MATLAB基礎(chǔ)教程及常用命令和函數(shù)

MATLAB基礎(chǔ)教程及常用命令和函數(shù)

第一章MATLAB入門

Chapterone:IntroductiontoMATLAB

MATLAB(MatrixLaboratory)是差國MathWorks公司開發(fā)的用于概念設(shè)

計，算法開發(fā)，建模仿真，實時實現(xiàn)的理想的集成環(huán)境，是目前最好的科學(xué)計

算類軟件。作為和MathematicalMaple并列的三大數(shù)學(xué)軟件之一,其強(qiáng)項就

是強(qiáng)大的矩陣計算以及仿真能力。MATLAB提供了自己的編譯器：全面兼容C++

以及Fortran兩大語言。所以MATLAB是工程師、科研工作者手上最好的語言，

最好的工具和環(huán)境，已經(jīng)成為廣大科研人員的最值得信賴的助手和朋友。除了

具備卓越的數(shù)值計算能力外，它還提供了專業(yè)水平的符號計算，文字處理，可視

化建模仿真和實時控制等功能，是具有全部語言功能和特征的新一代軟件開發(fā)

平臺。MATLAB的基本數(shù)據(jù)單位是矩陣，它的指令表達(dá)式與數(shù)學(xué)，工程中常用的形

式十分相似，故用MATLAB來解算問題要比用C,FORTRAN等語言簡捷得多.MATLAB

是國際公認(rèn)的優(yōu)秀數(shù)學(xué)應(yīng)用軟件之一。

目前，MATLAB已發(fā)展成為適合眾多學(xué)科，多種工作平臺、功能強(qiáng)大的大型

軟件，成為了諸多領(lǐng)域的開發(fā)首選軟件，并且，MATLAB還具有500余家第三

方合作伙伴，分布在科學(xué)計算、機(jī)械動力、化工、計算機(jī)通訊、汽車、金融等

領(lǐng)域，接口方式包括了聯(lián)合建模、數(shù)據(jù)共享、開發(fā)流程銜接等等。在歐美等國

家的高校，MATLAB已成為線性代數(shù)、自動控制理論、數(shù)理統(tǒng)計、數(shù)字信號處理、

時間序列分析、動態(tài)系統(tǒng)仿真等高級課程的基本教學(xué)工具。成為攻讀學(xué)位的本

科、碩士、博士生必須掌握的基本技能。在設(shè)計研究單位和工業(yè)開發(fā)部門，

MATLAB被廣泛的應(yīng)用于研究和解決各種具體問題。

MATLAB的發(fā)展歷程和影響

MATLAB由MATrix和LABoratory兩詞的前三個字母組合而成。20

世紀(jì)七十年代后期，時任美國新墨西哥大學(xué)計算機(jī)科學(xué)系主任的CleveMoler

教授出于減輕學(xué)生編程負(fù)擔(dān)的動機(jī)，為學(xué)生設(shè)計了一組調(diào)用UNPACK和

EISPACK庫程序的''通俗易用〃的接口，形成了用FORTRAN編寫的萌芽狀態(tài)

的MATLABo

經(jīng)幾年的校際流傳，在Little的推動下，由Little、Moler、Steve

Bangert合作，于1984年成立了MathWorks公司，并把MATLAB正式

推向市場。從這時起，MATLAB的內(nèi)核采用C語言編寫，而且除原有的數(shù)值

計算能力外，還新增了數(shù)據(jù)圖視功能。

MATLAB以商品形式出現(xiàn)后，僅短短幾年，就以其良好的開放性和運(yùn)行的

可靠性，使原先控制領(lǐng)域里的封閉式軟件包(如英國的UMIST,瑞典的LUND

和SIMNON,德國的KEDDC)紛紛被淘汰，而改以MATLAB為平臺加以

重建。在時間進(jìn)入20世紀(jì)九十年代的時候，MATLAB已經(jīng)成為國際控制界

公認(rèn)的標(biāo)準(zhǔn)計算軟件。

到九十年代初期，在國際上30幾個數(shù)學(xué)類科技應(yīng)用軟件中，MATLAB在

數(shù)值計算方面獨占鰲頭，而Mathematica和Maple則分居符號計算軟件的

前兩名。Mathcad則因其使用操作十分簡單，不要求用戶具有精深的計算機(jī)

知識，對于任何具有一定數(shù)學(xué)知識的人，都可以十分容易地學(xué)會使用。當(dāng)輸入

一個數(shù)學(xué)公式、方程組、矩陣等，計算機(jī)將直接給出計算結(jié)果，而無須去考

慮中間計算過程。因MathCad也可以進(jìn)行復(fù)雜的數(shù)學(xué)計算，圖形顯示和文檔

處理，也是一種受歡迎的大眾化數(shù)學(xué)工具。

MathWorks公司于1993年推出MATLAB4.0版本，從此告別DOS

版。4.x版在繼承和發(fā)展其原有的數(shù)值計算和圖形可視能力的同時一，出現(xiàn)了以

下幾個重要變化：

(1)推出了SIMULINKo這是一個交互式操作的動態(tài)系統(tǒng)建模、仿真、分

析集成環(huán)境。它的出現(xiàn)使人們有可能考慮許多以前不得不做簡化假設(shè)的非線性

因素、隨機(jī)因素，從而大大提高了人們對非線性、隨機(jī)動態(tài)系統(tǒng)的認(rèn)知能力。

(2)開發(fā)了與外部進(jìn)行直接數(shù)據(jù)交換的組件，打通了MATLAB進(jìn)行實時數(shù)

