人教A版高中數(shù)學(xué)必修第一冊同步測試題及答案

最新人教A版高中數(shù)學(xué)必修第一冊同步測試題及答案全冊（共51套）課時分層作業(yè)(一)集合的含義(建議用時：60分鐘)[合格基礎(chǔ)練]一、選擇題1．下列各組對象不能構(gòu)成集合的是()A．擁有手機(jī)的人 B．2019年高考數(shù)學(xué)難題C．所有有理數(shù) D．小于π的正整數(shù)B[B選項中“難題”的標(biāo)準(zhǔn)不明確，不符合確定性，所以選B.]2．集合M是由大于－2且小于1的實數(shù)構(gòu)成的，則下列關(guān)系式正確的是()A.eq\r(5)∈M B．0?MC．1∈M D．－eq\f(π,2)∈MD[eq\r(5)>1，故A錯；－2<0<1，故B錯；1不小于1，故C錯；－2<－eq\f(π,2)<1，故D正確．]3．若a是R中的元素，但不是Q中的元素，則a可以是()A．3.14 B．－5C.eq\f(3,7) D.eq\r(7)D[由題意知a應(yīng)為無理數(shù)，故a可以為eq\r(7).]4．已知集合Ω中的三個元素l，m，n分別是△ABC的三邊長，則△ABC一定不是()A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．等腰三角形D[因為集合中的元素是互異的，所以l，m，n互不相等，即△ABC不可能是等腰三角形，故選D.]5．下列各組中集合P與Q，表示同一個集合的是()A．P是由元素1，eq\r(3)，π構(gòu)成的集合，Q是由元素π，1，|－eq\r(3)|構(gòu)成的集合B．P是由π構(gòu)成的集合，Q是由3.14159構(gòu)成的集合C．P是由2,3構(gòu)成的集合，Q是由有序數(shù)對(2,3)構(gòu)成的集合D．P是滿足不等式－1≤x≤1的自然數(shù)構(gòu)成的集合，Q是方程x2＝1的解集A[由于A中P，Q的元素完全相同，所以P與Q表示同一個集合，而B，C，D中P，Q的元素不相同，所以P與Q不能表示同一個集合．故選A.]二、填空題6．若1∈A，且集合A與集合B相等，則1________B(填“∈”或“?”)．∈[由集合相等的定義可知，1∈B.]7．設(shè)集合A是由1，k2為元素構(gòu)成的集合，則實數(shù)k的取值范圍是________．{k|k≠±1}[∵1∈A，k2∈A，結(jié)合集合中元素的互異性可知k2≠1，解得k≠±1.]8．用符號“∈”或“?”填空：(1)設(shè)集合B是小于eq\r(11)的所有實數(shù)的集合，則2eq\r(3)________B,1＋eq\r(2)________B；(2)設(shè)集合C是滿足方程x＝n2＋1(其中n為正整數(shù))的實數(shù)x的集合，則3________C,5________C；(3)設(shè)集合D是滿足方程y＝x2的有序?qū)崝?shù)對(x，y)組成的集合，則－1________D，(－1,1)________D.(1)?∈(2)?∈(3)?∈[(1)∵2eq\r(3)＝eq\r(12)>eq\r(11)，∴2eq\r(3)?B；∵(1＋eq\r(2))2＝3＋2eq\r(2)<3＋2×4＝11，∴1＋eq\r(2)<eq\r(11)，∴1＋eq\r(2)∈B.(2)∵n是正整數(shù)，∴n2＋1≠3，∴3?C；當(dāng)n＝2時，n2＋1＝5，∴5∈C.(3)∵集合D中的元素是有序?qū)崝?shù)對(x，y)，則－1是數(shù)，∴－1?D；又(－1)2＝1，∴(－1,1)∈D.]三、解答題9．設(shè)A是由滿足不等式x<6的自然數(shù)構(gòu)成的集合，若a∈A且3a∈A，求a的值．[解]∵a∈A且3a∈A，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<6，,3a<6，))解得a<2.又a∈N，∴a＝0或1.10．已知集合A中含有兩個元素x，y，集合B中含有兩個元素0，x2，若A＝B，求實數(shù)x，y的值．[解]因為集合A，B相等，則x＝0或y＝0.(1)當(dāng)x＝0時，x2＝0，則不滿足集合中元素的互異性，故舍去．(2)當(dāng)y＝0時，x＝x2，解得x＝0或x＝1.由(1)知x＝0應(yīng)舍去．綜上知：x＝1，y＝0.[等級過關(guān)練]1．已知集合M是方程x2－x＋m＝0的解組成的集合，若2∈M，則下列判斷正確的是()A．1∈M B．0∈MC．－1∈M D．－2∈MC[由2∈M知2為方程x2－x＋m＝0的一個解，所以22－2＋m＝0，解得m＝－2.所以方程為x2－x－2＝0，解得x1＝－1，x2＝2.故方程的另一根為－1.選C.]2．由實數(shù)x，－x，|x|，eq\r(x2)，－eq\r(3,x3)所組成的集合，最多含元素()A．2個B．3個C．4個 D．5個A[當(dāng)x>0時，x＝|x|＝eq\r(x2)，－eq\r(3,x3)＝－x<0，此時集合共有2個元素，當(dāng)x＝0時，x＝|x|＝eq\r(x2)＝－eq\r(3,x3)＝－x＝0，此時集合共有1個元素，當(dāng)x<0時，eq\r(x2)＝|x|＝－x，－eq\r(3,x3)＝－x，此時集合共有2個元素，綜上，此集合最多有2個元素，故選A.]3．已知集合P中元素x滿足：x∈N，且2<x<a，又集合P中恰有三個元素，則整數(shù)a＝________.6[∵x∈N,2<x<a，且集合P中恰有三個元素，∴結(jié)合數(shù)軸(圖略)知a＝6.]4．若a，b∈R，且a≠0，b≠0，則eq\f(|a|,a)＋eq\f(|b|,b)的可能取值所組成的集合中元素的個數(shù)為________．3[當(dāng)a，b同正時，eq\f(|a|,a)＋eq\f(|b|,b)＝eq\f(a,a)＋eq\f(b,b)＝1＋1＝2.當(dāng)a，b同負(fù)時，eq\f(|a|,a)＋eq\f(|b|,b)＝eq\f(－a,a)＋eq\f(－b,b)＝－1－1＝－2.當(dāng)a，b異號時，eq\f(|a|,a)＋eq\f(|b|,b)＝0.∴eq\f(|a|,a)＋eq\f(|b|,b)的可能取值所組成的集合中元素共有3個．]5．已知數(shù)集A滿足條件：若a∈A，則eq\f(1,1－a)∈A(a≠1)，如果a＝2，試求出A中的所有元素．[解]根據(jù)題意，由2∈A可知，eq\f(1,1－2)＝－1∈A；由－1∈A可知，eq\f(1,1－－1)＝eq\f(1,2)∈A；由eq\f(1,2)∈A可知，eq\f(1,1－\f(1,2))＝2∈A.故集合A中共有3個元素，它們分別是－1，eq\f(1,2)，2.課時分層作業(yè)(二)集合的表示(建議用時：60分鐘)[合格基礎(chǔ)練]一、選擇題1．已知集合A＝{x∈N|x<6}，則下列關(guān)系式不成立的是()A．0∈A B．1.5?AC．－1?A D．6∈AD[∵A＝{x∈N|x<6}＝{0,1,2,3,4,5}，∴6?A，故選D.]2．把集合{x|x2－3x＋2＝0}用列舉法表示為()A．{x＝1，x＝2} B．{x|x＝1，x＝2}C．{x2－3x＋2＝0} D．{1,2}D[解方程x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，所以集合{x|x2－3x＋2＝0}用列舉法可表示為{1,2}．]3．下列四個集合中，不同于另外三個的是()A．{y|y＝2} B．{x＝2}C．{2} D．{x|x2－4x＋4＝0}B[{x＝2}表示的是由一個等式組成的集合．]4．方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝1，,x2－y2＝9))的解集是()A．(－5,4) B．(5，－4)C．{(－5,4)} D．{(5，－4)}D[解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝1，,x2－y2＝9，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝－4，))故解集為{(5，－4)}，選D.]5．下列集合的表示方法正確的是()A．第二、四象限內(nèi)的點集可表示為{(x，y)|xy≤0，x∈R，y∈R}B．不等式x－1<4的解集為{x<5}C．{全體整數(shù)}D．實數(shù)集可表示為RD[選項A中應(yīng)是xy<0；選項B的本意是想用描述法表示，但不符合描述法的規(guī)范格式，缺少了豎線和豎線前面的代表元素x；選項C的“{}”與“全體”意思重復(fù)．]二、填空題6．能被2整除的正整數(shù)的集合，用描述法可表示為________．