高考數(shù)學(xué)沖刺模擬試卷及答案

高考模擬測(cè)試數(shù)學(xué)試題

（卷面分值：150分；考試時(shí)間：120分鐘）

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符

合題目要求的.

1.已知集合4=卜卜=愴（1一力},5={-1,0,1},則Ap|8=（）

A.{-1,0}B.{0,1}C.（0,1]D.（-oo,l）

2.己知復(fù)數(shù)z的共軌復(fù)數(shù)為三，若z+W=4,（z-yi=2（i為虛數(shù)單位），則z=（）

A.2+iB.2-iC.-2+iD.-2-i

3."a>8>0”是“巴〉1”的（）

b

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

4.直線3x—4y+8=0與圓（x—l）2+（y+l）2=16的位置關(guān)系是（）

A.相離B.相交C.相切D.不確定

5.函數(shù)/意）=3,cos：的部分圖象大致為（）

ex-ex

6.已知角。的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與x軸的正半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)P（cosl5°-sinl5°,cosl50+sinl5°）,

則tana=（）

A.2-73B.2+73C.V6-V2D.上

7.在空間直角坐標(biāo)系中，已知A（l,—1,1）,8（3,1』），則點(diǎn)P（l,0,2）到直線AB的距離為（）

A.走B.且C.見D.6

222

8.下列說法正確的有（）

A.兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)r的絕對(duì)值越接近于0

B.若X是隨機(jī)變量，則￡（2X+1）=2E（X）+1,O（2X+1）=4O（X）+1.

C.已知隨機(jī)變量自?N（O,1）,若P（J〉l）=p,則2（4>-1）=1一2〃

D.設(shè)隨機(jī)變量J表示發(fā)生概率為。的事件在一次隨機(jī)實(shí)驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù)，則。

9.已知函數(shù)“X）的定義域?yàn)镽,/（X+2）為奇函數(shù)，〃2x+l）為偶函數(shù)，則（）

A.〃-2）=0B./（-1）=0C."1）=0D.〃3）=0

10.已知產(chǎn)是橢圓c：二+|=l的右焦點(diǎn)，點(diǎn)A（2,理］在c上，直線A尸與〉軸交于點(diǎn)5,點(diǎn)P為上

的動(dòng)點(diǎn)，則麗?麗的最小值為（）

5115c1315

A.—B.—C.---D.——

4444

11.在平面四邊形A3CO中，已知AABC面積是八4?！辏┑拿娣e的2倍.若存在正實(shí)數(shù)羽y使得

衣通而成立，則2x+y的最小值為（）

A.1B.2C.3D.4

12.半球內(nèi)放三個(gè)半徑為內(nèi)的小球，三小球兩兩相切，并且與球面及半球底面的大圓面也相切，則該半球

的半徑是（）

A.1+73B.百+6C.V5+V7D.V3+V7

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.卜1+4陶亞+唾04=---------

14.（2x--+2y］展開式中常數(shù)項(xiàng)是.

15.關(guān)于函數(shù)/（x）=siiw與g（x）=cosx有下面四個(gè)結(jié)論:

①函數(shù)/(X)的圖像可由g(x)的圖像平移得到

②函數(shù)“X)與函數(shù)g(x)在兀J上均單調(diào)遞減

③若直線X=r與這兩個(gè)函數(shù)的圖像分別交于AB兩點(diǎn)，則＜1

④函數(shù)/(x)-g(x)圖像關(guān)于直線x=-；對(duì)稱；

其中正確結(jié)論序號(hào)為(請(qǐng)寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)).

16.已知D〃eN*，函數(shù)/(x)=x-(a,+l)lnx在+有極值，設(shè)其中［x］為不大

于X的最大整數(shù)，記數(shù)列也｝的前n項(xiàng)和為sn,則Sl00=.

三、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.在AABC中，已知sinAsinB+cos2A=sin2B+cos2c，。是A3的中點(diǎn).

(1)求角C的大小；

(2)若48=2力，CD=5，求AABC的面積.

