第八節(jié)極值與最值

第八節(jié)極值與最值第一頁，共五十二頁，2022年，8月28日回顧：一元函數(shù)

y=f(x)的極值概念：總有第二頁，共五十二頁，2022年，8月28日（1）極值是一個局部概念，它只是對極值點(diǎn)鄰近范圍的所有點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較。（2）（極值存在的必要條件）若f(x)在極值點(diǎn)處可導(dǎo)，則導(dǎo)數(shù)一定為0，反之不成立。（3）（駐點(diǎn)為極值點(diǎn)的充分條件）設(shè)存在，則有（1）如果（3）如果，則為f(x)的極小值；（2）如果，則為f(x)的極大值；，定理失效。第三頁，共五十二頁，2022年，8月28日定義

：設(shè)z=f(x,y)的定義域?yàn)镈，總有總有是D的一個內(nèi)點(diǎn)，則稱是f(x,y)的極大值；則稱是f(x,y)的極小值。若存在點(diǎn)的一個去心鄰域

極大值和極小值統(tǒng)稱為極值；一、多元函數(shù)的極值

第四頁，共五十二頁，2022年，8月28日例如:在點(diǎn)(0,0)有極小值;在點(diǎn)(0,0)有極大值;在點(diǎn)(0,0)無極值.

使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)；

同一元函數(shù)一樣，二元函數(shù)極值也是一個局部概念

極值點(diǎn)必是D

的內(nèi)點(diǎn)；結(jié)論：二元函數(shù)的極值點(diǎn)是其曲面在某個領(lǐng)域的最高（低）點(diǎn)第五頁，共五十二頁，2022年，8月28日問題：什么點(diǎn)可能成為極值點(diǎn)？什么點(diǎn)必定是極值點(diǎn)？定理1(必要條件)設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0

,y0)處具有偏導(dǎo)數(shù)，且在點(diǎn)(x0

,y0)有極值，則有：

證明:如果取y=y0，則函數(shù)f(x,y0)是x的一元函數(shù)

同理有第六頁，共五十二頁，2022年，8月28日極值點(diǎn)的幾何意義：若曲面z=f(x,y)在點(diǎn)處有切平面，則切平面使函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)同時為0的點(diǎn)，稱為駐點(diǎn).成為平行于xoy坐標(biāo)面的平面說明：具有偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)的極值點(diǎn)必定是駐點(diǎn)，但駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)。極值點(diǎn)也可能是偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)。極值點(diǎn)只可能在駐點(diǎn)或使偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)中產(chǎn)生.例如,有駐點(diǎn)(0,0)第七頁，共五十二頁，2022年，8月28日例：解：得駐點(diǎn)該函數(shù)無極值?！ぁぁさ诎隧?，共五十二頁，2022年，8月28日時,具有極值定理2

(充分條件)的某鄰域內(nèi)具有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且令1)當(dāng)A<0時取極大值;A>0時取極小值.2)當(dāng)3)當(dāng)時,沒有極值.時,不能確定,需另行討論.若函數(shù)則f(x,y)在(x0,y0)處取得極值的條件如下：問題：如何判定一個駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)？第九頁，共五十二頁，2022年，8月28日求極值的步驟第一步解方程組得一切駐點(diǎn);第二步對所求的駐點(diǎn)求出二階偏導(dǎo)數(shù)極值

AC?B2第十頁，共五十二頁，2022年，8月28日例1.求函數(shù)解:

第一步求駐點(diǎn).得駐點(diǎn):(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2).第二步求二階偏導(dǎo)數(shù)及判別.在點(diǎn)(1,0)處為極小值;解方程組的極值.第十一頁，共五十二頁，2022年，8月28日在點(diǎn)(3,0)處不是極值;在點(diǎn)(3,2)處為極大值.在點(diǎn)(1,2)處不是極值;第十二頁，共五十二頁，2022年，8月28日例2.討論函數(shù)及是否取得極值.解:顯然(0,0)都是它們的駐點(diǎn),在(0,0)點(diǎn)鄰域內(nèi)的取值,因此z(0,0)不是極值.因此為極小值.正負(fù)0在點(diǎn)(0,0)并且在(0,0)都有可能為第十三頁，共五十二頁，2022年，8月28日解例3令代入上式，解得駐點(diǎn)為

