2019年北京中考數(shù)學(xué)習(xí)題精選：新定義型問(wèn)題

一、選擇題1、(2018北京昌平區(qū)初一第一學(xué)期期末)用“☆”定義一種新運(yùn)算：對(duì)于任意有理數(shù)a和b，規(guī)定a☆b=ab2+a.如：1☆3=1×32+1=10.則（-2）☆3的值為A．10B．-15C.-16D．-20答案：D二、填空題3、（2018北京西城區(qū)七年級(jí)第一學(xué)期期末附加題）1．用“△”定義新運(yùn)算：對(duì)于任意有理數(shù)a，b，當(dāng)a≤b時(shí)，都有；當(dāng)a＞b時(shí)，都有．那么，2△6=，△=．答案：24，-64．（2018北京海淀區(qū)第二學(xué)期練習(xí)）定義：圓中有公共端點(diǎn)的兩條弦組成的折線稱為圓的一條折弦．阿基米德折弦定理：如圖1，和組成圓的折弦，，是弧的中點(diǎn)，于，則．如圖2，△中，，，，是上一點(diǎn)，，作交△的外接圓于，連接，則=________°．答案605、(2018北京交大附中初一第一學(xué)期期末)如圖,在平面內(nèi)，兩條直線l1，l2相交于點(diǎn)O，對(duì)于平面內(nèi)任意一點(diǎn)M，若p、q分別是點(diǎn)M到直線l1，l2的距離，則稱(p，q)為點(diǎn)M的“距離坐標(biāo)”．根據(jù)上述規(guī)定，“距離坐標(biāo)”是(2，1)的點(diǎn)共有______個(gè)．三、解答題6、（2018北京平谷區(qū)初一第一學(xué)期期末）閱讀材料：規(guī)定一種新的運(yùn)算：．例如：（1）按照這個(gè)規(guī)定，請(qǐng)你計(jì)算的值．（2）按照這個(gè)規(guī)定，當(dāng)時(shí)求的值．答案（1）=20-12=8………………………2（2）由得………4解得，x=1……………………57、（2018北京海淀區(qū)七年級(jí)第一學(xué)期期末）對(duì)于任意四個(gè)有理數(shù)a，b，c，d，可以組成兩個(gè)有理數(shù)對(duì)（a，b）與（c，d）.我們規(guī)定：（a，b）★（c，d）=bc－ad.例如：（1，2）★（3，4）=2×3－1×4=2．根據(jù)上述規(guī)定解決下列問(wèn)題：（1）有理數(shù)對(duì)（2，－3）★（3，－2）=;（2）若有理數(shù)對(duì)（－3，2x－1）★（1，x+1）=7，則x=;（3）當(dāng)滿足等式（－3，2x－1）★（k，x＋k）=5＋2k的x是整數(shù)時(shí)，求整數(shù)k的值．答案. 解：（1）﹣5……..２分（2）1……..４分（3）∵等式（－3，2x－1）★（k，x＋k）=5＋2k的x是整數(shù)∴（2x﹣1）k﹣（﹣3）（x﹢k）=5﹢2k∴（2k﹢3）x=5∴∵k是整數(shù)∴2k+3=±1或±5∴k=1，﹣1，﹣2，﹣4……..７分8、(2018北京朝陽(yáng)區(qū)七年級(jí)第一學(xué)期期末)對(duì)于任意有理數(shù)a，b，定義運(yùn)算：a⊙b=，等式右邊是通常的加法、減法、乘法運(yùn)算，例如，2⊙5=2×（2+5）－1=13；⊙＝．（1）求⊙的值；（2）對(duì)于任意有理數(shù)m，n，請(qǐng)你重新定義一種運(yùn)算“⊕”，使得5⊕3＝20，寫出你定義的運(yùn)算：m⊕n＝（用含m，n的式子表示）．答案解：（1）⊙.（2）答案不唯一，例如：.9．（2018北京石景山區(qū)初三畢業(yè)考試）對(duì)于平面上兩點(diǎn)A，B，給出如下定義：以點(diǎn)A或B為圓心，AB長(zhǎng)為半徑的圓稱為點(diǎn)A，B的“確定圓”．如圖為點(diǎn)A，B的“確定圓”的示意圖．（1）已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)A，B的“確定圓”的面積為_(kāi)________；（2）已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為，若直線上只存在一個(gè)點(diǎn)B，使得點(diǎn)A，B的“確定圓”的面積為，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（3）已知點(diǎn)A在以為圓心，以1為半徑的圓上，點(diǎn)B在直線上，若要使所有點(diǎn)A，B的“確定圓”的面積都不小于，直接寫出的取值范圍．解：（1）；…2分（2）∵直線上只存在一個(gè)點(diǎn)，使得點(diǎn)的“確定圓”的面積為，∴⊙的半徑且直線與⊙相切于點(diǎn)，如圖，∴，．①當(dāng)時(shí)，則點(diǎn)在第二象限．過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，∵在中，，，∴．∴．②當(dāng)時(shí)，則點(diǎn)在第四象限．同理可得．綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．…6分（3）或．10．（2018北京延慶區(qū)初三統(tǒng)一練習(xí)）平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)，與，，如果滿足，，其中，則稱點(diǎn)A與點(diǎn)B互為反等點(diǎn)．已知：點(diǎn)C(3，4)（1）下列各點(diǎn)中，與點(diǎn)C互為反等點(diǎn)；D(3，4)，E（3，4），F(xiàn)（3，4）（2）已知點(diǎn)G（5，4），連接線段CG，若在線段CG上存在兩點(diǎn)P，Q互為反等點(diǎn)，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍；（3）已知⊙O的半徑為r，若⊙O與（2）中線段CG的兩個(gè)交點(diǎn)互為反等點(diǎn)，求r的取值范圍．解：(1)F……1分(2)-3≤≤3且≠0……4分(3)4<r≤5……7分11.