規(guī)劃理論及模型

規(guī)劃理論及模型第一頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日第一章規(guī)劃理論及模型一、引言二、線性規(guī)劃模型三、整數(shù)線性規(guī)劃模型四、0-1整數(shù)規(guī)劃模型

五、非線性規(guī)劃模型六、多目標(biāo)規(guī)劃模型目錄下頁返回上頁結(jié)束七、動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型第二頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日一、引言目錄下頁返回上頁結(jié)束我們從2005年“高教社杯”全國大學(xué)生數(shù)模競賽的B題“DVD在線租賃”問題的第二問和第三問談起.其中第二個(gè)問題是一個(gè)如何來分配有限資源，從而達(dá)到人們期望目標(biāo)的優(yōu)化分配數(shù)學(xué)模型.它在運(yùn)籌學(xué)中處于中心的地位.這類問題一般可以歸結(jié)為數(shù)學(xué)規(guī)劃模型.第三頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日目錄下頁返回上頁結(jié)束規(guī)劃模型的應(yīng)用極其廣泛，其作用已為越來來越急速地滲透于工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、商業(yè)活動(dòng)、軍事行為核科學(xué)研究的各個(gè)方面，為社會(huì)節(jié)省的財(cái)富、創(chuàng)造的價(jià)值無法估量.特別是在數(shù)模競賽過程中，規(guī)劃模型是最常見的一類數(shù)學(xué)模型.從92-06年全國大學(xué)生數(shù)模競越多的人所重視.隨著計(jì)算機(jī)的逐漸普及，它越賽試題的解題方法統(tǒng)計(jì)結(jié)果來看，規(guī)劃模型共出現(xiàn)了15次，占到了50%，也就是說每兩道競賽題中就有一道涉及到利用規(guī)劃理論來分析、求解.第四頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日目錄下頁返回上頁結(jié)束二、線性規(guī)劃模型線性規(guī)劃模型是所有規(guī)劃模型中最基本、最例1（食譜問題）設(shè)有n種食物，各含m種營養(yǎng)素，第j種食物中第i中營養(yǎng)素的含量為aij,n種食物價(jià)格分別為c1,c2,…,cn，請確定食譜中n種食物的數(shù)量x1,x2,…,xn，要求在食譜中m種營養(yǎng)素簡單的一種.2.1線性規(guī)劃模型的標(biāo)準(zhǔn)形式

的含量分別不低于b1,b2,…,bm的情況下，使得總總的費(fèi)用最低.第五頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日目錄下頁返回上頁結(jié)束首先根據(jù)食物數(shù)量及價(jià)格可寫出食譜費(fèi)用為其次食譜中第i種營養(yǎng)素的含量為因此上述問題可表述為：解第六頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日目錄下頁返回上頁結(jié)束上述食譜問題就是一個(gè)典型的線性規(guī)劃問題，尋求以線性函數(shù)的最大（?。┲禐槟繕?biāo)的數(shù)學(xué)模型.它是指在一組線性的等式或不等式的約束條件下，第七頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日目錄下頁返回上頁結(jié)束

線性規(guī)劃模型的三種形式

系數(shù)矩陣目標(biāo)函數(shù)價(jià)值向量價(jià)值系數(shù)決策變量右端向量非負(fù)約束自由變量⑴一般形式第八頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日目錄下頁返回上頁結(jié)束⑵規(guī)范形式⑶標(biāo)準(zhǔn)形式三種形式的LP問題全都是等價(jià)的，即一種形式的LP可以簡單的變換為另一種形式的LP，且它們有相同的解.以下我們僅將一般形式化成規(guī)范形式和標(biāo)準(zhǔn)形式.第九頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日目錄下頁返回上頁結(jié)束目標(biāo)函數(shù)的轉(zhuǎn)化

xoz-z第十頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日目錄下頁返回上頁結(jié)束約束條件和變量的轉(zhuǎn)化

①．為了把一般形式的LP問題變換為規(guī)范形式，我們必須消除等式約束和符號無限制變量.在一般形式的LP中，一個(gè)等式約束可用下述兩個(gè)不等式約束去替代

第十一頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日目錄下頁返回上頁結(jié)束這樣就把一般形式的LP變換為規(guī)范形式.

對于一個(gè)無符號限制變量，引進(jìn)兩個(gè)非負(fù)變量和，并設(shè)第十二頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日目錄下頁返回上頁結(jié)束②．為了把一般形式的LP問題變換為標(biāo)準(zhǔn)形式，必須消除其不等式約束和符號無限制變量.對于一個(gè)不等式約束代替上述的不等式約束.

