兩直線的位置關(guān)系課件-高三數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)

第二節(jié)兩直線的位置關(guān)系·最新考綱·1．能根據(jù)兩條直線的斜率判斷這兩條直線平行或垂直．2．能用解方程組的方法求兩條相交直線的交點(diǎn)坐標(biāo)．3．掌握兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式，會(huì)求兩條平行直線間的距離．·考向預(yù)測(cè)·考情分析：確定兩條直線的位置關(guān)系，已知兩條直線的位置關(guān)系求參數(shù)，求直線的交點(diǎn)和點(diǎn)到直線的距離，對(duì)稱問(wèn)題，過(guò)定點(diǎn)的直線系問(wèn)題是高考考查的熱點(diǎn)．往往和圓錐曲線綜合起來(lái)．題型多為解答題．學(xué)科素養(yǎng)：通過(guò)兩直線位置關(guān)系的判定及應(yīng)用考查直觀想象、邏輯推理的核心素養(yǎng)．一、必記3個(gè)知識(shí)點(diǎn)1．兩直線的平行、垂直與其斜率的關(guān)系條件兩直線位置關(guān)系斜率的關(guān)系兩條不重合的直線l1，l2，斜率分別為k1，k2平行________k1與k2都不存在垂直________k1與k2一個(gè)為零、另一個(gè)不存在[注意]

在判斷兩條直線的位置關(guān)系時(shí)，容易忽視斜率是否存在，若兩條直線斜率存在，則可根據(jù)條件進(jìn)行判斷，若斜率不存在，則要單獨(dú)考慮．k1＝k2

k1k2＝－12．兩條直線的交點(diǎn)3．三種距離公式三種距離條件公式兩點(diǎn)間的距離A(x1，y1)，B(x2，y2)|AB|＝___________________點(diǎn)到直線的距離P(x0，y0)到直線Ax＋By＋C＝0的距離為dd＝________________兩平行線間的距離直線Ax＋By＋C1＝0到直線Ax＋By＋C2＝0的距離為dd＝___________

二、必明2個(gè)常用結(jié)論1．兩個(gè)充要條件(1)兩直線平行或重合的充要條件直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與直線l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行或重合的充要條件是A1B2－A2B1＝0.(2)兩直線垂直的充要條件直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與直線l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要條件是A1A2＋B1B2＝0.2．六種常用對(duì)稱關(guān)系(1)點(diǎn)(x，y)關(guān)于原點(diǎn)(0，0)的對(duì)稱點(diǎn)為(－x，－y).(2)點(diǎn)(x，y)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為(x，－y)，關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為(－x，y)．(3)點(diǎn)(x，y)關(guān)于直線y＝x的對(duì)稱點(diǎn)為(y，x)，關(guān)于直線y＝－x的對(duì)稱點(diǎn)為(－y，－x)．(4)點(diǎn)(x，y)關(guān)于直線x＝a的對(duì)稱點(diǎn)為(2a－x，y)，關(guān)于直線y＝b的對(duì)稱點(diǎn)為(x，2b－y)．(5)點(diǎn)(x，y)關(guān)于點(diǎn)(a，b)的對(duì)稱點(diǎn)為(2a－x，2b－y)．(6)點(diǎn)(x，y)關(guān)于直線x＋y＝k的對(duì)稱點(diǎn)為(k－y，k－x)，關(guān)于直線x－y＝k的對(duì)稱點(diǎn)為(k＋y，x－k)．三、必練4類基礎(chǔ)題(一)判斷正誤1．判斷下列說(shuō)法是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)．(1)當(dāng)直線l1和l2的斜率都存在時(shí)，一定有k1＝k2?l1∥l2.(

)(2)如果兩條直線l1與l2垂直，則它們的斜率之積一定等于－1.(

)(3)若兩直線的方程組成的方程組有唯一解，則兩直線相交．(

)(4)直線外一點(diǎn)與直線上一點(diǎn)的距離的最小值就是點(diǎn)到直線的距離．(

)××√√(二)教材改編2．[必修2·P109習(xí)題T3改編]若直線mx－3y－2＝0與直線(2－m)x－3y＋5＝0互相平行，則實(shí)數(shù)m的值為(

)A．2B．－1C．1D．0答案：C解析：兩直線平行，其系數(shù)滿足關(guān)系式－3m＝－3(2－m)，解得m＝1.