（2018北京市朝陽(yáng)區(qū)綜合練習(xí)（一））對(duì)于平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)P和線段AB，其中A(t，0)、B(t+2，0)兩點(diǎn)，給出如下定義：若在線段AB上存在一點(diǎn)Q，使得P，Q兩點(diǎn)間的距離小于或等于1，則稱P為線段AB的伴隨點(diǎn)．（1）當(dāng)t=3時(shí)，①在點(diǎn)P1（1，1），P2（0，0），P3（-2，-1）中，線段AB的伴隨點(diǎn)是；②在直線y=2x+b上存在線段AB的伴隨點(diǎn)M、N，且MN，求b的取值范圍；（2）線段AB的中點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)（2，0）的對(duì)稱點(diǎn)是C，將射線CO以點(diǎn)C為中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到射線l，若射線l上存在線段AB的伴隨點(diǎn)，直接寫出t的取值范圍．解：（1）①線段AB的伴隨點(diǎn)是:.………………2分②如圖1，當(dāng)直線y=2x+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，1）時(shí)，b=5，此時(shí)b取得最大值.…………4分如圖2，當(dāng)直線y=2x+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，1）時(shí)，b=3，此時(shí)b取得最小值.………5分∴b的取值范圍是3≤b≤5.………6分圖2圖1圖2圖1（2）t的取值范圍是……8分12．對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)M和圖形點(diǎn)P為圖形上一點(diǎn)，點(diǎn)Q為圖形上一點(diǎn)，當(dāng)Q(x2，y2)，那么“中立點(diǎn)”M的坐標(biāo)為．已知，點(diǎn)A(-3，0)，B(0，4)，C(4，0)．（1）連接BC，在點(diǎn)D(，0)，E(0，1)，F(xiàn)(0，)中，可以成為點(diǎn)A和線段BC的“中立點(diǎn)”的是____________；（2）已知點(diǎn)G(3，0)，⊙G的半徑為2．如果直線y=-x+1上存在點(diǎn)K可以成為點(diǎn)A和⊙G的“中立點(diǎn)”，求點(diǎn)K的坐標(biāo)；（3）以點(diǎn)C為圓心，半徑為2作圓．點(diǎn)N為直線y=2x+4上的一點(diǎn)，如果存在點(diǎn)N，使得軸上的一點(diǎn)可以成為點(diǎn)N與⊙C的“中立點(diǎn)”，直接寫出點(diǎn)N的橫坐標(biāo)的取值范圍．解：（1）點(diǎn)和線段的“中立點(diǎn)”的是點(diǎn)D，點(diǎn)F；………2分（2）點(diǎn)A和⊙G的“中立點(diǎn)”在以點(diǎn)O為圓心、半徑為1的圓上運(yùn)動(dòng).因?yàn)辄c(diǎn)K在直線y=-x+1上，設(shè)點(diǎn)K的坐標(biāo)為（x，-x+1），則x2+（-x+1）2=12，解得x1=0，x2=1.所以點(diǎn)K的坐標(biāo)為（0，1）或（1，0）.………5分（3）（說(shuō)明：點(diǎn)與⊙C的“中立點(diǎn)”在以線段NC的中點(diǎn)P為圓心、半徑為1的圓上運(yùn)動(dòng).圓P與y軸相切時(shí)，符合題意.）所以點(diǎn)N的橫坐標(biāo)的取值范圍為-6≤xN≤-2.………8分13．（2018北京海淀區(qū)第二學(xué)期練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于點(diǎn)和，給出如下定義：若上存在一點(diǎn)不與重合，使點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在上，則稱為的反射點(diǎn)．下圖為的反射點(diǎn)的示意圖．（1）已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，的半徑為，①在點(diǎn)，，中，的反射點(diǎn)是____________；②點(diǎn)在直線上，若為的反射點(diǎn)，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍；的圓心在軸上，半徑為，軸上存在點(diǎn)是的反射點(diǎn)，直接寫出圓心的橫坐標(biāo)的取值范圍．解（1）①的反射點(diǎn)是，．………………1分②設(shè)直線與以原點(diǎn)為圓心，半徑為1和3的兩個(gè)圓的交點(diǎn)從左至右依次為，，，，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，如圖．可求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．同理可求得點(diǎn)，，的橫坐標(biāo)分別為，，．點(diǎn)是的反射點(diǎn)，則上存在一點(diǎn)，使點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在上，則.∵，∴．反之，若，上存在點(diǎn)，使得，故線段的垂直平分線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且與相交．因此點(diǎn)是的反射點(diǎn)．∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是，或．………………4分（2）圓心的橫坐標(biāo)的取值范圍是．………………7分14、．（2018北京西城區(qū)九年級(jí)統(tǒng)一測(cè)試）對(duì)于平面內(nèi)的⊙和⊙外一點(diǎn)，給出如下定義：若過(guò)點(diǎn)的直線與⊙存在公共點(diǎn)，記為點(diǎn)，，設(shè)，則稱點(diǎn)（或點(diǎn)）是⊙的“相關(guān)依附點(diǎn)”，特別地，當(dāng)點(diǎn)和點(diǎn)重合時(shí)，規(guī)定，（或）．