初中數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《幾何三大變化-對稱》講義

教師輔導(dǎo)講義學(xué)員姓名：輔導(dǎo)課目：數(shù)學(xué)年級：九年級學(xué)科教師：汪老師授課日期及時段課題初中數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)——幾何三大變化——對稱學(xué)習(xí)目標教學(xué)內(nèi)容初中數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)——幾何三大變化——對稱軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)是平面幾何的三大變換。由一個平面圖形變?yōu)榱硪粋€平面圖形，并使這兩個圖形關(guān)于某一條直線成軸對稱，這樣的圖形改變叫做圖形的軸對稱變換。軸對稱具有這樣的重要性質(zhì)：（1）成軸對稱的兩個圖形全等；（2）如果兩個圖形成軸對稱，那么對稱軸是對稱點連線的垂直平分線。在初中數(shù)學(xué)以及日常生活中有著大量的軸對稱和軸對稱變換的知識，是中考數(shù)學(xué)的必考內(nèi)容。結(jié)合2012年全國各地中考的實例，我們從下面九方面探討軸對稱和軸對稱變換：（1）軸對稱和軸對稱圖形的識別和構(gòu)造；（2）線段、角的軸對稱性；（3）等腰（邊）三角形的軸對稱性；（4）矩形、菱形、正方形的軸對稱性；（5）等腰梯形的軸對稱性；（6）圓的軸對稱性；（7）折疊的軸對稱性；（8）利用軸對稱性求最值；（9）平面解析幾何中圖形的軸對稱性?！疽?、軸對稱和軸對稱圖形的識別和構(gòu)造：】例1、（2012貴州安順4分）在鏡中看到的一串數(shù)字是“”，則這串數(shù)字是．例2、（2012福建寧德4分）將一張正方形紙片按圖①、圖②所示的方式依次對折后，再沿圖③中的虛線裁剪最后將圖④中的紙片打開鋪平，所得到的圖案是【】ABCD例3、（2012福建龍巖12分）如圖1，過△ABC的頂點A作高AD，將點A折疊到點D（如圖2），這時EF為折痕，且△BED和△CFD都是等腰三角形，再將△BED和△CFD沿它們各自的對稱軸EH、FG折疊，使B、C兩點都與點D重合，得到一個矩形EFGH（如圖3），我們稱矩形EFGH為△ABC的邊BC上的折合矩形．（1）若△ABC的面積為6，則折合矩形EFGH的面積為；（2）如圖4，已知△ABC，在圖4中畫出△ABC的邊BC上的折合矩形EFGH；（3）如果△ABC的邊BC上的折合矩形EFGH是正方形，且BC=2a，那么，BC邊上的高AD=，正方形EFGH的對角線長為．1、（2012貴州遵義3分）把一張正方形紙片如圖①、圖②對折兩次后，再如圖③挖去一個三角形小孔，則展開后圖形是【】A．B．C．D．2、（2012廣西欽州3分）如圖所示，把一張矩形紙片對折，折痕為AB，在把以AB的中點O為頂點的平角∠AOB三等分，沿平角的三等分線折疊，將折疊后的圖形剪出一個以O(shè)為頂點的等腰三角形，那么剪出的等腰三角形全部展開平鋪后得到的平面圖形一定是【】A．正三角形B．正方形C．正五邊形D．正六邊形【二、線段、角的軸對稱性：】例1、（2012海南省3分）如圖，在△ABC中，∠B與∠C的平分線交于點O.過O點作DE∥BC，分別交AB、AC于D、E．若AB=5，AC=4，則△ADE的周長是.例2、（2012山東德州8分）有公路l1同側(cè)、l2異側(cè)的兩個城鎮(zhèn)A，B，如下圖．電信部門要修建一座信號發(fā)射塔，按照設(shè)計要求，發(fā)射塔到兩個城鎮(zhèn)A，B的距離必須相等，到兩條公路l1，l2的距離也必須相等，發(fā)射塔C應(yīng)修建在什么位置？請用尺規(guī)作圖找出所有符合條件的點，注明點C的位置．（保留作圖痕跡，不要求寫出畫法）1、（2012云南省3分）如圖，在中，，，AD是的角平分線，則∠CAD的度數(shù)為2、（2012浙江嘉興、舟山5分）在直角△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于點D，若CD=4，則點D到斜邊AB的距離為．