.58≤z＜2.58)=0.99第十四頁，共七十九頁，2022年，8月28日標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的三個常用概率99.74%68.26%95.46%第十五頁，共七十九頁，2022年，8月28日z在上述區(qū)間以外取值的概率分別為：P(｜z｜≥1)=2Φ(-1)=1-P(-1≤z＜1)=1-0.6826=0.3174P(｜z｜≥2)=2Φ(-2)=1-P（-2≤z＜2）=1-0.9545=0.0455P(｜z｜≥3)=1-0.9973=0.0027P(｜z｜≥1.96)=1-0.95=0.05P(｜z｜≥2.58)=1-0.99=0.01第十六頁，共七十九頁，2022年，8月28日２．一般正態(tài)分布的概率計(jì)算正態(tài)分布密度曲線和橫軸圍成的區(qū)域，其面積為1，是一個必然事件。若隨機(jī)變量x服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，則x的取值落在任意區(qū)間[x1,x2）的概率，記作P(x1≤x＜x2)，等于這部分曲邊梯形面積。即：第十七頁，共七十九頁，2022年，8月28日對上式作變換z=(x-μ)／σ，得dx=σdz，故有其中，z1=(x1-μ)／σ，z2=(x2-μ)／σ））（）（122121221zzdzezzzF-F==ò-p第十八頁，共七十九頁，2022年，8月28日這表明服從正態(tài)分布N(μ,σ2)的隨機(jī)變量x在[x1，x2）內(nèi)取值的概率，等于服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量z在[(x1-μ)／σ,(x2-μ)／σ）內(nèi)取值的概率。因此，計(jì)算一般正態(tài)分布的概率時，只要將區(qū)間的上下限作適當(dāng)變換(標(biāo)準(zhǔn)化)，就可用查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率表的方法求得概率了。第十九頁，共七十九頁，2022年，8月28日xms一般正態(tài)分布

=1Z標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布第二十頁，共七十九頁，2022年，8月28日【例】設(shè)x服從μ=30.26，σ2=5.102的正態(tài)分布，試求P(21.64≤x＜32.98)。令則z服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，故=P(-1.69≤z＜0.53)=Φ(0.53)-Φ(-1.69)=0.7019-0.04551=0.656410.526.30-=xz第二十一頁，共七十九頁，2022年，8月28日

關(guān)于一般正態(tài)分布，以下幾個概率是經(jīng)常用到的。P(μ-σ≤x＜μ+σ)=0.6826P(μ-2σ≤x＜μ+2σ)=0.9546P(μ-3σ≤x＜μ+3σ)=0.9974P(μ-1.96σ≤xμ+1.96σ)=0.95

P(μ-2.58σ≤xμ+2.58σ)=0.99第二十二頁，共七十九頁，2022年，8月28日

圖中的點(diǎn)稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的的分位點(diǎn)，相當(dāng)于已知標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù)圖形為：3、正態(tài)分布分位點(diǎn)計(jì)算正態(tài)分布的分位點(diǎn)的定義：求其中的

第二十三頁，共七十九頁，2022年，8月28日4、單側(cè)概率與雙側(cè)概率統(tǒng)計(jì)學(xué)中，把隨機(jī)變量x落在區(qū)間(μ-kσ,μ+kσ)之外的概率稱為雙側(cè)(兩尾)概率，記作α。對應(yīng)于雙側(cè)概率可以求得隨機(jī)變量x小于μ－kσ或大于μ+kσ的概率，稱為單側(cè)概率，記作α／2。第二十四頁，共七十九頁，2022年，8月28日如，x落在(μ-1.96σ,μ+1.96σ)之外的雙側(cè)概率為0.05，而單側(cè)概率為0.025。即P(x＜μ-1.96σ)=P(x＞μ+1.96σ)=0.025x落在(μ-2.58σ,μ+2.58σ)之外的雙側(cè)概率為0.01，而單側(cè)概率P(x＜μ-2.58σ)=