已知在平面直角坐標(biāo)系中，，，⊙的半徑為．（1）如圖，當(dāng)時(shí)，①若是⊙的“相關(guān)依附點(diǎn)”，則的值為_(kāi)_________．②是否為⊙的“相關(guān)依附點(diǎn)”．答：__________（填“是”或“否”）．（2）若⊙上存在“相關(guān)依附點(diǎn)”點(diǎn)，①當(dāng)，直線與⊙相切時(shí)，求的值．②當(dāng)時(shí)，求的取值范圍．（3）若存在的值使得直線與⊙有公共點(diǎn)，且公共點(diǎn)時(shí)⊙的“相關(guān)依附點(diǎn)”，直接寫出的取值范圍．解：（1）①．…………1分②是．……………2分（2）①如圖9，當(dāng)r=1時(shí)，不妨設(shè)直線QM與⊙C相切的切點(diǎn)M在x軸上方（切點(diǎn)M在x軸下方時(shí)同理），連接CM，則QM⊥CM．∵，，r=1，∴，．∴．此時(shí)．……………………3分圖圖9圖10②如圖10，若直線QM與⊙C不相切，設(shè)直線QM與⊙C的另一個(gè)交點(diǎn)為N（不妨設(shè)QN＜QM，點(diǎn)N，M在x軸下方時(shí)同理）．作CD⊥QM于點(diǎn)D，則MD=ND．∴．∵，∴．∴當(dāng)k=時(shí)，．此時(shí)．假設(shè)⊙C經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q，此時(shí)r=2．∵點(diǎn)Q在⊙C外，∴r的取值范圍是1≤r＜2．……………5分（3）＜b＜．………………7分15.（2018北京懷柔區(qū)一模）P是⊙C外一點(diǎn)，若射線PC交⊙C于點(diǎn)A，B兩點(diǎn)，則給出如下定義：若0＜PAPB≤3，則點(diǎn)P為⊙C的“特征點(diǎn)”．(1)當(dāng)⊙O的半徑為1時(shí)．①在點(diǎn)P1（,0）、P2（0,2）、P3（4，0）中，⊙O的“特征點(diǎn)”是；②點(diǎn)P在直線y=x+b上，若點(diǎn)P為⊙O的“特征點(diǎn)”．求b的取值范圍；(2)⊙C的圓心在x軸上，半徑為1，直線y=x+1與x軸，y軸分別交于點(diǎn)M，N，若線段MN上的所有點(diǎn)都不是⊙C的“特征點(diǎn)”，直接寫出點(diǎn)C的橫坐標(biāo)的取值范圍．解：(1)①P1（,0）、P2（0,2）…………………2分②如圖，在y=x+b上，若存在⊙O的“特征點(diǎn)”點(diǎn)P，點(diǎn)O到直線y=x+b的距離m≤2.直線y=x+b1交y軸于點(diǎn)E，過(guò)O作OH⊥直線y=x+b1于點(diǎn)H.因?yàn)镺H=2，在Rt△DOE中，可知OE=2.可得b1=2.同理可得b2=-2.∴b的取值范圍是:≤b≤.…………………6分(2)x>或.…………8分16.（2018北京平谷區(qū)中考統(tǒng)一練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)M的坐標(biāo)為，點(diǎn)N的坐標(biāo)為，且，，以MN為邊構(gòu)造菱形，若該菱形的兩條對(duì)角線分別平行于x軸，y軸，則稱該菱形為邊的“坐標(biāo)菱形”.（1）已知點(diǎn)A（2,0），B（0,2），則以AB為邊的“坐標(biāo)菱形”的最小內(nèi)角為_(kāi)______；（2）若點(diǎn)C（1,2），點(diǎn)D在直線y=5上，以CD為邊的“坐標(biāo)菱形”為正方形，求直線CD表達(dá)式；（3）⊙O的半徑為，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,m).若在⊙O上存在一點(diǎn)Q，使得以QP為邊的“坐標(biāo)菱形”為正方形，求m的取值范圍．解：（1）60； 1（2）∵以CD為邊的“坐標(biāo)菱形”為正方形，∴直線CD與直線y=5的夾角是45°．過(guò)點(diǎn)C作CE⊥DE于E．∴D（4,5）或． 3∴直線CD的表達(dá)式為或． 5（3）或． 717．（2018北京順義區(qū)初三練習(xí)）如圖1，對(duì)于平面內(nèi)的點(diǎn)P和兩條曲線、給出如下定義：若從點(diǎn)P任意引出一條射線分別與、交于、，總有是定值，我們稱曲線與“曲似”，定值為“曲似比”，點(diǎn)P為“曲心”．例如：如圖2，以點(diǎn)O'為圓心，半徑分別為、（都是常數(shù)）的兩個(gè)同心圓、，從點(diǎn)O'任意引出一條射線分別與兩圓交于點(diǎn)M、N，因?yàn)榭傆惺嵌ㄖ担酝膱A與曲似，曲似比為，“曲心”為O'．（1）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線與拋物線、分別交于點(diǎn)A、B，如圖3所示，試判斷兩拋物線是否曲似，并說(shuō)明理由；（2）在（1）的條件下，以O(shè)為圓心，OA為半徑作圓，過(guò)點(diǎn)B作x軸的垂線，垂足為C，是否存在k值，使⊙O與直線BC相切？若存在，求出k的值；若不存在，說(shuō)明理由；（3）在（1）、（2）的條件下，若將“”改為“”，其他條件不變，當(dāng)存在⊙O與直線BC相切時(shí)，直接寫出m的取值范圍及k與m之間的關(guān)系式．解：（1）是．過(guò)點(diǎn)A，B作x軸的垂線，垂足分別為D，C．依題意可得A（k,k2）,B（2k,2k2）．………………2分因此D（k,0），C（2k,0）．∵AD⊥x軸，BC⊥x軸，∴AD∥BC．∴．∴兩拋物線曲似，曲似比是．…………3分（2）假設(shè)存在k值，使⊙O與直線BC相切．則OA=OC=2k，又∵OD=k，AD=k2，并且OD2+AD2=OA2，∴k2+（k2）2=（2k）2．∴．（舍負(fù)）由對(duì)稱性可?。C上，．…………6分（3）m的取值范圍是m＞1，k與m之間的關(guān)系式為k2=m2-1．