據(jù)分析、處理和硬件開發(fā)的道路。

(3)推出了符號計算工具包。1993年MathWorks公司從加拿大滑鐵盧

大學(xué)購得Maple的使用權(quán)，以Maple為''引擎〃開發(fā)了SymbolicMath

Toolbox1.0oMathWorks公司此舉加快結(jié)束了國際上數(shù)值計算、符號計算

孰優(yōu)孰劣的長期爭論，促成了兩種計算的互補(bǔ)發(fā)展新時代。

(4)構(gòu)作了Notebook。MathWorks公司瞄準(zhǔn)應(yīng)用范圍最廣的Word,

運(yùn)用DDE和OLE,實現(xiàn)了MATLAB與Word的無縫連接，從而為專業(yè)科

技工作者創(chuàng)造了融科學(xué)計算、圖形可視、文字處理于一體的高水準(zhǔn)環(huán)境。

隨著時間的推移,MATLAB的功能不斷擴(kuò)充，版本不斷升級,現(xiàn)今的MATLAB

擁有更豐富的數(shù)據(jù)類型和結(jié)構(gòu)、更友善的面向?qū)ο蟆⒏涌焖倬嫉膱D形可視、

更廣博的數(shù)學(xué)和數(shù)據(jù)分析資源、更多的應(yīng)用開發(fā)工具。

1995年推出了4.2版，1997年春，MATLAB5.0版問世，緊接著是5.1、

5.2,5.X版無論是界面還是內(nèi)容都有長足的進(jìn)展，其幫助信息采用超文本格式

和PDF格式，可以方便的瀏覽。至2001年6月推出6.1版，2002年6月推出

6.5版。

從2006年開始，MathWorks公司每年進(jìn)行兩次例行的產(chǎn)品發(fā)布，時間分別

在每年的3月和9月，而且，每一次發(fā)布都會包含所有的產(chǎn)品模塊，如產(chǎn)品的

newfeature、bugfixes和新產(chǎn)品模塊的推出。繼7.0版、7.1版、7.3(MATLAB

2006b)版、7.4(R2007a)版、7.5(R2007b)版、7.6(R2008a)版。7.7(R2008b)

版，7.8(R2009a)版，最新版本為2009年9月4日發(fā)布的7.9版(R2009b)

MATLAB和Simulink產(chǎn)品家族。

從R2008a開始，MATLAB和Simulink產(chǎn)品家族軟件在安裝后需要激活才能

使用。

附件：版本發(fā)布或者更新時間

版本建造編號發(fā)布時間

MATLAB1.01984

MATALB21986

MATLAB31987

MATLAB3.51990

MATLAB41992

MATLAB4.2cR71994

MATLAB5.0R81996

MATLAB5.1R91997

MATLAB5.1.1R9.11997

MATLAB5.2RIO1998

MATLAB5.2.1R10.11998

MATLAB5.3Rll1999

MATLAB5.3.1Rll.l1999

MATLAB6.0R122000

MATLAB6.1R12.12001

MATLAB6.5R132002

MATLAB6.5.1R13SP12003

MATLAB6.5.2R13SP22003

MATLAB7R142004

MATLAB7.0.1R14SP12004

MATLAB7.0.4R14SP22005

MATLAB7.1R14SP32005

MATLAB7.2R2006a2006

MATLAB7.3R2006b2006

MATLAB7.4R2007a2007

MATLAB7.5R2007b2007

MATLAB7.6R2008a2008

MATLAB7.7R2008b2008

MATLAB7.8R2009a2009.3.6

MATLAB7.9R2009b2009.9.4

MATLAB7.10R2010a2010.3.5

MATLAB7.11R2010b2010.9.3

MATLAB7.12R2011a2011.4.8

MATLAB7.13R2011b2011.9.3

到1999年底，Mathematica也已經(jīng)升到4.0版，它特別加強(qiáng)了以

前欠缺的大規(guī)模數(shù)據(jù)處理能力。Mathcad也趕在2000年到來之前推出了

Mathcad2000,它購買了Maple內(nèi)核和庫的部分使用權(quán)，打通了與

MATLAB的接口，從而把其數(shù)學(xué)計算能力提高到專業(yè)層次。但是，就影響而言,

至今仍然沒有一個別的計算軟件可與MATLAB匹敵。

在歐美大學(xué)里，諸如應(yīng)用代數(shù)、數(shù)理統(tǒng)計、自動控制、數(shù)字信號處理、模

擬與數(shù)字通信、時間序列分析、動態(tài)系統(tǒng)仿真等課程的教科書都把MATLAB作

為內(nèi)容。這幾乎成了九十年代教科書與舊版書籍的區(qū)別性標(biāo)志。在那里，

MATLAB是攻讀學(xué)位的大學(xué)生、碩士生、博士生必須掌握的基本工具。

在國際學(xué)術(shù)界，MATLAB已經(jīng)被確認(rèn)為準(zhǔn)確、可靠的科學(xué)計算標(biāo)準(zhǔn)軟件。

在許多國際一流學(xué)術(shù)刊物上，（尤其是信息科學(xué)刊物），都可以看到MATLAB的

應(yīng)用。

在設(shè)計研究單位和工業(yè)部門，MATLAB被認(rèn)作進(jìn)行高效研究、開發(fā)的首

選軟件工具。如美國NationalInstruments公司信號測量、分析軟件

LabVIEW,Cadence公司信號和通信分析設(shè)計軟件SPW等，或者直接建

筑在MATLAB之上，或者以MATLAB為主要支撐。又如HP公司的VXI硬

件，TM公司的DSP,Gage公司的各種硬卡、儀器等都接受MATLAB的

支持。

MATLAB-巨人肩上的工具

MATLAB被譽(yù)為''巨人肩上的工具”。由于使用Matlab編程運(yùn)算與人進(jìn)

行科學(xué)計算的思路和表達(dá)方式完全一致，所以不象學(xué)習(xí)其它高級語言一如

Basic、Fortran和C等那樣難于掌握，用Matlab編寫程序猶如在演算紙上排

列出公式與求解問題，所以又被稱為演算紙式科學(xué)算法語言。一般數(shù)值分析、

矩陣運(yùn)算、數(shù)字信號處理、建模和系統(tǒng)控制和優(yōu)化等應(yīng)用程序，并集應(yīng)用程序

和圖形于一體便于使用的集成環(huán)境中。在這個環(huán)境下，對所要求解的問題，用

戶只需簡單地列出數(shù)學(xué)表達(dá)式，其結(jié)果便以數(shù)值或圖形方式顯示出來。

MATLAB的含義是矩陣實驗室（MATRIXLABORATORY）,主要用于方

便矩陣的存取，其基本元素是無須定義維數(shù)的矩陣。MATLAB自問世以來，就是

以數(shù)值計算稱雄。MATLAB進(jìn)行數(shù)值計算的基本單位是復(fù)數(shù)數(shù)組（或稱陣列），

這使的MATLAB高度''向量化"。經(jīng)過十幾年的完善和擴(kuò)充，現(xiàn)已發(fā)展成為線性

代數(shù)課程的標(biāo)準(zhǔn)工具。由于它不需定義數(shù)組的維數(shù)，并給出矩陣函數(shù)、特殊矩

陣專門的庫函數(shù)，使之在求解諸如信號處理、建模、系統(tǒng)識別、控制、優(yōu)化等

領(lǐng)域的問題時，顯得大為簡捷、高效、方便，這是其它高級語言所不能比擬的。

美國許多大學(xué)的實驗室都安裝有MATLAB供學(xué)習(xí)和研究之用。

MATLAB中包括了被稱作工具箱（TOOLBOX）的各類應(yīng)用問題的求解工

具。工具箱實際上是對MATLAB進(jìn)行擴(kuò)展應(yīng)用的一系列MATLAB函數(shù)（稱為

M文件），它可用來求解各類學(xué)科的問題，包括信號處理、圖象處理、控制系統(tǒng)