得第十四頁，共五十二頁，2022年，8月28日第十五頁，共五十二頁，2022年，8月28日二、最值應(yīng)用問題函數(shù)f在閉域上連續(xù)函數(shù)f在閉域上可達(dá)到最值最值可疑點(diǎn)駐點(diǎn)邊界上的最值點(diǎn)特別,當(dāng)區(qū)域內(nèi)部最值存在,且只有一個極值點(diǎn)P時,為極小值為最小值(大)(大)依據(jù)第十六頁，共五十二頁，2022年，8月28日求可微函數(shù)最大值和最小值的一般方法：（1）求函數(shù)在D內(nèi)的所有駐點(diǎn)；（2）求函數(shù)在D的邊界上的最大值和最小值；（3）將函數(shù)在所有駐點(diǎn)處的函數(shù)值及在D的邊界上的最大值和最小值相比較，最大者就是函數(shù)在D上的最大值，最小者就是最小值。

在實(shí)際問題中，如果根據(jù)問題的性質(zhì)，知道函數(shù)的最大或最小值存在且一定在D的內(nèi)部取得，而函數(shù)在D

內(nèi)只有一個駐點(diǎn)，則該駐點(diǎn)就是函數(shù)在D上的最大或最小值點(diǎn)。第十七頁，共五十二頁，2022年，8月28日把它折起來做成解:設(shè)折起來的邊長為xcm,則斷面面積x24一個斷面為等腰梯形的水槽,傾角為

,積最大.為問怎樣折法才能使斷面面例4.有一寬為24cm的長方形鐵板,第十八頁，共五十二頁，2022年，8月28日令解得:由題意知,最大值在定義域D內(nèi)達(dá)到,而在域D內(nèi)只有一個駐點(diǎn),故此點(diǎn)即為所求.第十九頁，共五十二頁，2022年，8月28日解：得唯一駐點(diǎn)（2）在D的邊界上所以當(dāng)斷面的面積最大。D把它折起來做成一個斷面為等腰梯形的水槽,積最大.問怎樣折法才能使斷面面例4.有一寬為24cm的長方形鐵板,第二十頁，共五十二頁，2022年，8月28日解如圖,第二十一頁，共五十二頁，2022年，8月28日第二十二頁，共五十二頁，2022年，8月28日第二十三頁，共五十二頁，2022年，8月28日解：設(shè)箱子的長、寬、高分別為x、y、z,容量為V，則V=xyz,設(shè)箱子的表面積為S，則S=2(xy+yz+zx)例6.要造一個容量一定的長方形箱子，問選擇怎樣的尺寸，才能使用的材料最少？解得唯一駐點(diǎn)根據(jù)實(shí)際問題可知S一定存在最小值，并一定在D

內(nèi)部取得，所以當(dāng)S取得最小值，此時用料最省。第二十四頁，共五十二頁，2022年，8月28日解由第二十五頁，共五十二頁，2022年，8月28日三、條件極值極值問題無條件極值:條件極值:條件極值的求法:方法1代入法.求一元函數(shù)的無條件極值問題對自變量只有定義域限制對自變量除定義域限制外,還有其它條件限制例如,轉(zhuǎn)化第二十六頁，共五十二頁，2022年，8月28日例：求表面積為解：設(shè)長方體的長、寬、高分別為x,y,z,體積為V,

則問題可描述為：求體積在約束條件下的最大值轉(zhuǎn)化為無條件極值問題。而體積為最大的長方體體積第二十七頁，共五十二頁，2022年，8月28日(1)若z=f(x,y)在取得極值，則有(2)若在的某一鄰域內(nèi)，f(x,y)與均有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，而方法2拉格朗日乘數(shù)法.由隱函數(shù)存在定理可知，確定一個單值可導(dǎo)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)第二十八頁，共五十二頁，2022年，8月28日所以，z=f(x,y)在取得所求的極值，即相當(dāng)于函數(shù)取得極值，由一元函數(shù)取得極值的必要條件,有而，用隱函數(shù)求導(dǎo)公式，有代入上式得：第二十九頁，共五十二頁，2022年，8月28日(3)令由(1)、(2)、(3)式得:此即在取極值的必要條件第三十頁，共五十二頁，2022年，8月28日（1）構(gòu)造拉格朗日函數(shù)（Lagrange）