………8分18、（2018年北京昌平區(qū)第一學(xué)期期末質(zhì)量抽測(cè)）對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)P，給出如下定義：記點(diǎn)P到x軸的距離為，到y(tǒng)軸的距離為，若，則稱為點(diǎn)P的最大距離；若，則稱為點(diǎn)P的最大距離.例如：點(diǎn)P（，）到到x軸的距離為4，到y(tǒng)軸的距離為3，因?yàn)?<4，所以點(diǎn)P的最大距離為.（1）①點(diǎn)A（2，）的最大距離為；②若點(diǎn)B（，）的最大距離為，則的值為；（2）若點(diǎn)C在直線上，且點(diǎn)C的最大距離為，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（3）若⊙O上存在點(diǎn)M，使點(diǎn)M的最大距離為，直接寫出⊙O的半徑r的取值范圍.解：（1）①5………1分②………3分（2）∵點(diǎn)C的最大距離為5，∴當(dāng)時(shí)，，或者當(dāng)時(shí)，.………………4分分別把，代入得：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)C（，）或（，）.………5分.…………………7分19、（2018北京朝陽(yáng)區(qū)第一學(xué)期期末檢測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（0,6），點(diǎn)B在x軸的正半軸上.若點(diǎn)P,Q在線段AB上，且PQ為某個(gè)一邊與x軸平行的矩形的對(duì)角線，則稱這個(gè)矩形為點(diǎn)P,Q的“X矩形”.下圖為點(diǎn)P,Q的“X矩形”的示意圖.（1）若點(diǎn)B（4,0），點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為2，則點(diǎn)B,C的“X矩形”的面積為.（2）點(diǎn)M，N的“X矩形”是正方形，①當(dāng)此正方形面積為4，且點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離為3時(shí)，寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)，點(diǎn)N的坐標(biāo)及經(jīng)過(guò)點(diǎn)N的反比例函數(shù)的表達(dá)式；②當(dāng)此正方形的對(duì)角線長(zhǎng)度為3，且半徑為r的⊙O與它沒(méi)有交點(diǎn)，直接寫出r的取值范圍. 備用圖答案：（1）6；…………1分（2）①B（6,0）………………………2分N（1,5）或N（5,1）…………4分；……………5分②或.…………………8分20、（2018北京東城第一學(xué)期期末）對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)M和圖形G，若在圖形G上存在一點(diǎn)N，使M，N兩點(diǎn)間的距離等于1，則稱M為圖形G的和睦點(diǎn)．（1）當(dāng)⊙O的半徑為3時(shí)，在點(diǎn)P1（1,0），P2（,），P3（,0），P4（5,0）中，⊙O的和睦點(diǎn)是________；（2）若點(diǎn)P（4,3）為⊙O的和睦點(diǎn)，求⊙O的半徑r的取值范圍；（3）點(diǎn)A在直線y=﹣1上，將點(diǎn)A向上平移4個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)B，以AB為邊構(gòu)造正方形ABCD，且C，D兩點(diǎn)都在AB右側(cè)．已知點(diǎn)E（,），若線段OE上的所有點(diǎn)都是正方形ABCD的和睦點(diǎn)，直接寫出點(diǎn)A的橫坐標(biāo)的取值范圍．答案：解：（1）P2，P3；………………2分（2）由勾股定理可知，OP=5，以點(diǎn)O為圓心，分別作半徑為4和6的圓，分別交射線OP于點(diǎn)Q，R，可知PQ=PR=1，此時(shí)P是⊙O的和睦點(diǎn)；若⊙O半徑r滿足0<r<4時(shí)，點(diǎn)OP-r>1，此時(shí)，P不是⊙O的和睦點(diǎn)；若⊙O半徑r滿r>6時(shí)，r-OP>1，此時(shí)，P也不是⊙O的和睦點(diǎn)；若⊙O半徑r滿足4<r<6時(shí)，設(shè)⊙O與射線OP交于點(diǎn)T即PT<1時(shí)，可在⊙O上找一點(diǎn)S，使PS=1，此時(shí)P是⊙O的和睦點(diǎn)；綜上所述，．………………4分，或．………………8分21、（2018北京豐臺(tái)區(qū)第一學(xué)期期末）28．對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)P和⊙C，給出如下定義：如果⊙C的半徑為r，⊙C外一點(diǎn)P到⊙C的切線長(zhǎng)小于或等于2r，那么點(diǎn)P叫做⊙C的“離心點(diǎn)”.（1）當(dāng)⊙O的半徑為1時(shí)，①在點(diǎn)P1（，），P2（0，－2），P3（，0）中，⊙O的“離心點(diǎn)”是；②點(diǎn)P（m，n）在直線上，且點(diǎn)P是⊙O的“離心點(diǎn)”，求點(diǎn)P橫坐標(biāo)m的取值范圍；（2）⊙C的圓心C在y軸上，半徑為2，直線與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A，B.如果線段AB上的所有點(diǎn)都是⊙C的“離心點(diǎn)”，請(qǐng)直接寫出圓心C縱坐標(biāo)的取值范圍.解：（1）①，；……2分②設(shè)P（m,－m＋3），則.…3分解得，.……4分故1≤m≤2.……6分（2）圓心C縱坐標(biāo)的取值范圍為：≤＜或＜≤.……8分22、（2018年北京海淀區(qū)第一學(xué)期期末）對(duì)于⊙C與⊙C上的一點(diǎn)A，若平面內(nèi)的點(diǎn)P滿足：射線AP與⊙C交于點(diǎn)Q（點(diǎn)Q可以與點(diǎn)P重合），且，則點(diǎn)P稱為點(diǎn)A關(guān)于⊙C的“生長(zhǎng)點(diǎn)”．