辨識、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等。隨著MATLAB版本的不斷升級，其所含的工具箱的功能也

越來越豐富，因此，應(yīng)用范圍也越來越廣泛，成為涉及數(shù)值分析的各類工程師

不可不用的工具。

MATLAB5.3中包括了圖形界面編輯GUI,改變了以前單一的''在指令窗

通過文本形式的指令進(jìn)行各種操作”的狀況。這可讓使用者也可以象VB、VC、

VJ、DELPHI等那樣進(jìn)行一般的可視化的程序編輯。

在命令窗口（matlabcommandwindow）鍵入simulink,就出現(xiàn)

（SIMULINK）窗口。以往十分困難的系統(tǒng)仿真問題，用SIMULINK只需拖動

鼠標(biāo)即可輕而易舉地解決問題，這也是近來受到重視原因之一。

MATLAB的重要功能和主要組成部分

-）功能：目前MATLAB產(chǎn)品族的主要功能為:

1、數(shù)學(xué)運(yùn)算功能：MATLAB的產(chǎn)品家族的基礎(chǔ)

-矩陣運(yùn)算和數(shù)值分析算法等

-數(shù)值和符號計算

2、2D和3D圖形顯示功能：可以實現(xiàn)相應(yīng)數(shù)值可視化工作

-工程與科學(xué)繪圖

-數(shù)字圖像處理

3、交互式的高級編程語言：M語言編程功能，可通過編寫腳本或者函數(shù)文件實

現(xiàn)用戶自己的算法

4、工具箱函數(shù)功能：可供用戶直接使用的專業(yè)工具箱函數(shù)，目前有四十多個工

具箱，含蓋許多科技領(lǐng)域，如：

-科學(xué)計算

-控制系統(tǒng)的設(shè)計與仿真

-數(shù)字信號處理

-數(shù)字圖象處理

-通訊系統(tǒng)設(shè)計與仿真

一財務(wù)與金融工程

-生物遺傳工程…

5、編譯功能：可通過編譯器(Compiler)將MATLABM語言編寫的函數(shù)文件

編譯生成函數(shù)庫、可執(zhí)行文件COM組件等，使MATLAB能夠同其他高級編程

語言(如C/C++等)進(jìn)行混合應(yīng)用，取長補(bǔ)短。

MATLAB具有用法簡易、可靈活運(yùn)用、程序結(jié)構(gòu)強(qiáng)又兼具延展性的優(yōu)點，

以下為其主要特色：

?功能強(qiáng)大的數(shù)值運(yùn)算：在MATLAB環(huán)境中，有超過500種數(shù)學(xué)、統(tǒng)計、科

學(xué)及工程方面的函數(shù)可使用，函數(shù)的標(biāo)示自然，使得問題和解答像數(shù)學(xué)式

子一般簡單明了，讓使用者可全力發(fā)揮在解題方面，而非浪費(fèi)在電腦操作

上。

?先進(jìn)的資料視覺化功能：MATLAB的物件導(dǎo)向圖形架構(gòu)讓使用者可執(zhí)行視

覺數(shù)據(jù)分析，并制作高品質(zhì)的圖形，完成科學(xué)性或工程性圖文并茂的文章。

?高階但簡單的程序環(huán)境：做為一種直譯式的程序語言，MATLAB讓使用者

在短時間內(nèi)寫完程序，所花的時間約為用FORTRAN或C的幾分之一，而

且不需要編譯(compile)及聯(lián)結(jié)(link)即能執(zhí)行，同時包含了更多及更

容易使用的內(nèi)建功能。

?開放及可延伸的架構(gòu)：MATLAB容許使用者接觸它大多數(shù)的數(shù)學(xué)原始碼，

監(jiān)視運(yùn)算法，更改現(xiàn)存函數(shù)，甚至加入自己的函數(shù)使MATLAB成為使用者

所須要的環(huán)境。

?豐富的程序工具箱：MATLAB擁有多于40種的程序工具箱，這些工具箱將

套裝前軟件的優(yōu)點，與一個靈活的開放但容易操作的環(huán)境融合，提供了使

用者在特別應(yīng)用領(lǐng)域所需之許多函數(shù)?，F(xiàn)有工具箱主要有：符號運(yùn)算(利

用MapleV的計算核心執(zhí)行)、影像處理、統(tǒng)計分析、訊號處理、神經(jīng)

網(wǎng)路、模擬分析、控制系統(tǒng)、即時控制、系統(tǒng)確認(rèn)、強(qiáng)建控制、弧線分析、

最佳化、模糊邏輯、mu分析及合成、化學(xué)計量分析等幾大類別。

MATLAB7的升級內(nèi)容：MATLAB7針對編程環(huán)境，代碼效率、數(shù)據(jù)可

視化、數(shù)學(xué)計算、文件I/O等方面進(jìn)行了升級，包括：

*開發(fā)環(huán)境

1、重新設(shè)計了桌面環(huán)境，針對多文檔界面應(yīng)用提供了簡便的管理和訪

問方法，允許用戶自定義桌面外觀，創(chuàng)建常用命令的快捷方式；

2、增強(qiáng)數(shù)組編輯器(ArrayEditor)和工作空間瀏覽器(Workspace

Browser)功能，用于數(shù)據(jù)的顯示、編輯和處理；

3、在當(dāng)前目錄瀏覽器(CurrentDirectoryBrowser)工具中，增加代碼效

率分析、覆蓋度分析等功能。；

4、M-Lint編碼分析，輔助用戶完成程序性能分析，提高程序執(zhí)行效率;