答案：C

(三)易錯(cuò)易混4．(忽視斜率不存在的情況)若直線(3a＋2)x＋(1－4a)y＋8＝0與(5a－2)x＋(a＋4)y－7＝0垂直，則a＝________．0或1解析：由兩直線垂直的充要條件，得(3a＋2)(5a－2)＋(1－4a)(a＋4)＝0，解得：a＝0或a＝1.5．(忽視平行線間系數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系)直線2x＋2y＋1＝0，x＋y＋2＝0之間的距離是________．

答案：B

答案：D

2．[2022·上海市長(zhǎng)寧區(qū)延安中學(xué)高三月考]“a＝－1”是“直線ax＋(2a－1)y＋1＝0和直線3x＋ay＋3＝0垂直”的(

)A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分又不必要條件答案：A解析：若直線ax＋(2a－1)y＋1＝0和直線3x＋ay＋3＝0垂直，則3a＋a(2a－1)＝0，解得a＝0或a＝－1，則“a＝－1”是“直線ax＋(2a－1)y＋1＝0和直線3x＋ay＋3＝0垂直”的充分不必要條件．3．經(jīng)過(guò)直線2x－y＝0與x＋y－6＝0的交點(diǎn)，且與直線2x＋y－1＝0垂直的直線方程為(

)A．x＋2y－8＝0B．x－2y－6＝0C．x＋2y－10＝0D．x－2y＋6＝0答案：D

反思感悟

由一般式確定兩直線位置關(guān)系的方法直線方程l1：A1x＋B1y＋C1＝≠0)l2：A2x＋B2y＋C2＝≠0)l1與l2垂直的充要條件A1A2＋B1B2＝0l1與l2平行的充分條件＝≠(A2B2C2≠0)l1與l2相交的充分條件≠(A2B2≠0)l1與l2重合的充分條件＝＝(A2B2C2≠0)考點(diǎn)二兩直線的交點(diǎn)與距離問(wèn)題[綜合性]

角度1交點(diǎn)問(wèn)題[例1]

(1)已知點(diǎn)M(0，－1)，點(diǎn)N在直線x－y＋1＝0上，若直線MN垂直于直線x＋2y－3＝0，則點(diǎn)N的坐標(biāo)是(

)A．(－2，－1)B．(2，3)C．(2，1)D．(－2，1)答案：(1)B

(2)經(jīng)過(guò)兩直線l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交點(diǎn)P，且與直線l3：3x－4y＋5＝0垂直的直線l的方程為________________．4x＋3y－6＝0

反思感悟(1)求兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，就是解由兩直線方程聯(lián)立組成的方程組，得到方程組的解就可以寫出交點(diǎn)的坐標(biāo)．(2)求過(guò)兩直線交點(diǎn)的直線方程，先解方程組求出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合其他條件寫出直線方程，也可借助直線系方程，利用待定系數(shù)法求出直線方程．

答案：(1)D

答案：D

答案：C

反思感悟1．點(diǎn)到直線的距離的求法可直接利用點(diǎn)到直線的距離公式來(lái)求，但要注意此時(shí)直線方程必須為一般式．2．兩平行線間的距離的求法(1)利用“轉(zhuǎn)化法”將兩條平行線間的距離轉(zhuǎn)化為一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離；(2)利用兩平行線間的距離公式．

答案：B

答案：C

考點(diǎn)三對(duì)稱問(wèn)題[應(yīng)用性]

角度1點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱[例3]

過(guò)點(diǎn)P(0，1)作直線l使它被直線l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的線段被點(diǎn)P平分，則直線l的方程為_______________．x＋4y－4＝0解析：設(shè)l1與l的交點(diǎn)為A(a，8－2a)，則由題意知，點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)B(－a，2a－6)在l2上，把B點(diǎn)坐標(biāo)代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即點(diǎn)A(4，0)在直線l上，所以由兩點(diǎn)式得直線l的方程為x＋4y－4＝0.