已知點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，⊙O的半徑為1，點(diǎn)A（-1，0）．（1）若點(diǎn)P是點(diǎn)A關(guān)于⊙O的“生長(zhǎng)點(diǎn)”，且點(diǎn)P在x軸上，請(qǐng)寫出一個(gè)符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)________；（2）若點(diǎn)B是點(diǎn)A關(guān)于⊙O的“生長(zhǎng)點(diǎn)”，且滿足，求點(diǎn)B的縱坐標(biāo)t的取值范圍；（3）直線與x軸交于點(diǎn)M，與y軸交于點(diǎn)N，若線段MN上存在點(diǎn)A關(guān)于⊙O的“生長(zhǎng)點(diǎn)”，直接寫出b的取值范圍是_____________________________．解：（1）（2，0）(答案不唯一).………………1分（2）如圖，在x軸上方作射線AM，與⊙O交于M，且使得，并在AM上取點(diǎn)N，使AM=MN，并由對(duì)稱性，將MN關(guān)于x軸對(duì)稱，得，則由題意，線段MN和上的點(diǎn)是滿足條件的點(diǎn)B.作MH⊥x軸于H，連接MC，∴∠MHA=90°，即∠OAM+∠AMH=90°.∵AC是⊙O的直徑，∴∠AMC=90°，即∠AMH+∠HMC=90°.∴∠OAM=∠HMC.∴.∴.設(shè)，則，，∴，解得，即點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為.又由，A為（-1，0），可得點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為，故在線段MN上，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)t滿足：.……………3分由對(duì)稱性，在線段上，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)t滿足：.……………4分∴點(diǎn)B的縱坐標(biāo)t的取值范圍是或.（3）或.………………7分23、（2018北京懷柔區(qū)第一學(xué)期期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，縱坐標(biāo)為2x，滿足這樣條件的點(diǎn)稱為“關(guān)系點(diǎn)”.(1)在點(diǎn)A(1,2)、B(2,1)、M(，1)、N(1，)中，是“關(guān)系點(diǎn)”的；(2)⊙O的半徑為1，若在⊙O上存在“關(guān)系點(diǎn)”P，求點(diǎn)P坐標(biāo)；(3)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3，0)，若在⊙C上有且只有一個(gè)“關(guān)系點(diǎn)”P，且“關(guān)系點(diǎn)”P的橫坐標(biāo)滿足-2≤x≤2.請(qǐng)直接寫出⊙C的半徑r的取值范圍．解：(1)A、M.……………………2分(2)過(guò)點(diǎn)P作PG⊥x軸于點(diǎn)G…………………3分設(shè)P（x，2x）∵OG2+PG2=OP2………………4分∴x2+4x2=1∴5x2=1∴x2=∴x=∴P(，)或P(，)……………………5分(3)r=或…………7分24、（2018北京門頭溝區(qū)第一學(xué)期期末調(diào)研試卷）以點(diǎn)為端點(diǎn)豎直向下的一條射線，以它為對(duì)稱軸向左右對(duì)稱擺動(dòng)形成了射線，，我們規(guī)定：為點(diǎn)的“搖擺角”，射線搖擺掃過(guò)的區(qū)域叫作點(diǎn)的“搖擺區(qū)域”（含，）.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn).（1）當(dāng)點(diǎn)的搖擺角為時(shí)，請(qǐng)判斷、、、屬于點(diǎn)的搖擺區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)是______________________（填寫字母即可）；（2）如果過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)的線段完全在點(diǎn)的搖擺區(qū)域內(nèi)，那么點(diǎn)的搖擺角至少為_(kāi)________°；（3）⊙的圓心坐標(biāo)為，半徑為，如果⊙上的所有點(diǎn)都在點(diǎn)的搖擺角為時(shí)的搖擺區(qū)域內(nèi)，求的取值范圍．備用圖解：（1）點(diǎn)B，點(diǎn)C；…………2分（2）90°………3分（3）當(dāng)⊙運(yùn)動(dòng)到搖擺角的內(nèi)部，與PF左邊的射線相切時(shí)如圖28-1∵點(diǎn)的搖擺角為60°∴，在Rt△PFK中，在可求得∵，∴在Rt△PFK中，，可求得∴當(dāng)⊙運(yùn)動(dòng)到搖擺角的內(nèi)部，與PF右邊的射線相切時(shí)如圖28-2同理可求得∴25、（2018北京密云區(qū)初三（上）期末）已知在平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)P和圖形G,給出如下的定義：若在圖形G上存在一點(diǎn),使得之間的距離等于1，則稱P為圖形G的關(guān)聯(lián)點(diǎn).（1）當(dāng)?shù)陌霃綖?時(shí)，①點(diǎn),,中，的關(guān)聯(lián)點(diǎn)有_____________________.②直線經(jīng)過(guò)（0，1）點(diǎn)，且與軸垂直，點(diǎn)P在直線上.若P是的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍.（2）已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，中心為原點(diǎn)，正方形各邊都與坐標(biāo)軸垂直.