5,增強(qiáng)M文件編輯器(MEditor),支持多種格式源代碼文件可視化編

輯，例如C/C++,HTML,Java等。

*編程

1、支持創(chuàng)建嵌套函數(shù)(NestedFunction),提供更靈活的代碼模塊化轉(zhuǎn)化;

2、匿名函數(shù)(AnonymousFunction)功能，支持在命令行或者腳本文件

中創(chuàng)建單行函數(shù)(SingleLineFunction);

3、支持條件分支斷點，可以在條件分支語句中進(jìn)行程序中斷調(diào)試；

4、模塊化注釋，支持為代碼段注釋。

*數(shù)學(xué)

1、支持整數(shù)算術(shù)運(yùn)算；

2、支持單精度數(shù)據(jù)類型運(yùn)算，包括基本算術(shù)運(yùn)算、線性代數(shù)、FFT等;

3、使用更強(qiáng)大的計算算法包Qhull2002.1,提供更豐富的算法支持；

4、Linsolve函數(shù)用于處理線性代數(shù)方程求解；

5、ODE求解器能夠處理隱性微分方程組以及多點邊界問題；

*圖形和3D可視化

1、新圖形窗口界面；

2、直接從圖形窗體生成M代碼，可以完成用戶自定義繪圖；

3、增強(qiáng)圖形窗體注釋；

4、數(shù)據(jù)偵測工具(DataExplorationTools),提供豐富的數(shù)據(jù)觀測手段；

5、自定義圖形對象，提供豐富的圖形顯示功能；

6、GUIDE新增對用戶界面和ActiveX控件支持；

7、增強(qiáng)句柄圖形對象支持完整地TeX和LaTeX字符集；

*文件I/O和外部接口

1、新增文件I/O函數(shù)，支持讀取任意格式文本數(shù)據(jù)文件，并且支持寫

入Excel和HDF5格式數(shù)據(jù)文件；

2、具有壓縮功能的MAT文件格式，支持快速數(shù)據(jù)文件I/O能力；

3、javaaddpath函數(shù)，無需重新啟動MATLAB就可完成Java類的加載、

刪除等功能；

4、支持COM、服務(wù)器事件以及VBS；

5、支持SOAP,使用網(wǎng)絡(luò)服務(wù)；

6、FTP對象，直接訪問FTP服務(wù)器；

7、支持Unicode編碼格式，增強(qiáng)MAT文件字符集；

*性能與系統(tǒng)平臺支持

1、JIT加速器支持所有數(shù)值數(shù)據(jù)類型；

2、WindowsXP系統(tǒng)下支持3GB內(nèi)存訪問。

二)MATLAB的主要組成部分：MATLAB系統(tǒng)由5個主要的部分構(gòu)成：

(1)開發(fā)環(huán)境(developmentEnvironment)：為MATLAB用戶或程序編

制員提供的一套應(yīng)用工具和設(shè)施。由一組圖形化用戶接口工具和組件集成:

包括MATLAB桌面、命令窗口、命令歷史窗口、編輯調(diào)試窗口及幫助信

息、工作空間、文件和搜索路徑等瀏覽器；

(2)MATLAB數(shù)學(xué)函數(shù)庫(MathFunctionLibrary)：數(shù)學(xué)和分析功能

在MATLAB工具箱中被組織成8個文件夾。

elmat初步矩陣，和矩陣操作。

elfun初步的數(shù)學(xué)函數(shù)。求和、正弦、余弦和復(fù)數(shù)運(yùn)算等

specfun特殊的數(shù)學(xué)函數(shù)。矩陣求逆、矩陣特征值、貝塞爾函數(shù)等；

matfun矩陣函數(shù)一用數(shù)字表示的線性代數(shù)。

atafun數(shù)據(jù)分析和傅立葉變換。

polyfun插值，多項式。

funfun功能函數(shù)。

sparfun稀疏矩陣。

(3)MATLAB語言：(MATLABLanguage)一種高級編程語言(高階的矩

陣/數(shù)組語言)，包括控制流的描述、函數(shù)、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、輸入輸出及面

對對象編程；

(4)句柄圖形：(HandleGraphics)MATLAB制圖系統(tǒng)具有2維、3維的

數(shù)據(jù)可視化，圖象處理，動畫片制作和表示圖形功能。可以對各種圖

形對象進(jìn)行更為細(xì)膩的修飾和控制。允許你建造完整的圖形用戶界面

(GUI),以及建立完整的圖形界面的應(yīng)用程序。制圖法功能在

MATLAB工具箱中被組織成5個文件夾：

graph2d二維數(shù)圖表。

graph3d三維圖表。

specgraph專業(yè)化圖表。

graphics制圖法。

uitools圖形用戶界面工具。

(5)應(yīng)用程序接口：(AppliedFunctionInterface)MATLAB的應(yīng)用程

序接口允許用戶使用C或FORTRAN語言編寫程序與MATLAB連接。

MATLAB工具箱(Toolbox)；(表1一2)

二.MATLAB的安裝：與一般光盤軟件的安裝相同，略

三.MATLAB的系統(tǒng)開發(fā)環(huán)境(SystemDevelopingEnvironment)

1.操作桌面(OperatingDesktop)

(1)桌面布局：

不同版本的MATLAB界面設(shè)置略有不同，R2009b設(shè)有6個窗口、11

個快捷鍵、7個下拉菜單和一個瀏覽器。可以用菜單中的命令完成對工作

窗口的操作，使用方法和windows的一般應(yīng)用程序相同。窗口布局(Desktop

Layout)有5種方式可供選擇。窗口設(shè)置為：

*命令窗口(CommendWindow)

*工作空間窗口(Workspace)

*當(dāng)前目錄瀏覽器(CurrentDirectory)(Currentfolder7.9版)

*命令歷史窗口(CommendHistory)

*啟動平臺(LaunchPad)6.x版

*幫助窗口(Help)

*M文件優(yōu)化器(Profiler)

ProfilerforImprovingPerformance：Onewaytoimprovethe

performanceofyourM-filesisusingprofilingtools.MATLABprovidesthe

M-,agraphicaluserinterfacethatisbasedontheresultsreturnedbythe

pro.UsetheProfilertohelpyoudeterminewhereyoucanmodifyyour

codetomakeperformanceimprovements.