P(x＞

μ+2.58σ)=0.005第二十五頁，共七十九頁，2022年，8月28日（五）二項(xiàng)分布及泊松分布與正態(tài)分布的關(guān)系對于二項(xiàng)分布，在n→∞，p→0，且np=λ(較小常數(shù))情況下，二項(xiàng)分布趨于泊松分布。在這種場合，泊松分布中的參數(shù)λ用二項(xiàng)分布的np代之；在n→∞，p→0.5時，二項(xiàng)分布趨于正態(tài)分布。在這種場合，正態(tài)分布中的μ、σ2用二項(xiàng)分布的np、npq代之。在實(shí)際計(jì)算中，當(dāng)p＜0.1且n很大時，二項(xiàng)分布可由泊松分布近似；第二十六頁，共七十九頁，2022年，8月28日當(dāng)p＞0.1且n很大時，二項(xiàng)分布可由正態(tài)分布近似。對于泊松分布，當(dāng)λ→∞時，泊松分布以正態(tài)分布為極限。在實(shí)際計(jì)算中，當(dāng)λ≥20時，用泊松分布中的λ代替正態(tài)分布中的μ及σ2，即可由后者對前者進(jìn)行近似計(jì)算。第二十七頁，共七十九頁，2022年，8月28日二、抽樣分布與中心極限定理研究總體與從中抽取的樣本之間的關(guān)系是統(tǒng)計(jì)學(xué)的中心內(nèi)容。對這種關(guān)系的研究可從兩方面著手：一是從總體到樣本，這就是研究抽樣分布(samplingdistribution)的問題；二是從樣本到總體，這就是統(tǒng)計(jì)推斷(statisticalinference)問題。第二十八頁，共七十九頁，2022年，8月28日(一)抽樣分布的含義與無偏估計(jì)量1、抽樣分布的含義：統(tǒng)計(jì)推斷是以總體分布和樣本抽樣分布的理論關(guān)系為基礎(chǔ)的。由總體中隨機(jī)地抽取若干個體組成樣本，即使每次抽取的樣本含量相等，其統(tǒng)計(jì)量也將隨樣本的不同而有所不同。因而樣本統(tǒng)計(jì)量也是隨機(jī)變量，也有其概率分布，我們把統(tǒng)計(jì)量的概率分布稱為抽樣分布。第二十九頁，共七十九頁，2022年，8月28日2、無偏估計(jì)在統(tǒng)計(jì)學(xué)上，如果所有可能樣本的某一統(tǒng)計(jì)數(shù)的平均數(shù)等于總體的相應(yīng)參數(shù)，則稱該統(tǒng)計(jì)數(shù)為總體相應(yīng)參數(shù)的無偏估計(jì)值。第三十頁，共七十九頁，2022年，8月28日設(shè)有一N=3的總體，具有變量3，4，5；求得μ=4，σ2=0.6667，σ=0.8165現(xiàn)以n=2作獨(dú)立的回置抽樣，總共得Nn=32=9個樣本。抽樣結(jié)果列入下表：第三十一頁，共七十九頁，2022年，8月28日N=3n=2時抽樣的平均數(shù)方差標(biāo)準(zhǔn)差樣本編號樣本值平均數(shù)方差標(biāo)準(zhǔn)差1234567893，33，43，54，34，44，55，35，45，53.03.54.03.54.04.54.04.55.00.00.52.00.50.00.52.00.50.00.00000.70711.41420.70710.00000.70711.41420.70710.0000∑36.06.05.6567第三十二頁，共七十九頁，2022年，8月28日從上表的資料可以求出:樣本平均數(shù)的平均數(shù)μx=4樣本方差的平均數(shù)μS2=0.6667=σ2樣本標(biāo)準(zhǔn)差的平均數(shù)μS=0.6285≠0.8165=σ所以，惟有樣本標(biāo)準(zhǔn)差s的平均數(shù)不是總體標(biāo)準(zhǔn)差σ的無偏差估計(jì)值。其余兩個參數(shù)為無偏差估計(jì)值。第三十三頁，共七十九頁，2022年，8月28日(二)樣本平均數(shù)的抽樣分布1、樣本平均數(shù)抽樣分布的含義及其參數(shù)設(shè)有一個總體，總體平均數(shù)為μ,方差為σ2，總體中各變數(shù)為xi，將此總體稱為原總體。現(xiàn)從這個總體中隨機(jī)抽取含量為n的樣本，樣本平均數(shù)記為?？梢栽O(shè)想，從原總體中可抽出很多甚至無窮多個含量為n的樣本。第三十四頁，共七十九頁，2022年，8月28日總體隨機(jī)樣本123