對符號無限制變量的處理可按上述方法進(jìn)行.可引入一個(gè)剩余變量

，第十三頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日目錄下頁返回上頁結(jié)束對于不等式約束

代替上述的不等式約束

這樣就把一般形式的LP變換為標(biāo)準(zhǔn)形式.可引入一個(gè)松弛變量，用第十四頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日目錄下頁返回上頁結(jié)束針對標(biāo)準(zhǔn)形式的線性規(guī)劃問題，其解的理論分析已經(jīng)很完備，在此基礎(chǔ)上也提出了很好的算單純形方法是線性規(guī)劃問題的最為基礎(chǔ)、也法——單純形方法及其相應(yīng)的變化形式（兩階段2.2線性規(guī)劃模型的求解

法，對偶單純形法等）.是最核心的算法。它是一個(gè)迭代算法，先從一個(gè)特殊的可行解（極點(diǎn)）出發(fā)，通過判別條件去判斷該可行解是否為最優(yōu)解（或問題無界），若不第十五頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日目錄下頁返回上頁結(jié)束是最優(yōu)解，則根據(jù)相應(yīng)規(guī)則，迭代到下一個(gè)更好的可行解（極點(diǎn)），直到最優(yōu)解（或問題無界）.關(guān)于線性規(guī)劃問題解的理論和單純形法具體的求解過程可參見文獻(xiàn)[1].然后在實(shí)際應(yīng)用中，特別是數(shù)學(xué)建模過程中，遇到線性規(guī)劃問題的求解，我們一般都是利用現(xiàn)有的軟件進(jìn)行求解，此時(shí)通常并不要求線性規(guī)劃問題是標(biāo)準(zhǔn)形式.比較常用的求解線性規(guī)劃模型的軟件包有LINGO和LINDO.第十六頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日目錄下頁返回上頁結(jié)束運(yùn)輸問題例2設(shè)要從甲地調(diào)出物資2000噸，從乙地調(diào)出物

資1100噸，分別供給A地1700噸、B地1100噸、C假定運(yùn)費(fèi)與運(yùn)量成正比.在這種情況下，采用不地200噸、D地100噸.已知每噸運(yùn)費(fèi)如表1.1所示.同的調(diào)撥計(jì)劃，運(yùn)費(fèi)就可能不一樣.現(xiàn)在問：怎樣才能找出一個(gè)運(yùn)費(fèi)最省的調(diào)撥計(jì)劃？第十七頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日目錄下頁返回上頁結(jié)束1572521甲15375151乙DCBA表1.1銷地運(yùn)費(fèi)產(chǎn)地第十八頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日目錄下頁返回上頁結(jié)束解乙甲DCBA第十九頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日目錄下頁返回上頁結(jié)束第二十頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日目錄下頁返回上頁結(jié)束一般的運(yùn)輸問題可以表述如下：第二十一頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日目錄下頁返回上頁結(jié)束數(shù)學(xué)模型：

第二十二頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日目錄下頁返回上頁結(jié)束類似與將一般的線性規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為其標(biāo)準(zhǔn)若其中各產(chǎn)地的總產(chǎn)量等于各銷地的總銷量，即否則，稱為不平衡的運(yùn)輸問題，包括：，則稱該問題為平衡的運(yùn)輸問題.總產(chǎn)量>總銷量和總產(chǎn)量<總銷量.形式，我們總可以通過引入假想的銷地或產(chǎn)地，將不平衡的運(yùn)輸問題轉(zhuǎn)化為平衡的運(yùn)輸問題.從而，我們的重點(diǎn)就是解決平衡運(yùn)輸問題的求解.第二十三頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日目錄下頁返回上頁結(jié)束顯然，運(yùn)輸問題是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的線性規(guī)劃問題，因而當(dāng)然可以運(yùn)用單純形方法求解.但由于平衡的運(yùn)輸問題的特殊性質(zhì)，它還可以用其它的一些特殊方法求解，其中最常用的就是表上作業(yè)法，該方法將單純形法與平衡的運(yùn)輸問題的特殊性質(zhì)結(jié)合起來，很方便地實(shí)行了運(yùn)輸問題的求解.關(guān)于運(yùn)輸問題及其解法的進(jìn)一步介紹參加文獻(xiàn)[2].