18.已知數(shù)列｛4｝中，q=1,4=3,4+2=k7”(Z#l),〃wN*,%+4，。3+%，4+%成等差數(shù)列.

(1)求％的值和｛4｝的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)d=log3a—，〃eN*,求數(shù)列間的前〃項(xiàng)和為S?.

ain

19.如圖，已知圓。的直徑A3長(zhǎng)為4,點(diǎn)。是圓弧上一點(diǎn)，NBOC=45°,點(diǎn)P是劣弧AC上的動(dòng)點(diǎn)，。

點(diǎn)是另一半圓弧的中點(diǎn)，沿直徑A3,將圓面折成直二面角，連接。。、DP、CD.

⑴若A8〃面PCD時(shí)，求PC的長(zhǎng)；

(2)當(dāng)三棱錐P-08體積最大時(shí)，求二面角C—PD—。正切值.

20.如圖，點(diǎn)A、B、。是周長(zhǎng)為3cm圓形導(dǎo)軌上的三個(gè)等分點(diǎn)，在點(diǎn)A處放一顆珠子，規(guī)定：珠子只能

沿導(dǎo)軌順時(shí)針滾動(dòng).現(xiàn)投鄭一枚質(zhì)地均勻的股子，當(dāng)擲出的點(diǎn)數(shù)是3的倍數(shù)時(shí)，珠子滾動(dòng)2cm,當(dāng)擲出的點(diǎn)

數(shù)不是3的倍數(shù)時(shí)，珠子滾動(dòng)1cm,反復(fù)操作.

A

(1)求珠子在A點(diǎn)停留時(shí)恰好滾動(dòng)一周的概率；

(2)求珠子第一次在A點(diǎn)停留時(shí)恰好滾動(dòng)兩周的概率.

22

21.已知雙曲線「：二—二=l(a>0/>0)過點(diǎn)(4,13),離心率為Jii，直線/:x=9交x軸于點(diǎn)A,過

a~b~

點(diǎn)A作直線交雙曲線r于",N兩點(diǎn).

(1)求雙曲線「的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若M是線段AN的中點(diǎn)，求直線MN的方程；

(3)設(shè)RQ是直線/上關(guān)于x軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，直線PM與QN的交點(diǎn)是否在一條直線上？請(qǐng)說明你的理由.

22.設(shè)函數(shù)/(X)=Q/+2X+必(a,/?￡R),/'(x)為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).

(1)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性并寫出單調(diào)區(qū)間;

(2)若存在。，使得函數(shù)/(x)不存在零點(diǎn)，求力的取值范圍;

ff(x)

⑶若函數(shù)g(x)=/(x)-a〃有兩個(gè)不同的零點(diǎn)求證：'77\>-

J

答案與解析

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符

合題目要求的.

1.已知集合4={x|y=lg(l—x)},B={-1,0,1},則AC|8=()

A.{-1,0}B.{0,1}C.(0,1］D.(-oo,l)

［答案］A

［解析］

［分析］利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出集合A,再根據(jù)交集的定義即可求解.

［詳解］解：因?yàn)榧?=,卜=電(1-力}=卜,<1},={-1,0,1),

所以Ac5={T,0},

故選：A.

2.已知復(fù)數(shù)z的共胡復(fù)數(shù)為I，若z+I=4,(z—W)i=2(i為虛數(shù)單位)，則z=()

A.2+iB.2-iC.-2+iD.-2-i

［答案］B

［解析］

［分析］設(shè)z=a+bi,l=a-bi,a,beR,再根據(jù)條件建立方程求解即可.

［詳解］設(shè)z=a+bi,z=a—bi,a,bGR,

由z+z=4，有2。=4，得a=2,

由(z—z)i=2,有—2b=2，得力=—1,

故z=2-i.

故選：B

3."a>Z?>0”是“f〉1”的()

b

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

［答案］B

［解析］

［分析］根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可;

［詳解］解：由a>8>(),W->1，反之不成立，如a=—2,b=—1,滿足0>1,但是不滿足a>8>0,

bb

故"a>b>0”是“f〉1”的充分不必要條件.

b

故選：B

4.直線3x-4y+8=0與圓(％-1)2+(>+1)2=16的位置關(guān)系是()

A.相離B.相交C.相切D.不確定

［答案］B

［解析］

［分析］直線與圓的位置關(guān)系的判斷，第一步求出圓的圓心及半徑，第二步求出圓心到直線的距離，距離大于

半徑相離，等于半徑相切，小于半徑相交.