無窮個樣本

……圖總體和樣本的關(guān)系如圖從一個總體進(jìn)行隨機(jī)抽樣可以得到許多樣本，如果總體是無限總體，那么可以得到無限多個隨機(jī)樣本。第三十五頁，共七十九頁，2022年，8月28日如果從容量為N的有限總體抽樣，若每次抽取容量為n的樣本，那么一共可以得到個樣本(所有可能的樣本個數(shù))。抽樣所得到的每一個樣本可以計(jì)算一個平均數(shù)，全部可能的樣本都被抽取后可以得到許多平均數(shù)。如果將抽樣所得到的所有可能的樣本平均數(shù)集合起來便構(gòu)成一個新的總體，平均數(shù)就成為這個新總體的變量。由平均數(shù)構(gòu)成的新總體的分布，稱為平均數(shù)的抽樣分布。隨機(jī)樣本的任何一種統(tǒng)計(jì)數(shù)都可以是一個變量，這種變量的分布稱為統(tǒng)計(jì)數(shù)的抽樣分布。除平均數(shù)抽樣分布外還有總和數(shù)、方差的抽樣分布等。第三十六頁，共七十九頁，2022年，8月28日由這些樣本算得的平均數(shù)與原總體平均數(shù)μ相比往往表現(xiàn)出不同程度的差異。這種差異是由隨機(jī)抽樣造成的，稱為抽樣誤差(samplingerror)。由樣本平均數(shù)構(gòu)成的總體稱為樣本平均數(shù)的抽樣總體，其平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差分別記為和。第三十七頁，共七十九頁，2022年，8月28日是樣本平均數(shù)抽樣總體的標(biāo)準(zhǔn)差，簡稱標(biāo)準(zhǔn)誤(standarderror)，它表示平均數(shù)抽樣誤差的大小。統(tǒng)計(jì)學(xué)上已證明總體的兩個參數(shù)與x總體的兩個參數(shù)有如下關(guān)系：

第三十八頁，共七十九頁，2022年，8月28日2、中心極限定理設(shè)有一個N=4的有限總體，變數(shù)為2，3，3，4。根據(jù)μ=Σx／N和σ2=Σ(x-μ)2／N求得該總體的μ、σ2、σ為：μ=3，σ2=1／2，σ=1/21/2=0.707第三十九頁，共七十九頁，2022年，8月28日從有限總體作回置隨機(jī)抽樣，所有可能的樣本數(shù)為Nn其中n為樣本含量。以上述總體而論，如果從中抽取n=2的樣本，共可得42=16個樣本；如果樣本含量n為4，則一共可抽得44=256個樣本。分別求這些樣本的平均數(shù)，其次數(shù)分布如下表所示。在n=2的試驗(yàn)中，樣本平均數(shù)抽樣總體的平均數(shù)、方差與標(biāo)準(zhǔn)差分別為：第四十頁，共七十九頁，2022年，8月28日=4/16=1/4=(1/2)/2=σ2/n第四十一頁，共七十九頁，2022年，8月28日表

