固體物理晶格振動(dòng)

§3.2一維雙原子鏈的振動(dòng)一、運(yùn)動(dòng)方程及其解運(yùn)動(dòng)方程：{試解：{(設(shè)M>m)考慮由P、Q兩種原子等距相間排列的一維雙原子鏈只考慮近鄰原子間的彈性相互作用aMm{nnn-1n+1編輯課件{代入方程:久期方程：編輯課件簡(jiǎn)約區(qū)：對(duì)于不在簡(jiǎn)約區(qū)中的波數(shù)q’，一定可在簡(jiǎn)約區(qū)中找到唯一一個(gè)q，使之滿足：為倒格矢兩個(gè)色散關(guān)系即有兩支格波：（＋：光學(xué)波；－：聲學(xué)波）編輯課件二、聲學(xué)波和光學(xué)波的物理圖象第n個(gè)原胞中P、Q兩種原子的位移之比R:大于零的實(shí)數(shù)，反映原胞中P、Q兩種原子的振幅比:兩原子的振動(dòng)位相差編輯課件1.聲學(xué)波（acousticbranch）即：－在Ⅰ、Ⅳ象限，屬于同位相型編輯課件物理圖象：原胞中的兩種原子的振動(dòng)位相基本相同，原胞

基本上是作為一個(gè)整體振動(dòng)，而原胞中兩種原

子基本上無(wú)相對(duì)振動(dòng)。編輯課件q0時(shí)當(dāng)q0時(shí)，原胞內(nèi)兩種原子的振動(dòng)位相完全相同。編輯課件這與連續(xù)介質(zhì)的彈性波＝vq一致。當(dāng)q0時(shí)

在長(zhǎng)波極限下，原胞內(nèi)兩種原子的運(yùn)動(dòng)完全一致，振幅和位相均相同，非常類(lèi)似于聲波，故將這種晶格振動(dòng)稱為聲學(xué)波或聲學(xué)支。編輯課件2.光學(xué)波（opticalbranch）編輯課件＋在Ⅱ、Ⅲ象限之間，屬于反位相型。物理圖象：原胞中兩種不同原子的振動(dòng)位相基本上相反，

即原胞中的兩種原子基本上作相對(duì)振動(dòng)，而

原胞的質(zhì)心基本保持不動(dòng)。編輯課件當(dāng)q0時(shí)，＋，原胞中兩種原子振動(dòng)位相完全相反。

離子晶體在某種光波的照射下，光波的電場(chǎng)可以激發(fā)這種晶格振動(dòng)，因此，我們稱這種振動(dòng)為光學(xué)波或光學(xué)支。編輯課件對(duì)于單聲子過(guò)程（一級(jí)近似），電磁波只與波數(shù)相同的格波相互作用。如果它們具有相同的頻率，就會(huì)發(fā)生共振。光波：＝c0q，c0為光速=c0q0q(q)+(0)+對(duì)于實(shí)際晶體，＋(0)在1013~1014Hz，對(duì)應(yīng)于遠(yuǎn)紅外光范圍。離子晶體中光學(xué)波的共振可引起對(duì)遠(yuǎn)紅外光在＋(0)附近的強(qiáng)烈吸收。編輯課件光學(xué)波原子振動(dòng)模型聲學(xué)波原子振動(dòng)模型編輯課件帶隙編輯課件三、周期性邊界條件周期性邊界條件：h=整數(shù)，N：晶體鏈的原胞數(shù)q的分布密度：{簡(jiǎn)約區(qū)中q的取值總數(shù)＝晶體的原胞數(shù)晶格振動(dòng)的格波總數(shù)＝2N＝晶體的自由度數(shù)推廣：若每個(gè)原胞中有s個(gè)原子，一維晶格振動(dòng)有s個(gè)色散關(guān)系