若正方形各邊上的點(diǎn)都是某個(gè)圓的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，求圓的半徑的取值范圍.備用圖備用圖答案：（1）………2分（2）如圖，以O(shè)為圓心，2為半徑的圓與直線y=1交于兩點(diǎn).線段上的動(dòng)點(diǎn)P（含端點(diǎn)）都是以O(shè)為圓心，1為半徑的圓的關(guān)聯(lián)點(diǎn).故此.…………6分（3）由已知，若P為圖形G的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，圖形G必與以P為圓心1為半徑的圓有交點(diǎn).正方形ABCD邊界上的點(diǎn)都是某圓的關(guān)聯(lián)點(diǎn)該圓與以正方形邊界上的各點(diǎn)為圓心1為半徑的圓都有交點(diǎn)故此，符合題意的半徑最大的圓是以O(shè)為圓心，3為半徑的圓；符合題意的半徑最小的圓是以O(shè)為圓心，為半徑的圓.綜上所述，.………..8分26、（2018北京平谷區(qū)第一學(xué)期期末）在平面直角坐標(biāo)系中，將某點(diǎn)（橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)不相等）的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)互換后得到的點(diǎn)叫這個(gè)點(diǎn)的“互換點(diǎn)”，如（-3，5）與（5，-3）是一對(duì)“互換點(diǎn)”．（1）以O(shè)為圓心，半徑為5的圓上有無(wú)數(shù)對(duì)“互換點(diǎn)”，請(qǐng)寫出一對(duì)符合條件的“互換點(diǎn)”；（2）點(diǎn)M,N是一對(duì)“互換點(diǎn)”，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(m,n)，且(m＞n)，⊙P經(jīng)過(guò)點(diǎn)M,N．①點(diǎn)M的坐標(biāo)為(4,0)，求圓心P所在直線的表達(dá)式；②⊙P的半徑為5，求m－n的取值范圍．解：（1）答案不唯一，如：（4,3），（3,4）； 2（2）①連結(jié)MN，∵OM=ON=4，∴Rt△OMN是等腰直角三角形．過(guò)O作OA⊥MN于點(diǎn)A，∴點(diǎn)M,N關(guān)于直線OA對(duì)稱． 3由圓的對(duì)稱性可知，圓心P在直線OA上． 4∴圓心P所在直線的表達(dá)式為y=x． 5②當(dāng)MN為⊙P直徑時(shí)，由等腰直角三角形性質(zhì)，可知m－n=； 6當(dāng)點(diǎn)M,N重合時(shí)，即點(diǎn)M,N橫縱坐標(biāo)相等，所以m－n=0； 7∴m－n的取值范圍是0＜m－n≤． 827、（2018北京石景山區(qū)第一學(xué)期期末）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，且，，若為某個(gè)等腰三角形的腰，且該等腰三角形的底邊與x軸平行，則稱該等腰三角形為點(diǎn)P，Q的“相關(guān)等腰三角形”．下圖為點(diǎn)P，Q的“相關(guān)等腰三角形”的示意圖．（1）已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，則點(diǎn)A，B的“相關(guān)等腰三角形”的頂角為_(kāi)________°；（2）若點(diǎn)C的坐標(biāo)為，點(diǎn)D在直線上，且C，D的“相關(guān)等腰三角形”為等邊三角形，求直線CD的表達(dá)式；（3）⊙O的半徑為，點(diǎn)N在雙曲線上．若在⊙O上存在一點(diǎn)M，使得點(diǎn)M、N的“相關(guān)等腰三角形”為直角三角形，直接寫出點(diǎn)N的橫坐標(biāo)的取值范圍．解：（1）120o；……………2分（2）∵C,D的“相關(guān)等腰三角形”為等邊三角形，底角為60°，底邊與軸平行，∴直線CD與軸成60°角，與軸成30°角，通過(guò)解直角三角形可得的坐標(biāo)為或，進(jìn)一步得直線CD的表達(dá)式為或.…………5分（3）或.……8分28、（2018北京通州區(qū)第一學(xué)期期末）點(diǎn)的“值”定義如下：若點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，線段長(zhǎng)度的最大值與最小值之差即為點(diǎn)的“值”，記為.特別的，當(dāng)點(diǎn)，重合時(shí)，線段的長(zhǎng)度為0.當(dāng)⊙的半徑為2時(shí)：（1）若點(diǎn)，，則_________，_________；（2）若在直線上存在點(diǎn)，使得，求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)；（3）直線與軸，軸分別交于點(diǎn)，.若線段上存在點(diǎn)，使得，請(qǐng)你直接寫出的取值范圍.答案：29、（2018北京西城區(qū)第一學(xué)期期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，．對(duì)于給定的線段AB及點(diǎn)P，Q，給出如下定義：若點(diǎn)Q關(guān)于AB所在直線的對(duì)稱點(diǎn)落在△ABP的內(nèi)部（不含邊界），則稱點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于線段AB的內(nèi)稱點(diǎn)．（1）已知點(diǎn)．①在，兩點(diǎn)中，是點(diǎn)P關(guān)于線段AB的內(nèi)稱點(diǎn)的是____________；②若點(diǎn)M在直線上，且點(diǎn)M是點(diǎn)P關(guān)于線段AB的內(nèi)稱點(diǎn)，求點(diǎn)M的橫坐標(biāo)的取值范圍；（2）已知點(diǎn)，⊙C的半徑為r，點(diǎn)，若點(diǎn)E是點(diǎn)D關(guān)于線段AB的內(nèi)稱點(diǎn)，且滿足直線DE與⊙C相切，求半徑r的取值范圍．