第二十四頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日目錄下頁返回上頁結(jié)束對于線性規(guī)劃問題，如果要求其決策變量取整數(shù)值，則稱該問題為整數(shù)線性規(guī)劃問題.平面法和分支定界法是兩種常用的求解整數(shù)線性對于整數(shù)線性規(guī)劃問題的求解，其難度和運(yùn)三、整數(shù)線性規(guī)劃模型算量遠(yuǎn)大于同規(guī)模的線性規(guī)劃問題.Gomory割規(guī)劃問題的方法（見文獻(xiàn)[1]）.此外，同線性規(guī)劃模型一樣，我們也可以運(yùn)用LINGO和LINDO軟件包來求解整數(shù)線性規(guī)劃模型.第二十五頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日目錄下頁返回上頁結(jié)束以1988年美國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽B題為例，說明整數(shù)線性規(guī)劃模型的建立及用LINGO軟件包如何求解整數(shù)線性規(guī)劃模型.例3有七種規(guī)格的包裝箱要裝到兩節(jié)鐵路平板車上去。包裝箱的寬和高是一樣的，但厚度（t，以cm計(jì)）及重量（w，以kg計(jì)）是不同的.表1給出了每種包裝箱的厚度、重量以及數(shù)量.每節(jié)平板車有10.2m長的地方可用來裝包裝箱（像面包片那樣），載重為40t.由于當(dāng)?shù)刎涍\(yùn)的限制，對于第二十六頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日目錄下頁返回上頁結(jié)束C5,C6,C7類包裝箱的總數(shù)有一個(gè)特別的限制：這類箱子所占的空間（厚度）不能超過302.7cm.試把包裝箱裝到平板車上，使得浪費(fèi)的空間最小.種類C1C2C3C4C5C6C7t/cm48.753.061.372.048.752.064.0w/kg200030001000500400020001000n/件8796648第二十七頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日目錄下頁返回上頁結(jié)束為在第節(jié)車上裝載第件包裝箱的解令下面我們建立該問題的整數(shù)線性規(guī)劃模型。第二十八頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日目錄下頁返回上頁結(jié)束1)約束條件兩節(jié)車的裝箱數(shù)不能超過需要裝的件數(shù)，即：每節(jié)車可裝的長度不能超過車能提供的長度：每節(jié)車可裝的重量不超過車能夠承受的重量：第二十九頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日目錄下頁返回上頁結(jié)束對于C5,C6,C7類包裝箱的總數(shù)的特別限制：2)目標(biāo)函數(shù)浪費(fèi)的空間最小，即包裝箱的總厚度最大：第三十頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日目錄下頁返回上頁結(jié)束3)整數(shù)線性規(guī)劃模型第三十一頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日目錄下頁返回上頁結(jié)束4)模型求解運(yùn)用LINGO軟件求解得到：5)最優(yōu)解的分析說明優(yōu)的裝車方案，此時(shí)裝箱的總長度為1019.7cm，兩節(jié)車共裝箱的總長度為2039.4cm.由上一步中的求解結(jié)果可以看出，即為最但是，上述求解結(jié)果只是其中一種最優(yōu)的裝車方案，即此答案并不唯一.第三十二頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日目錄下頁返回上頁結(jié)束

0-1整數(shù)規(guī)劃是整數(shù)規(guī)劃的特殊情形，它要求線性規(guī)劃模型中的決策變量xij只能取值為0或1.單隱枚舉法，該方法是一種基于判斷條件（過濾

0-1整數(shù)規(guī)劃模型的求解目前并沒有非常好的四、0-1整數(shù)規(guī)劃模型

算法，對于變量比較少的情形，我們可以采取簡條件）的窮舉法.我們也可以利用LINGO和LINDO軟件包來求解0-1整數(shù)規(guī)劃模型.第三十三頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日目錄下頁返回上頁結(jié)束例4

有n個(gè)物品，編號為1,2,…,n，第i件物品重ai千克，價(jià)值為ci

元，現(xiàn)有一個(gè)載重量不超過大，應(yīng)如何裝載這些物品？a千克的背包，為了使裝入背包的物品總價(jià)值最用變量xi

表示物品i是否裝包，i=1,2,…,n，并令：解第三十四頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日目錄下頁返回上頁結(jié)束可得到背包問題的規(guī)劃模型為：第三十五頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日目錄下頁返回上頁結(jié)束例5