窗口的切換、放大與關(guān)閉。(switching,Amplification,tun-off)

6.0版Desktop菜單中的desktoplayout菜單中提供的6種可選布局：

"Default

*CommandWindow

"Simple

*ShortHistory

*TallHistory

*FivePanel

7.0版Desktop菜單中的desktoplayout菜單中提供的4種可選布局：

"Default

"CommandWindowOnly

*HistoryandCommandWindow

*A11Tabbed

Allbutcommandwindowminimized(7.9版)

(2).菜單和工具欄；(Menuandtoolbar)操作桌面上有7個菜單和帶有

13個快捷按鈕的工具欄組，還可以通過Preference對話框設(shè)置其它內(nèi)設(shè)的

快捷鍵(圖示、操作演示)。

(3).改變桌面設(shè)置：(Setting)在File菜單中選擇Preference對話框，可

在樹狀結(jié)構(gòu)中選擇并改變桌面設(shè)置。(圖示、操作演示)

2.命令窗口：(Commandwindow)MATLAB的主要交互窗口。用于輸入

MATLAB命令、函數(shù)、數(shù)組、表達(dá)式等信息，并顯示圖形以外的所有計算

結(jié)果。數(shù)值計算結(jié)果均以短格式(short)顯示。

例如從鍵盤輸入矩陣

A=[l23;456;789]按Enter鍵后屏幕立即顯示結(jié)果

A=

123

456

789

6.X以前版本窗口內(nèi)各種字體均為黑色，6.X以后各版都采用不同的

顏色顯示不同的字符種類，用戶可根據(jù)自己的愛好利用file快捷鍵中的

properties選項自由設(shè)置。

命令窗口可作為一個多功能高級計算器，如要計算18+(5sinJi

/6)/2+cosJi/6只須按MATLAB格式要求鍵入；

18+5*sin(pi/6)/(2+cos(pi/6)),然后按Enter鍵既可在窗口內(nèi)顯示出計

算結(jié)果：

ans=

18.8723

可利用T鍵回調(diào)命令行，任意改動公式中的數(shù)據(jù)并重新計算。(例)

還可在命令窗口輸入最后一次輸入命令的開頭字符或字符串，然后用

f鍵調(diào)出該命令行。

MATLAB是標(biāo)準(zhǔn)的Windows界面，可利用菜單中的命令完成對工作

窗口的操作。其命令行功能鍵和快捷鍵與Windows的一般應(yīng)用程序相似,

同學(xué)可自行練習(xí)、體會。

3.工作空間窗口：(WorkspaceWindow)

用于儲存各種變量和結(jié)果的空間，又稱為內(nèi)存瀏覽器，用于顯示變量

的名稱、大小、字節(jié)數(shù)及數(shù)據(jù)類型，對變量進(jìn)行觀察、編輯、保存和刪除。

（圖示、操作演示）。臨時變量不占空間，

Matlab在此窗口中設(shè)計有專門的內(nèi)存數(shù)組編輯器，實現(xiàn)對數(shù)組的相關(guān)

操作，為了對變量的內(nèi)容進(jìn)行觀察、編輯與修改，可以用三種方法打開內(nèi)

存數(shù)組編輯器。*雙擊變量名；*選擇該窗口工具欄上的打開圖標(biāo)；*鼠標(biāo)指

向變量名，點擊鼠標(biāo)右鍵，彈出選擇菜單，然后選項操作。（示例）

欲查看工作空間的情況，可以在命令窗口鍵入命令whos（顯示存在工

作空間全部變量的名稱、大小、數(shù)據(jù)類型等信息）或命令who（只顯示變

量名）

4.當(dāng)前目錄瀏覽器：（CurrentDirect。”（folder））

用于顯示及設(shè)置當(dāng)前工作目錄，同時顯示當(dāng)前工作目錄下的文件名、

文件類型及目錄的修改時間等信息。只有在當(dāng)前目錄或搜索路徑下的文件

及函數(shù)可以被運(yùn)行或調(diào)用。（圖示、操作演示）

把用戶目錄設(shè)置為當(dāng)前目錄有兩種方法：

1、是可以在瀏覽器窗口左上角的輸入欄中直接輸入，或點擊瀏覽器

下拉按鈕進(jìn)行選擇。

2、可用cd命令在命令窗口設(shè)置當(dāng)前目錄，如：

cdc:\mydir可將c盤上的mydir目錄設(shè)為當(dāng)前工作目錄。

5.命令歷史窗口：（CommandHistory）

記錄已運(yùn)行過的所有的MATLAB命令歷史，包括已輸入和運(yùn)行過的命

令、函數(shù)、表達(dá)式等信息，可進(jìn)行命令歷史的查找、檢查等工作，也可以

在該窗口中進(jìn)行命令復(fù)制與重運(yùn)行，為用戶下一次使用同一個命令提供方

便。通過命令歷史窗口執(zhí)行歷史指令的方法有兩種：

1、用鼠標(biāo)左鍵雙擊一條指令，即可自動將其發(fā)送到命令窗口并立即

執(zhí)行；

2、選中一條指令，單擊鼠標(biāo)右鍵并選擇copy菜單，再在命令窗口

單擊paste按鈕即可。

若欲選擇多條指令可利用組合操作（Ctrl+鼠標(biāo)左鍵）逐條選擇準(zhǔn)備選

用的指令，然后將鼠標(biāo)停在高亮區(qū)，單擊右鍵，彈出對話菜單，選中

其中的“EvaluateSelection”選項，就可自動運(yùn)行并將結(jié)果顯示在命令

窗口中。還可用按住shift鍵，再用左鍵分別選擇一個不定區(qū)間的始、

末行指令的辦法選擇多條命令。

6.啟動平臺：(LaunchPad)(6.0版)

幫助用戶方便地打開和調(diào)用MATLAB的各種程序、函數(shù)和幫助文件。

平臺列出了系統(tǒng)中安裝的所有的MATLAB產(chǎn)品的目錄,可以通過雙擊

來啟動相應(yīng)的選項。7.0版取消了這個窗口，事實上Help工具完全具備它

的功能。(圖示、操作演示)

7.MATLAB的搜索路徑：(SearchingPath)

MATLAB定義的一系列文件路徑的組合，缺省狀態(tài)下包括當(dāng)前路徑和

已安裝的全部工具箱的路徑。(圖示、操作演示)