［詳解］圓(x-l)2+(y+l)2=16的圓心坐標(biāo)為半徑為4,圓心到直線的距離

|3xl-4x(-l)+8|=i5

所以相交.

V32+425

故選：B.

5.函數(shù)/甕)=半”的部分圖象大致為()

A.B.

C.D.

［答案］C

［解析］

［分析］判斷出/(x)的奇偶性，結(jié)合/(I)的符號(hào)可選出答案.

［詳解］因?yàn)?(X)的定義域?yàn)閧小/O},/(—x)=：cos：=_/(x)

所以/(x)是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故排除B,D

3cos1

因:俶/(1)=-―->0,所以排除A

e-e

故選：C

6.已知角a的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與x軸的正半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)尸(cosl5°—sinl5°,cosl50+sinl5°),

則tana=()

A.2-V3B.2+V3C.V6-V2D.6

［答案］D

［解析］

［分析］先利用三角函數(shù)的恒等變換確定點(diǎn)P的坐標(biāo)，再根據(jù)三角函數(shù)的定義求得答案.

［詳解］cosl50-sinl50=?cos(450+15。)=§

cosl5。+sinl5。=血cos(45°-15。)=當(dāng)，

即^，則tana=G，

故選：D.

7.在空間直角坐標(biāo)系中，已知A(l,—1,1),5(3,1,1),則點(diǎn)P(l,0,2)到直線A8的距離為()

A.—B.—C.—D.百

222

［答案］C

［解析］

［分析］由題可求AP在麗方向上的投影數(shù)量，進(jìn)而點(diǎn)。(1,0,2)到直線AB的距離為

4='網(wǎng)2_)2,即求

［詳解］3(3,1,1),尸(1,0,2),

.?.通=(2,2,0),而=(0,1,1),

福./=2,網(wǎng)=2血,網(wǎng)=血，

,ABAP2V2

而在麗方向上的投影數(shù)量為"=下曰-=云6=彳，

.?.點(diǎn)尸（1,0,2）到直線AB的距離為4=府寧R當(dāng)

故選：C.

8.下列說法正確的有（）

A.兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)，?的絕對(duì)值越接近于0

B.若X是隨機(jī)變量，則E（2X+1）=2E（X）+1,2（2X+1）=4D（X）+1.

C.己知隨機(jī)變量4?N（0,l）,若尸片>1）=〃，則P（J>-l）=l-2p

D.設(shè)隨機(jī)變量J表示發(fā)生概率為。的事件在一次隨機(jī)實(shí)驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù)，則0（4）4；

1答案］D

t解析］

［分析］根據(jù)線性相關(guān)系數(shù)的定義，期望方差的公式以及正態(tài)分布進(jìn)項(xiàng)逐項(xiàng)分析即可得答案.

［詳解懈:

對(duì)于選項(xiàng)A：根據(jù)相關(guān)系數(shù)的定義可知A錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)B：若X是隨機(jī)變量，則E（2X+1）=2E（X）+1,D（2X+1）=4D（X）,故B錯(cuò)誤;

對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)殡S機(jī)變量服從正態(tài)分布，故P（S〉l）=P（S<—l）=p,

則產(chǎn)（4>-1）=1一〃，故C錯(cuò)誤;

對(duì)于選項(xiàng)D：隨機(jī)變量J的可能取值為0、1，故產(chǎn)（4=0）=1-。，P（J=l）=p

。一。+/丫2」

〃〃〃二()(22

EC)=Ox(1—)+1x=￡>g=o-p)X(l-p)+(l-p)xp=I2J-4

當(dāng)且僅當(dāng)g=g取等號(hào)，故D正確;

故選：D

9.已知函數(shù)的定義域?yàn)镽,/（x+2）為奇函數(shù)，〃2x+l）為偶函數(shù)，則（）

A./(一2)=0B./(-1)=0C."1)=0D."3)=0

［答案］A

［解析］

［分析］根據(jù)函數(shù)圖象之間的平移變換及所給奇、偶函數(shù)判斷A,給出滿足條件的特殊函數(shù)排除BCD.

