第十五章電流與磁場蘭底

第十五章電流與磁場蘭底第一頁，共四十三頁，2022年，8月28日2、電流密度則通過任一截面的電流：定義：電流密度是一個(gè)矢量，在導(dǎo)體中某一點(diǎn)該矢量的方向代表該點(diǎn)電流的方向；其大小等于通過與該點(diǎn)電流方向垂直的單位面積中的電流值。記為：“j”。單位：第二頁，共四十三頁，2022年，8月28日討論：（1）導(dǎo)體中有n種載流子。表示第i種載流子的數(shù)密度、電量和速度，表示該載流子的電流密度，則通過面的電流總電流密度則（2）導(dǎo)體只有一種載流子——自由電子，但各自由電子速度不同。設(shè)電子電量為e，單位體積內(nèi)以速度運(yùn)動的電子數(shù)為則：第三頁，共四十三頁，2022年，8月28日平均速度n為單位體積中總電子數(shù)無外場時(shí)，電子作無規(guī)則熱運(yùn)動，所以無電流（3）對于一個(gè)有限的面積S，通過它的電流應(yīng)為通過各面元的電流的代數(shù)和。S在電流場中，通過某一面積的電流就是通過該面積的電流密度的通量，是一個(gè)代數(shù)量。第四頁，共四十三頁，2022年，8月28日（4）通過一個(gè)封閉曲面S的電流。據(jù)電流密度的意義知，實(shí)際表示凈流出封閉面的電流。根據(jù)電荷守恒定律，經(jīng)封閉面流出的電量應(yīng)等于面內(nèi)電荷的減少，即電流的連續(xù)性方程第五頁，共四十三頁，2022年，8月28日二、歐姆定律和電阻1、歐姆定律而電阻定律是電阻率是電導(dǎo)率2、歐姆定律的微分形式第六頁，共四十三頁，2022年，8月28日代入得三、電動勢1、維持穩(wěn)恒電流的條件＋＋＋＋＋－－－－－ABII＋＋＋＋＋－－－－－ABIIR+-第七頁，共四十三頁，2022年，8月28日2、電源的電動勢定義：把單位正電荷從電源負(fù)極通過電源內(nèi)部移到正極非靜電力所做的功。若電源移動電荷dq時(shí)，做功dA，有：設(shè)為非靜電力場強(qiáng)，則dA則由于僅在電源內(nèi)部，在外部標(biāo)量方向：由負(fù)極經(jīng)電源內(nèi)部到正極第八頁，共四十三頁，2022年，8月28日一、磁場SN磁鐵SN磁鐵電流電流磁場磁場磁場---磁鐵或電流周圍存在的一種能顯示磁力的物質(zhì)。對外表現(xiàn)：1）磁場對磁鐵、對電流、對運(yùn)動電荷均有磁作用力；2）載流導(dǎo)體在磁場中移動時(shí)，磁場的作用力對它作功。§15－3磁場磁感應(yīng)強(qiáng)度第九頁，共四十三頁，2022年，8月28日二、磁感應(yīng)強(qiáng)度設(shè)元線圈面積為，電流為

試驗(yàn)元件：小載流線圈元線圈的磁矩：第十頁，共四十三頁，2022年，8月28日實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)：將載流線圈放入穩(wěn)恒磁場中，受磁力矩作用而轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)至某一方向穩(wěn)定平衡（稱線圈平衡位置）。規(guī)定：線圈處于穩(wěn)定平衡位置的法線正向?yàn)榇艌龇较颉?shí)驗(yàn)表明：規(guī)定方向與該處磁針N極方向相同。載流線圈從平衡位置轉(zhuǎn)過時(shí)，受磁力矩最大引入磁感應(yīng)強(qiáng)度單位：特斯拉（T）第十一頁，共四十三頁，2022年，8月28日規(guī)定：1）磁力線上各點(diǎn)的切線方向應(yīng)代表該點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向。2）通過垂直于磁力線單位面積的磁力線數(shù)應(yīng)等于這一點(diǎn)磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小。NS三、磁感應(yīng)線第十二頁，共四十三頁，2022年，8月28日NNSSNSIII第十三頁，共四十三頁，2022年，8月28日特點(diǎn)：1）任何兩磁感應(yīng)線不相交且自成無頭無尾的閉合線（渦旋場）2）磁感應(yīng)線越密的地方磁場越強(qiáng)。磁感應(yīng)線總與電流相套合，且符合右手螺旋法則。第十四頁，共四十三頁，2022年，8月28日§15-4畢奧－薩伐爾定律一.畢—薩定律是電流激發(fā)磁場的基本規(guī)律.19世紀(jì)20年代,法國科學(xué)家畢奧和薩伐爾分析了大量實(shí)驗(yàn)資料,又同拉普拉斯經(jīng)過嚴(yán)密的數(shù)學(xué)分析、邏輯推理而得到的.Pθ內(nèi)容表述：在一段載流為I的導(dǎo)線上取電流元,它在某場點(diǎn)P處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小與電流的大小成正比,與電流元所在處到場點(diǎn)P的位矢和電流元間的夾角θ的正弦sinθ成正比,而與位矢大小成平方反比.第十五頁，共四十三頁，2022年，8月28日表達(dá)式：矢量式其中真空中的磁導(dǎo)率有限載流導(dǎo)體：的方向：垂直于電流元與組成的平面，指向由右手螺旋確定。第十六頁，共四十三頁，2022年，8月28日二、畢－薩定律的應(yīng)用例15－1.求載流直導(dǎo)線的磁場.方向：垂直紙面向里解:在載有電流I長度為L的直導(dǎo)線上取一電流元,則它在距離導(dǎo)線a的P點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為可看出導(dǎo)線上各電流元在P點(diǎn)產(chǎn)生的的方向相同.因此求磁感應(yīng)強(qiáng)度的矢量積分變成標(biāo)量積分.即第十七頁，共四十三頁，2022年，8月28日須統(tǒng)一變量l,r,θ.r=acscθ,l=actg(π-θ)=-actgθ∴dl=acsc2θdθ討論:①若是無限長直導(dǎo)線,θ1=0,θ2=π,則