N=4,n=2和n=4時的次數(shù)分布第四十二頁，共七十九頁，2022年，8月28日同理，可得n=4時：驗(yàn)證了的正確性。也可以將表中兩個樣本平均數(shù)的抽樣總體作次數(shù)分布圖。第四十三頁，共七十九頁，2022年，8月28日由以上模擬抽樣試驗(yàn)可以看出，雖然原總體并非正態(tài)分布，但從中隨機(jī)抽取樣本，即使樣本含量很小，樣本平均數(shù)的分布卻趨向于正態(tài)分布形式。隨著樣本含量n的增大，樣本平均數(shù)的分布愈來愈從不連續(xù)趨向于連續(xù)的正態(tài)分布。當(dāng)n＞30時，的分布就近似正態(tài)分布了。X變量與變量概率分布間的關(guān)系可由下列兩個定理說明：第四十四頁，共七十九頁，2022年，8月28日（1）若隨機(jī)變量x服從正態(tài)分布N(μ,σ2)；x1、x2、…、xn，是由x總體得來的隨機(jī)樣本，則統(tǒng)計(jì)量=Σx／n的概率分布也是正態(tài)分布，且有，即服從正態(tài)分布N(μ,σ2／n)。（2）若隨機(jī)變量x服從平均數(shù)是μ，方差是σ2的分布(不是正態(tài)分布)；x1、x2、…、xn，是由此總體得來的隨機(jī)樣本，則統(tǒng)計(jì)量=Σx／n的概率分布，當(dāng)n相當(dāng)大時逼近正態(tài)分布N(μ,σ2／n)。這就是中心極限定理。第四十五頁，共七十九頁，2022年，8月28日中心極限定理告訴我們：不論x變量是連續(xù)型還是離散型，也無論x服從何種分布，一般只要n＞30，就可認(rèn)為的分布是正態(tài)分布。若x的分布不很偏斜，在n＞20時，的分布就近似于正態(tài)分布了。第四十六頁，共七十九頁，2022年，8月28日由中心極限定理知，只要樣本容量適當(dāng)大，不論總體分布形狀如何，其的分布都可看作為正態(tài)分布，且具平均數(shù)和方差。在實(shí)際應(yīng)用上，如n>30就可以應(yīng)用這一定理。平均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)化分布是將上述平均數(shù)轉(zhuǎn)換為z變數(shù)。xxnxxzxsmsm)()(-=-=第四十七頁，共七十九頁，2022年，8月28日３、標(biāo)準(zhǔn)誤標(biāo)準(zhǔn)誤(平均數(shù)抽樣總體的標(biāo)準(zhǔn)差)的大小反映樣本平均數(shù)的抽樣誤差的大小，即精確性的高低。標(biāo)準(zhǔn)誤大，說明各樣本平均數(shù)間差異程度大，樣本平均數(shù)的精確性低。反之，小，樣本平均數(shù)的精確性高。的大小與原總體的標(biāo)準(zhǔn)差σ成正比，與樣本含量n的平方根成反比。從某特定總體抽樣，因?yàn)棣沂且怀?shù)，所以只有增大樣本含量才能降低樣本平均數(shù)的抽樣誤差。第四十八頁，共七十九頁，2022年，8月28日在實(shí)際工作中，總體標(biāo)準(zhǔn)差σ往往是未知的，因而無法求得。此時，可用樣本標(biāo)準(zhǔn)差S估計(jì)σ。于是，以估計(jì)。記為，稱作樣本標(biāo)準(zhǔn)誤或均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤。樣本標(biāo)準(zhǔn)誤是平均數(shù)抽樣誤差的估計(jì)值。若樣本中各觀測值為x1、x2、…、xn，則第四十九頁，共七十九頁，2022年，8月28日注意：樣本標(biāo)準(zhǔn)差與樣本標(biāo)準(zhǔn)誤是既有聯(lián)系又有區(qū)別的兩個統(tǒng)計(jì)量。二者的區(qū)別是樣本標(biāo)準(zhǔn)差S是反映樣本中各觀測值的變異程度，它的大小說明了對該樣本代表性的強(qiáng)弱。樣本標(biāo)準(zhǔn)誤是樣本平均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差，它是抽樣誤差的估計(jì)值，其大小說明了樣本間變異程度的大小及精確性的高低。第五十頁，共七十九頁，2022年，8月28日(二)兩個獨(dú)立樣本平均數(shù)差數(shù)的分布假定有兩個正態(tài)總體各具有平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差為，和，，從第一個總體隨機(jī)抽取n1個觀察值，同時獨(dú)立地從第二個總體隨時機(jī)抽取n2個觀察值。這樣計(jì)算出樣本平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差，s1和，s2。從統(tǒng)計(jì)理論可以推導(dǎo)出其樣本平均數(shù)的差數(shù)()的抽樣分布，具有以下特性：

