2020版高中數(shù)學(xué)第一章解三角形111正弦定理學(xué)案新人教B版

正弦定理學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法

.2.

能運(yùn)用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解決簡(jiǎn)單的解三角形問(wèn)題．知識(shí)點(diǎn)一正弦定理在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等．即：a＝b＝c＝2.(R為△外接圓的半徑)sinAsinBsinCRABC知識(shí)點(diǎn)二正弦定理的變形公式(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.(2)sin＝a，sin＝b，sin＝c(此中R是△外接圓的半徑)．A2RB2RC2RABC知識(shí)點(diǎn)三解三角形一般地，把三角形的三個(gè)角A，B，C和它們的對(duì)邊a，b，c叫做三角形的元素．已知三角形的幾個(gè)元素求其余元素的過(guò)程叫做解三角形．1．正弦定理對(duì)隨意的三角形都建立．(√)2．在△中，等式bsin＝sinB總能建立．(√)ABCCc3．在△ABC中，已知a，b，A，則能求出獨(dú)一的角B.(×)4．隨意給出三角形的三個(gè)元素，都能求出其余元素．(×)題型一已知兩角及一邊解三角形例1在△中，已知＝30°，＝60°，＝10，解三角形．ABCABa解依據(jù)正弦定理，得asinB10sin60°＝103.＝＝Asin30°sin又C＝180°－(30°＋60°)＝90°.asinC10sin90°∴c＝＝＝20.sinAsin30°(1)abbcac反省感悟正弦定理其實(shí)是三個(gè)等式：sinA＝sinB，sinB＝sinC，sinA＝sinC，每個(gè)等式波及四個(gè)元素，因此只需知道此中的三個(gè)就能夠求此外一個(gè)．(2)由于三角形的內(nèi)角和為180°，因此已知兩角必定能夠求出第三個(gè)角．追蹤訓(xùn)練1在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若B＝45°，C＝60°，c＝1，則△ABC最短邊的邊長(zhǎng)等于()6613A.3B.2C.2D.2答案A分析由三角形內(nèi)角和定理，得A＝180°－(B＋C)＝75°，因此B是最小角，b為最短邊．由bcb16正弦定理，得sinB＝sinC，即sin45°＝sin60°，則b＝3，應(yīng)選A.題型二已知兩邊及此中一邊的對(duì)角解三角形例2在△ABC中，已知c＝6，A＝45°，a＝2，解三角形．a(chǎn)ccsinA6sin45°3解∵sinA＝sinC，∴sinC＝a＝2＝2，∵>，∈(0°，180°)，∴＝60°或＝120°.caCCCcsinB6sin75°當(dāng)C＝60°時(shí)，B＝75°，b＝sinC＝sin60°＝3＋1；csinB6sin15°當(dāng)C＝120°時(shí)，B＝15°，b＝sinC＝sin120°＝3－1.b＝3＋1，B＝75°，C＝60°或b＝3－1，B＝15°，C＝120°.引申研究若把本例中的條件“A＝45°”改為“C＝45°”，則角A有幾個(gè)值？2acasinC2·3，∴sin＝2解∵＝＝＝.sinAsinCAc63∵＝6>2＝，∴>.caCA∴A為小于45°的銳角，且正弦值為3A只有一個(gè)．，這樣的角3反省感悟這一種類題目的解題步驟為①用正弦定理求出另一邊所對(duì)角的正弦值；②用三角形內(nèi)角和定理求出第三個(gè)角；③依據(jù)正弦定理求出第三條邊．此中進(jìn)行①時(shí)要注意議論該角能否可能有兩個(gè)值．追蹤訓(xùn)練2在△ABC中，若a＝2，b＝2，A＝30°，則C＝.答案105°或15°ab分析由正弦定理sinA＝sinB，得sinB＝bsinA2sin30°2a＝2＝2.∵B∈(0°，180°)，∴B＝45°或135°，C＝180°－45°－30°＝105°或C＝180°－135°－30°＝15°.題型三正弦定理的證明ab例3△ABC的外接圓O的半徑為R，角A，B，C對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，證明：sinA＝sinBc＝2R.