第四章相似理論與量綱分析

第四章相似理論與量綱分析第一頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日第四章相似理論與量綱分析相似理論量綱分析第二頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日第一節(jié)相似理論一、流體力學(xué)相似

流體力學(xué)相似：某一流動(dòng)的某種量（速度、壓力、阻力等）可由另一流動(dòng)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的同名量乘以對(duì)全流場(chǎng)來說相同的某一常數(shù)而得到。兩流動(dòng)現(xiàn)象在力學(xué)上相似，包括兩現(xiàn)象的幾何相似、運(yùn)動(dòng)相似和動(dòng)力相似。實(shí)驗(yàn)的重要性和必不可少性。實(shí)型實(shí)驗(yàn)不可能，應(yīng)采用模擬。如何模擬？如何保證達(dá)到模擬的條件？數(shù)據(jù)又如何轉(zhuǎn)換到實(shí)型上去？這些是相似理論要回答的問題。第三頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日1、幾何相似（空間相似）幾何相似：指兩流場(chǎng)幾何形狀相似，兩流動(dòng)的對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)成同一比例，對(duì)應(yīng)角相等，即全流場(chǎng)有一個(gè)相同的長(zhǎng)度比例。幾何相似還可認(rèn)為包括流場(chǎng)相應(yīng)邊界性質(zhì)相同，如固體壁面，自由液面等。尺度比例系數(shù)：m----模型流動(dòng)；p----原型流動(dòng)。則面積比例系數(shù)KA和體積比例系數(shù)KV可分別表示為：第四頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日第五頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日2、運(yùn)動(dòng)相似（時(shí)間相似）運(yùn)動(dòng)相似指兩流動(dòng)對(duì)應(yīng)幾何點(diǎn)上的速度成同一比例。此時(shí)，兩流動(dòng)的跡線和流線幾何相似。在對(duì)應(yīng)瞬時(shí)，流場(chǎng)速度圖相似，即相應(yīng)點(diǎn)速度大小成比例，方向相同。第六頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日速度比例系數(shù)：運(yùn)動(dòng)相似是建立在幾何相似的基礎(chǔ)上，在尺度比例系數(shù)已定的情況下，速度比例系數(shù)可寫成：第七頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日

所以運(yùn)動(dòng)相似也稱為時(shí)間相似，這樣一來，其它運(yùn)動(dòng)學(xué)物理量的比例系數(shù)均可分別表示為尺度比例系數(shù)和時(shí)間比例系數(shù)的不同組合：速度比例系數(shù)：加速度比例系數(shù)：角速度比例系數(shù)：流量比例系數(shù)：運(yùn)動(dòng)粘度比例系數(shù)：第八頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日3、動(dòng)力相似（受力相似）動(dòng)力相似：運(yùn)動(dòng)相似的兩流場(chǎng)在對(duì)應(yīng)位置和對(duì)應(yīng)瞬時(shí)，作用同樣數(shù)量的同名力（時(shí)變慣性力、位變慣性力、質(zhì)量力、壓差力和粘性力），矢量圖都相似，即相應(yīng)點(diǎn)力的大小成比例，方向相同。并且五種成分力的相似比例數(shù)也相同，即力多邊形相似。第九頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日力比例系數(shù)：但是，對(duì)于各種具體的作用力，KF又取決于它們自身的物理特性的比例系數(shù)：第十頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日所有作用力的相似要求：上式表明：要使模型流動(dòng)和原型流動(dòng)動(dòng)力相似，需要這兩個(gè)流動(dòng)在時(shí)空相似的條件下，各相似準(zhǔn)則都相等。同時(shí)滿足以上三個(gè)方面相似的流動(dòng)稱為流體力學(xué)相似流動(dòng)。第十一頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日二、相似準(zhǔn)則兩相似流動(dòng)的區(qū)別只在于各量?jī)闪鲌?chǎng)中所取的比例尺不同而已，將描述流動(dòng)的量表示成相應(yīng)比例尺的倍數(shù)，則所有的量均成為無量綱的量。如何達(dá)到兩流動(dòng)流體力學(xué)相似呢？也就是說，保證了什么條件才能相似，這就是要討論的相似準(zhǔn)則問題。兩相似流動(dòng)必須滿足同一運(yùn)動(dòng)微分方程（N-S方程）：第十二頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日所有同類的物理量均具有同一比例系數(shù)，因此有：由對(duì)兩運(yùn)動(dòng)微分方程及同類物理量有同一比例關(guān)系，對(duì)比后可寫出：（4-17）（1）（5）（4）（3）（2）第十三頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日式中：（1）----單位質(zhì)量的時(shí)變慣性力；