［詳解］因?yàn)?(X+2)為奇函數(shù)，

所以/(X+2)的圖象經(jīng)過原點(diǎn)(0,0),即/(2)=0,

由/(X+2)的圖象向右平移2個(gè)單位可得函數(shù)/(x)的圖象知，/(%)圖象過點(diǎn)(4,0),

即"4)=0,

因?yàn)?(2x+l)為偶函數(shù)，所以/(-2x+l)=/(2x+l),

3

所以當(dāng)％=—時(shí)，/(-2)=/(4)=0,故A正確；

2

令/(x)=sin(x,則滿足/(x+2)為奇函數(shù)，,f(2x+l)為偶函數(shù)，

顯然BCD不滿足.

故選：A

10.已知F是橢圓C:工+匕=1的右焦點(diǎn)，點(diǎn)A2,孚在。上，直線A尸與y軸交于點(diǎn)5,點(diǎn)尸為上

m15I2J

的動(dòng)點(diǎn)，則麗?麗的最小值為()

［答案］C

［解析］

22(3下、

［分析］由題可得橢圓c：L+上=1,進(jìn)而可得30,-*,利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示可得

1615I2J

,,45

麗?麗=%-2與+為2一才，再結(jié)合條件及二次函數(shù)的性質(zhì)即求.

［詳解］由題可得222，

---1--------=1

m15

，加=16,即橢圓。：二+上=1,

1615

直線A/方程為^=X-1）?

:.B0,—，又A2,

22.3百

設(shè)尸（事,治），則+需=1，序=［2-%，，方=

—%

375

尸?（.2月=（2—X0）（—40）+『先

2

=x0-2x0+城-+

2cIU15245

=x

o-2x0+15--x0―--

iz49

=M（X°_16）＞又-44x（）W4,

13

.?.當(dāng)/=4時(shí)，PA-PB有最小值為——■

4

故選：C.

11.在平面四邊形ABCO中，已知AABC的面積是△AC。的面積的2倍.若存在正實(shí)數(shù)羽）使得

）

D.4

［答案］A

［解析］

［分析］由面積比得創(chuàng)/=2%。，再利用A,M,C三點(diǎn)共線可得出x,y的關(guān)系，從而利用基本不等式可求得

2x+y的最小值.

［詳解］如圖，設(shè)AC與交于點(diǎn)M,

由AABC的面積是AACD的面積的2倍，可得BM=2MD，

________2_____.2__.___1___9__?

所以=+=A8+-6Q=A6+-(AO—AB)=-A6+-A。，

3333

又A",C三點(diǎn)共線，即而，〃共線，

所以存在實(shí)數(shù)女使得=，

因?yàn)?=(工_4)通+1--AD,

21八

,消去&,可得一+—=9,

x>

y3

又因?yàn)閤>0,y>0,

所以2中=E2中）停+5中5+§+#其5+2^^卜1,

2y2x1

當(dāng)且僅當(dāng)上=——，即x=y=一時(shí)等號(hào)成立.

xy3

所以2尤+y的最小值為1.

故選：A.

12.半球內(nèi)放三個(gè)半徑為由的小球，三小球兩兩相切,并且與球面及半球底面的大圓面也相切，則該半球

的半徑是（）

A.1+73B.C.V5+V7D.V3+V7

［答案］D

［解析］

［分析］根據(jù)條件求出以三個(gè)小球的球心?！浮?、。3構(gòu)成的三角形的外接圓半徑，再通過勾股定理求解即

可.

［詳解］

三個(gè)小球的球心。I、。2、。3構(gòu)成邊長(zhǎng)為2G的正三角形，則其外接圓半徑為2.

設(shè)半球的球心為0,小球。與半球底面切于點(diǎn)A.