{x|x＝2n，n∈N*}[正整數(shù)中所有的偶數(shù)均能被2整除．]7．設(shè)集合A＝{1，－2，a2－1}，B＝{1，a2－3a,0}，若A，B相等，則實數(shù)a＝________.1[由集合相等的概念得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－1＝0，,a2－3a＝－2，))解得a＝1.]8．設(shè)－5∈{x|x2－ax－5＝0}，則集合{x|x2＋ax＋3＝0}＝________.{1,3}[由題意知，－5是方程x2－ax－5＝0的一個根，所以(－5)2＋5a－5＝0，得a＝－4，則方程x2＋ax＋3＝0，即x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3，所以{x|x2－4x＋3＝0}＝{1,3}．]三、解答題9．選擇適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?1)由方程x(x2－2x－3)＝0的所有實數(shù)根組成的集合；(2)大于2且小于6的有理數(shù)；(3)由直線y＝－x＋4上的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都是自然數(shù)的點組成的集合．[解](1)方程的實數(shù)根為－1,0,3，故可以用列舉法表示為{－1,0,3}，當(dāng)然也可以用描述法表示為{x|x(x2－2x－3)＝0}．(2)由于大于2且小于6的有理數(shù)有無數(shù)個，故不能用列舉法表示該集合，但可以用描述法表示該集合為{x∈Q|2<x<6}．(3)用描述法表示該集合為M＝{(x，y)|y＝－x＋4，x∈N，y∈N}；或用列舉法表示該集合為{(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)}．10．已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈Z\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4,3－x)∈Z)))).(1)用列舉法表示集合A；(2)求集合A的所有元素之和．[解](1)由eq\f(4,3－x)∈Z，得3－x＝±1，±2，±4.解得x＝－1,1,2,4,5,7.又∵x∈Z，∴A＝{－1,1,2,4,5,7}．(2)由(1)得集合A中的所有元素之和為－1＋1＋2＋4＋5＋7＝18.[等級過關(guān)練]1．設(shè)集合A＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，若a＝5，則有()A．a(chǎn)∈A B．－a?AC．{a}∈A D．{a}?AA[由題意，當(dāng)k＝2時，x＝5，所以a∈A.當(dāng)k＝－3時，x＝－5，所以－a∈A.故選A.]2．設(shè)集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，則M中的元素的個數(shù)為()A．3B．4C．5 D．6B[當(dāng)a＝1，b＝4時，x＝5；當(dāng)a＝1，b＝5時，x＝6；當(dāng)a＝2，b＝4時，x＝6；當(dāng)a＝2，b＝5時，x＝7；當(dāng)a＝3，b＝4時，x＝7；當(dāng)a＝3，b＝5時，x＝8.由集合元素的互異性知M中共有4個元素．]3．已知集合A＝{－1,0,1}，集合B＝{y|y＝|x|，x∈A}，則B＝________.{0,1}[∵x∈A，∴當(dāng)x＝－1時，y＝|x|＝1；當(dāng)x＝0時，y＝|x|＝0；當(dāng)x＝1時，y＝|x|＝1.]4．已知集合A＝{a－2,2a2＋5a,10}，若－3∈A，則a＝______.－eq\f(3,2)[因為－3∈A，所以a－2＝－3或2a2＋5a＝－3，當(dāng)a－2＝－3時，a＝－1，此時2a2＋5a＝－3，與元素的互異性不符，所以a≠－1.當(dāng)2a2＋5a＝－3時，即2a2＋5a＋3＝0，解得a＝－1或a＝－eq\f(3,2).顯然a＝－1不合題意．當(dāng)a＝－eq\f(3,2)時，a－2＝－eq\f(7,2)，滿足互異性．綜上，a＝－eq\f(3,2).]5．已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}．(1)若集合A中只有一個元素，求實數(shù)a的值；(2)若集合A中至少有一個元素，求實數(shù)a的取值范圍；(3)若集合A中至多有一個元素，求實數(shù)a的取值范圍．[解](1)當(dāng)a＝0時，原方程可化為－3x＋2＝0，得x＝eq\f(2,3)，符合題意．當(dāng)a≠0時，方程ax2－3x＋2＝0為一元二次方程，由題意得，Δ＝9－8a＝0，得a＝eq\f(9,8).所以當(dāng)a＝0或a＝eq\f(9,8)時，集合A中只有一個元素．(2)由題意得，當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≠0，,Δ＝9－8a>0，))即a<eq\f(9,8)且a≠0時方程有兩個實根，又由(1)知，當(dāng)a＝0或a＝eq\f(9,8)時方程有一個實根．所以a的取值范圍是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤\f(9,8))))).(3)由(1)知，當(dāng)a＝0或a＝eq\f(9,8)時，集合A中只有一個元素．當(dāng)集合A中沒有元素，即A＝?時，由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≠0，,Δ＝9－8a<0，))解得a>eq\f(9,8).綜上得，當(dāng)a≥eq\f(9,8)或a＝0時，集合A中至多有一個元素.課時分層作業(yè)(三)集合間的基本關(guān)系(建議用時：60分鐘)[合格基礎(chǔ)練]一、選擇題1．已知集合A＝{－1,0,1}，則含有元素0的A的子集的個數(shù)為()A．2 B．4C．6 D．8B[根據(jù)題意，含有元素0的A的子集為{0}，{0,1}，{0，－1}，{－1,0,1}，共4個．]2．已知集合A＝{2，－1}，集合B＝{m2－m，－1}，且A＝B，則實數(shù)m等于()A．2B．－1C．2或－1 D．4C[∵A＝B，∴m2－m＝2，∴m＝2或m＝－1.]3．若x，y∈R，A＝{(x，y)|y＝x}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x，y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y,x)＝1))))，則集合A，B間的關(guān)系為()A．AB B．ABC．A＝B D．A?BB[∵B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x，y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y,x)＝1))))＝{(x，y)|y＝x，且x≠0}，∴BA.]4．已知集合B＝{－1,1,4}，滿足條件?M?B的集合M的個數(shù)為()A．3B．6C．7 D．8C[由題意可知集合M是集合B的非空子集，集合B中有3個元素，因此非空子集有7個，選C.]5．①0∈{0}；②?{0}；③{0,1}?{(0,1)}；④{(a，b)}＝{(b，a)}．上面關(guān)系中正確的個數(shù)為()A．1B．2C．3 D．4B[①正確，0是集合{0}的元素；②正確，?是任何非空集合的真子集；③錯誤，集合{0,1}含兩個元素0,1，而{(0,1)}含一個元素點(0,1)，所以這兩個集合沒關(guān)系；④錯誤，集合{(a，b)}含一個元素點(a，b)，集合{(b，a)}含一個元素點(b，a)，這兩個元素不同，所以集合不相等．故選B.]二、填空題6．設(shè)A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，若AB，則實數(shù)a的取值范圍是________．{a|a≥2}[如圖，因為AB，所以a≥2，即a的取值范圍是{a|a≥2}．]7．集合{(1,2)，(－3,4)}的所有非空真子集是________．{(1,2)}，{(－3,4)}[{(1,2)，(－3,4)}的所有真子集有?，{(1,2)}，{(－3,4)}，其非空真子集是{(1,2)}，{(－3,4)}．]8．