【三、等腰（邊）三角形的軸對稱性：】例1、（2012福建三明4分）如圖，在平面直角坐標系中，點A在第一象限，點P在x軸上，若以P，O，A為頂點的三角形是等腰三角形，則滿足條件的點P共有【】A．2個B．3個C．4個D．5個例2、（2012湖北荊門3分）如圖，△ABC是等邊三角形，P是∠ABC的平分線BD上一點，PE⊥AB于點E，線段BP的垂直平分線交BC于點F，垂足為點Q．若BF=2，則PE的長為【】A．2B．2C．D．3例3、（2012黑龍江牡丹江3分）矩形ABCD中，AB=10，BC=3，E為AB邊的中點，P為CD邊上的點，且△AEP是腰長為5的等腰三角形，則DP=。1、（2012湖北天門、仙桃、潛江、江漢油田3分）如圖，△ABC為等邊三角形，點E在BA的延長線上，點D在BC邊上，且ED=EC．若△ABC的邊長為4，AE=2，則BD的長為【】A．2B．3C．D．2、（2012湖北孝感3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36o，BD平分∠ABC交AC于點D．若AC＝2，則AD的長是3、（2012四川瀘州5分）如圖，△ABC是等邊三角形，D是AB邊上的一點，以CD為邊作等邊三角形CDE，使點E、A在直線DC的同側(cè)，連結(jié)AE。求證：AE∥BC4、（2012甘肅白銀10分）如圖，已知△ABC是等邊三角形，點D、F分別在線段BC、AB上，∠EFB=60°，DC=EF．（1）求證：四邊形EFCD是平行四邊形；（2）若BF=EF，求證：AE=AD．【四、矩形、菱形、正方形等腰梯形的軸對稱性：】例1、（2012安徽省4分）為增加綠化面積，某小區(qū)將原來正方形地磚更換為如圖所示的正八邊形植草磚，更換后，圖中陰影部分為植草區(qū)域，設(shè)正八邊形與其內(nèi)部小正方形的邊長都為，則陰影部分的面積為A.2B.3C.4D.5例2、（2012湖北恩施3分）如圖，菱形ABCD和菱形ECGF的邊長分別為2和3，∠A=120°，則圖中陰影部分的面積是【】A．B．2C．3D．例3、（2012廣東深圳3分）如圖，Rt△ABC中，C=90o，以斜邊AB為邊向外作正方形ABDE，且正方形對角線交于點D，連接OC，已知AC=5，OC=6，則另一直角邊BC的長為．例4、（2012貴州貴陽10分）如圖，在正方形ABCD中，等邊三角形AEF的頂點E、F分別在BC和CD上．（1）求證：CE=CF；（2）若等邊三角形AEF的邊長為2，求正方形ABCD的周長．1、（2012安徽省5分）如圖，P是矩形ABCD內(nèi)的任意一點，連接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，設(shè)它們的面積分別是S1、S2、S3、S4，給出如下結(jié)論：①S1+S2=S3+S4②S2+S4=S1+S3③若S3=2S1，則S4=2S2④若S1=S2，則P點在矩形的對角線上其中正確的結(jié)論的序號是（把所有正確結(jié)論的序號都填在橫線上）.2、（2012湖北天門、仙桃、潛江、江漢油田3分）如圖，線段AC=n+1（其中n為正整數(shù)），點B在線段AC上，在線段AC同側(cè)作正方形ABMN及正方形BCEF，連接AM、ME、EA得到△AME．當AB=1時，△AME的面積記為S1；當AB=2時，△AME的面積記為S2；當AB=3時，△AME的面積記為S3；…；當AB=n時，△AME的面積記為Sn．當n≥2時，Sn﹣Sn﹣1=．3、（2012貴州黔南12分）如圖1，在邊長為5的正方形ABCD中，點E、F分別是BC、CD邊上的點，且AE⊥EF，BE=2。（1）求EC：CF值；（2）延長EF交正方形∠BCD的外角平分線CP于點P（圖2），試判斷AE與EP大小關(guān)系，并說明理由；（3）在圖2的AB邊上是否存在一點M，使得四邊形DMEP是平行四邊形？若存在，請給予證明；若不存在，請說明理由。【五、等腰梯形的軸對稱性：】例1、（2012山東臨沂3分）如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，對角線AC．BD相交于點O，下列結(jié)論不一定正確的是【】A．AC=BDB．OB=OCC．∠BCD=∠BDCD．∠ABD=∠ACD例2、（2012山東煙臺3分）如圖，在平面直角坐標中，等腰梯形ABCD的下底在x軸上，且B點坐標為（4，0）D點坐標為（0，3），則AC長為【】A．