如圖，經(jīng)過點(diǎn)0、A作半球的截面，半圓。。的半徑0CLQ4,06_LOC于點(diǎn)3.

則OA=O}B=2.

在RtAQA?中，由（R一百『=（2）2+（百）2nR=百+近.

故選：D

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.1+4i°g2&+logj,4=.

［答案］10

［解析］

［分析］利用指數(shù)累及對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即得.

log222,O8J

［詳解］K+4+log%s4=2+2^+log<s（72）=4+2+4=10.

故答案為：10.

14.（2%-工+2>）展開式中的常數(shù)項(xiàng)是.

［答案］-160

1解析］

［分析］由題可得-Ct--26-*?（-!）*x6-r-2kyr,即得.

［詳解］因?yàn)?2x—展開式的通項(xiàng)為

2x—(2y)，=q.*(2x)E」(2y)r

\*)\x)

=C；.?26d.(_］)?x6-r-2icy(o<A:<6-r)

令r=0,k=3,可得常數(shù)項(xiàng)是《.《I.(—I)，=—160.

故答案為：-160.

15.關(guān)于函數(shù)〃x)=sinx與g(x)=cosx有下面四個(gè)結(jié)論：

①函數(shù)/(X)的圖像可由g(x)的圖像平移得到

②函數(shù)/(X)與函數(shù)g(x)在兀)上均單調(diào)遞減

③若直線X=r與這兩個(gè)函數(shù)的圖像分別交于A3兩點(diǎn)，貝

④函數(shù)“力一g(x)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱；

其中正確結(jié)論的序號(hào)為(請(qǐng)寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)).

「答案1①②④

［解析］

［分析］①向右平移;個(gè)單位長(zhǎng)度即可；②從圖象可以判斷出來；③通過輔助角公式得到④

通過代入即可判斷.

［詳解］g(x)=co口向右平移楙個(gè)單位長(zhǎng)度得到f(x)=sinx,①正確；

函數(shù)/(X)與函數(shù)g(x)在6,兀)上均單調(diào)遞減，②正確；

|AB|=|sin/-cos/|=\/2sin^r-^,貝,③錯(cuò)誤；

/(x)—g(x)=sinx—cosx=V^sin(x—,當(dāng)x=_:時(shí)，&sin(x-：)=—夜，故函數(shù)/(x)_g(x)

的圖像關(guān)于直線》=-；對(duì)稱，④正確.

4

故選：①②④

16.已知V〃eN*，函數(shù)/(%)=%-(4,+1)康在尤+有極值，設(shè)勿=［7^］|，其中因?yàn)椴淮?/p>

于x的最大整數(shù)，記數(shù)列｛b?｝的前n項(xiàng)和為S“，則Sl00=.

［答案］615

［解析］

［分析］根據(jù)給定條件探求出〃-1<%<〃，再借助卜］的意義分析｛2｝的前100項(xiàng)的各個(gè)值，再求和作答.

［詳解］函數(shù)〃x)=x—(見+1)欣，求導(dǎo)得：ra)=i_—，

因V〃eN*，函數(shù)/(x)=x—(4,+l)lnx在X€(〃,"+1)有極值，則存在聞《(〃,”+1),有/'(/)=0,解

得%=+1,

于是得“一1<。"<〃，即J〃-1<弧，而〃,=［向

因此，數(shù)列｛a｝的前100項(xiàng)中有1個(gè)0,3個(gè)1,5個(gè)2,7個(gè)3,9個(gè)4,11個(gè)5,13個(gè)6,15個(gè)7,17個(gè)8,

19個(gè)9,

而1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=100,

所以S”=0+3x1+5x2+7x3+9x4+11x5+13x6+15x7+17*8+19x9=615.

故答案為：615

［點(diǎn)睛］關(guān)鍵點(diǎn)睛：涉及數(shù)列新定義問題，關(guān)鍵是正確理解給出的定義，由給定的數(shù)列結(jié)合新定義探求數(shù)列的

相關(guān)性質(zhì)，并進(jìn)行合理的計(jì)算、分析、推理等方法綜合解決.