式（s支格波），其中：1支聲學(xué)波,（s-1）支光學(xué)波。

晶格振動(dòng)格波的總數(shù)＝sN＝晶體的自由度數(shù)。編輯課件§3.5三維晶格振動(dòng)一、三維簡(jiǎn)單晶格的振動(dòng)0lRlRl’Rl–Rl’Rl-l’l-l’l’第?個(gè)原子的位矢:編輯課件回顧-簡(jiǎn)諧近似忽略高階項(xiàng)，保留至二階項(xiàng)上式稱為簡(jiǎn)諧近似。編輯課件在簡(jiǎn)諧近似下，系統(tǒng)的勢(shì)能為（取平衡時(shí)U0＝0）：(l)和(l’)是第l和第l’個(gè)原子分別沿和方向的位移。力常數(shù)編輯課件第l個(gè)原子的運(yùn)動(dòng)方程：這里考慮了晶體中所有原子的相互作用。由晶格的周期性，得編輯課件設(shè)格波解：代入運(yùn)動(dòng)方程得：，＝1，2，3其中編輯課件久期方程可以解得與q的三個(gè)關(guān)系式，對(duì)應(yīng)于三維情況沿三個(gè)方向的振動(dòng)，即三支聲學(xué)波：一支縱波，兩支橫波。推廣：對(duì)于復(fù)式晶格，若每個(gè)原胞中有s個(gè)原子，由

運(yùn)動(dòng)方程可以解得3s個(gè)與q的關(guān)系式（即色散

關(guān)系式），對(duì)應(yīng)于3s支格波，其中3支為聲學(xué)波

（一支縱波，兩支橫波），3(s－1)支為光學(xué)波。編輯課件二、布里淵區(qū)上式對(duì)于任意時(shí)刻t和任意的格矢

都成立，有：對(duì)于第j支格波，設(shè)有兩個(gè)波矢

和

所描述的晶格振動(dòng)狀態(tài)完全相同，有編輯課件由于

為倒格矢，h為整數(shù)有

，（由于

為任意格矢）即：在

空間中，

是以倒格矢

為周期的周期函數(shù)，仍可將波矢

限制在簡(jiǎn)約區(qū)或第一布里淵區(qū)中編輯課件將原點(diǎn)取在簡(jiǎn)約區(qū)的中心，那么，在布里淵區(qū)邊界面上周期對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)間應(yīng)滿足關(guān)系：——布里淵區(qū)邊界面方程0編輯課件布里淵區(qū)的幾何作圖法：根據(jù)晶體結(jié)構(gòu)，作出該晶體的倒易空間點(diǎn)陣，任取一

個(gè)倒格點(diǎn)為原點(diǎn)；布里淵區(qū)的邊界面是倒格矢的垂直平分面。由近到遠(yuǎn)作各倒格矢的垂直平分面；在原點(diǎn)周?chē)鷩梢粋€(gè)包含原點(diǎn)在內(nèi)的最小封閉體積，

即為簡(jiǎn)約區(qū)或第一布里淵區(qū)。簡(jiǎn)約區(qū)就是倒易空間中的Wigner－Seitz原胞。編輯課件1ⅡⅡⅡⅡⅡⅡ222222333333可以證明，每個(gè)布里淵區(qū)的體積均相等，都等于第一布里淵區(qū)的體積，即倒格子原胞的體積b。編輯課件編輯課件正格子格常數(shù)倒格子格常數(shù)簡(jiǎn)約區(qū)scasc由6個(gè){100}面

圍成的立方體bccafcc由12個(gè){110}面

圍成的正12面體fccabcc由8個(gè){111}面和6個(gè){100}面圍成的14面體編輯課件體心立方晶格的倒格子與簡(jiǎn)約區(qū)編輯課件面心立方晶格的倒格子與簡(jiǎn)約區(qū)編輯課件三、周期性邊界條件設(shè)N1、N2和N3分別為晶體沿三個(gè)基矢方向的原胞數(shù)。那么，晶體的總原胞數(shù)為：N＝N1N2N3

周期性邊界條件：第j支格波：＝1,2,3h

=整數(shù)編輯課件令h1,h2,h3＝整數(shù)＝1,2,3編輯課件在q空間中，每一個(gè)q的取值（狀態(tài)）所占的空間為：V＝Nva＝晶體體積在

空間中，波矢

的分布密度：簡(jiǎn)約區(qū)中波矢

的取值總數(shù)＝

＝晶體的原胞數(shù)編輯課件簡(jiǎn)單晶格：每個(gè)原胞中只有一個(gè)原子，每一個(gè)q的取值

對(duì)應(yīng)于三個(gè)聲學(xué)波（1個(gè)縱波，2個(gè)橫波）晶格振動(dòng)格波的總數(shù)＝3N