設(shè)a，b∈R，集合A＝{1，a}，B＝{x|x(x－a)(x－b)＝0}，若A＝B，則a＝________，b＝________.01[A＝{1，a}，解方程x(x－a)(x－b)＝0，得x＝0或a或b，若A＝B，則a＝0，b＝1.]三、解答題9．設(shè)A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}．(1)若a＝eq\f(1,5)，試判定集合A與B的關(guān)系；(2)若B?A，求實數(shù)a組成的集合C.[解](1)A＝{x|x2－8x＋15＝0}＝{5,3}，a＝eq\f(1,5)時，B＝{5}，元素5是集合A＝{5,3}中的元素，集合A＝{5,3}中除元素5外，還有元素3,3在集合B中沒有，所以BA.(2)當(dāng)a＝0時，由題意B＝?，又A＝{3,5}，故B?A；當(dāng)a≠0時，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))，又A＝{3,5}，B?A，此時eq\f(1,a)＝3或5，則有a＝eq\f(1,3)或a＝eq\f(1,5).所以C＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)，\f(1,5))).10．已知集合A＝{x|x<－1，或x>4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B?A，求實數(shù)a的取值范圍．[解](1)當(dāng)B＝?時，2a>a＋3，即a>3.顯然滿足題意．(2)當(dāng)B≠?時，根據(jù)題意作出如圖所示的數(shù)軸，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋3≥2a，,a＋3<－1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋3≥2a，,2a>4，))解得a<－4或2<a≤3.綜上可得，實數(shù)a的取值范圍為{a|a<－4，或a>2}．[等級過關(guān)練]1．集合eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，a，\f(b,a)))＝{0，a2，a＋b}，則a2017＋b2018的值為()A．0B．1C．－1 D．±1C[∵eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，a，\f(b,a)))＝{0，a2，a＋b}，又a≠0，∴eq\f(b,a)＝0，∴b＝0.∴a2＝1，∴a＝±1.又a≠1，∴a＝－1，∴a2017＋b2018＝(－1)2017＋02018＝－1.]2．若集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(k,2)＋\f(1,4)，k∈Z))))，集合N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(k,4)＋\f(1,2)，k∈Z))))，則()A．M＝N B．N?MC．MN D．以上均不對C[M＝xeq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(k,2)))＋eq\f(1,4)，k∈Z＝xeq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2k＋1,4)))，k∈Z.N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(k,4)＋\f(1,2)，k∈Z))))＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(k＋2,4)，k∈Z)))).又2k＋1，k∈Z為奇數(shù)，k＋2，k∈Z為整數(shù)，所以MN.]3．已知集合P＝{x|x2＝1}，集合Q＝{x|ax＝1}，若Q?P，那么a的取值是________．0或±1[由題意得P＝{－1,1}，又因為Q?P，①若Q＝?，則a＝0，此時滿足Q?P；②若Q≠?，則Q＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,a)))))，由題意知，eq\f(1,a)＝1或eq\f(1,a)＝－1，解得a＝±1.綜上可知，a的取值是0或±1.]4．集合A＝{x|(a－1)x2＋3x－2＝0}有且僅有兩個子集，則a的取值為________．1或－eq\f(1,8)[由集合有兩個子集可知，該集合是單元素集，當(dāng)a＝1時，滿足題意．當(dāng)a≠1時，由Δ＝9＋8(a－1)＝0可得a＝－eq\f(1,8).]5．設(shè)集合A＝{x|－1≤x＋1≤6}，B＝{x|m－1<x<2m＋1}．(1)當(dāng)x∈Z時，求A的非空真子集的個數(shù)；(2)若A?B，求m的取值范圍．[解]化簡集合A得A＝{x|－2≤x≤5}．(1)∵x∈Z，∴A＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，即A中含有8個元素，∴A的非空真子集個數(shù)為28－2＝254(個)．(2)①當(dāng)m－1≥2m＋1，即m≤－2時，B＝??A；②當(dāng)m>－2時，B＝{x|m－1<x<2m＋1}，因此，要B?A，則只要eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－1≥－2，,2m＋1≤5，))即－1≤m≤2.綜上所述，知m的取值范圍是{m|－1≤m≤2或m≤－2}．課時分層作業(yè)(四)并集與交集(建議用時：60分鐘)[合格基礎(chǔ)練]一、選擇題1．設(shè)集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，則A∪B＝()A．{1,2,3,4} B．{1,2,3}C．{2,3,4} D．{1,3,4}A[∵A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，∴A∪B＝{1,2,3,4}．故選A.]2．已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{2,4,6,8}，則A∩B中元素的個數(shù)為()A．1B．2C．3D．4B[∵A＝{1,2,3,4}，B＝{2,4,6,8}，∴A∩B＝{2,4}．∴A∩B中元素的個數(shù)為2.故選B.]3．已知集合A＝{x|x＋1<0}，B＝{x|x－3<0}，那么集合A∪B等于()A．{x|－1≤x<3} B．{x|x<3}C．{x|x<－1} D．{x|x>3}B[A＝{x|x＋1<0}＝{x|x<－1}，B＝{x|x－3<0}＝{x|x<3}．∴A∪B＝{x|x<3}，選B.]4．已知集合A＝{1,3}，B＝{1,2，m}，若A∩B＝{1,3}，則A∪B＝()A．{1,2} B．{1,3}C．{1,2,3} D．{2,3}C[∵A∩B＝{1,3}，∴3∈B，∴m＝3，∴B＝{1,2,3}，∴A∪B＝{1,2,3}．]5．設(shè)集合A＝{(x，y)|y＝ax＋1}，B＝{(x，y)|y＝x＋b}，且A∩B＝{(2,5)}，則()A．a(chǎn)＝3，b＝2 B．a(chǎn)＝2，b＝3C．a(chǎn)＝－3，b＝－2 D．a(chǎn)＝－2，b＝－3B[∵A∩B＝{(2,5)}，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5＝2a＋1，,5＝2＋b，))解得a＝2，b＝3，故選B.]二、填空題6．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{y|y＝2x－1，x∈A}，則A∩B＝________.{1,3}[A∩B＝{1,2,3}∩{y|y＝2x－1，x∈A}＝{1,2,3}∩{1,3,5}＝{1,3}．]7．若集合A＝{x|－1<x<5}，B＝{x|x≤1，或x≥4}，則A∪B＝________，A∩B＝________.R{x|－1<x≤1，或4≤x<5}[借助數(shù)軸可知：A∪B＝R，A∩B＝{x|－1<x≤1，或4≤x<5}．]8．某班共30人，其中15人喜愛籃球運動，10人喜愛乒乓球運動，8人對這兩項運動都不喜愛，則喜愛籃球運動但不喜愛乒乓球運動的人數(shù)為________．12[設(shè)所求人數(shù)為x，則x＋10＝30－8?x＝12.]三、解答題9．已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－x>0，,3x＋6>0))))))，集合B＝{x|2x－1<3}，求A∩B，A∪B.