三、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.在△ABC中，已知51114$h18+852/1=511128+以光2。，。是A3的中點(diǎn).

⑴求角C的大?。?/p>

(2)若A8=2G，CD=@，求AABC的面積.

71

［答案］(l)c=§

(2)273

［解析］

TTTV

［分析］(1)先用正弦定理，再用余弦定理求出C=7；(2)利用第一問求出的c二;，利用余弦定理，向量

33

有關(guān)計(jì)算及面積公式進(jìn)行求解.

［小問1詳解］

由題意得：sinAsinsin2A=sin2B-sin2C

2

故QZ?_Q2=2—c

即a2-c2=ab

a2+b2-c2ab1

.*?cosC二

2ab2ab2

又二Ce(O,7r)

［小問2詳解］

,?*AB2=a2+h2-2aZ?cosC

.I12=(〃+/?『-3ab@

又麗=g(麗+西

.?.阿T同+同+2麗祠

/.28=(/+/?2+2QZ?COSC)=(Q2+〃+〃/?)=+-ah

-ab=23@

由②一①得：ab=S

SyARC=sinC=2\/3.

18.已知數(shù)列｛%｝中，4=1,4=3,4+2=3”(左，%+。3，%+。4，。4十。5成等差數(shù)歹

(1)求左的值和｛4｝的通項(xiàng)公式;

1Og/<2，，+'，〃eN’,求數(shù)列｛勿｝的前〃項(xiàng)和為

(2)設(shè)勿S,,.

3i,〃=2Z-l(ZeN*

［答案］(1)攵=3,a=<

n3",〃=24wN)

32〃+3

⑵fnGN”

4x3"

［解析］

［分析］(1)由等差數(shù)列的性質(zhì)可得的一。2=%一%，化簡(jiǎn)再分奇偶討論即可求解;

(2)化簡(jiǎn)得么=4，再結(jié)合錯(cuò)位相減法即可求解

3"

［小問1詳解］

?：a2+a3,%+%，%+%成等差數(shù)列

3+。4)-3+4)=(。4+。5)-3+%)

即“4-。2=4-。3，得4(%—1)=4(左—1)

又?；攵。1,...%=a，=3,從而上=a=3

3J,〃=2I(AeN*),

所以q=L/*、

3k,n=2k(k&N),

［小問2詳解］

山⑴得“也詠《，

a2n3

「123n-\n

：.S,,=-+—+—+???+——「+—

兩式相減，得

_32〃+3

??3”—>

"44x3"

19.如圖，已知圓0的直徑AB長(zhǎng)為4,點(diǎn)。是圓弧上一點(diǎn)，NBOC=45°,點(diǎn)P是劣弧AC上的動(dòng)點(diǎn)，。

點(diǎn)是另一半圓弧的中點(diǎn)，沿直徑A3，將圓面折成直二面角，連接OP、DP、CD.

(1)若A3〃面PCD時(shí)，求PC的長(zhǎng)；

(2)當(dāng)三棱錐尸-。力體積最大時(shí)，求二面角C—PD—O正切值.

［答案］⑴2加

⑵逝

［解析］

［分析］(1)依據(jù)線面平行性質(zhì)定理可得AB//PC,在AOPC中求PC的長(zhǎng)即可；

(2)做出二面角C—RD—O的平面角即可解決.

［小問1詳解］

〃平面PCD,ABI平面OPC,平面OPCc平面PCD=PC

/.AB//PC

又NBOC=45°,OP=OC=2,所以AOPC為等腰直角三角形.

PC=141-

［小問2詳解］

「二面角。一A3-。為直二面角，且0￡>u平面ABO

。。_1_平面OPC

11144

???Vpr~UO\8.U=VUD~OUPr(-C=—3,S△?C/P/C?。。3=2—x—OPoc?0。?sinZPOC3=—?sinZPOC3<-

當(dāng)ZPOC=90°時(shí)等號(hào)成立

此時(shí)OP,OC,0。兩兩垂直，且長(zhǎng)度相等，則尸C=CD=2j5

取的中點(diǎn)E,連接。E,EC,則PDLEC,PDLEO,0E=0

/.NCEO為二面角C—PD—O的平面角，

直角三角形CEO中，tan/CEO=——=J5

OE

，二面角C—PD—O的正切值為a.