②若是半無限長直導(dǎo)線,則③對載流導(dǎo)線延長線上一點(diǎn),B=0.第十八頁，共四十三頁，2022年，8月28日例15－2.載流圓線圈軸線上的磁場.解:在半徑為R載有電流I的線圈上任取一電流元,其在線圈軸線上距圓心o為x的P點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為:

由圖可知方向變化，作矢量分解。分析對稱性可知,dB┴互相抵消,而dB∥互相加強(qiáng),因此總磁感應(yīng)強(qiáng)度第十九頁，共四十三頁，2022年，8月28日總磁感應(yīng)強(qiáng)度：方向:沿軸線方向,與電流方向成右手螺旋.討論:①在圓心O處x=0

方向仍是右手螺旋若圓電流由N匝導(dǎo)線組成,每匝電流均為I則

第二十頁，共四十三頁，2022年，8月28日②在軸線上相距很遠(yuǎn)處,x>>R

電流磁矩(與電偶極子場強(qiáng)相似)③一段載流圓導(dǎo)線在圓心激發(fā)的磁場大小為方向同樣沿軸線且符合右手螺旋.θ是圓弧對圓心張開的圓心角.用弧度表示.第二十一頁，共四十三頁，2022年，8月28日例15-3.載流直螺線管內(nèi)部的磁場.IPR解:設(shè)螺線管半徑為R,單位長度上有n匝線圈,每匝中有電流I.每匝圓電流在軸線上任一點(diǎn)磁場均沿軸取向,取螺線管軸線與電流成右手螺旋,即磁場沿x正向.在螺線管上取微元dx,通過電流dI=nIdx看作圓線圈在軸線上O點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度第二十二頁，共四十三頁，2022年，8月28日整個(gè)螺線管在o點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小X=Rctgβ→dx=-Rcsc2βR2+x2=R2csc2β第二十三頁，共四十三頁，2022年，8月28日B=μnI磁場均勻②半無限長β1=π/2β2=0或β1=0β2=π/2B=0.5μnI討論:①無限長直螺線管:β1=π

β2=0第二十四頁，共四十三頁，2022年，8月28日例15-4:有一無限大均勻載流薄銅片，已知單位寬度上的電流強(qiáng)度為i，求距鋼片為a的P點(diǎn)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度。解：銅片可看作由無限多個(gè)有一定寬度的無限長直導(dǎo)線產(chǎn)生的磁場的矢量和。建立坐標(biāo)系，并在銅片一側(cè)離o為x處取一定寬度dx的無限長直導(dǎo)線，設(shè)它至P點(diǎn)的距離為r，通有電流dI=idx,則它在P點(diǎn)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度方向如圖把dB分解成為dBx和dBy，由對稱性分析可知dBy分量互抵消，dBx分量互加強(qiáng)。第二十五頁，共四十三頁，2022年，8月28日可看出B大小與P點(diǎn)距銅片距離無關(guān)，方向沿x軸負(fù)向第二十六頁，共四十三頁，2022年，8月28日1Io2oIⅠⅡⅢII段電流是Ⅱ，Ⅲ的兩倍（因?yàn)棰?，Ⅲ是I的電阻的兩倍）思考題：第二十七頁，共四十三頁，2022年，8月28日三.畢-薩定律的微觀意義—運(yùn)動電荷的磁場畢-薩定律是電流激發(fā)磁場的基本規(guī)律，而電流是由大量電荷定向運(yùn)動形成的，因此電流所產(chǎn)生的磁場，可歸結(jié)為大量運(yùn)動電荷所產(chǎn)生的磁場。由畢薩定律知電流元產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為設(shè)電流元的截面積是s，并設(shè)載流導(dǎo)體單位體積內(nèi)粒子數(shù)為n，每個(gè)粒子帶電為q，并以速度v沿方向勻速運(yùn)動，則單位時(shí)間內(nèi)通過橫截面的電量（即電流強(qiáng)度）第二十八頁，共四十三頁，2022年，8月28日因此方向:垂直于與組成的平面在電流元內(nèi)有個(gè)粒子運(yùn)動.從微觀上看,產(chǎn)生的磁場就是這個(gè)運(yùn)動電荷產(chǎn)生的.因此,每一個(gè)是以速度運(yùn)動的電荷產(chǎn)生的磁場感應(yīng)強(qiáng)度大小為第二十九頁，共四十三頁，2022年，8月28日寫成矢量式：運(yùn)動電荷的磁場公式也是畢－薩定律的微觀形式--＋＋第三十頁，共四十三頁，2022年，8月28日§15-5磁場的高斯定理和安培環(huán)路定律一、磁通量和磁場的高斯定理1、磁通量（類似于電通量）定義：通過一個(gè)給定曲面的總磁感線數(shù)，稱為磁通量。標(biāo)記為對于面元有其中θ為面元的正法線方向與該外方向夾角對于有限曲面S單位：第三十一頁，共四十三頁，2022年，8月28日2、磁場的高斯定理用于描述磁場的特性