＝sinC證明①若∠A為直角(如圖1所示)，在Rt△BAC中，可直接得a＝2RsinA；②在銳角△ABC中，如圖2，連結(jié)BO并延伸，交外接圓于點(diǎn)A′，連結(jié)A′C，則圓周角A′＝A.∵A′B為直徑，長(zhǎng)度為2R，∴∠A′CB＝90°，BCa∴sinA′＝A′B＝2R，a∴sinA＝2R，a＝2RsinA.③若∠A為鈍角(如圖3所示)，作直徑BA′，連結(jié)A′C，則∠A′＝π－∠A，在Rt△BCA′中，BC＝A′BsinA′＝2Rsin(π－A)＝2RsinA，即a＝2RsinA.a由①②③得a＝2RsinA，即2R＝sinA，同理可證，bc2R＝，2R＝.sinBsinCa＝bc＝2R.因此＝sinAsinBsinC反省感悟引入三角形的外接圓半徑，能夠加深理解正弦定理的幾何意義，更為方便實(shí)現(xiàn)三角形中的邊角互化．三角形形狀的判斷asinB222典例在△ABC中，已知b＝sinA，且sinA＋sinB＝sinC.求證：△ABC為等腰直角三角形．a(chǎn)b證明∵sinA＝sinB，sinBbsinA＝a，asinB又∵＝，bsinAabb＝a，a2＝b2即a＝b，abcC＝k(k≠0)，設(shè)sinA＝sinB＝sinabc則sinA＝k，sinB＝k，sinC＝k，又∵sin2A＋sin2B＝sin2C，a2b2c2222∴k2＋k2＝k2，即a＋b＝c，∴△ABC為等腰直角三角形．[修養(yǎng)評(píng)析](1)正弦定理是以比率的形式給出來(lái)的，因此在應(yīng)用時(shí)要注意聯(lián)合比率的基天性質(zhì)．正弦定理能夠?qū)崿F(xiàn)邊角互化．(3)判斷和證明要掌握推理的基本形式和規(guī)則，形成重論據(jù)、有條理、合邏輯的思想質(zhì)量，突出表現(xiàn)邏輯推理的數(shù)學(xué)核心修養(yǎng).在△ABC中，必定建立的等式是( )A．sin＝sinBB．cos＝cosBaAbaAbC．a(chǎn)sinB＝bsinAD．a(chǎn)cosB＝bcosA答案C分析由正弦定理a＝b，得sin＝sin，應(yīng)選C.sinAsinBaBbA2．在△ABC中，若sinA＝sinC，則△ABC是()A．直角三角形B．等腰三角形C．銳角三角形D．鈍角三角形答案B分析由sin＝sinC及正弦定理，知a＝c，A∴△ABC為等腰三角形．3．在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，則b等于( )A．42B．43C．46D．4答案Cab分析易知A＝45°，由sinA＝sinB得3asinB8×2b＝sinA＝2＝46.2π4．在△ABC中，若a＝3，b＝2，B＝4，則A＝.答案π或2π332＝asinB＝3×3，分析由正弦定理，得sin2＝Ab22π2π又A∈(0，π)，a>b，∴A>B，∴A＝3或3.5．在△ABC中，已知a＝5，sinC＝2sinA，則c＝.答案25asinC分析由正弦定理，得c＝sinA＝2a＝25.abc1.正弦定理的表示形式：sinA＝sinB＝sinC＝2R，或a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC(此中R為△ABC外接圓的半徑)．正弦定理的應(yīng)用范圍已知兩角和任一邊，求其余兩邊和其余一角．已知兩邊和此中一邊的對(duì)角，求另一邊和其余兩角．已知三角形兩邊和此中一邊的對(duì)角解三角形的方法第一由正弦定理求出另一邊對(duì)角的正弦值．假如已知的角為大邊所對(duì)的角，由三角形中大邊對(duì)大角、大角對(duì)大邊的法例能判斷另一邊所對(duì)的角為銳角，由正弦值可求獨(dú)一銳角．(3)假如已知的角為小邊所對(duì)的角，則不可以判斷另一邊所對(duì)的角為銳角，這時(shí)由正弦值可求得兩個(gè)角，要分類議論.一、選擇題1．在△ABC中，a＝5，b＝3，則sinA∶sinB的值是( )5335A.3B.5C.7D.7答案AsinAa5分析依據(jù)正弦定理，得sinB＝b＝3.2．在△中，若＝105°，＝45°，＝22，則c等于( )ABCABbA．1B．2C.2D.3答案B分析∵A＝105°，B＝45°，∴C＝30°.bsinC22sin30°由正弦定理，得c＝sinB＝sin45°＝2.3．在△中，a＝bsin，則△必定是()ABCAABCA．