[解]解不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－x>0，,3x＋6>0，))得－2<x<3，即A＝{x|－2<x<3}．解不等式2x－1<3，得x<2，即B＝{x|x<2}，在數(shù)軸上分別表示集合A，B，如圖所示．則A∩B＝{x|－2<x<2}，A∪B＝{x|x<3}．10．已知集合A＝{x|－2<x<4}，B＝{x|x－m<0}．(1)若A∩B＝?，求實數(shù)m的取值范圍；(2)若A∪B＝B，求實數(shù)m的取值范圍．[解](1)∵A＝{x|－2<x<4}，B＝{x|x<m}，又A∩B＝?，∴m≤－2.(2)∵A＝{x|－2<x<4}，B＝{x|x<m}，由A∪B＝B，得A?B，∴m≥4.[等級過關(guān)練]1．若集合A＝{0,1,2，x}，B＝{1，x2}，A∪B＝A，則滿足條件的實數(shù)x有()A．1個 B．2個C．3個 D．4個B[∵A∪B＝A，∴B?A.∵A＝{0,1,2，x}，B＝{1，x2}，∴x2＝0或x2＝2或x2＝x，解得x＝0或eq\r(2)或－eq\r(2)或1.經(jīng)檢驗，當(dāng)x＝eq\r(2)或－eq\r(2)時滿足題意，故選B.]2．已知集合A＝{1,2}，B＝{x|mx－1＝0}，若A∩B＝B，則符合條件的實數(shù)m的值組成的集合為()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2))) B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，0，\f(1,2))) D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，－\f(1,2)))C[當(dāng)m＝0時，B＝?，A∩B＝B；當(dāng)m≠0時，x＝eq\f(1,m)，要使A∩B＝B，則eq\f(1,m)＝1或eq\f(1,m)＝2，即m＝1或m＝eq\f(1,2).]3．已知集合A＝{x|x≥5}，集合B＝{x|x≤m}，且A∩B＝{x|5≤x≤6}，則實數(shù)m＝________.6[用數(shù)軸表示集合A，B如圖所示．由A∩B＝{x|5≤x≤6}，得m＝6.]4．設(shè)S＝{x|x<－1或x>5}，T＝{x|a<x<a＋8}，若S∪T＝R，則實數(shù)a應(yīng)滿足________．－3<a<－1[在數(shù)軸上表示集合S，T如圖所示．因為S∪T＝R，由數(shù)軸可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<－1，,a＋8>5，))解得－3<a<－1.]5．已知A＝{x|x>a}，B＝{x|－2<x<2}，求A∪B，A∩B.[解]如圖所示．當(dāng)a<－2時，A∪B＝{x|x>a}，A∩B＝{x|－2<x<2}；當(dāng)－2≤a<2時，A∪B＝{x|x>－2}，A∩B＝{x|a<x<2}；當(dāng)a≥2時，A∪B＝{x|－2<x<2，或x>a}，A∩B＝?.課時分層作業(yè)(五)補集(建議用時：60分鐘)[合格基礎(chǔ)練]一、選擇題1．若全集U＝{0,1,2,3}且?UA＝{2}，則集合A的真子集共有()A．3個 B．5個C．7個 D．8個C[A＝{0,1,3}，真子集有23－1＝7個．]2．已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，則集合?U(A∪B)＝()A．{x|x≥0} B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1} D．{x|0<x<1}D[由題意可知，A∪B＝{x|x≤0，或x≥1}，所以?U(A∪B)＝{x|0＜x＜1}．]3．已知集合A，B均為全集U＝{1,2,3,4}的子集，且?U(A∪B)＝{4}，B＝{1,2}，則A∩?UB等于()A．{3}B．{4}C．{3,4}D．?A[∵U＝{1,2,3,4}，?U(A∪B)＝{4}，∴A∪B＝{1,2,3}．又∵B＝{1,2}，∴{3}?A?{1,2,3}．又?UB＝{3,4}，∴A∩?UB＝{3}．]4．設(shè)全集U為實數(shù)集R，M＝{x|x>2或x<－2}，N＝{x|x≥3或x<1}都是全集U的子集，則圖中陰影部分所表示的集合是()A．{x|－2≤x<1} B．{x|－2≤x≤2}C．{x|1<x≤2} D．{x|x<2}A[陰影部分表示的集合為N∩(?UM)＝{x|－2≤x<1}，故選A.]5．已知M，N為集合I的非空真子集，且M，N不相等，若N∩?IM＝?，則M∪N等于()A．MB．NC．I D．?A[因為N∩?IM＝?，所以N?M(如圖)，所以M∪N＝M.]二、填空題6．設(shè)全集U＝R，A＝{x|x<1}，B＝{x|x>m}，若?UA?B，則實數(shù)m的取值范圍是________．{m|m<1}[∵?UA＝{x|x≥1}，B＝{x|x>m}，∴由?UA?B可知m<1.]7．已知集合A＝{x|－2≤x<3}，B＝{x|x<－1}，則A∩(?RB)＝________.{x|－1≤x<3}[∵A＝{x|－2≤x<3}，B＝{x|x<－1}，∴?RB＝{x|x≥－1}，∴A∩(?RB)＝{x|－1≤x<3}．]8．設(shè)全集U＝R，則下列集合運算結(jié)果為R的是________．(填序號)①Z∪?UN；②N∩?UN；③?U(?U?)；④?UQ.①[結(jié)合常用數(shù)集的定義及交、并、補集的運算，可知Z∪?UN＝R，故填①.]三、解答題9．已知U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{3,4,5}，B＝{4,7,8}，求A∩B，A∪B，(?UA)∩(?UB)，A∩(?UB)，(?UA)∪B.[解]法一(直接法)：由已知易求得A∩B＝{4}，A∪B＝{3,4,5,7,8}，?UA＝{1,2,6,7,8}，?UB＝{1,2,3,5,6}，∴(?UA)∩(?UB)＝{1,2,6}，A∩(?UB)＝{3,5}，(?UA)∪B＝{1,2,4,6,7,8}．法二(Venn圖法)：畫出Venn圖，如圖所示，可得A∩B＝{4}，A∪B＝{3,4,5,7,8}，(?UA)∩(?UB)＝{1,2,6}，A∩(?UB)＝{3,5}，(?UA)∪B＝{1,2,4,6,7,8}．10．已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，(?UA)∪B，A∩(?UB)，?U(A∪B)．[解]如圖所示．∵A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，U＝{x|x≤4}，∴?UA＝{x|x≤－2，或3≤x≤4}，?UB＝{x|x<－3，或2<x≤4}．A∩B＝{x|－2<x≤2}，A∪B＝{x|－3≤x<3}．故(?UA)∪B＝{x|x≤2，或3≤x≤4}，A∩(?UB)＝{x|2<x<3}，?U(A∪B)＝{x|x<－3，或3≤x≤4}．[等級過關(guān)練]1．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{3,4,5}，B＝{1,3,6}，那么集合{2,7}是()A．A∪B B．A∩BC．?U(A∩B) D．?U(A∪B)D[∵A∪B＝{1,3,4,5,6}，∴?U(A∪B)＝{2,7}．]2．已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，且A∪(?RB)＝R，則實數(shù)a的取值范圍是()A．{a|a≤1} B．{a|a<1}C．{a|a≥2} D．{a|a>2}C[由于A∪(?RB)＝R，則B?A，可知a≥2.故選C.]3．設(shè)全集U是實數(shù)集R，M＝{x|x<－2，或x>2}，N＝{x|1≤x≤3}．如圖所示，則陰影部分所表示的集合為________．{x|－2≤x<1}[陰影部分所表示的集合為?U(M∪N)＝(?UM)∩(?UN)＝{x|－2≤x≤2}∩{x|x<1或x>3}＝{x|－2≤x<1}．]4．設(shè)全集U＝{1,2，x2－2}，A＝{1，x}，則?UA＝________.{2}[若x＝2，則x2－2＝2，與集合中元素的互異性矛盾，故x≠2，從而x＝x2－2，解得x＝－1或x＝2(舍去)．故U＝{1,2，－1}，A＝{1，－1}，則?UA＝{2}．]5．已知全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤2}，若B∪(?UA)＝R，B∩(?UA)＝{x|0<x<1或2<x<3}，求集合B.