：其中為參數(shù)，稱之為拉格朗日乘子（2）聯(lián)解方程組，求出問題的所有可能的極值點(diǎn)。求函數(shù)

z=f(x,y)在約束條件

(x,y)=0下的極值。（3）進(jìn)一步確定所求點(diǎn)是否為極值點(diǎn)，在實(shí)際問題中往往可根據(jù)問題本身的性質(zhì)來判斷。拉格朗日乘數(shù)法：第三十一頁，共五十二頁，2022年，8月28日推廣拉格朗日乘數(shù)法可推廣到多個自變量和多個約束條件的情形.設(shè)解方程組可得到條件極值的可能點(diǎn).例如,求函數(shù)下的極值.在條件第三十二頁，共五十二頁，2022年，8月28日例8.要設(shè)計(jì)一個容量為則問題為求x,y,令解方程組解:設(shè)x,y,z分別表示長、寬、高,下水箱表面積最小.z使在條件水箱長、寬、高等于多少時所用材料最?。康拈L方體開口水箱,試問第三十三頁，共五十二頁，2022年，8月28日得唯一駐點(diǎn)由題意可知合理的設(shè)計(jì)是存在的,長、寬為高的2倍時，所用材料最省.因此,當(dāng)高為思考:1)當(dāng)水箱封閉時,長、寬、高的尺寸如何?提示:利用對稱性可知,2)當(dāng)開口水箱底部的造價(jià)為側(cè)面的二倍時,欲使造價(jià)最省,應(yīng)如何設(shè)拉格朗日函數(shù)?長、寬、高尺寸如何?提示:長、寬、高尺寸相等.第三十四頁，共五十二頁，2022年，8月28日例9：在橢球面上，求距離平面的最近點(diǎn)和最遠(yuǎn)點(diǎn)。解：設(shè)

(x,y,z)

為橢球面上任意一點(diǎn)則該點(diǎn)到平面的距離為問題1：在約束條件下，求距離d的最大最小值。

由于d

中含有絕對值，為便于計(jì)算，考慮將問題1

轉(zhuǎn)化為下面的等價(jià)問題：第三十五頁，共五十二頁，2022年，8月28日（1）作拉格朗日函數(shù)（2）聯(lián)解方程組求得兩個駐點(diǎn)：對應(yīng)的距離為問題2：在條件下，求函數(shù)的最大最小值。第三十六頁，共五十二頁，2022年，8月28日例9：在橢球面上，求距離平面的最近點(diǎn)和最遠(yuǎn)點(diǎn)。解：問題1：在約束條件下，求距離d的最大最小值。求得兩個駐點(diǎn)：對應(yīng)的距離為（3）判斷：由于駐點(diǎn)只有兩個，且由題意知最近距離和最遠(yuǎn)距離均存在。所以最近距離為最遠(yuǎn)距離為第三十七頁，共五十二頁，2022年，8月28日例10：求在條件解：下的極值，其中，x>0,y>0,z>0,a>0。（1）作拉格朗日函數(shù)（2）聯(lián)解方程組由對稱性知，x=y=z，代入最后一個方程解得這是唯一可能的極值點(diǎn)第三十八頁，共五十二頁，2022年，8月28日例10：求在條件解：下的極值，其中，x>0,y>0,z>0,a>0。這是唯一可能的極值點(diǎn)（3）判斷：設(shè)條件所確定的隱函數(shù)為代入目標(biāo)函數(shù)中得它有唯一駐點(diǎn)(3a,3a),經(jīng)計(jì)算可得所以，(3a,3a)是函數(shù)u=xy(x,y)的極小值點(diǎn)從而原條件極值問題有極小值點(diǎn)(3a,3a,3a)對應(yīng)的極小值為第三十九頁，共五十二頁，2022年，8月28日解第四十頁，共五十二頁，2022年，8月28日第四十一頁，共五十二頁，2022年，8月28日可得即第四十二頁，共五十二頁，2022年，8月28日例12求坐標(biāo)原點(diǎn)到曲線C：的最短距離。解：設(shè)曲線C上點(diǎn)（x,y,z）到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為d，第四十三頁，共五十二頁，2022年，8月28日解得和綜合上面討論可知只有兩個駐點(diǎn)，它們到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離都是1，由實(shí)際問題一定有最短距離，可知最短距離為1。 另外，由于C為雙曲線，所以坐標(biāo)原點(diǎn)到C的最大距離不存在。第四十四頁，共五十二頁，2022年，8月28日內(nèi)容小結(jié)1.函數(shù)的極值問題第一步利用必要條件在定義域內(nèi)找駐點(diǎn).即解方程組第二步利用充分條件判別駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn).2.函數(shù)的條件極值問題(1)簡單問題用代入法如對二元函數(shù)(2)一般問題用拉格朗日乘數(shù)法第四十五頁，共五十二頁，2022年，8月28日設(shè)拉格朗日函數(shù)如求二元函數(shù)下的極值,解方程組第二步判別?比較駐點(diǎn)及邊界點(diǎn)上函數(shù)值的大小?根據(jù)問題的實(shí)際意義確定最值第一步找目標(biāo)函數(shù),確定定義域(及