答案：30、（2018北京昌平區(qū)二模）在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于任意三點(diǎn)A、B、C我們給出如下定義：“橫長(zhǎng)”a：三點(diǎn)中橫坐標(biāo)的最大值與最小值的差，“縱長(zhǎng)”b：三點(diǎn)中縱坐標(biāo)的最大值與最小值的差，若三點(diǎn)的橫長(zhǎng)與縱長(zhǎng)相等，我們稱這三點(diǎn)為正方點(diǎn).例如：點(diǎn)(,0)，點(diǎn)(1,1)，點(diǎn)(,)，則、、三點(diǎn)的“橫長(zhǎng)”=||=3，、、三點(diǎn)的“縱長(zhǎng)”=||=3.因?yàn)?，所以、、三點(diǎn)為正方點(diǎn).（1）在點(diǎn)(3，5)，(3，)，(，)中，與點(diǎn)、為正方點(diǎn)的是；（2）點(diǎn)P(0，t)為軸上一動(dòng)點(diǎn)，若，，三點(diǎn)為正方點(diǎn)，的值為；（3）已知點(diǎn)(1，0).①平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)滿足以下條件：點(diǎn)，，三點(diǎn)為正方點(diǎn)，在圖中畫出所有符合條件的點(diǎn)組成的圖形；②若直線：上存在點(diǎn)，使得，，三點(diǎn)為正方點(diǎn)，直接寫出m的取值范圍．（備用圖）解：（1）點(diǎn)………1分（2）?2或3………3分（3）①畫出如圖所示的圖像………5分②或………7分31、（2018北京朝陽(yáng)區(qū)二模）對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)P和直線m，給出如下定義：若存在一點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到直線m的距離等于1，則稱P為直線m的平行點(diǎn)．（1）當(dāng)直線m的表達(dá)式為y=x時(shí)， ①在點(diǎn)P1（1，1），P2（0，），P3（，）中，直線m的平行點(diǎn)是；②⊙O的半徑為，點(diǎn)Q在⊙O上，若點(diǎn)Q為直線m的平行點(diǎn)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo).（2）點(diǎn)A的坐標(biāo)為（n，0），⊙A半徑等于1，若⊙A上存在直線的平行點(diǎn)，直接寫出n的取值范圍．答案：（1）①P2，P3……………………2分②解：由題意可知，直線m的所有平行點(diǎn)組成平行于直線m，且到直線m的距離為1的直線.設(shè)該直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B.如圖1，當(dāng)點(diǎn)B在原點(diǎn)上方時(shí)，作OH⊥AB于點(diǎn)H，可知OH=1.由直線m的表達(dá)式為y=x，可知∠OAB=∠OBA=45°.所以O(shè)B=.直線AB與⊙O的交點(diǎn)即為滿足條件的點(diǎn)Q.連接OQ1，作Q1N⊥y軸于點(diǎn)N，可知OQ1=.在Rt△OHQ1中，可求HQ1=3.所以BQ1=2.在Rt△BHQ1中，可求NQ1=NB=.所以O(shè)N=.所以點(diǎn)Q1的坐標(biāo)為（，）.同理可求點(diǎn)Q2的坐標(biāo)為（，）.……………4分如圖2，當(dāng)點(diǎn)B在原點(diǎn)下方時(shí)，可求點(diǎn)Q3的坐標(biāo)為（，）點(diǎn)Q4的坐標(biāo)為（，）.………6分綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，），（，），（，），（，）.（2）≤n≤.……………8分32、（2018北京東城區(qū)二模）研究發(fā)現(xiàn)，拋物線上的點(diǎn)到點(diǎn)F(0，1)的距離與到直線l：的距離相等.如圖1所示，若點(diǎn)P是拋物線上任意一點(diǎn)，PH⊥l于點(diǎn)H，則.基于上述發(fā)現(xiàn)，對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)M，記點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到點(diǎn)的距離之和的最小值為d，稱d為點(diǎn)M關(guān)于拋物線的關(guān)聯(lián)距離；當(dāng)時(shí)，稱點(diǎn)M為拋物線的關(guān)聯(lián)點(diǎn).（1）在點(diǎn)，，，中，拋物線的關(guān)聯(lián)點(diǎn)是______；（2）如圖2，在矩形ABCD中，點(diǎn)，點(diǎn)C(t.①若t=4，點(diǎn)M在矩形ABCD上，求點(diǎn)M關(guān)于拋物線的關(guān)聯(lián)距離d的取值范圍；②若矩形ABCD上的所有點(diǎn)都是拋物線的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，則t的取值范圍是__________.(1)-----------------------------------------------------------------2分（2）①當(dāng)時(shí)，，，，，此時(shí)矩形上的所有點(diǎn)都在拋物線的下方，∴∴∵∴----------------------------------------------------------------------------------5分②------------------------------------------------------------------------8分33、（2018北京房山區(qū)二模）已知點(diǎn)P，Q為平面直角坐標(biāo)系xOy中不重合的兩點(diǎn)，以點(diǎn)P為圓心且經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q作⊙P，則稱點(diǎn)Q為⊙P的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，⊙P為點(diǎn)Q的“關(guān)聯(lián)圓”.