角度2點(diǎn)關(guān)于線對(duì)稱[例4]

已知直線l：2x－3y＋1＝0，點(diǎn)A(－1，－2)，則點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′的坐標(biāo)為____________.

反思感悟點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的解題方法若兩點(diǎn)P1(x1，y1)與P2(x2，y2)關(guān)于直線l：Ax＋By＋C＝0對(duì)稱，則由方程組可得到點(diǎn)P1關(guān)于直線l對(duì)稱的點(diǎn)P2的坐標(biāo)(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2).角度3線關(guān)于線對(duì)稱[例5]

直線2x－y＋3＝0關(guān)于直線x－y＋2＝0對(duì)稱的直線方程是(

)A．x－2y＋3＝0B．x－2y－3＝0C．x＋2y＋1＝0D．x＋2y－1＝0答案：A

反思感悟線關(guān)于線對(duì)稱的解題方法求直線l1關(guān)于直線l對(duì)稱的直線l2，有兩種處理方法：(1)在直線l1上取兩點(diǎn)(一般取特殊點(diǎn))，利用求點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的方法求出這兩點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，再用兩點(diǎn)式寫出直線l2的方程；(2)設(shè)點(diǎn)P(x，y)是直線l2上任意一點(diǎn)，其關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為P1(x1，y1)，根據(jù)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱建立方程組，用x，y表示出x1，y1，再代入直線l1的方程，即得直線l2的方程．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1．點(diǎn)(1，2)關(guān)于直線x＋y－2＝0的對(duì)稱點(diǎn)是(

)A．(1，0)

B．(0，1)C．(0，－1)D．(2，1)答案：B

2．[2022·青銅峽市高級(jí)中學(xué)月考]已知直線l與直線2x－3y＋4＝0關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，則直線l的方程為(

)A．2x＋3y－8＝0B．3x－2y＋1＝0C．x＋2y－5＝0D．3x＋2y－7＝0答案：A

在求解直線方程的題目中，可采用設(shè)直線系方程的方式簡(jiǎn)化運(yùn)算，常見的直線系有平行直線系，垂直直線系和過(guò)兩直線交點(diǎn)的直線系．直線系方程的常見類型(1)平行于已知直線Ax＋By＋C＝0的直線系方程是：Ax＋By＋λ＝0(λ是參數(shù)且λ≠C)；(2)垂直于已知直線Ax＋By＋C＝0的直線系方程是：Bx－Ay＋λ＝0(λ是參數(shù))；(3)過(guò)兩條已知直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交點(diǎn)的直線系方程是：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R，但不包括l2)．一、平行直線系[例1]

求與直線3x＋4y＋1＝0平行且過(guò)點(diǎn)(1，2)的直線l的方程．解析：由題意，可設(shè)所求直線方程為3x＋4y＋C＝0(C≠1)，又因?yàn)橹本€l過(guò)點(diǎn)(1，2)，所以3×1＋4×2＋C＝0，解得C＝－11.因此，所求直線方程為3x＋4y－11＝0.二、垂直直線系由于直線A1x＋B1y＋C1＝0與A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要條件為A1A2＋B1B2＝0.因此，當(dāng)兩直線垂直時(shí)，它們的一次項(xiàng)系數(shù)有必然的聯(lián)系．可以考慮用直線系方程求解．[例2]

求經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2，1)，且與直線2x＋y－10＝0垂直的直線l的方程．解析：因?yàn)樗笾本€與直線2x＋y－10＝0垂直，所以設(shè)該直線方程為x－2y＋C1＝0，又直線過(guò)點(diǎn)A(2，1)，所以有2－2×1＋C1＝0，解得C1＝0，即所求直線方程為x－2y＝0.三、過(guò)兩直線交點(diǎn)的直線系[例3]

經(jīng)過(guò)兩條直線2x＋3y＋1＝0和x－3y＋4＝0的交點(diǎn)，并且垂直于3x＋4y－7＝0的直線方程為_______