（2）----單位質(zhì)量的位變慣性力；（3）----單位質(zhì)量的質(zhì)量力；（4）----單位質(zhì)量的壓力；

（5）----單位質(zhì)量的摩擦力。（4-17）（1）（5）（4）（3）（2）（4-17）式就表示模型流動(dòng)和原型流動(dòng)的力多邊相似。將（4-17）式中用除全式，可得：第十四頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日（4-18）（1）（4）（3）（2）（4-18）式表示模型流動(dòng)和原型流動(dòng)在動(dòng)力相似時(shí)，各比例系數(shù)之間有一個(gè)約束，并非各比例系數(shù)的數(shù)值可隨便選取。1、斯特勞哈爾相似準(zhǔn)數(shù)(Strouhal)由（4-18）式第（1）項(xiàng)：第十五頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日Sr是一個(gè)無量綱的量，它代表了時(shí)變慣性力與位變慣性力之比，反映了流體運(yùn)動(dòng)隨時(shí)間變化的情況。對(duì)于非定常流動(dòng)，Sr就是決定性相似準(zhǔn)數(shù)。2、弗勞德相似準(zhǔn)數(shù)(Froude)----重力作用下兩流動(dòng)的相似準(zhǔn)則由（4-18）式第（2）項(xiàng)：第十六頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日即在動(dòng)力相似中要求：Fr代表了流動(dòng)中慣性力與重力之比，反映了流體流動(dòng)中重力所起的影響作用。若，比如在同一實(shí)驗(yàn)地點(diǎn)，則：第十七頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日3、歐拉相似準(zhǔn)數(shù)(Euler)

----壓力作用下兩流動(dòng)的相似準(zhǔn)則由（4-18）式第（3）項(xiàng)：即在動(dòng)力相似中要求：Eu準(zhǔn)數(shù)代表了流體流動(dòng)中所受的壓力與慣性力之比，反映了流動(dòng)中壓力所起的影響作用。它也是一個(gè)無量綱的量。第十八頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日4、雷諾相似準(zhǔn)數(shù)(Reynolds)