[解]∵A＝{x|1≤x≤2}，∴?UA＝{x|x<1或x>2}．又B∪(?UA)＝R，A∪(?UA)＝R，可得A?B.而B∩(?UA)＝{x|0<x<1或2<x<3}，∴{x|0<x<1或2<x<3}?B.借助于數(shù)軸可得B＝A∪{x|0<x<1或2<x<3}＝{x|0<x<3}．課時分層作業(yè)(六)充分條件與必要條件(建議用時：60分鐘)[合格基礎(chǔ)練]一、選擇題1．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，則“a＝3”是“A?B”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件A[∵A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，A?B，∴a∈B且a≠1，∴a＝2或3，∴“a＝3”是“A?B”的充分不必要條件．]2．“x2－4x－5＝0”是“x＝5”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件B[由x2－4x－5＝0得x＝5或x＝－1，則當(dāng)x＝5時，x2－4x－5＝0成立，但x2－4x－5＝0時，x＝5不一定成立，故選B.]3．下列條件中，是x2<4的必要不充分條件的是()A．－2≤x≤2 B．－2<x<0C．0<x≤2 D．1<x<3A[由x2<4得－2<x<2，必要不充分條件的x的范圍真包含{x|－2<x<2}，故選A.]4．“|x|＝|y|”是“x＝y(tǒng)”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件B[若x＝1，y＝－1，則|x|＝|y|，但x≠y；而x＝y(tǒng)?|x|＝|y|，故選B.]5．a(chǎn)<0，b<0的一個必要條件為()A．a(chǎn)＋b<0 B．a(chǎn)－b>0C.eq\f(a,b)>1 D.eq\f(a,b)<－1A[a＋b<0a<0，b<0，而a<0，b<0?a＋b<0.故選A.]二、填空題6．已知△ABC，△A1B1C1，兩三角形對應(yīng)角相等是△ABC≌△A1B1C1的________條件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)必要不充分[由兩三角形對應(yīng)角相等△ABC≌△A1B1C1；反之由△ABC≌△A1B1C1?∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1.]7．已知a，b是實數(shù)，則“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的______條件．充要[因為a>0，b>0，所以a＋b>0，ab>0，所以充分性成立；因為ab>0，所以a與b同號，又a＋b>0，所以a>0且b>0，所以必要性成立．故“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的充要條件．]8．條件p：1－x<0，條件q：x>a，若p是q的充分條件，則a的取值范圍是__________．{a|a≤1}[p：x>1，若p是q的充分條件，則p?q，即p對應(yīng)集合是q對應(yīng)集合的子集，故a≤1.]三、解答題9．指出下列各組命題中，p是q的什么條件：(1)在△ABC中，p：A>B，q：BC>AC；(2)p：a＝3，q：(a＋2)(a－3)＝0；(3)p：a<b，q：eq\f(a,b)<1.[解]在(1)中，由大角對大邊，且A>B知BC>AC，反之也正確，所以p是q的充要條件；在(2)中，若a＝3，則(a＋2)(a－3)＝0，但(a＋2)(a－3)＝0不一定a＝3，所以p是q的充分條件但不是必要條件；在(3)中，若a<b<0，則推不出eq\f(a,b)<1，反之若eq\f(a,b)<1，當(dāng)b<0時，也推不出a<b，所以p既不是q的充分條件，也不是必要條件．10．(1)是否存在實數(shù)m，使2x＋m<0是x＜－1或x>3的充分條件？(2)是否存在實數(shù)m，使2x＋m<0是x＜－1或x>3的必要條件？[解](1)欲使2x＋m<0是x＜－1或x>3的充分條件，則只要eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＜－\f(m,2)))))?{x|x<－1或x>3}，即只需－eq\f(m,2)≤－1，所以m≥2.故存在實數(shù)m≥2，使2x＋m<0是x＜－1或x>3的充分條件．(2)欲使2x＋m<0是x＜－1或x>3的必要條件，則只要{x|x<－1或x>3}?eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＜－\f(m,2)))))，這是不可能的．故不存在實數(shù)m，使2x＋m<0是x＜－1或x>3的必要條件．[等級過關(guān)練]1．設(shè)甲、乙、丙是三個命題，如果甲是乙的必要條件，丙是乙的充分條件但不是乙的必要條件，那么()A．丙是甲的充分條件，但不是甲的必要條件B．丙是甲的必要條件，但不是甲的充分條件C．丙既不是甲的充分條件，也不是甲的必要條件D．無法判斷A[因為甲是乙的必要條件，所以乙?甲．又因為丙是乙的充分條件，但不是乙的必要條件，所以丙?乙，但乙丙，如圖．綜上，有丙?甲，但甲丙，即丙是甲的充分條件，但不是甲的必要條件．]2．若非空集合A，B，C滿足A∪B＝C，且B不是A的子集，則()A．“x∈C”是“x∈A”的充分條件但不是必要條件B．“x∈C”是“x∈A”的必要條件但不是充分條件C．“x∈C”是“x∈A”的充要條件D．“x∈C”既不是“x∈A”的充分條件也不是“x∈A”的必要條件B[由A∪B＝C知，x∈A?x∈C，x∈Cx∈A.所以x∈C是x∈A的必要不充分條件．]3．若p：x－3<0是q：2x－3<m的充分不必要條件，則實數(shù)m的取值范圍是________．{m|m＞3}[由x－3<0得x<3，由2x－3<m得x<eq\f(1,2)(m＋3)，由p是q的充分不必要條件知{x|x<3}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<\f(1,2)m＋3))))，所以eq\f(1,2)(m＋3)＞3，解得m＞3.]4．設(shè)p：eq\f(1,2)≤x≤1；q：a≤x≤a＋1，若p是q的充分條件，則實數(shù)a的取值范圍是________．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤a≤\f(1,2)))))[因為q：a≤x≤a＋1，p是q的充分條件，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤\f(1,2)，,a＋1≥1，))解得0≤a≤eq\f(1,2).]5．求關(guān)于x的方程ax2＋x＋1＝0至少有一個負(fù)實根的充要條件．[解]①當(dāng)a＝0時，解得x＝－1，滿足條件；②當(dāng)a≠0時，顯然方程沒有零根，若方程有兩異號實根，則a＜0；若方程有兩個負(fù)的實根，則必須滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＞0，,－\f(1,a)＜0，,Δ＝1－4a≥0，))即0＜a≤eq\f(1,4).綜上，若方程至少有一個負(fù)的實根，則a≤eq\f(1,4).反之，若a≤eq\f(1,4)，則方程至少有一個負(fù)的實根．因此，關(guān)于x的方程ax2＋x＋1＝0至少有一個負(fù)實根的充要條件是a≤eq\f(1,4).課時分層作業(yè)(七)全稱量詞與存在量詞(建議用時：60分鐘)[合格基礎(chǔ)練]一、選擇題1．下列命題是“?x∈R，x2＞3”的另一種表述方式的是()A．有一個x∈R，使得x2＞3B．對有些x∈R，使得x2＞3C．任選一個x∈R，使得x2＞3D．至少有一個x∈R，使得x2＞3C[“?”和“任選一個”都是全稱量詞．]2．下列命題中的假命題是()A．?x∈R，|x|＝0B．?x∈R,2x－10＝1C．?x∈R，x3>0D．?x∈R，x2＋1>0C[當(dāng)x＝0時，x3＝0，故選項C為假命題．]3．下列命題中是存在量詞命題的是()A．?x∈R，x2＞0B．?x∈R，x2≤0C．平行四邊形的對邊平行D．矩形的任一組對邊相等B[A含有全稱量詞?，為全稱量詞命題，B含有存在量詞?，為存在量詞命題，滿足條件．C省略了全稱量詞所有，為全稱量詞命題，D省略了全稱量詞所有，為全稱量詞命題，故選B.]4．