4B．5C．6D．不能確定例3、（2012江蘇南京8分）如圖，梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD，對角線AC、BD交于點O，ACBD，E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA的中點（1）求證：四邊形EFGH為正方形；（2）若AD=2，BC=4，求四邊形EFGH的面積。1、（2012江蘇無錫3分）如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，AB=5，BC=9，CD的垂直平分線交BC于E，連接DE，則四邊形ABED的周長等于【】 A．17B．18C．19D．202、（2012遼寧營口3分）如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，過點D作DF⊥BC于F．若AD=2，BC=4，DF=2，則DC的長為．【六、圓的軸對稱性：】例1、（2012陜西省3分）如圖，在半徑為5的圓O中，AB，CD是互相垂直的兩條弦，垂足為P，且AB=CD=8則OP的長為【】A．3 B．4C． D．例2、（2012山東東營4分）某施工工地安放了一個圓柱形飲水桶的木制支架（如圖1），若不計木條的厚度，其俯視圖如圖2所示，已知AD垂直平分BC，AD=BC=48cm，則圓柱形飲水桶的底面半徑的最大值是cm例3、（2012四川攀枝花4分）如圖，以BC為直徑的⊙O1與⊙O2外切，⊙O1與⊙O2的外公切線交于點D，且∠ADC=60°，過B點的⊙O1的切線交其中一條外公切線于點A．若⊙O2的面積為π，則四邊形ABCD的面積是1、（2012廣西桂林10分）如圖，等圓⊙O1和⊙O2相交于A、B兩點，⊙O1經(jīng)過⊙O2的圓心，順次連接A、O1、B、O2．(1)求證：四邊形AO1BO2是菱形；(2)過直徑AC的端點C作⊙O1的切線CE交AB的延長線于E，連接CO2交AE于D，求證：CE＝2O2D；(3)在(2)的條件下，若△AO2D的面積為1，求△BO2D的面積．【七、折疊的軸對稱性：】例1、（2012江蘇南京2分）如圖，菱形紙片ABCD中，∠A=600，將紙片折疊，點A、D分別落在A’、D’處，且A’D’經(jīng)過B，EF為折痕，當D’FCD時，的值為【】A. B. C. D.例2、（2012湖北荊門3分）如圖，已知正方形ABCD的對角線長為2，將正方形ABCD沿直線EF折疊，則圖中陰影部分的周長為【】A．8B．4C．8D．6例3、（2012山東泰安3分）如圖，將矩形紙片ABCD沿EF折疊，使點B與CD的中點重合，若AB=2，BC=3，則△FCB′與△B′DG的面積之比為【】A．9：4B．3：2C．4：3D．16：9例4、（2012黑龍江綏化3分）長為20，寬為a的矩形紙片（10＜a＜20），如圖那樣折一下，剪下一個邊長等于矩形寬度的正方形（稱為第一次操作）；再把剩下的矩形如圖那樣折一下，剪下一個邊長等于此時矩形寬度的正方形（稱為第二次操作）；如此反復(fù)操作下去，若在第n次操作后，剩下的矩形為正方形，則操作停止．當n=3時，a的值為.例5、（2012海南省11分）如圖（1），在矩形ABCD中，把∠B、∠D分別翻折，使點B、D分別落在對角線BC上的點E、F處，折痕分別為CM、AN.（1）求證：△AND≌△CBM.（2）請連接MF、NE，證明四邊形MFNE是平行四邊形，四邊形MFNE是菱形嗎？請說明理由？（3）P、Q是矩形的邊CD、AB上的兩點，連結(jié)PQ、CQ、MN，如圖（2）所示，若PQ=CQ，PQ∥MN。且AB=4，BC=3，求PC的長度.例6、（2012廣東珠海9分）已知，AB是⊙O的直徑，點P在弧AB上（不含點A、B），把△AOP沿OP對折，點A的對應(yīng)點C恰好落在⊙O上．（1）當P、C都在AB上方時（如圖1），判斷PO與BC的位置關(guān)系（只回答結(jié)果）；（2）當P在AB上方而C在AB下方時（如圖2），（1）中結(jié)論還成立嗎？證明你的結(jié)論；（3）當P、C都在AB上方時（如圖3），過C點作CD⊥直線AP于D，且CD是⊙O的切線，證明：AB=4PD．