----粘性摩擦力作用下兩流動(dòng)的相似準(zhǔn)則由（4-18）式第（4）項(xiàng)：即在動(dòng)力相似中要求：Re準(zhǔn)數(shù)代表了流體流動(dòng)中所受的慣性力與粘性力之比，反映了流動(dòng)中粘性摩擦力所起的影響作用。它也是一個(gè)無量綱的量。第十九頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日兩流動(dòng)現(xiàn)象的摩擦阻力作用相似時(shí)，其沿程阻力系數(shù)必相等，即：對(duì)于層流區(qū)和紊流水力光滑區(qū)，由Re數(shù)所決定。但在紊流阻力平方區(qū)，Re數(shù)的變化對(duì)值沒有影響，這一條件并不是相似所必要的。所以阻力平方區(qū)又稱為自模擬區(qū)。第二十頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日5、馬赫相似準(zhǔn)數(shù)(Mach)Ma準(zhǔn)數(shù)代表了流動(dòng)中的可壓縮程度。C為聲速，微小擾動(dòng)在流體中的傳播速度。第二十一頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日位變慣性力時(shí)變慣性力表征斯特勞哈爾數(shù)弗勞德數(shù)歐拉數(shù)雷諾數(shù)位變慣性力重力位變慣性力粘性力位變慣性力壓差力表征表征表征第二十二頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日由上面的分析可知：要使兩流動(dòng)動(dòng)力相似，則必須：模型實(shí)驗(yàn)時(shí)要同時(shí)滿足所有的相似準(zhǔn)則十分困難，且無此必要，這時(shí)要抓住主要矛盾，即根據(jù)流動(dòng)的性質(zhì)來選取決定性相似準(zhǔn)數(shù)。例如：重力起支配作用的流動(dòng)，F(xiàn)r為決定性相似準(zhǔn)數(shù)。粘性摩擦力起支配作用的流動(dòng)，Re為決定性相似準(zhǔn)數(shù)。對(duì)于非定常流動(dòng)，Sr為決定性相似準(zhǔn)數(shù)對(duì)于可壓縮流動(dòng)，Ma為決定性相似準(zhǔn)數(shù)。要注意的是在其它相似準(zhǔn)數(shù)作為決定性相似準(zhǔn)數(shù)滿足相等時(shí)，歐拉準(zhǔn)數(shù)相等是能同時(shí)滿足的，這是因?yàn)橛闪黧w流動(dòng)的基本方程，決定了流動(dòng)相似的結(jié)果壓力場(chǎng)也相似。第二十三頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日

可見粘性和重力相似條件產(chǎn)生矛盾，除非改變g和.而我們知道改變g是不大可能的（由此可知為什么有些實(shí)驗(yàn)要在航天飛機(jī)上做），改變的可能性也不大，因?yàn)榱黧w力學(xué)實(shí)驗(yàn)可供選擇的流體種類是很少的。通常我們只能抓主要矛盾，保證起決定作用的那個(gè)相似準(zhǔn)數(shù)相等，稱為。部分相似

在相似的條件下進(jìn)行實(shí)驗(yàn)完全相似嚴(yán)格地要求四個(gè)相似準(zhǔn)數(shù)都相同難以做到g相同相同例如第二十四頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日

相似準(zhǔn)則：重力相似準(zhǔn)則：保證兩現(xiàn)象的弗勞德數(shù)相等非恒定相似準(zhǔn)則：保證兩現(xiàn)象的斯特勞哈爾數(shù)相等壓差力相似，即歐拉數(shù)相等往往是兩現(xiàn)象動(dòng)力相似的結(jié)果粘性相似準(zhǔn)則：保證兩現(xiàn)象的雷諾數(shù)相等第二十五頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日三、模型的設(shè)計(jì)與數(shù)據(jù)換算1、模型流動(dòng)的設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)原則：滿足幾何相似、運(yùn)動(dòng)相似和主要?jiǎng)恿ο嗨?。即使模型流?dòng)和原型流動(dòng)在時(shí)空相似的基礎(chǔ)上，滿足決定性相似準(zhǔn)數(shù)相等。2、數(shù)據(jù)換算可由模型流動(dòng)中已確定的一些比例系數(shù)以及物理量之間的關(guān)系，來確定其它一些比例系數(shù)，這樣，原型流動(dòng)中所要獲得的數(shù)據(jù)就等于模型流動(dòng)中的相應(yīng)數(shù)據(jù)除以對(duì)應(yīng)的比例系數(shù)。第二十六頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日

相似理論的應(yīng)用

在相似的條件下進(jìn)行實(shí)驗(yàn)