(1)如果兩個總體各作正態(tài)分布，則其樣本平均數(shù)差數(shù)()準(zhǔn)確地遵循正態(tài)分布律，無論樣本容量大或小，都有N(，)。第五十一頁，共七十九頁，2022年，8月28日

(2)兩個樣本平均數(shù)差數(shù)分布的平均數(shù)必等于兩個總體平均數(shù)的差數(shù)，即

(3)兩個獨(dú)立的樣本平均數(shù)差數(shù)分布的方差等于兩個總體的樣本平均數(shù)的方差總和，即其差數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差為：這個分布也可標(biāo)準(zhǔn)化，獲得z值。nnyyz2221212121)()(ssmm+---=第五十二頁，共七十九頁，2022年，8月28日小結(jié)：若兩個樣本抽自于同一正態(tài)總體，則其平均數(shù)差數(shù)的抽樣分布不論容量大小亦作正態(tài)分布具：若兩個樣本抽自于同一總體，但并非正態(tài)總體，則其平均數(shù)差數(shù)的抽樣分布按中心極限定理在n1和n2相當(dāng)大時(大于30)才逐漸接近于正態(tài)分布。若兩個樣本抽自于兩個非正態(tài)總體，當(dāng)n1和n2相當(dāng)大、而與相差不太遠(yuǎn)時，也可近似地應(yīng)用正態(tài)接近方法估計(jì)平均數(shù)差數(shù)出現(xiàn)的概率，當(dāng)然這種估計(jì)的可靠性得依兩總體偏離正態(tài)的程度和相差大小而轉(zhuǎn)移。第五十三頁，共七十九頁，2022年，8月28日

[例]假定第一個總體包括3個觀察值，2、4和6(N1=3,n1=2)，所有樣本數(shù)為Nn=32=9個，總體平均數(shù)和方差=4，=8/3。第二個總體包括2個觀察值，3和6(N2=2)，抽出的樣本容量為3(n2=3)，所以所有樣本數(shù)為23=8個，總體平均數(shù)和方差=4.5，=2.25?，F(xiàn)將上述兩個總體的次數(shù)分布列于表１，并計(jì)算出其分布的參數(shù)。將第一總體的9個樣本平均數(shù)和第二總體的8個樣本平均數(shù)作所有可能的相互比較，這樣共有9×8=72個比較或72個差數(shù)，這72個差數(shù)次數(shù)分布列于表２和表３。第五十四頁，共七十九頁，2022年，8月28日表１從兩個總體抽出的樣本平均數(shù)的次數(shù)分布表ff213132434353526161總和9總和8

第五十五頁，共七十九頁，2022年，8月28日表２樣本平均數(shù)差數(shù)的次數(shù)分布表2，2，2，23，3，3，34，4，4，45，5，5，56，6，6，6總和3，4，5，63，4，5，63，4，5，63，4，5，63，4，5，6-1，-2，-3，-40，-1，-2，-3，1，0，-1，-22，1，0，-13，2，1，0f1，3，3，12，6，6，23，9，9，32，6，6，21，3，3，172表３樣本平均數(shù)差數(shù)分布的平均數(shù)和方差計(jì)算表ff()()()2()2-4-3-2-10123151218181251-4-15-24-18012103-3.5-2.5-1.5-0.50.51.52.53.512.256.252.250.250.252.256.2512.2512.2531.2527.004.504.5027.0031.2512.25總72-36150.00第五十六頁，共七十九頁，2022年，8月28日由表３可算得而

這與均相同。第五十七頁，共七十九頁，2022年，8月28日(三)二項(xiàng)總體的抽樣分布１、二項(xiàng)總體的分布參數(shù)（成數(shù)）標(biāo)準(zhǔn)差:方差:平均數(shù):

