第九章 統(tǒng)計(jì)（公式、定理、結(jié)論圖表）【核心要點(diǎn)梳理+知識(shí)架構(gòu)建?！?高考數(shù)學(xué)高分突破沖刺必背

第九章

統(tǒng)計(jì)（公式、定理、結(jié)論圖表）1.全面調(diào)查和抽樣調(diào)查調(diào)查方式全面調(diào)查(普查)抽樣調(diào)查定義對(duì)每一個(gè)調(diào)查對(duì)象都進(jìn)行調(diào)查的方法,稱(chēng)為全面調(diào)查,又稱(chēng)普查根據(jù)一定目的,從總體中①抽取一部分個(gè)體進(jìn)行調(diào)查,并以此為依據(jù)對(duì)總體的情況作出估計(jì)和推斷的調(diào)查方法,稱(chēng)為抽樣調(diào)查相關(guān)概念總體:在一個(gè)調(diào)查中,我們把調(diào)查對(duì)象的全體稱(chēng)為總體.個(gè)體:組成總體的每一個(gè)調(diào)查對(duì)象稱(chēng)為個(gè)體樣本:把從總體中抽取的那部分個(gè)體稱(chēng)為樣本.樣本量:樣本中包含的個(gè)體數(shù)稱(chēng)為樣本量2.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的概念放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣一般地,設(shè)一個(gè)總體含有N(N為正整數(shù))個(gè)個(gè)體,從中②逐個(gè)抽取n(1≤n<N)個(gè)個(gè)體作為樣本如果抽取是放回的,且每次抽取時(shí)總體內(nèi)的各個(gè)個(gè)體被抽到的概率都③相等,我們把這樣的抽樣方法叫做放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣如果抽取是不放回的,且每次抽取時(shí)總體內(nèi)④未進(jìn)入樣本的各個(gè)個(gè)體被抽到的概率都相等,我們把這樣的抽樣方法叫做不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣統(tǒng)稱(chēng)為簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣.通過(guò)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣獲得的樣本稱(chēng)為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本3.抽簽法先把總體中的個(gè)體編號(hào),然后把所有編號(hào)寫(xiě)在外觀、質(zhì)地等無(wú)差別的小紙片(也可以是卡片、小球等)上作為號(hào)簽,并將這些小紙片放在一個(gè)⑤不透明的盒里,充分?jǐn)嚢?最后從盒中不放回地逐個(gè)抽取號(hào)簽,使與號(hào)簽上的編號(hào)對(duì)應(yīng)的個(gè)體進(jìn)入樣本,直到抽足樣本所需要的個(gè)體數(shù).4.隨機(jī)數(shù)法(1)定義:先把總體中的個(gè)體編號(hào),用隨機(jī)數(shù)工具產(chǎn)生已編號(hào)范圍內(nèi)的整數(shù)隨機(jī)數(shù),把產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)作為抽中的編號(hào),使與編號(hào)對(duì)應(yīng)的個(gè)體進(jìn)入樣本,重復(fù)上述過(guò)程,直到抽足樣本所需要的個(gè)體數(shù).(2)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的方法:(i)用隨機(jī)試驗(yàn)生成隨機(jī)數(shù);(ii)用信息技術(shù)生成隨機(jī)數(shù).5.總體均值和樣本均值(1)總體均值:一般地,總體中有N個(gè)個(gè)體,它們的變量值分別為Y1,Y2,…,YN,則稱(chēng)Y=⑥Y1+Y2+…+(2)總體均值加權(quán)平均數(shù)的形式:如果總體的N個(gè)變量值中,不同的值共有k(k≤N)個(gè),不妨記為Y1,Y2,…,Yk,其中Yi出現(xiàn)的頻數(shù)fi(i=1,2,…,k),則總體均值還可以寫(xiě)成加權(quán)平均數(shù)的形式Y(jié)=⑧1N(3)如果從總體中抽取一個(gè)容量為n的樣本,它們的變量值分別為y1,y2,…,yn,則稱(chēng)y=⑨y1+y2+…+6.分層隨機(jī)抽樣的相關(guān)概念(1)分層隨機(jī)抽樣的定義:一般地,按一個(gè)或多個(gè)變量把總體劃分成若干個(gè)子總體,每個(gè)個(gè)體屬于且僅屬于一個(gè)子總體,在每個(gè)子總體中獨(dú)立地進(jìn)行①簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣,再把所有子總體中抽取的樣本②合在一起作為總樣本,這樣的抽樣方法稱(chēng)為分層隨機(jī)抽樣,每一個(gè)子總體稱(chēng)為層.