應(yīng)該測(cè)量實(shí)驗(yàn)結(jié)果無量綱表達(dá)式包含的所有物理量

實(shí)驗(yàn)結(jié)果應(yīng)整理成以相似準(zhǔn)數(shù)和其它無量綱量來表示的函數(shù)關(guān)系式或繪制成曲線；實(shí)驗(yàn)結(jié)果只能應(yīng)用于相似現(xiàn)象之間。在什么條件下進(jìn)行實(shí)驗(yàn)?應(yīng)該測(cè)量哪些物理量?實(shí)驗(yàn)結(jié)果如何應(yīng)用?如何進(jìn)行實(shí)驗(yàn)?第二十七頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日例題1第二十八頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日解：由于流程較短，重力起主要作用，粘性力可不計(jì)，選Fr為決定性相似準(zhǔn)數(shù)。第二十九頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日第三十頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日例題2第三十一頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日解：（1）轎車行駛時(shí)，空氣的粘性摩擦阻力決定其迎面阻力，而重力的作用則很小，故只要保證雷諾數(shù)相等，即可使流動(dòng)力學(xué)相似。由于模型中所用流體與原型中所用的流體是同種而且是同溫度的。尺度比例系數(shù)一般小于1，本實(shí)驗(yàn)的風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)段比較大，因此取：第三十二頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日故風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)段內(nèi)氣流速度應(yīng)是：模型轎車的高度為：第三十三頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日于是風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)段內(nèi)的氣流速度為：此時(shí)風(fēng)洞內(nèi)氣流已不能作為不可壓縮流體來處理，因此尺度比例系數(shù)不可取。可見在取尺度比例系數(shù)時(shí)，要考慮流動(dòng)性質(zhì)和實(shí)驗(yàn)條件，并非完全隨意。（2）在模型流動(dòng)設(shè)計(jì)時(shí)已定下：第三十四頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日在相同的流體和相同的溫度下，流體密度比例系數(shù)為1，而力比例系數(shù)：第三十五頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日第二節(jié)量綱分析（因次分析）相似理論告訴我們?nèi)绾芜M(jìn)行模型實(shí)驗(yàn)，如何將模型實(shí)驗(yàn)的所得數(shù)據(jù)換算到實(shí)型上去。而量綱分析也是實(shí)驗(yàn)的一個(gè)理論依據(jù)，它的作用是對(duì)已建立物理方程的流動(dòng)問題，能給出肯定的答案，對(duì)于方程尚未建立的流動(dòng)，雖不能給予肯定的回答，但卻是處理這一類問題唯一可行的辦法。兩種常用的量綱分析方法：雷利法、π定理。它們的共同特點(diǎn)是通過對(duì)有關(guān)物理量的量綱分析，使各物理量函數(shù)關(guān)系中的自變量減為最少，使實(shí)驗(yàn)大大簡(jiǎn)化。本節(jié)僅討論π定理。第三十六頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日一、量綱分析的基本概念1、量綱——物理量的單位種類。量綱是指物理量所包含的基本物理要素及其結(jié)合形式，表示物理量的類別，是物理量的質(zhì)的特征。在量度物理量數(shù)值大小的標(biāo)準(zhǔn)（單位）確定之后，一個(gè)具體的物理量就對(duì)應(yīng)于一個(gè)數(shù)值，有了比較意義上的大小，這是物理量的量的特征。2、基本量綱和導(dǎo)出量綱基本量綱具有獨(dú)立性，比如與溫度無關(guān)的動(dòng)力學(xué)問題可選取長(zhǎng)度[L]、時(shí)間[T]和質(zhì)量[M]為基本量綱。

誘導(dǎo)量綱可由量綱公式通過基本量綱導(dǎo)出。第三十七頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日任何特征量B的量綱可寫成：若特征量B為無量綱量，則加速度的量綱：力的量綱：面積的量綱：壓強(qiáng)的量綱：第三十八頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日3、基本量和導(dǎo)出量一個(gè)問題中諸多物理量可分成基本物理量（基本量）和其它物理量（導(dǎo)出量）兩組，前者為互相獨(dú)立的物理量，后者可通過某種關(guān)系式由前者導(dǎo)出?；玖靠呻S便取，但它們的量綱中應(yīng)包含有L、T、M這三個(gè)基本量綱在內(nèi)。如可取作為基本量，也可取作為基本量。4、無量綱量（量綱為1）物理量的所有量綱指數(shù)為零，用表示。無量綱量有：相似準(zhǔn)數(shù)；系數(shù)；比例數(shù)等。第三十九頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日相同量綱量的比值