當(dāng)在命令窗口輸入一個字符串時，MATLAB按下列順序開始搜索：

(1)在工作空間中搜索是否有以該字符串為變量名的變量，有則返回

該變量的值；

(2)搜索是否有同名的MATLAB內(nèi)部函數(shù)，如果有，執(zhí)行該內(nèi)部函

數(shù)；

(3)在當(dāng)前目錄中查找與該字符串同名的M文件，如果有，執(zhí)行該

文件；

(4)在搜索目錄中查找與該字符串同名的M文件，如果有，執(zhí)行該

文件；

如果在搜索目錄中存在多個同名函數(shù)，則只執(zhí)行搜索路徑中的第一個

函數(shù)，其他函數(shù)不再執(zhí)行。

搜索目錄的設(shè)置通過選擇主菜單SetPath菜單項進(jìn)行。

用AddFolder…按鈕可以將某一目錄加入搜索路徑，選擇Addwith

Subfolder…按鈕可將選中目錄的子目錄也包括在搜索路徑中。

可以用what命令在搜索路徑中查看文件，在命令窗口輸入what命令

后就可以顯示當(dāng)前目錄下的所有文件。

利用type命令可以查看任一文件的原代碼，如typeshow可以將文件

show自動顯示在命令窗口。

還可以利用edit命令編輯修改.m文件，如在命令窗口輸入editshow,

就會自動將文件show自動在編輯器中打開，然后就可完成對該文件的編

輯修改工作。

8.內(nèi)存數(shù)組編輯器：(ArrayEditor)

提供對數(shù)值型或字符型二維數(shù)組的顯示和編輯功能，對其他數(shù)據(jù)類型

都不能編輯。通過工作空間窗口打開所選的變量時，該編輯器啟動。（圖示、

操作演示）

9.幫助瀏覽器：（HelpBrowser）

MATLAB為用戶提供了方便快捷的幫助信息獲取途徑和圖文并茂的

幫助內(nèi)容，獲得幫助信息有下述多種方式：

*幫助命令help;

*幫助窗口；

*MATLAB幫助界面；

*打印在線幫助手冊；

*MathWorks公司網(wǎng)站。

TheMathWorks,Inc.網(wǎng)址：

（1）help命令：在命令窗口輸入help命令，也是MATLAB尋找在線幫

助的一種方便而快捷的方式。（圖示、操作演示）

例1.help（列出主要的幫助主題）

HELPtopics:

matlab\general-Generalpurposecommands.

matlab\ops-Operatorsandspecialcharacters.

matlabMang-Programminglanguageconstructs.

matlab\elmat-Elementarymatricesandmatrixmanipulation.

matlab\elfun-Elementarymathfunctions.

matlab\specfun-Specializedmathfunctions.

matlab\matfun-Matrixfunctions-numericallinearalgebra.

matlab\datafun-DataanalysisandFouriertransforms.

matlab\audio-Audiosupport.

matlab\polyfun-Interpolationandpolynomials.

matlab\funfun-FunctionfunctionsandODEsolvers.

matlab\sparfun-Sparsematrices.

matlab\graph2d-Twodimensionalgraphs.

matlab\graph3d-Threedimensionalgraphs.

matlab\specgraph-Specializedgraphs

(2)幫助瀏覽器：

MATLAB通過選擇help可以獲得各類幫助信息，通過勾選或刪除勾選

Desktop菜單中的Help選項可打開或關(guān)閉窗口中獨立的交互式幫助瀏覽

器。

例2.helpexp(列出指定主題下的函數(shù)說明)

EXPExponential.

EXP(X)istheexponentialoftheelementsofX,etotheX.

ForcomplexZ=X+i*Y,EXP(Z)=EXP(X)*(COS(Y)+i*SIN(Y)).

SeealsoLOG,LOG10,EXPM,EXPINT.

Overloadedmethods

helpsym/exp.m

helpfints/exp.m

helpdemtseries/exp.m

(3)lookfor命令：(lookforcommend)可以根據(jù)用戶提供的完整或不完

整的關(guān)鍵詞，搜索出一組與之相關(guān)的命令或函數(shù)。(圖示、操作演示)

例：lookforintegral

ELLIPKECompleteellipticintegral.

EXPINTExponentialintegralfunction.

DBLQUADNumericallyevaluatedoubleintegral.

QUADNumericallyevaluateintegral,adaptiveSimpsonquadrature.

QUAD8Numericallyevaluateintegral,higherordermethod.

QUADLNumericallyevaluateintegral,adaptiveLobattoquadrature.

COSINTCosineintegralfunction.

SININTSineintegralfunction.

ASSEMAAssemblesareaintegralcontributionsinaPDEproblem.

COSINTCosineintegralfunction.

FOURIERFourierintegraltransform.

IFOURIERInverseFourierintegraltransform.

SININTSineintegralfunction.

BLKPIDCONTheoutputoftheblockisthesumofproportional,integraland

(4)模糊查詢：(fuzzyInquiry)用戶只須輸入命令的前幾個字母，然后鍵

入Tab鍵MATLAB就會列出所有以這個字母開始的命令。(圖示、操作演

示)

例：在命令窗口鍵入plot然后按Tab鍵，可得各種以plot為字頭的命令：

plotplotbrplotesplotmapplotperfplottr

plot3plotcharplotfaplotmatrixplotpvplotv

plot3mploteachplotfisplotmfplotscaleplotvec

plotallploteditplotfrspplotnicplotsmplotyy

plotbintreeplotepplotlrplotnyqplotsom

plotbodeploterrplotmplotpcplotstep

(5)幫助臺：(doc)幫助臺比幫助命令及幫助窗口提供更多的幫助信息。

鍵入命令helpdesk可進(jìn)入幫助臺，可以利用瀏覽器的功能瀏覽幫助信息。

(6)在線幫助頁：(doc)命令doc后加關(guān)鍵字，MATLAB會自動定位到

相關(guān)頁碼，在線幫助頁包括所有的字體、圖形和圖像都可以直接打印。

*演示：(Demo)交互式界面引導(dǎo)的內(nèi)置演示程序，運(yùn)行這些程序可以對照

屏幕上的顯示仔細(xì)的研究實現(xiàn)演示的有關(guān)M文件，其獨特的示范作用是書

籍難以替代的。演示方法：1、指令窗口上輸入Demos指令

2、菜單欄help中選擇Demos菜單

四.MATLAB的基本操作

1.簡單矩陣的建立(matrixsetting)

Matrix:Akindofspecialtypeofdatastructure,mostfunctionandoperationof

MATLABwerebasedonit.Itisasetofnumbersarrangedusingarectangular

gridofrowsandcolumns.