以下四個命題既是存在量詞命題又是真命題的是()A．銳角三角形的內(nèi)角是銳角或鈍角B．至少有一個實數(shù)x，使x2≤0C．兩個無理數(shù)的和必是無理數(shù)D．存在一個負(fù)數(shù)x，使eq\f(1,x)>2B[A中銳角三角形的內(nèi)角是銳角或鈍角是全稱量詞命題；B中x＝0時，x2＝0，所以B既是存在量詞命題又是真命題；C中因為eq\r(3)＋(－eq\r(3))＝0，所以C是假命題；D中對于任一個負(fù)數(shù)x，都有eq\f(1,x)<0，所以D是假命題．]5．命題“存在實數(shù)x，使x＞1”的否定是()A．對任意實數(shù)x，都有x＞1B．不存在實數(shù)x，使x≤1C．對任意實數(shù)x，都有x≤1D．存在實數(shù)x，使x≤1C[利用存在量詞命題的否定是全稱量詞命題求解．“存在實數(shù)x，使x＞1”的否定是“對任意實數(shù)x，都有x≤1”．故選C.]二、填空題6．命題“存在實數(shù)x，y，使得x＋y＞1”是________(填“全稱量詞命題”或“存在量詞命題”)，用符號表示為________．存在量詞命題?x，y∈R，x＋y＞1[命題“存在實數(shù)x，y，使得x＋y＞1”是存在量詞命題，用符號表示為：“?x，y∈R，x＋y＞1”．]7．命題“任意一個x∈R，都有x2－2x＋4≤0”的否定是______．存在一個x∈R，使得x2－2x＋4＞0[原命題為全稱量詞命題，其否定為存在量詞命題，既要否定量詞又要否定結(jié)論，所以其否定為：存在一個x∈R，使得x2－2x＋4＞0.]8．若“?x∈R，x2＋4x≥m”是真命題，則實數(shù)m的取值范圍為________．{m|m≤－4}[由題意，y＝x2＋4x＝(x＋2)2－4的最小值為－4，所以m≤－4.]三、解答題9．判斷下列命題的真假，并寫出這些命題的否定：(1)三角形的內(nèi)角和為180°；(2)每個二次函數(shù)的圖象都開口向下；(3)存在一個四邊形不是平行四邊形．[解](1)是全稱量詞命題且為真命題．命題的否定：三角形的內(nèi)角和不全為180°，即存在一個三角形的內(nèi)角和不等于180°.(2)是全稱量詞命題且為假命題．命題的否定：存在一個二次函數(shù)的圖象開口不向下．(3)是存在量詞命題且為真命題．命題的否定：所有的四邊形都是平行四邊形．10．寫出下列命題的否定，并判斷其真假：(1)p：?m∈R，方程x2＋x－m＝0必有實根；(2)q：有些梯形的對角線相等．[解](1)﹁p：?m∈R，方程x2＋x－m＝0無實數(shù)根．由于當(dāng)m＝－1時，方程x2＋x－m＝0的根的判別式Δ＜0，∴方程x2＋x－m＝0無實數(shù)根，故其是真命題．(2)﹁q：?x∈{梯形}，x的對角線不相等，如等腰梯形對角線相等，故其是假命題．[等級過關(guān)練]1．下列命題中正確的個數(shù)是()①?x∈R，x≤0；②至少有一個整數(shù)，它既不是合數(shù)也不是質(zhì)數(shù)；③?x∈{x|x是無理數(shù)}，x2是無理數(shù)．A．0B．1C．2 D．3D[①?x∈R，x≤0，正確；②至少有一個整數(shù)，它既不是合數(shù)也不是質(zhì)數(shù)，正確，例如數(shù)1滿足條件；③?x∈{x|x是無理數(shù)}，x2是無理數(shù)，正確，例如x＝π.綜上可得①②③都正確．故選D.]2．下列命題的否定是真命題的為()A．p1每一個合數(shù)都是偶數(shù)B．p2兩條平行線被第三條直線所截內(nèi)錯角相等C．p3有些實數(shù)的絕對值是正數(shù)D．p4某些平行四邊形是菱形A[若判斷某命題的否定的真假，只要判斷出原命題的真假即可得解，它們的真假性始終相反．因p1為全稱量詞命題，且是假命題，則﹁p1是真命題．命題p2，p3，p4均為真命題，即﹁p2，﹁p3，﹁p4均為假命題．]3．命題“?x＞0，都有x2－x＋3≤0”的否定是________．?x＞0，使得x2－x＋3＞0[命題“?x＞0，都有x2－x＋3≤0”的否定是：?x＞0，使得x2－x＋3＞0.]4．已知命題p：存在x∈R，x2＋2x＋a＝0.若命題p是真命題，則實數(shù)a的取值范圍是________．{a|a≤1}[存在x∈R，x2＋2x＋a＝0為真命題，∴Δ＝4－4a≥0，∴a≤1.]5．寫出下列命題的否定，并判斷其真假．(1)p：每一個素數(shù)都是奇數(shù)；(2)p：某些平行四邊形是菱形；(3)可以被5整除的數(shù)，末位是0；(4)能被3整除的數(shù)，也能被4整除．[解](1)由于全稱量詞“每一個”的否定為“存在一個”，因此，﹁p：存在一個素數(shù)不是奇數(shù)，是真命題．(2)由于存在量詞“某些”的否定為“每一個”，因此，﹁p：每一個平行四邊形都不是菱形，是假命題．(3)省略了全稱量詞“任何一個”，命題的否定為：有些可以被5整除的數(shù)，末位不是0，是真命題．(4)省略了全稱量詞“所有”，命題的否定為：存在一個能被3整除的數(shù)，不能被4整除，是真命題.課時分層作業(yè)(八)不等關(guān)系與不等式(建議用時：60分鐘)[合格基礎(chǔ)練]一、選擇題1．下列說法正確的是()A．某人月收入x不高于2000元可表示為“x＜2000”．B．小明的身高xcm，小華的身高ycm，則小明比小華矮表示為“x＞y”．C．某變量x至少是a可表示為“x≥a”．D．某變量y不超過a可表示為“y≥a”．C[對于A，x應(yīng)滿足x≤2000，故A錯；對于B，x，y應(yīng)滿足x＜y，故B不正確；C正確；對于D，y與a的關(guān)系可表示為y≤a，故D錯誤．]2．設(shè)a＝3x2－x＋1，b＝2x2＋x，x∈R，則()A．a(chǎn)＞b B．a(chǎn)＜bC．a(chǎn)≥b D．a(chǎn)≤bC[∵a－b＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，∴a≥b.]3．若a≠2且b≠－1，則M＝a2＋b2－4a＋2b的值與－5的大小關(guān)系是()A．M＞－5 B．M＜－5C．M＝－5 D．不能確定A[M＝(a－2)2＋(b＋1)2－5＞－5.故選A.]4．b克糖水中有a克糖(b＞a＞0)，若再添上m克糖(m＞0)，則糖水變甜了，根據(jù)這個事實提煉的一個不等式為()A.eq\f(a＋m,b＋m)＜eq\f(a,b) B.eq\f(a＋m,b＋m)＞eq\f(a,b)C.eq\f(a－m,b－m)＜eq\f(a,b) D.eq\f(a－m,b－m)＞eq\f(a,b)B[糖水變甜了，說明糖水中糖的濃度增加了，故eq\f(a＋m,b＋m)＞eq\f(a,b).]5．已知c＞1，且x＝eq\r(c＋1)－eq\r(c)，y＝eq\r(c)－eq\r(c－1)，則x，y之間的大小關(guān)系是()A．x＞y B．x＝y(tǒng)C．x＜y D．x，y的關(guān)系隨c而定C[用作商法比較，由題意x，y＞0，∵eq\f(x,y)＝eq\f(\r(c＋1)－\r(c),\r(c)－\r(c－1))＝eq\f(\r(c)＋\r(c－1),\r(c＋1)＋\r(c))＜1，∴x＜y.]二、填空題6．已知a，b為實數(shù)，則(a＋3)(a－5)________(a＋2)(a－4)．(填“>”“<”或“＝”)<[因為(a＋3)(a－5)－(a＋2)(a－4)＝(a2－2a－15)－(a2－2a－8)＝－7<0，所以(a＋3)(a－5)<(a＋2)(a－4)．]7．一輛汽車原來每天行駛xkm，如果該汽車每天行駛的路程比原來多19km，那么在8天內(nèi)它的行程將超過2200km，用不等式表示為________．8(x＋19)>2200[因為該汽車每天行駛的路程比原來多19km，所以汽車每天行駛的路程為(x＋19)km，則在8天內(nèi)它的行程為8(x＋19)km，因此，不等關(guān)系“在8天內(nèi)它的行程將超過2200km”可以用不等式8(x＋19)>2200來表示．]8．當(dāng)m>1時，m3與m2－m＋1的大小關(guān)系為________．m3>m2－m＋1[∵m3－(m2－m＋1)＝m3－m2＋m－1＝m2(m－1)＋(m－1)＝(m－1)(m2＋1)．又∵m>1，故(m－1)(m2＋1)>0.]三、解答題9．有糧食和石油兩種物資，可用輪船與飛機(jī)兩種方式運輸，每天每艘輪船和每架飛機(jī)運輸效果如下表：效果方式種類輪船運輸量/t飛機(jī)運輸量/t糧食300150石油250100現(xiàn)在要在一天內(nèi)至少運輸2000t糧食和1500t石油．寫出安排輪船艘數(shù)和飛機(jī)架數(shù)所滿足的所有不等關(guān)系的不等式．