幾個(gè)有量綱量通過乘除組合而成如角度，三角函數(shù)如壓力系數(shù)：如雷諾數(shù)：無量綱量第四十頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日

正確反映客觀物理規(guī)律的函數(shù)關(guān)系式或方程式，其各項(xiàng)的量綱指數(shù)都分別相同。

二.量綱和諧原理（量綱齊次原理）

任何表示客觀物理規(guī)律的數(shù)學(xué)關(guān)系式，其數(shù)學(xué)形式不隨單位制變換而改變形式。

客觀物理規(guī)律必定可以通過無量綱量之間的關(guān)系式來表達(dá)。

第四十一頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日

物理過程的有量綱表達(dá)形式為，其中m個(gè)物理量的量綱被選為基本量綱，余下n-m個(gè)物理量可各自與這m個(gè)物理量組合成無量綱量，定理的結(jié)論是：物理過程的無量綱表達(dá)形式為:

三.布金漢(Buckingham)定理

物理過程涉及n個(gè)物理量，其中有m個(gè)物理量的量綱是互相獨(dú)立的，選這些量綱為基本量綱，可組成n-m個(gè)無量綱量，物理過程則可由這n-m個(gè)無量綱量的關(guān)系式描述。否則就違反了量綱和諧原理。第四十二頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日若描述某一力學(xué)現(xiàn)象或過程的n特征量之間有下列關(guān)系：第四十三頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日于是n個(gè)有量綱的函數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)換成（n-3）個(gè)無量綱的函數(shù)關(guān)系：（4-25）上式即為∏定理的表達(dá)式，它表明任何有量綱的量之間的物理關(guān)系必可化為無量綱數(shù)之間的關(guān)系，并且減少了問題中的自變量的數(shù)目，這些無量綱數(shù)可由理論和實(shí)驗(yàn)確定，從而可由已知特征量求得另一些特征量。第四十四頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日例初速為零的自由落體運(yùn)動(dòng)位移ss～g,tg,t選為基本量綱三個(gè)量只能組成一個(gè)無量綱量s/gt2初速為零的自由落體運(yùn)動(dòng)規(guī)律s/gt2=C做一次實(shí)驗(yàn)測(cè)得C=1/2，就不用再做類似實(shí)驗(yàn)，包括在月球上做實(shí)驗(yàn)。第四十五頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日

從無量綱表達(dá)看，似乎物理過程涉及的因素減少了，其實(shí)涉及的物理量并未減少，只是這些物理量組合成了若干無量綱量相互關(guān)聯(lián)。比起有量綱表達(dá)來，無量綱表達(dá)更接近于相關(guān)物理量之間規(guī)律性聯(lián)系的實(shí)質(zhì)，也更具普遍性。

應(yīng)用定理要點(diǎn)（也是難點(diǎn)）在于：確定物理過程涉及的物理量時(shí)，既不能遺漏，也不要多列。

第四十六頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日例題3：解：所求問題的函數(shù)關(guān)系式可表示成：N=7，基本量綱3個(gè)，故這7個(gè)有量綱物理量的關(guān)系式可轉(zhuǎn)換成4個(gè)無量綱數(shù)的函數(shù)關(guān)系式。第四十七頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日第四十八頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日第四十九頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日第五十頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日第五十一頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日這樣，所求問題用無量綱數(shù)表示的方程為：上式也可寫成：第五十二頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日例題4：N=5，基本量綱3個(gè)，故這5個(gè)有量綱物理量的關(guān)系式可轉(zhuǎn)換成2個(gè)無量綱數(shù)的函數(shù)關(guān)系式。解：所求問題的函數(shù)關(guān)系式可表示成：第五十三頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月2