（1）已知⊙O的半徑為1，在點(diǎn)E（1，1），F(xiàn)（eq－\f(1,2)，eq\f(\r(3),2)），M（0，－1）中，⊙O的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”為；（2）若點(diǎn)P（2，0），點(diǎn)Q（3，n），⊙Q為點(diǎn)P的“關(guān)聯(lián)圓”，且⊙Q的半徑為eq\r(5)，求n的值；（3）已知點(diǎn)D（0，2），點(diǎn)H（m，2），⊙D是點(diǎn)H的“關(guān)聯(lián)圓”，直線與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A，B.若線段AB上存在⊙D的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，求m的取值范圍.解：（1）①F，M.………………………2′（注：每正確1個(gè)得1分）（2）如圖1，過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥x軸于H.∵PH=1，QH=n，PQ=eq\r(5)∴由勾股定理得，PH2+QH2=PQ2即解得，或－2.………4′（3）由，知A（3，0），B（0，4）∴可得AB=5I.如圖2（1），當(dāng)⊙D與線段AB相切于點(diǎn)T時(shí)，連接DT.則DT⊥AB，∠DTB=90°∵∴可得DT=DH1=eq\f(6,5)∴…………………5′II.如圖2（2）,當(dāng)⊙D過(guò)點(diǎn)A時(shí)，連接AD.由勾股定理得DA=eq\r(OD2+OA2)=DH2=EQ\R(13)……6′綜合I，II可得：或………………8′在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將任意兩點(diǎn)與之間的“直距”定義為：.例如：點(diǎn)M（1，），點(diǎn)N（3，），則.已知點(diǎn)A(1，0)、點(diǎn)B(-1，4).（1）則，；（2）如果直線AB上存在點(diǎn)C，使得為2，請(qǐng)你求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；（3）答案.（1），；………………2分（2）如圖：解法1：由點(diǎn)A和點(diǎn)B坐標(biāo)可得，直線AB的解析式為y=-2x+2.設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x，-2x+2），則，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，2）或.解法2：由點(diǎn)A和點(diǎn)B坐標(biāo)可得，直線AB的解析式為y=-2x+2.點(diǎn)C與點(diǎn)O之間的“直距”為2的運(yùn)動(dòng)軌跡為以點(diǎn)O為中心、對(duì)角線分別位于坐標(biāo)軸上、對(duì)角線長(zhǎng)度為4的正方形.設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x，-2x+2），則利用直線解析式可求得，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，2）或.………………5分（3）的取值范圍為………………7分對(duì)某一個(gè)函數(shù)給出如下定義：若存在實(shí)數(shù)，對(duì)于函數(shù)圖象上橫坐標(biāo)之差為1的任意兩點(diǎn)，，都成立，則稱這個(gè)函數(shù)是限減函數(shù)，在所有滿足條件的中，其最大值稱為這個(gè)函數(shù)的限減系數(shù)．例如，函數(shù)，當(dāng)取值和時(shí)，函數(shù)值分別為，，故，因此函數(shù)是限減函數(shù)，它的限減系數(shù)為．（1）寫出函數(shù)的限減系數(shù)；（2），已知（）是限減函數(shù)，且限減系數(shù)，求的取值范圍．（3）已知函數(shù)的圖象上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線垂直于軸，將函數(shù)的圖象在點(diǎn)右側(cè)的部分關(guān)于直線翻折，其余部分保持不變，得到一個(gè)新函數(shù)的圖象，如果這個(gè)新函數(shù)是限減函數(shù)，且限減系數(shù)，直接寫出點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍．答案28．解：（1）函數(shù)的限減系數(shù)是2；（2）若，則，（，）和（，）是函數(shù)圖象上兩點(diǎn)，，與函數(shù)的限減系數(shù)不符，∴．若，（，）和（，）是函數(shù)圖象上橫坐標(biāo)之差為1的任意兩點(diǎn)，則，，∵，且，∴，與函數(shù)的限減系數(shù)不符.∴．若，（，）和（，）是函數(shù)圖象上橫坐標(biāo)之差為1的任意兩點(diǎn)，則，，∵，且，∴，當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故函數(shù)的限減系數(shù)．∴的取值范圍是．（3）．36．（2018北京市東城區(qū)初二期末）定義：任意兩個(gè)數(shù)，按規(guī)則擴(kuò)充得到一個(gè)新數(shù)，稱所得的新數(shù)為“如意數(shù)”.若直接寫出的“如意數(shù)”；如果,求的“如意數(shù)”，并證明“如意數(shù)”（3）已知，且的“如意數(shù)”，則(用含的式子表示).解：（1）37.（20