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．等腰三角形答案BabB，則sinB＝1，分析由題意可知sinA＝b＝sin又∈(0，π)，故B為直角，△是直角三角形．BABC4．在△中，若sinAcosCC的值為( )＝，則ABCacA．30°B．45°C．60°D．90°答案BsinAsinC分析由正弦定理知a＝c，sinCcosC∴c＝c，∴cosC＝sinC，∴tanC＝1，又∵C∈(0°，180°)，∴C＝45°.5．在△ABC中，若sinA>sinB，則A與B的大小關(guān)系為( )A．A>BB．A<BC．A≥BD．A，B的大小關(guān)系不確立答案A分析設(shè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，sinA>sinB，∴2RsinA>2RsinB(R為△ABC外接圓的半徑)，即a>b，故A>B.6．在△中，已知＝π，a＝3，b＝1，則c的值為()ABCA3A．1B．2C.3－1D.3答案Bab分析由正弦定理sinA＝sinB，可得3＝1，∴sin＝1，sinπsinBB23ππ由a>b，得A>B，∴B∈0，3，∴B＝6.故＝π，由勾股定理得c＝2.C27．在△中，＝15，＝10，＝60°，則cosB等于()ABCabA222266A．－3B.3C．－3D.3答案D1510分析由正弦定理，得sin60°＝sinB，3∴sin10sin60°10×23＝＝＝.B15153∵a>b，∴A>B，又∵A＝60°，∴B為銳角．∴cos＝1－sin2＝1－32＝6.BB338．(2018·北京高二檢測(cè))在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，則cosC等于()77A.B.－2525724C.±25D.25答案A分析由于在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，因此48sinB＝5sinC＝5sin2B＝10sinBcosB，因此cosB＝5，又B為三角形內(nèi)角，因此sinB＝1－cos2B＝3.54324因此sinC＝sin2B＝2×5×5＝25.又cosB＞cos45°，因此B<45°，C＝2B<90°，7cosC＝1－sinC＝25.二、填空題9．在△ABC中，已知a＝2，A＝60°，則△ABC的外接圓的直徑為．答案433分析△ABC外接圓直徑2R＝a＝2＝43.sinAsin60°3sinB10．在△ABC中，若b－sinA＝0，則△ABC的形狀必定是三角形．答案等腰sinBb分析由正弦定理，sinA＝a，asinBab得b－sinA＝b－a＝0，a2＝b2，a＝b.∴△ABC為等腰三角形．11．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若知足B＝60°，c＝2的三角形有兩解，則b的取值范圍為．答案(3，2)分析在△中，＝60°，cb＝cc＝bsinC＝2，由正弦定理可得，得.若此三角形ABCBsinBsinCsinB有兩解，則一定知足的條件為>>sin，即2>b>3，故答案為(3，2)．cbcB三、解答題12．已知在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，c＝10，A＝45°，C＝30°，求a，b和B.c解∵sinA＝sinC，csinA10sin45°a＝sinC＝sin30°＝102.B＝180°－(A＋C)＝180°－(45°＋30°)＝105°.c又∵sinB＝sinC，csinB10sin105°∴b＝sinC＝sin30°＝20sin75°6＋26＋2)．＝20×＝5(413．在△ABC中，acosπ－A＝bcosπ－B，試判斷△ABC的形狀．22ππ解方法一∵acos2－A＝bcos2－B，∴asin＝sin.AbBb由正弦定理，可得a·2R＝b·2R，a2＝b2，∴a＝b，∴△ABC為等腰三角形．π－A＝bcosπ－B，方法二∵acos22asinA＝bsinB.由正弦定理，可得

2Rsin

2A＝2Rsin2B，又∵A，B∈(0，π)，sinA＝sinB，A＝B(A＋B＝π不合題意，舍去)．故△ABC為等腰三角形．4514．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若cosA＝5，cosC＝13，a＝1，則b＝.答案2113453