20.如圖，點(diǎn)A、B、。是周長(zhǎng)為3cm圓形導(dǎo)軌上的三個(gè)等分點(diǎn)，在點(diǎn)A處放一顆珠子，規(guī)定：珠子只能

沿導(dǎo)軌順時(shí)針滾動(dòng).現(xiàn)投鄭一枚質(zhì)地均勻的股子，當(dāng)擲出的點(diǎn)數(shù)是3的倍數(shù)時(shí)，珠子滾動(dòng)2cm,當(dāng)擲出的點(diǎn)

數(shù)不是3的倍數(shù)時(shí)，珠子滾動(dòng)1cm,反復(fù)操作.

(1)求珠子在A點(diǎn)停留時(shí)恰好滾動(dòng)一周的概率;

(2)求珠子第一次在A點(diǎn)停留時(shí)恰好滾動(dòng)兩周的概率.

,,20

［答z案］⑴二

27

（2c）--4-9--

243

［解析］

［分析］(1)根據(jù)互斥事件的概率求解即可;

(2)根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率求解即可.

［小問1詳解］

設(shè)擲出3的倍數(shù)為事件"，擲出不是3的倍數(shù)記為事件N,

12

則P（M）=§,P（N）=§

珠子恰好轉(zhuǎn)一周回到A點(diǎn)包含的事件為(M,N),(N,M),(N,N,N)且這三種情況互斥

故所求概率為上借⑶+⑶但

［小問2詳解］

珠子滾兩周回到A點(diǎn)，則必須經(jīng)歷以下三個(gè)步驟：①②③

①A至C：此時(shí)概率為=1

②C至B：擲出的必須是3的倍數(shù)，此時(shí)的概率為,

3

③8至A：概率與①相同

71749

又以上三個(gè)步驟相互獨(dú)立，故所求概率為g=§x§x§=說.

22

21.已知雙曲線「：二—2=13>0/>0)過點(diǎn)(4,13),離心率為JN，直線/:x=9交x軸于點(diǎn)A,過

a~b~

點(diǎn)A作直線交雙曲線r于加,N兩點(diǎn).

(1)求雙曲線「的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若M是線段AN中點(diǎn)，求直線的方程；

(3)設(shè)P,Q是直線I上關(guān)于x軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，直線PM與QN的交點(diǎn)是否在一條直線上？請(qǐng)說明你的理由.

［答案］⑴工_匕=1

339

(2)x+y-9=0^x-y-9=0

(3)直線PM與QN的交點(diǎn)在定直線，理由見解析

［解析］

［分析］(1)根據(jù)題意，列出方程組，結(jié)合/=/+〃，求得b的值，得出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，

(2)設(shè)N(5,%),則M(血當(dāng))，聯(lián)立方程組，求得M,N的坐標(biāo)，即可求得直線MN的方程；

⑶設(shè)P(9,f),Q(9,T),得到MN:x=my+9,聯(lián)立方程組，求得％+%，%必，再由直線尸M和QN的

方程，求得交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即可求解.

［小問1詳解］

,向上后161691c

由題忌得：-r=l,—=vl4,。~+人~=9/

ab~a

22

解得/=3，從=39,所以雙曲線「的標(biāo)準(zhǔn)方程為土-2=1.

339

［小問2詳解］

%+9%

方法1：設(shè)則M

2'2

22

工—二=1

339一

依題意有〈解得與=_4,%=±13

(%+9)2

1

3x439x4

所以直線M/V的方程為x+y—9=0或x-y—9=0.

22

方法2：設(shè)直線MN的方程為卜=%（》-9）,與雙曲線的方程工―21=1聯(lián)立得:

339

(13—公卜2+1法2》_(81公+39)=0.

當(dāng)△=324r+4(13—2(8次2+39)>0時(shí)

18攵28R2+39

設(shè)N（x,y）,得玉+9=一

22百二戶’“芯=.］3—公.