(2)比例分配:在分層隨機(jī)抽樣中,如果每層③樣本量都與層的大小成比例,那么稱(chēng)這種樣本量的分配方式為比例分配.7.畫(huà)頻率分布直方圖的步驟(1)求極差:極差為一組數(shù)據(jù)中①最大值與②最小值的差;(2)決定組距與組數(shù):當(dāng)樣本容量不超過(guò)100時(shí),常分成③5~12組,為方便起見(jiàn),一般取等長(zhǎng)組距,并且組距應(yīng)力求“取整”;(3)將數(shù)據(jù)分組;(4)列頻率分布表:一般分四列:分組、④頻數(shù)累計(jì)、頻數(shù)、⑤頻率.其中頻數(shù)合計(jì)應(yīng)是樣本容量,頻率合計(jì)是⑥1;(5)畫(huà)頻率分布直方圖:橫軸表示分組,縱軸表示⑦頻率組距小長(zhǎng)方形的面積=組距×⑧頻率組距=⑨頻率,各小長(zhǎng)方形的面積的總和等于8.其他統(tǒng)計(jì)圖表統(tǒng)計(jì)圖表主要應(yīng)用扇形圖直觀描述各部分?jǐn)?shù)據(jù)在全部數(shù)據(jù)中所占的比例條形圖和直方圖直觀描述不同類(lèi)別或分組數(shù)據(jù)的頻數(shù)和頻率折線(xiàn)圖反映統(tǒng)計(jì)對(duì)象在不同時(shí)間(或其他合適情形)的發(fā)展變化情況9.第p百分位數(shù)一般地,一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個(gè)值,它使得這組數(shù)據(jù)中至少有①p%的數(shù)據(jù)小于或等于這個(gè)值,且至少有(100-p)%的數(shù)據(jù)大于或等于這個(gè)值.10.計(jì)算一組n個(gè)數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的步驟第1步,按②從小到大排列原始數(shù)據(jù).第2步,計(jì)算i=③n×p%.第3步,若i不是整數(shù),而大于i的比鄰整數(shù)為j,則第p百分位數(shù)為第j項(xiàng)數(shù)據(jù);若i是整數(shù),則第p百分位數(shù)為第i項(xiàng)與第(i+1)項(xiàng)數(shù)據(jù)的④平均數(shù).11.四分位數(shù)⑤第25百分位數(shù),⑥第50百分位數(shù),⑦第75百分位數(shù),這三個(gè)分位數(shù)把一組由小到大排列后的數(shù)據(jù)分成四等份,因此稱(chēng)為四分位數(shù).12.眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的定義(1)眾數(shù):一組數(shù)據(jù)中①出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù).(2)中位數(shù):一組數(shù)據(jù)按大小順序排列后,處于②中間位置的數(shù).如果這組數(shù)據(jù)是偶數(shù)個(gè),則取③中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù).(3)平均數(shù):一組數(shù)據(jù)的④和除以數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)所得到的數(shù).13.眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)與頻率分布直方圖的關(guān)系(1)平均數(shù):在頻率分布直方圖中,樣本平均數(shù)可以用每個(gè)小矩形底邊中點(diǎn)的⑤橫坐標(biāo)與小矩形的⑥面積的乘積之和近似代替.(2)中位數(shù):在頻率分布直方圖中,中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該⑦相等.(3)眾數(shù):眾數(shù)是⑧最高小矩形底邊的中點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù).【特別提醒】眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的比較名稱(chēng)優(yōu)點(diǎn)缺點(diǎn)平均數(shù)與中位數(shù)相比,平均數(shù)反映出樣本數(shù)據(jù)中更多的信息,對(duì)樣本中的極端值更加敏感任何一個(gè)數(shù)據(jù)的改變都會(huì)引起平均數(shù)的改變.數(shù)據(jù)越“離群”,對(duì)平均數(shù)的影響越大中位數(shù)不受少數(shù)幾個(gè)極端數(shù)據(jù)(即排序靠前或靠后的數(shù)據(jù))的影響對(duì)極端值不敏感眾數(shù)體現(xiàn)了樣本數(shù)據(jù)的最大集中點(diǎn)眾數(shù)只能傳遞數(shù)據(jù)中信息很少的一部分,對(duì)極端值不敏感14.一組數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn的方差和標(biāo)準(zhǔn)差數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn的方差為①1n∑i=1n(xi15.