高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題一集合常用邏輯用語不等式函數(shù)與導(dǎo)數(shù)第六講導(dǎo)數(shù)應(yīng)用(二)能力訓(xùn)練理

第六講導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（二）11．(2018·山西八校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝x－1－alnx(a∈R)，g(x)＝x.當(dāng)a＝－2時(shí)，求曲線y＝f(x)在x＝1處的切線方程；(2)若a<0，且對隨意x1，x2∈(0,1]，都有|f(x1)－f(x2)|<4×|g(x1)－g(x2)|，務(wù)實(shí)數(shù)的取值范圍．分析：(1)當(dāng)a＝－2時(shí)，f(x)＝x－1＋2lnx，′( )＝1＋2，(1)＝0，切線的斜率k＝f′(1)＝3，fxxf故曲線y＝f(x)在x＝1處的切線方程為3x－y－3＝0.a(2)對x∈(0,1]，當(dāng)a<0時(shí)，f′(x)＝1－x>0，∴f(x)在(0,1]上單一遞加，易知g(x)1＝x在(0,1]上單一遞減，不如設(shè)x1，x2∈(0,1]，且x1<x2，f(x1)<f(x2)，g(x1)>g(x2)，f(x2)－f(x1)<4×[g(x1)－g(x2)]，即f(x1)＋4>f(x2)＋4.1x24令h(x)＝f(x)＋x，則當(dāng)x1<x2時(shí)，有h(x1)>h(x2)，∴h(x)在(0,1]上單一遞減，a4x2－ax－4∴h′(x)＝1－x－x2＝x2≤0在(0,1]上恒建立，24∴x－ax－4≤0在(0,1]上恒建立，等價(jià)于a≥x－x在(0,1]上恒建立，4max∴只要a≥(x－x).4∵y＝x－x在(0,1]上單一遞加，∴ymax＝－3，∴－3≤a<0，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為[－3,0)．1－x2.(2018·蘭州診療)已知函數(shù)f(x)＝ax＋lnx在(1，＋∞)上是增函數(shù)，且a>0.(1)求a的取值范圍；1＋ba(2)若b>0，試證明a＋b<lnb<b.1ax－1分析：(1)f′(x)＝－ax2＋x＝ax2，由于在(1，＋∞)上f′(x)≥0，且a>0，1因此ax－1≥0，即x≥1a，1因此a≤1，即a≥1.故a的取值范圍為[1，＋∞)．a(chǎn)＋b證明：由于b>0，a≥1，因此b>1，1－xx在(1，＋∞)上是增函數(shù)，又f(x)＝＋lnaxa＋b因此fa＋b，即1－b＋lna＋bb>f(l)＋>0，abba·ba＋b化簡得a＋b<lnb，a＋baa＋baaalnb<b等價(jià)于lnb－b＝ln1＋b－b<0，令g(x)＝ln(1＋x)－x(x∈(0，＋∞))，－x則g′(x)＝1＋x－1＝1＋x<0，因此函數(shù)g(x)在(0，＋∞)上為減函數(shù)，aaaa＋baa＋ba因此gb＝ln1＋b－b＝lnb－b<g(0)＝0，即lnb<b.a＋ba綜上，a＋b<lnb<b.3．(2018·石家莊模擬)已知函數(shù)f(x)＝x(lnx－ax)(a∈R).(1)若＝1，求函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)(1，(1))處的切線方程；af1(2)若函數(shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，且x1<x2，求證：f(x2)>－.2分析：(1)由已知得，f(x)＝x(lnx－x)，當(dāng)x＝1時(shí)，f(x)＝－1，′( )＝ln＋1－2x，當(dāng)x＝1時(shí)，′( )＝－1，因此所求切線方程為y＋1＝－(xfxxfx1)，即x＋y＝0.證明：由已知條件可得f′(x)＝lnx＋1－2ax有兩個(gè)不一樣的零點(diǎn)，且兩零點(diǎn)的左、右雙側(cè)鄰近的函數(shù)值符號相反，1令f′(x)＝h(x),則h′(x)＝x－2a(x>0)，若a≤0，則h′(x)>0，h(x)單一遞加，f′(x)不行能有兩個(gè)零點(diǎn)；若a>0，2令h′(x)＝1，可知h(x)在(0，11，＋∞)上單一遞減，0得x＝22)上單一遞加，在(2aaa11令f′( )>0，解得0<a<，2a21112a此時(shí)<，f′( )＝－<0，e2aee1>11)＝－2ln2，f′(a＋1－<0，22a2aaa1因此當(dāng)0<a<2時(shí)，函數(shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化狀況以下表：x(0，x)x1(x，x)x2(x，＋∞)1122′( )－0＋0－fxf(x)f(x1)f(x2)由于f′(1)＝1－2a>0，因此0<<1<，(x)在[1，x]上單一遞加，122因此f2124．(2018·南寧二中、柳州一中聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝lnx－ax2＋(2－a)x.議論f(x)的單一性；x1＋x2(2)設(shè)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)分別是x1，x2，求證：f′(2)<0.分析：(1)函數(shù)f(x)＝lnx－ax2＋(2－a)x的定義域?yàn)?0，＋∞)，′( )＝1－2＋(2－)＝－ax－12x＋1，fxxaxax①當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)>0，則f(x)在(0，＋∞)上單一遞加；②當(dāng)>0時(shí)，若x1f′( )>0，若∈(1f′( )<0，則f(x)在∈(0，)，則，＋∞)，則aaxxax11(0，a)上單一遞加，在(a，＋∞)上單一遞減．11(2)證明：由(1)易知a>0，且f(x)在(0，a)上單一遞加，在(a，＋∞)上單一遞減，不1妨設(shè)0<x1<a<x2，1＋2x1＋x212x1＋22>?x1＋)<0，只要證x1＋x2>即可．f′(2)<0?2x2>，故要證f′(2aaa結(jié)構(gòu)函數(shù)()＝(x)－(2)，1－∈(0，)，F(xiàn)xffaxxa3222axax－2＋2F′(x)＝f′(x)－[f(a－x)]′＝f′(x)＋f′(a－x)＝x2－ax＝2ax－12，x2－ax12ax－121∵x∈(0，a)，∴F′(x)＝x2－ax>0，∴F(x)在(0，a)上單一遞加，1121F(x)<F(a)＝f(a)－f(a－a)