在磁場中取任一閉合曲面，并規(guī)定外法線為正，則穿出閉合面的磁通量為正，穿入閉合面的磁通量為負(fù)。由于磁感應(yīng)線是閉合線，因此穿入閉合面的磁感線數(shù)等于穿出閉合面的磁感線數(shù)。所以總磁通量為零，即

對應(yīng)于電場的高斯定理可知，磁場是無源場。第三十二頁，共四十三頁，2022年，8月28日二、磁場強(qiáng)度安培環(huán)路定律1、磁場強(qiáng)度從畢－薩定律求出的磁感應(yīng)強(qiáng)度與磁介質(zhì)有關(guān)：類似于電場中引入的電位移矢量（與電介質(zhì)無關(guān)）引入新的物理量——磁場強(qiáng)度第三十三頁，共四十三頁，2022年，8月28日則無限長直線外距導(dǎo)線a處的磁場強(qiáng)度：圓形電流軸線上和中心處的磁場強(qiáng)度：無限長直載流螺線管內(nèi)軸線上磁場強(qiáng)度：第三十四頁，共四十三頁，2022年，8月28日2、安培環(huán)路定律稱為磁場強(qiáng)度的環(huán)流。磁場中，磁場強(qiáng)度沿任一閉合曲線的線積分PN頂視放大圖如圖中，曲線上P點(diǎn)處第三十五頁，共四十三頁，2022年，8月28日PN則沿閉合曲線的環(huán)流為：僅與包圍的傳導(dǎo)電流有關(guān)，與回路無關(guān)取不同回路，結(jié)論相同環(huán)路定律：在磁場中，磁場強(qiáng)度沿一閉合曲線的線積分（即的環(huán)流）等于此閉合曲線所包圍的各傳導(dǎo)電流強(qiáng)度的代數(shù)和。第三十六頁，共四十三頁，2022年，8月28日電流的正負(fù)與閉合環(huán)路繞行方向有關(guān)。規(guī)定：當(dāng)電流方向與環(huán)路繞行方向成右手螺旋時(shí)，為正；反之，為負(fù)。II>0I<0LILIL2I1I2L1IL4L3I第三十七頁，共四十三頁，2022年，8月28日3、應(yīng)用例15－5：求無限長載流圓柱導(dǎo)體內(nèi)、外的磁場強(qiáng)度。解：如圖，設(shè)電流沿軸線方向，且在圓柱導(dǎo)體橫截面上均勻分布。由于是無限長圓柱體，則磁場具有軸對稱分布。IrIRP在導(dǎo)體外過P點(diǎn)作一半徑為r的圓，圓面垂直于軸線（如圖），則回路上任一點(diǎn)的數(shù)值相等，方向與閉合回路相切。用環(huán)路定理有：第三十八頁，共四十三頁，2022年，8月28日RrIL在導(dǎo)體內(nèi)同樣作一閉合回路，則此閉合線包圍的電流為：運(yùn)用環(huán)路定理：第三十九頁，共四十三頁，2022年，8月28日例15－6：求長螺線管內(nèi)的磁場強(qiáng)度。RABDCP解：設(shè)共有N匝，通有電流I。由于螺線管很長，管內(nèi)中央部分的磁場是均勻的，方向與管軸平行，管外側(cè)，磁場強(qiáng)度很弱，可以忽略。如圖，過管內(nèi)一點(diǎn)P作一個(gè)矩形閉合線ABCD，并沿此閉合線運(yùn)用安培環(huán)路定理：第四十頁，共四十三頁，2022年，8月28日第四十一頁，共四十三頁，2022年，8月28日L