[解]設(shè)需要安排x艘輪船和y架飛機(jī)．則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(300x＋150y≥2000，,250x＋100y≥1500，,x∈N，,y∈N，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(6x＋3y≥40，,5x＋2y≥30，,x∈N，,y∈N.))10．x∈R且x≠－1，比較eq\f(1,1＋x)與1－x的大小．[解]∵eq\f(1,1＋x)－(1－x)＝eq\f(1－1－x2,1＋x)＝eq\f(x2,1＋x)，當(dāng)x＝0時，eq\f(1,1＋x)＝1－x；當(dāng)1＋x＜0，即x＜－1時，eq\f(x2,1＋x)＜0，∴eq\f(1,1＋x)＜1－x；當(dāng)1＋x＞0且x≠0，即－1＜x＜0或x＞0時，eq\f(x2,1＋x)＞0，∴eq\f(1,1＋x)＞1－x.[等級過關(guān)練]1．足球賽期間，某球迷俱樂部一行56人從旅館乘出租車到球場為中國隊加油，現(xiàn)有A、B兩個出租車隊，A隊比B隊少3輛車．若全部安排乘A隊的車，每輛車坐5人，車不夠，每輛車坐6人，有的車未坐滿；若全部安排乘B隊的車，每輛車坐4人，車不夠，每輛車坐5人，有的車未坐滿．則A隊有出租車()A．11輛 B．10輛C．9輛 D．8輛B[設(shè)A隊有出租車x輛，則B隊有出租車(x＋3)輛，由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5x＜56，,6x＞56，,4x＋3＜56，,5x＋3＞56.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＜11\f(1,5),x＞9\f(1,3),x＜11,x＞8\f(1,5).))∴9eq\f(1,3)＜x＜11.而x為正整數(shù)，故x＝10.]2．將一根長5m的繩子截成兩段，已知其中一段的長度為xm，若兩段繩子長度之差不小于1m，則x所滿足的不等關(guān)系為()A.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－5≥1,0＜x＜5))B.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5－2x≥1,0＜x＜5))C．2x－5≥1或5－2x≥1D.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|2x－5|≥1,0＜x＜5))D[由題意，可知另一段繩子的長度為(5－x)m，因為兩段繩子的長度之差不小于1m，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|x－5－x|≥1，,0＜x＜5，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|2x－5|≥1，,0＜x＜5.))]3．一個棱長為2的正方體的上底面有一點A，下底面有一點B，則A、B兩點間的距離d滿足的不等式為________．2≤d≤2eq\r(3)[最短距離是棱長2，最長距離是正方體的體對角線長2eq\r(3).故2≤d≤2eq\r(3).]4．某公司有20名技術(shù)人員，計劃開發(fā)A、B兩類共50件電子器件，每類每件所需人員和預(yù)計產(chǎn)值如下：產(chǎn)品種類每件需要人員數(shù)每件產(chǎn)值(萬元/件)A類eq\f(1,2)7.5B類eq\f(1,3)6今制定計劃欲使總產(chǎn)值最高，則A類產(chǎn)品應(yīng)生產(chǎn)________件，最高產(chǎn)值為________萬元．20330[設(shè)應(yīng)開發(fā)A類電子器件x件，則開發(fā)B類電子器件(50－x)件，則eq\f(x,2)＋eq\f(50－x,3)≤20，解得x≤20.由題意，得總產(chǎn)值y＝7.5x＋6×(50－x)＝300＋1.5x≤330，當(dāng)且僅當(dāng)x＝20時，y取最大值330.所以應(yīng)開發(fā)A類電子器件20件，能使產(chǎn)值最高，為330萬元．]5．甲、乙兩車從A地沿同一路線到達(dá)B地，甲車一半時間的速度為a，另一半時間的速度為b；乙車用速度a行走一半路程，用速度b行走另一半路程，若a≠b，試判斷哪輛車先到達(dá)B地？[解]設(shè)A，B兩地路程為2s，甲車走完A地到B地的路程所用時間為t1，則eq\f(t1,2)a＋eq\f(t1,2)b＝2s，t1＝eq\f(4s,a＋b)，乙車走完A地到B地的路程所用的時間為t2，則t2＝eq\f(s,a)＋eq\f(s,b).又t1－t2＝eq\f(4s,a＋b)－eq\f(s,a)－eq\f(s,b)＝eq\f(4sab－sba＋b－saa＋b,aba＋b)＝eq\f(－sa－b2,aba＋b)＜0(∵a≠b，a＞0，b＞0，s＞0)，∴t1＜t2，即甲車先到達(dá)B地．課時分層作業(yè)(九)等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)(建議用時：60分鐘)[合格基礎(chǔ)練]一、選擇題1．已知：a，b，c，d∈R，則下列命題中必成立的是()A．若a＞b，c＞b，則a＞cB．若a＞－b，則c－a＜c＋bC．若a＞b，c＜d，則eq\f(a,c)＞eq\f(b,d)D．若a2＞b2，則－a＜－bB[選項A，若a＝4，b＝2，c＝5，顯然不成立，選項C不滿足倒數(shù)不等式的條件，如a＞b＞0，c＜0＜d時，不成立；選項D只有a＞b＞0時才可以．否則如a＝－1，b＝0時不成立，故選B.]2．設(shè)a>1>b>－1，則下列不等式中恒成立的是()A.eq\f(1,a)<eq\f(1,b) B.eq\f(1,a)>eq\f(1,b)C．a(chǎn)2>2b D．a(chǎn)>b2D[A錯，例如a＝2，b＝－eq\f(1,2)時，eq\f(1,a)＝eq\f(1,2)，eq\f(1,b)＝－2，此時，eq\f(1,a)>eq\f(1,b)；B錯，例如a＝2，b＝eq\f(1,2)時，eq\f(1,a)＝eq\f(1,2)，eq\f(1,b)＝2，此時，eq\f(1,a)<eq\f(1,b)；C錯，例如a＝eq\f(5,4)，b＝eq\f(15,16)時，a2＝eq\f(25,16)，2b＝eq\f(30,16)，此時a2<2b；由a>1，b2<1得a>b2，故D正確．]3．已知a>b，則下列不等式：①a2>b2；②eq\f(1,a)<eq\f(1,b)；③eq\f(1,a－b)>eq\f(1,a).其中不成立的個數(shù)是()A．0B．1C．2 D．3D[雖然已知a>b，但并不知道a、b的正負(fù)，如有2>－3，但22<(－3)2，故①錯；2>－3?eq\f(1,2)>－eq\f(1,3)，②錯；若有a＝1，b＝－2，則eq\f(1,a－b)＝eq\f(1,3)，eq\f(1,a)＝1，故③錯．]4．若abcd<0，且a>0，b>c，d<0，則()A．b<0，c<0 B．b>0，c>0C．b>0，c<0 D．0<c<b或c<b<0D[由a>0，d<0，且abcd<0，知bc>0，又∵b>c，∴0<c<b或c<b<0.]5．若a，b，c∈R，a＞b，則下列不等式成立的是()A.eq\f(1,a)＜eq\f(1,b) B．a(chǎn)2＞b2C.eq\f(a,c2＋1)＞eq\f(b,c2＋1) D．a(chǎn)|c|＞b|c|C[對A，若a＞0＞b，則eq\f(1,a)＞0，eq\f(1,b)＜0，此時eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)，∴A不成立；對B，若a＝1，b＝－2，則a2＜b2，∴B不成立；對C，∵c2＋1≥1，且a＞b，∴eq\f(a,c2＋1)＞eq\f(b,c2＋1)恒成立，∴C正確；對D，當(dāng)c＝0時，a|c|＝b|c|，∴D不成立．]二、填空題6．給出以下四個命題：①a＞b?an＞bn(n∈N*)；②a＞|b|?an＞bn(n∈N*)；③a＜b＜0?eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)；④a＜b＜0?eq\f(1,a－b)＞eq\f(1,a).其中真命題的序號是________．②③[①中取a＝－1，b＝－2，n＝2，不成立；②a＞|b|，得a＞0，∴an＞bn成立；③a＜b＜0，得eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)成立；④a＜b＜0，得a－b＜0，且a－b＞a，故eq\f(1,a－b)＜eq\f(1,a)，④不成立．]