第五十八頁，共七十九頁，2022年，8月28日２、樣本平均數(shù)(成數(shù))的抽樣分布從二項(xiàng)總體進(jìn)行抽樣得到樣本，樣本平均數(shù)（成數(shù)）抽樣分布的參數(shù)為：平均數(shù):方差:標(biāo)準(zhǔn)誤:第五十九頁，共七十九頁，2022年，8月28日(四)不重復(fù)抽樣的修正系數(shù)前所講的抽樣分布和抽樣平均誤差的計(jì)算公式，都是就重復(fù)抽樣而言的?？梢宰C明，采用不重復(fù)抽樣時，平均數(shù)和比例的抽樣平均誤差應(yīng)為：

第六十頁，共七十九頁，2022年，8月28日可見，不重復(fù)抽樣的抽樣平均誤差公式比重復(fù)抽樣的相應(yīng)公式多一個系數(shù)這個系數(shù)稱為不重復(fù)抽樣修正系數(shù)。當(dāng)N很大時，（其中：n/N為抽樣比例）。實(shí)際中，當(dāng)抽樣比例很小時，（一般認(rèn)為小于5%），不重復(fù)抽樣的抽樣誤差常采用重復(fù)抽樣的公式計(jì)算。第六十一頁，共七十九頁，2022年，8月28日三、t分布1、t分布的定義：

若x～N(μ,σ2)，則～N(μ,σ2/n)。將隨機(jī)變量標(biāo)準(zhǔn)化得：，則z～N(0,1)。當(dāng)總體標(biāo)準(zhǔn)差σ未知時，以樣本標(biāo)準(zhǔn)差S代替σ所得到的統(tǒng)計(jì)量記為t。在計(jì)算時，由于采用S來代替σ，使得t變量不再服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，而是服從t分布(t－distribztion)。它的概率分布密度函數(shù)如下：

xxzsm/)(-=第六十二頁，共七十九頁，2022年，8月28日式中，t的取值范圍是（-∞，+∞）；

df=n-1為自由度。第六十三頁，共七十九頁，2022年，8月28日Γ-函數(shù)參考第六十四頁，共七十九頁，2022年，8月28日自由度df(degreeoffreedom)的含義

df=k=n-1第六十五頁，共七十九頁，2022年，8月28日T分布密度曲線第六十六頁，共七十九頁，2022年，8月28日2、t分布的圖形特征

t分布是類似正態(tài)分布的一種對稱分布，它通常要比正態(tài)分布平坦和分散。一個特定的分布依賴于稱之為自由度的參數(shù)。隨著自由度的增大，分布也逐漸趨于正態(tài)分布。xt

分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的比較t分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布t不同自由度的t分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布t(df=13)t(df=5)z第六十七頁，共七十九頁，2022年，8月28日（1）t分布受自由度的制約，每一個自由度都有一條t分布密度曲線。（2）t分布密度曲線以縱軸為對稱軸，左右對稱，且在t＝0時，分布密度函數(shù)取得最大值。（3）與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線相比，t分布曲線頂部略低，兩尾部稍高而平。df越小這種趨勢越明顯。df越大，t分布越趨近于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。第六十八頁，共七十九頁，2022年，8月28日3、分布分位點(diǎn)計(jì)算在統(tǒng)計(jì)中經(jīng)常對給定的分布求它的分位點(diǎn)而不是求其概率。其分位點(diǎn)的定義與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布相同。第六十九頁，共七十九頁，2022年，8月28日四、分布（卡方分布）分布是統(tǒng)計(jì)中經(jīng)常用到的一個分布，通常是由n個相互獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的平方和得到。它的概率密度函數(shù)為：第七十頁，共七十九頁，2022年，8月28日假設(shè)從正態(tài)總體中抽取k個獨(dú)立樣本z12、z22、z32、…、zk2,則定義它們的和為x2，

x2具有自由度df=n-1的連續(xù)型變量的分布,不同的自由度的x2分布曲線不同。附表7列