1、（2012江蘇連云港3分）小明在學(xué)習(xí)“銳角三角函數(shù)”中發(fā)現(xiàn)，將如圖所示的矩形紙片ABCD沿過點B的直線折疊，使點A落在BC上的點E處，還原后，再沿過點E的直線折疊，使點A落在BC上的點F處，這樣就可以求出67.5°角的正切值是【】＋1B．＋1C．2.5D．2、（2012福建南平4分）如圖，正方形紙片ABCD的邊長為3，點E、F分別在邊BC、CD上，將AB、AD分別和AE、AF折疊，點B、D恰好都將在點G處，已知BE=1，則EF的長為【】A．B．C．D．33、（2012山東濰坊3分）已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一點E，沿AE將ΔABE向上折疊，使B點落在AD上的F點，若四邊形EFDC與矩形ABCD相似，則AD=【】A．B．C.D．24、（2012廣東省9分）如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=6，BC=8．把△BCD沿對角線BD折疊，使點C落在C′處，BC′交AD于點G；E、F分別是C′D和BD上的點，線段EF交AD于點H，把△FDE沿EF折疊，使點D落在D′處，點D′恰好與點A重合．（1）求證：△ABG≌△C′DG；（2）求tan∠ABG的值；（3）求EF的長．【八、利用軸對稱性求最值：】例1、（2012甘肅蘭州4分）如圖，四邊形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分別找一點M、N，使△AMN周長最小時，則∠AMN＋∠ANM的度數(shù)為【】A．130°B．120°C．110°D．100°例2、（2012四川攀枝花4分）如圖，正方形ABCD中，AB=4，E是BC的中點，點P是對角線AC上一動點，則PE+PB的最小值為．例3、（2012山東青島3分）如圖，圓柱形玻璃杯高為12cm、底面周長為18cm，在杯內(nèi)離杯底4cm的點C處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿4cm與蜂蜜相對的點A處，則螞蟻到達蜂蜜的最短距離為cm．1、（2012廣西貴港2分）如圖，MN為⊙O的直徑，A、B是O上的兩點，過A作AC⊥MN于點C，過B作BD⊥MN于點D，P為DC上的任意一點，若MN＝20，AC＝8，BD＝6，則PA＋PB的最小值是。2、（2012浙江臺州4分）如圖，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，點P，Q，K分別為線段BC，CD，BD上的任意一點，則PK+QK的最小值為【】 A． 1 B． C．2 D．＋13、（2011甘肅天水4分）如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=6，對角線AC平分∠BAD，點E在AB上，且AE=2（AE＜AD），點P是AC上的動點，則PE+PB的最小值是．【九、解析幾何中圖形的軸對稱性：】例1、（2012青海西寧2分）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，AC＝12，BD＝16，E為AD的中點，點P在x軸上移動．小明同學(xué)寫出了兩個使△POE為等腰三角形的P點坐標為(－5，0)和(5，0)請你寫出其余所有符合這個條件的P點的坐標．例2、（2012吉林長春3分）如圖，在平面直角坐標系中，點A是拋物線與y軸的交點，點B是這條拋物線上的另一點，且AB∥x軸，則以AB為邊的等邊三角形ABC的周長為.例3、（2012湖北黃岡14分）如圖，已知拋物線的方程C1:與x軸相交于點B、C，與y軸相交于點E，且點B在點C的左側(cè).(1)若拋物線C1過點M(2，2)，求實數(shù)m的值．(2)在(1)的條件下，求△BCE的面積．(3)在(1)的條件下，在拋物線的對稱軸上找一點H，使BH+EH最小，并求出點H的坐標．(4)在第四象限內(nèi)，拋物線C1上是否存在點F，使得以點B、C、F為頂點的三角形與△BCE相似?若存在，求m的值；若不存在，請說明理由．例4、（2012遼寧朝陽14分）已知，如圖，在平面直角坐標系中，Rt△ABC的斜邊BC在x軸上，直角頂點A在y軸的正半軸上，A（0，2），B（－1，0）。（1）求點C的坐標；（2）求過A、B、C三點