*ScaIar:Itisjustasinglenumberanditcanbeconsideredasaspecialmatrix

withonerowandonecolumn.

*Vector:Itisaseriesofnumbersarrangedinaroworacolumn;Alsowecan

refertothevectorasaspecialmatrixwithoneroworonecolumn.Itmaybe

calledarowvectororacolumnvector.

MATLAB以矩陣為基本運(yùn)算對象，標(biāo)量可看作1X1的矩陣，矢量看

作nXl或IXn的矩陣。

輸入方式：(InputMode)

(1)以直接列出元素的形式輸入：(simplyinitializingmatricesbythe

methodtoexplicitlyliststhevalues)把矩陣元素直接排列到方括號口中，每

行內(nèi)的元素用逗號或空格分開，行與行之間用分號隔開或另換行輸入。

例：a=[l23；246；835]或a=[l,2,3；2,4,6；8,3,5]

大矩陣可分行輸入：

a=[l23

246

835]

(2).通過語句和函數(shù)產(chǎn)生：(Creatinganewmatrixfromaexistingmatrix

throwMATLABlanguageorfunctions)對于已經(jīng)存在的矩陣，可用函數(shù)

或表達(dá)式產(chǎn)生新的矩陣。例如：矩陣a和x已存在，利用y=sin(x)和

c=a+0.1*(l+a/2)命令將產(chǎn)生新矩陣y和c。

利用內(nèi)部語句和函數(shù)可以快速產(chǎn)生一些特別有用的工具矩陣，如全0

陣，全1陣，單位陣，隨機(jī)陣等。

(3).在m文件中創(chuàng)建矩陣：(CreatingamatrixwithintheMfile)通過建

立MATLAB的M文件可完成矩陣的輸入，如建立B.m的文件，內(nèi)容為：

B=[342;l35;643]

或B=[342

135

643]

則在命令窗口中使用B命令語句可以調(diào)用B矩陣。

(4)從外部的數(shù)據(jù)文件中裝入：(ReadtheMatrixfromexterna】data行l(wèi)e)

利用load或fread命令可以讀取MATLAB早期版本產(chǎn)生的矩陣，也可

讀取有其他應(yīng)用程序產(chǎn)生的數(shù)據(jù)(或矩陣)。

2.矩陣元素(Elementofmatrix:Anykindofexpressioncanbeusedasa

matrixelement)

可以用任何形式的表達(dá)式來充當(dāng)矩陣元素，如：

x=[-1.3sqrt(3)(1+2+3)*4/5]

將得到矩陣：

x=

-1.30001.73214.8000

可以定義或修改矩陣中某一元素，如操作：

x=[-1.3sqrt(3)(1+2+3)*4/5]

x(5)=abs(x(l))

得一個新矩陣

x=

-1.30001.73214.800001.3000

可以用小矩陣構(gòu)成大矩陣，如：

a=[l23;456;789];

c=[a;[10,ll,12]]結(jié)果為：

c=

123

456

789

101112

或a=[l23;456;789];

r=[101112];

c=[a;r]

可得同樣矩陣c=

123

456

789

101112

可使用(colon)從大矩陣中抽取小矩陣，(withdrawasmallmatrixfroma

bigmatrix)下標(biāo)中的(：)表示所有的行或列。如：

a=[l23;456;789];

r=[101112];

c=[a;r]

d=c(l:3,:)意為抽取一到三行的各列，結(jié)果為：

d=

123

456

789

e=c(:,l:2)意為抽取一到二列的各行，結(jié)果為：

12

45

78

1011

3.語句與變量(Statementandvariable)

MATLAB語句的常用格式：變量=表達(dá)式(;)(variable=expression(;))

或簡化為：表達(dá)式(；)

表達(dá)式可以由運(yùn)算符(Operator)＞特殊字符(specialcharacter)、函數(shù)名

(functionname)＞變量名(variablename)等組成，表達(dá)式的結(jié)果為一矩陣，

它賦給左邊的變量。如省略變量名和“=”，則自動產(chǎn)生一個名為ans的變

量，如：

1900/81結(jié)果為：

23.45684568

并顯示在屏幕上，如語句以分號結(jié)束，則結(jié)果不顯示，

如：p=a*a;只完成運(yùn)算，但不顯示結(jié)果。

表達(dá)式較長時可利用續(xù)行符如：

s=l-l/2+l/3-l/4+l/5-l/6+l/7-...

1/8+1/9-1/10+1/11-1/12;

計算結(jié)果為：0.6532

注：續(xù)行號前不應(yīng)是數(shù)字，數(shù)字后應(yīng)為運(yùn)算符、空格或加一個點號。

MATLAB變量：變量名必須用字母打頭，之后可以是任何字母、下劃線或

者數(shù)字，變量名最多不超過31個字符，31個字符后的字符將被忽略。

4.復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)矩陣(Complexandcomplexmatrix)

復(fù)數(shù)用特殊字符i或j表示。i=sqrt(-l),其值在工作空間顯示為

O+l.OOOOi.

例：輸入z=3+4i或z=3+4j結(jié)果一樣。MATLAB中復(fù)數(shù)有下面的

語句生成辦法：

z=a+b*i或z=r*exp(i*9)其中r為復(fù)數(shù)的模，。為復(fù)數(shù)輻角的

弧度數(shù)。

復(fù)數(shù)的兩種輸入方法：

(1)a=[l2;34]+i*[56;78]

(2)a=[l+5i2+6i;3+7i4+8i]

結(jié)果相同：a=

1.0000+5.0000i2.0000+6.0000i

3.0000+7.0000i4.0000+8.0000i

注：(1)當(dāng)復(fù)數(shù)的虛部(image)為一個確定的數(shù)(而不是變量或矩陣)時，

可省略“*，，,如1+2叩可寫成1+方，但a+b*i不能寫成a+bi,[12]+[3

4]*i不能寫成[12]+[34]i

(2)當(dāng)復(fù)數(shù)作為矩陣元素時，復(fù)數(shù)內(nèi)不能留有空格，如1+5i,

MATLAB中任何矩陣的元素內(nèi)部都不能留有空格，否則會被當(dāng)作兩個

元素處理而出錯。

(3)如在程序設(shè)計中i、J被定義為其他變量則應(yīng)定義另一新的復(fù)數(shù)