7．設(shè)x＞1，－1＜y＜0，試將x，y，－y按從小到大的順序排列如下：________.y＜－y＜x[∵－1＜y＜0，∴0＜－y＜1，∴y＜－y，又x＞1，∴y＜－y＜x.]8．若8<x<10,2<y<4，則eq\f(x,y)的取值范圍是________．2<eq\f(x,y)<5[∵2<y<4，∴eq\f(1,4)<eq\f(1,y)<eq\f(1,2).∵8<x<10，∴2<eq\f(x,y)<5.]三、解答題9．(1)a<b<0，求證：eq\f(b,a)<eq\f(a,b)；(2)已知a>b，eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，求證：ab>0.[證明](1)由于eq\f(b,a)－eq\f(a,b)＝eq\f(b2－a2,ab)＝eq\f(b＋ab－a,ab)，∵a<b<0，∴b＋a<0，b－a>0，ab>0，∴eq\f(b＋ab－a,ab)<0，故eq\f(b,a)<eq\f(a,b).(2)∵eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，∴eq\f(1,a)－eq\f(1,b)<0，即eq\f(b－a,ab)<0，而a>b，∴b－a<0，∴ab>0.10．已知：3＜a＋b＜4,0＜b＜1，求下列各式的取值范圍．(1)a；(2)a－b；(3)eq\f(a,b).[解](1)∵3＜a＋b＜4，又∵0＜b＜1，∴－1＜－b＜0，∴2＜a＋b＋(－b)＜4，即2＜a＜4.(2)∵0＜b＜1，∴－1＜－b＜0.又∵2＜a＜4，∴1＜a－b＜4.(3)∵0＜b＜1，∴eq\f(1,b)＞1，又∵2＜a＜4，∴eq\f(a,b)＞2.[等級過關(guān)練]1．a(chǎn)＞b＞c，且a＋b＋c＝0，下列不等式恒成立的是()A．a(chǎn)c＞bc B．a(chǎn)b＞acC．a(chǎn)|b|＞c|b| D．a(chǎn)2＞b2＞c2B[∵a＋b＋c＝0且a＞b＞c，∴a＞0，c＜0，∴A不正確．對于B，ab＞ac?a(b－c)＞0又b－c＞0，a＞0，故B正確；由于|b|有可能為0，故C不正確，若a＝2，b＝1，c＝－3，顯然a＋b＋c＝0，但a2＞b2且b2＜c2，故D不正確．]2．若α，β滿足－eq\f(π,2)＜α＜β＜eq\f(π,2)，則2α－β的取值范圍是()A．－π＜2α－β＜0 B．－π＜2α－β＜πC．－eq\f(3π,2)＜2α－β＜eq\f(π,2) D．0＜2α－β＜πC[∵－eq\f(π,2)＜α＜eq\f(π,2)，∴－π＜2α＜π.∵－eq\f(π,2)＜β＜eq\f(π,2)，∴－eq\f(π,2)＜－β＜eq\f(π,2)，∴－eq\f(3π,2)＜2α－β＜eq\f(3π,2).又α－β＜0，α＜eq\f(π,2)，∴2α－β＜eq\f(π,2).故－eq\f(3π,2)＜2α－β＜eq\f(π,2).]3．已知－1≤x＋y≤4，且2≤x－y≤3，則z＝2x－3y的取值范圍是________．3≤z≤8[∵z＝－eq\f(1,2)(x＋y)＋eq\f(5,2)(x－y)，－2≤－eq\f(1,2)(x＋y)≤eq\f(1,2)，5≤eq\f(5,2)(x－y)≤eq\f(15,2)，∴3≤－eq\f(1,2)(x＋y)＋eq\f(5,2)(x－y)≤8，∴3≤z≤8.]4．設(shè)a，b為正實數(shù)，有下列命題：①若a2－b2＝1，則a－b<1；②若eq\f(1,b)－eq\f(1,a)＝1，則a－b<1；③若|eq\r(a)－eq\r(b)|＝1，則|a－b|<1；④若|a3－b3|＝1，則|a－b|<1.其中正確的命題為________(寫出所有正確命題的序號)．①④[對于①，由題意a，b為正實數(shù)，則a2－b2＝1?a－b＝eq\f(1,a＋b)?a－b>0?a>b>0，故a＋b>a－b>0.若a－b≥1，則eq\f(1,a＋b)≥1?a＋b≤1≤a－b，這與a＋b>a－b>0矛盾，故a－b<1成立．對于②，取特殊值，a＝3，b＝eq\f(3,4)，則a－b>1.對于③，取特殊值，a＝9，b＝4時，|a－b|>1.對于④，∵|a3－b3|＝1，a>0，b>0，∴a≠b，不妨設(shè)a>b>0.∴a2＋ab＋b2>a2－2ab＋b2>0，∴(a－b)(a2＋ab＋b2)>(a－b)(a－b)2.即a3－b3>(a－b)3>0，∴1＝|a3－b3|>(a－b)3>0，∴0<a－b<1，即|a－b|<1.因此正確．]5．已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c滿足以下條件．(1)該函數(shù)圖象過原點；(2)當(dāng)x＝－1時，y的取值范圍為大于等于1且小于等于2；(3)當(dāng)x＝1時，y的取值范圍為大于等于3且小于等于4；求當(dāng)x＝－2時，y的取值范圍．[解]∵二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c圖象過原點，∴c＝0，∴y＝ax2＋bx.又∵當(dāng)x＝－1時，1≤a－b≤2.①當(dāng)x＝1時，3≤a＋b≤4，②∴當(dāng)x＝－2時，y＝4a－2b.設(shè)存在實數(shù)m，n，使得4a－2b＝m(a＋b)＋n(a－b)，而4a－2b＝(m＋n)a＋(m－n)b，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋n＝4，,m－n＝－2，))解之得m＝1，n＝3，∴4a－2b＝(a＋b)＋3(a－b)．由①②可知3≤a＋b≤4,3≤3(a－b)≤6，∴3＋3≤4a－2b≤4＋6.即6≤4a－2b≤10，故當(dāng)x＝－2時，y的取值范圍是大于等于6且小于等于10.課時分層作業(yè)(十)基本不等式(建議用時：60分鐘)[合格基礎(chǔ)練]一、選擇題1．設(shè)t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，則t與s的大小關(guān)系是()A．s≥t B．s>tC．s≤t D．s<tA[∵b2＋1≥2b，∴a＋2b≤a＋b2＋1.]2．下列不等式中正確的是()A．a(chǎn)＋eq\f(4,a)≥4 B．a(chǎn)2＋b2≥4abC.eq\r(ab)≥eq\f(a＋b,2) D．x2＋eq\f(3,x2)≥2eq\r(3)D[a＜0，則a＋eq\f(4,a)≥4不成立，故A錯；a＝1，b＝1，a2＋b2＜4ab，故B錯；a＝4，b＝16，則eq\r(ab)＜eq\f(a＋b,2)，故C錯；由基本不等式可知D項正確．]3．已知a>0，b>0，則下列不等式中錯誤的是()A．a(chǎn)b≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2 B．a(chǎn)b≤eq\f(a2＋b2,2)C.eq\f(1,ab)≥eq\f(2,a2＋b2) D.eq\f(1,ab)≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a＋b)))2D[由基本不等式知A、C正確，由重要不等式知B正確，由eq\f(a2＋b2,2)≥ab得，ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2，∴eq\f(1,ab)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a＋b)))2，故選D.]4．若a＞b＞0，則下列不等式成立的是()A．a(chǎn)＞b＞eq\f(a＋b,2)＞eq\r(ab) B．a(chǎn)＞eq\f(a＋b,2)＞eq\r(ab)＞bC．a(chǎn)＞eq\f(a＋b,2)＞b＞eq\r(ab)D.a＞eq\r(ab)＞eq\f(a＋b,2)＞bB[a＝eq\f(a＋a,2)＞eq\f(a＋b,2)＞eq\r(ab)＞eq\r(b·b)＝b，因此只有B項正確．]5．若a＞0，b＞0，且a＋b＝4，則下列不等式恒成立的是()A.eq\f(1,ab)＞eq\f(1,2) B.eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)≤1C.eq\r(ab)≥2 D.eq\f(1,a2＋b2)≤eq\f(1,8)D[由eq\r(ab)≤2得ab≤4，∴eq\f(1,ab)≥eq\f(1,4)，故A錯；B中，eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(a＋b,ab)＝eq\f(4,ab)