T7H4%+9?、19&2+39x；+9x,8M2+39,,

又因?yàn)閄=—一?，所以％=-------->=-=---------—>解得公2=1.

2?13-V213—公

此時(shí)A>0,所以直線MN的方程為x+y-9=0或x-y-9=0.

［小問3詳解］

方法1：設(shè)P（9,f）,Q（9,T）,

直線PM的方程為y—=2=（x-9）,直線ON的方程y+，=2q（x-9）,

x1-9x2-9

聯(lián)立兩方程，可得2r=（x-9）①

（龍2-9^-9；

結(jié)合⑵方法2,可得"一絲=&臀坦*=.，（產(chǎn)？

x2-9玉-9x2-9x,-9XjX2-9（X|+x2）+81

代人①得2=---狹.（x-9）

石工2-9（玉+/）+81

81.+39]J雙2、

柏2%%2—9（西+工2）_＜13—k2）＜13—k2_1

Xy+%2~18]8女一[Q3

-----—lo

13-二

所以直線PM與QN的交點(diǎn)在定直線1=，上.

3

V2V2

方法2設(shè)直線MN的方程為x=m），+9,與雙曲線的方程二—2-=1聯(lián)立得:

339

（13/n2-l）y2+234mj+1014=0.

設(shè)〃a,乂），N（x2,y2）,P（9,t）,Q（9,—f）,由根與系數(shù)的關(guān)系，得

234/w1014

1PM：曠一/=%三（》_9）,lQN:y+f=2W（x—9）,聯(lián)立兩方程，可得:

x^—yw-,

2.迎-上]（尤-9）」0-上〕（＞9）=4心_9）

1%-9玉一9JI〃必）陽(yáng)跖

234m

=13雷京?小_9）=_^?_9），

m-T——

⑶〃2_]

解得X」

3

所以直線PM與QN的交點(diǎn)在定直線》=一上.

3

22.設(shè)函數(shù)〃x)=a/+2x+必(a,beR),/'(x)為函數(shù)/(x)的導(dǎo)函數(shù).

(1)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性并寫出單調(diào)區(qū)間;

(2)若存在。，使得函數(shù)/(x)不存在零點(diǎn)，求b的取值范圍;

f'()

⑶若函數(shù)g(x)=,f(x)—仍有兩個(gè)不同的零點(diǎn)不々(％＜龍2)，求證：計(jì)為x＞T-

J\X2)

［答案］(1)答案見解析

(2)(-e-2,+oo)

(3)證明見解析

t解析］

［分析］小問1先求導(dǎo)分和兩種情況討論；

小問2轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域，結(jié)合函數(shù)的值域來求出力的范圍；

小問3通過構(gòu)造新函數(shù)，研究新函數(shù)的單調(diào)性得到證明.

［小問1詳解］

/'(x)=ae'+2.

當(dāng)a20時(shí)，/'(x)>0,函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-<2+8).

當(dāng)"0時(shí),令得x<In令/'(x)<0.得x>In

((2口

所以，函數(shù)/(X)的單調(diào)增區(qū)間為1—8,In單調(diào)減區(qū)間是In—-,+00.

<\aJ

［小問2詳解］

當(dāng)“20時(shí)，由⑴知，“X)的單調(diào)增區(qū)間是(F,+8),

易知/[一?]=ae2+4>0.又-“+卜,+4<0,故可得

(a+\ab\+4}(山”.

f---------=ae2-1—\ah\-^-ab<0

V27I)

又，+?+4<4,且函數(shù)/(力的圖像連續(xù)，所以/(x)存在一個(gè)零點(diǎn)，不滿足題意.

當(dāng)a<0時(shí)，因?yàn)橐换颍?/p>

=碇2<0,函數(shù)f(x)的圖像不間斷，若存在。<0,使函數(shù)/(x)不存

在零點(diǎn)，則“X)<0對(duì)任意xeR恒成立.

((2、2I21

由⑴知，［/(x)L=/In——=2In一+。人+2<0