單位。如ik

5.永久變量：(permanentvariable)系統(tǒng)本身在啟動時定義的變量，駐留在

工作空間中，它們是：

ans:(storesexpressionvalue)系統(tǒng)默認(rèn)的變量名

eps：(representsfloating-pointprecision)容差變量，定義為0到最近浮點數(shù)

的距離。在PC機(jī)上等于2-52,即精確到2.22X10-16；

pi：(representsthevalueTI)圓周率的近似值3.141565358979

Inf或inf:(representsthevalue8)正無窮大,定義為(1/0)

NaN：(representsthevalueNot-a-Number)三￡數(shù)(Notanumber),Inf/Inf

或0/0運(yùn)算產(chǎn)生,表示不定值。

i,j：虛數(shù)單位，定義i=-?2,j=」l/2

6.數(shù)和算術(shù)表達(dá)式(Numberandarithmeticexpression)

MATLAB采用10進(jìn)制慣例，可以是正，可以為負(fù)，表示10的倍數(shù)

可以用符號e或E：

3-990.0019.4561.3e-34.5E21

數(shù)值的相對精度是eps,即大約保持16位有效數(shù)字。

MATLAB的算數(shù)運(yùn)算符號(ArithmeticOperator)：

+力口addition,-減subtraction,*乘multiplication,

\左除leftdivision,/右除rightdivision,A幕exponentiation

對于標(biāo)量，兩種除法運(yùn)算的結(jié)果相同，對于矩陣兩種除法表示兩種不

同的除數(shù)矩陣和被除數(shù)矩陣的關(guān)系。

7.數(shù)據(jù)的顯示格式(Thedisplayformatofnumber)

MATLAB的數(shù)據(jù)顯示格式由format命令來控制，它只影響結(jié)果在屏幕

上的顯示，不影響其計算與存儲。MATLAB總是以雙精度執(zhí)行所有的運(yùn)算。

數(shù)據(jù)的顯示格式。

有十種數(shù)據(jù)的顯示格式可供選擇:

格式對應(yīng)結(jié)果

命令含義4/31.2345e-6

formatshort短格式1.33330.0000

formatlong長格式1.333333333333330.000

formatshorte短格式e方式1.3333e+0001.2345e-006

formatlonge長格式e方式1.33333333333333e+0001.2345e-006

formatshortg短格式g方式1.33331.2345e-006

formatlongg長格式g方式1.333333333333331.2345e-006

formathex16進(jìn)制格式3ff55555555555553eb4b6231abfd271

format++格式++

formatrat分?jǐn)?shù)格式4/31/810045

formatbank銀行格式1.330.00

對于長短格式，如果矩陣的最大元素比1000大或比0.001小，則輸出

時將自動加入比例因子，如：

x=[123450.0009]

x二

1.0e+004*

1.23450.0000

即x=104*[1.23450.0000]』O’為比例因子

MATLAB操作桌面的file菜單中打開preferences窗口，選擇命令窗口

界面，就可以方便地在cammendwindow對話框中進(jìn)行格式選擇。

第二章MATLAB的基本數(shù)學(xué)功能

Chaptertwo:fundamentalMathfunctionofMATLAB

一.算術(shù)運(yùn)算(ArithmeticComputation)

MATLAB提供的兩種運(yùn)算方式：

(1)普通的數(shù)組運(yùn)算方式：(Arraycomputation)在數(shù)組中對應(yīng)元

素之間進(jìn)行運(yùn)算；

(2)矩陣運(yùn)算方式：(matrixcomputations)將標(biāo)量當(dāng)作1X1階矩

陣，一維數(shù)組當(dāng)作一行或一列的矢量(即IXn階或nxl階的

矩陣)，二維數(shù)組當(dāng)作mxn階矩陣，然后按照矩陣的運(yùn)算規(guī)則

進(jìn)行運(yùn)算。

*二者輸入形式和書寫方法相同，差別僅在于使用不同的運(yùn)算符號，

執(zhí)行不同的計算過程，數(shù)組的運(yùn)算是對應(yīng)元素之間的運(yùn)算，而矩陣運(yùn)算是

根據(jù)矩陣的運(yùn)算規(guī)則進(jìn)行。

1.力口、減運(yùn)算(additionandsubtraction)

矩陣與數(shù)組的加減運(yùn)算沒有區(qū)別，運(yùn)算符均為“+運(yùn)算

方法相同，但兩個運(yùn)算對象必須是同階矩陣，否則將給出錯誤信息。

如下例：

a=[l23;456;789];

b=[135];

a+b

運(yùn)行結(jié)果給出錯誤信息：

???Errorusing==>±

Matrixdimensionsmustagree.

但標(biāo)量，即1X1階矩陣可以和其他不同維數(shù)的矩陣進(jìn)行加減運(yùn)算，

如：a=[l23;456;789];

a+5

ans=

678

91011

121214

2.乘除運(yùn)算(Multiplicationanddivision)

矩陣在進(jìn)行乘除運(yùn)算時與通常的運(yùn)算符號相同(*,/,\),而數(shù)組

在進(jìn)行乘除運(yùn)算時要在通常的符號前加如：和(或

(1)矩陣乘法:(Matrixmultiplication)

條件：兩矩陣中前一矩陣的列數(shù)與后一矩陣的行數(shù)相同，如

x=[l52;384];

y=[56;78;2130];

x*y

ans=

82106

155202

也可以實現(xiàn)兩個相同維數(shù)矢量的內(nèi)積(點乘,dotproduct),如：

a=[-l02r%(輸入行矢量轉(zhuǎn)置為列矢量，等同于a=[-l;0;2])

b=[-2-1

a'*b

b5*a

a=-1

0

2

b二

-2

-1

1

ans=4

ans=4

MATLAB計算點乘(dotproduct)和叉乘(crossproduct)有專門的命令,

用dot(a,b)計算矢量a和b的點乘，用cross(a,b)計算叉乘。

例：a=[-l02]

b=[-2-11]

c=dot(a,b)

d=cross(a,b)

a=

-102

b=

-2-11

c=

4

d=

2-31

DOTVectordotproduct.

C=DOT(A,B)returnsthescalarproductofthevectorsAandB.A

andBmustbevectorsofthesamelength.WhenAandBareboth

columnvectors,DOT(A,B)isthesameasA'*B.

CROSSVectorcrossproduct.

C=CROSS(A,B)returnsthecrossproductofthevectorsAandB.

Thatis,C=AxB.AandBmustbe3elementvec