總體方差和總體標(biāo)準(zhǔn)差(1)總體方差和標(biāo)準(zhǔn)差:如果總體中所有個(gè)體的變量值分別為Y1,Y2,…,YN,總體的平均數(shù)為Y,則稱(chēng)S2=④1N∑i=1N((2)總體方差的加權(quán)形式:如果總體的N個(gè)變量值中,不同的值共有k(k≤N)個(gè),不妨記為Y1,Y2,…,Yk,其中Yi出現(xiàn)的頻數(shù)為fi(i=1,2,…,k),則總體方差為S2=⑥116.樣本方差和樣本標(biāo)準(zhǔn)差如果一個(gè)樣本中個(gè)體的變量值分別為y1,y2,…,yn,樣本平均數(shù)為y,則稱(chēng)s2=⑦1n∑i=1n(17.標(biāo)準(zhǔn)差的意義標(biāo)準(zhǔn)差刻畫(huà)了數(shù)據(jù)的⑨離散程度或⑩波動(dòng)幅度,標(biāo)準(zhǔn)差越大,數(shù)據(jù)的離散程度越大;標(biāo)準(zhǔn)差越小,數(shù)據(jù)的離散程度越小.【特別提醒】對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差和方差概念的理解 (1)標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)的大小.標(biāo)準(zhǔn)差、方差越大,數(shù)據(jù)的離散程度越大;標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小,數(shù)據(jù)的離散程度越小.(2)標(biāo)準(zhǔn)差、方差的取值范圍:[0,+∞).標(biāo)準(zhǔn)差、方差為0時(shí),樣本各數(shù)據(jù)全相等,表明數(shù)據(jù)沒(méi)有波動(dòng)幅度,數(shù)據(jù)沒(méi)有離散性.(3)因?yàn)榉讲钆c原始數(shù)據(jù)的單位不同,且平方后可能夸大了偏差的程度,所以雖然方差與標(biāo)準(zhǔn)差在刻畫(huà)樣本數(shù)據(jù)的離散程度上是一樣的,但在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí),一般多采用標(biāo)準(zhǔn)差.18.分層隨機(jī)抽樣的方差設(shè)樣本容量為n,平均數(shù)為x,其中兩層的個(gè)體數(shù)量分別為n1,n2,兩層的平均數(shù)分別為x1,x2,方差分別為s12,s22,則這個(gè)樣本的方差為s2=n1n[s12+(x1-x)2]+n<解題方法與技巧>1.使用分層隨機(jī)抽樣法應(yīng)遵循的原則(1)將相似的個(gè)體歸入一類(lèi),即為一層,分層要求每層的各個(gè)個(gè)體互不交叉,即遵循不重復(fù)、不遺漏的原則;(2)分層隨機(jī)抽樣為保證每個(gè)個(gè)體等可能入樣,需在各層中進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣,每層樣本數(shù)量與每層個(gè)體數(shù)量的比等于抽樣比.2.進(jìn)行分層隨機(jī)抽樣的相關(guān)計(jì)算時(shí),常用到的關(guān)系(1)樣本容量n總體容量N(2)總體中某兩層的個(gè)體數(shù)之比等于樣本中這兩層抽取的個(gè)體數(shù)之比;(3)樣本的平均數(shù)和各層的樣本平均數(shù)的關(guān)系:w=mm+nx+nm典例1：某公司在甲、乙、丙、丁四個(gè)地區(qū)分別有150個(gè)、120個(gè)、180個(gè)、150個(gè)銷(xiāo)售點(diǎn)．公司為了調(diào)查產(chǎn)品銷(xiāo)售的情況，需從這600個(gè)銷(xiāo)售點(diǎn)中抽取一個(gè)容量為100的樣本，記這項(xiàng)調(diào)查為①；在丙地區(qū)中有20個(gè)特大型銷(xiāo)售點(diǎn)，要從中抽取7個(gè)調(diào)查其銷(xiāo)售收入和售后服務(wù)情況，記這項(xiàng)調(diào)查為②．則完成①、②這兩項(xiàng)調(diào)查宜采用的抽樣方法依次是()A．分層抽樣法，系統(tǒng)抽樣法B．分層抽樣法，簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法C．系統(tǒng)抽樣法，分層抽樣法D．簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法，分層抽樣法【思路點(diǎn)撥】此題為抽樣方法的選取問(wèn)題．當(dāng)總體中個(gè)體較多而且差異又不大時(shí)宜采用系統(tǒng)抽樣，采用系統(tǒng)抽樣在每小組內(nèi)抽取時(shí)應(yīng)按規(guī)則進(jìn)行；當(dāng)總體中的個(gè)體差異較大時(shí)，宜采用分層抽樣；當(dāng)總體中個(gè)體較少時(shí)，宜采用隨機(jī)抽樣．【解析】依據(jù)題意，第①項(xiàng)調(diào)查應(yīng)采用分層抽樣法、第②項(xiàng)調(diào)查應(yīng)采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法．故選B．【總結(jié)升華】采用什么樣的抽樣方法要依據(jù)研究的總體中的個(gè)體情況來(lái)定．3.頻率分布直方圖的性質(zhì)(1)因?yàn)樾￠L(zhǎng)方形的面積=組距×頻率組距=頻率,所以各小長(zhǎng)方形的面積表示相應(yīng)各組的頻率.這樣,頻率分布直方圖就以面積的形式反映了數(shù)據(jù)落在各個(gè)小組的頻率的大小(2)在頻率分布直方圖中,各小長(zhǎng)方形的面積的總和等于1.(3)樣本容量=頻數(shù)相應(yīng)的頻率4.頻率分布直方圖中第p百分位數(shù)的計(jì)算方法方法一:(1)確定百分位數(shù)所在的區(qū)間[a,b);(2)確定小于a和小于b的數(shù)據(jù)所占的百分比分別為fa%,fb%,則第p百分位數(shù)為a+p%-方法二:設(shè)出百分位數(shù)的值,利用百分位數(shù)的定義計(jì)算.典例2：為了了解某地區(qū)高三學(xué)生的身體發(fā)育情況，抽查了該地區(qū)100名年齡為17.5歲－１８歲的男生體重(kg),得到頻率分布直方圖如下：根據(jù)上圖可得這100名學(xué)生中體重在〔56.5,64.5〕的學(xué)生人數(shù)是（）(A)20(B)30(C)40（D）50【答案】C；【解析】根據(jù)運(yùn)算的算式：體重在〔56.5,64.5〕學(xué)生的累積頻率為2×0.03＋2×0.05＋2×0.05＋2×0.07=0.4，則體重在〔56.5,64.5〕學(xué)生的人數(shù)為0.4×100=40.5.利用樣本的數(shù)字特征解決優(yōu)化決策問(wèn)題的依據(jù)(1)平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)取值的平均水平；標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)的大?。畼?biāo)準(zhǔn)差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大，越不穩(wěn)定；標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小，越穩(wěn)定．(2)用樣本估計(jì)總體就是利用樣本的數(shù)字特征來(lái)描述總體的數(shù)字特征．6.利用樣本數(shù)字特征進(jìn)行決策時(shí)的兩個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1)平均數(shù)與每一個(gè)數(shù)據(jù)都有關(guān),可以反映更多的總體信息,但受極端值的影響較大;中位數(shù)是樣本數(shù)據(jù)所占頻率的等分線(xiàn),不受極端值的影響;眾數(shù)只能體現(xiàn)數(shù)據(jù)的最大集中點(diǎn),無(wú)法客觀反映總體特征.(2)當(dāng)平均數(shù)大于中位數(shù)時(shí),說(shuō)明數(shù)據(jù)中存在許多較大的極端值;反之,說(shuō)明數(shù)據(jù)中存在許多較小的極端值.7.眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)與頻率分布直方圖的關(guān)系眾數(shù)眾數(shù)是最高小長(zhǎng)方形底邊的中點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù),表示樣本數(shù)據(jù)的中心值中位數(shù)①在頻率分布直方圖中,中位數(shù)左邊和右邊的直方圖面積相等,由此可以估計(jì)中位數(shù)的值,但是有偏差;②表示樣本數(shù)據(jù)所占頻率的等分線(xiàn)平均數(shù)①平均數(shù)等于每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積乘小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和;②平均數(shù)是頻率分布直方圖的重心,是頻率分布直方圖的平衡點(diǎn)8.計(jì)算分層隨機(jī)抽樣的方差s2的步驟(1)確定x1,x2,s1(2)確定x;(3)應(yīng)用公式s2=n1n[s12+(x1-x)2]+9.數(shù)據(jù)分析的要點(diǎn)要正確處理此類(lèi)問(wèn)題,首先要抓住問(wèn)題中的關(guān)鍵詞語(yǔ),全方位地進(jìn)行必要的計(jì)算、分析,而不能習(xí)慣性地僅從平均數(shù)的大小去決定哪一組的成績(jī)好,解決像這樣的實(shí)際問(wèn)題還得從實(shí)際的角度去分析.典例3：甲、乙兩人在一次射擊比賽中各射靶5次．兩人成績(jī)的統(tǒng)計(jì)表如甲表、乙表所示，請(qǐng)根據(jù)你所學(xué)統(tǒng)計(jì)知識(shí)，進(jìn)一步判斷這兩個(gè)人