有n項(xiàng)任務(wù)，由n個(gè)人來完成，每個(gè)人只能做一件，第i個(gè)人完成第j項(xiàng)任務(wù)要cij小時(shí)，如何合理安排時(shí)間才能使總用時(shí)最?。恳霠顟B(tài)變量xij

，并令：解則總用時(shí)表達(dá)式為：第三十六頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日目錄下頁返回上頁結(jié)束可得到指派問題的規(guī)劃模型為：第三十七頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日目錄下頁返回上頁結(jié)束上面介紹的指派問題稱為指派問題的標(biāo)準(zhǔn)形式，還有許多其它的諸如人數(shù)與任務(wù)數(shù)不等、及但一般可以通過一些轉(zhuǎn)化，將其變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)形式.某人可以完成多個(gè)任務(wù)，某人不可以完成任務(wù)，某任務(wù)必須由某人完成等特殊要求的指派問題.對于標(biāo)準(zhǔn)形式的指派問題，我們可以利用匈牙利算法實(shí)現(xiàn)求解.它將指派問題中的系數(shù)構(gòu)成一個(gè)矩陣，利用矩陣上簡單的行和列變換，結(jié)合解的判定條件，實(shí)現(xiàn)求解（見文獻(xiàn)[2]）.第三十八頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日目錄下頁返回上頁結(jié)束DVD在線租賃第二個(gè)問題的求解問題二的分析經(jīng)營成本和會(huì)員的滿意度是被考慮的兩個(gè)相互制約的重要因素.在忽略郵寄成本的前提下，經(jīng)營成本主要體現(xiàn)為DVD的數(shù)量.我們主要考慮在會(huì)員向網(wǎng)站提供需求信息，且滿足一定要求的前提下，對給定數(shù)量DVD進(jìn)行分配決策，使得DVD的數(shù)量盡量小，會(huì)員滿意度最大.第三十九頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日目錄下頁返回上頁結(jié)束假設(shè)按照公歷月份進(jìn)行的租賃業(yè)務(wù)，即會(huì)員無論兩次租賃還是一次租賃，必須在當(dāng)月內(nèi)完成DVD的租與還.同時(shí)假設(shè)網(wǎng)站對其會(huì)員進(jìn)行一次租賃業(yè)務(wù)時(shí)，只能向其提供3張?jiān)摃?huì)員已經(jīng)預(yù)定的DVD，否則不進(jìn)行租賃.經(jīng)觀察，可以認(rèn)為在線訂單中每個(gè)會(huì)員的預(yù)定DVD的表示偏好程度的數(shù)字反映了會(huì)員對所預(yù)定不同DVD的滿意程度，且當(dāng)會(huì)員租到其預(yù)定排序?yàn)?，2，3的三張DVD時(shí)，滿意度達(dá)到100%.會(huì)員沒有預(yù)定的DVD對其滿意度的貢獻(xiàn)為0.第四十頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日目錄下頁返回上頁結(jié)束利用層次分析法，對此滿意指數(shù)的合理性進(jìn)行了簡單分析.

該問題要求根據(jù)現(xiàn)有的100種DVD的數(shù)量和當(dāng)前需要處理的1000位會(huì)員的在線訂單，制定分配策略，使得會(huì)員達(dá)到最大的滿意度.因而我們認(rèn)為只需對這些DVD進(jìn)行一次性分配，使得會(huì)員的總體滿意度達(dá)到最大.為此考慮建立優(yōu)化模型，進(jìn)行求解.第四十一頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日目錄下頁返回上頁結(jié)束問題二的模型及求解經(jīng)營成本和會(huì)員的滿意度是被考慮的兩個(gè)相互制約的重要因素.在忽略郵寄成本的前提下，經(jīng)營成本主要體現(xiàn)為DVD的數(shù)量.我們主要考慮在會(huì)員向網(wǎng)站提供需求信息，且滿足一定要求的前提下，對給定數(shù)量DVD進(jìn)行分配決策，使得DVD的數(shù)量盡量小，會(huì)員滿意度最大.第四十二頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日目錄下頁返回上頁結(jié)束第四十三頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日目錄下頁返回上頁結(jié)束第四十四頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日目錄下頁返回上頁結(jié)束第四十五頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日目錄下頁返回上頁結(jié)束由此，可得問題二的0-1整數(shù)線性規(guī)劃模型如下：第四十六頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日目錄下頁返回上頁結(jié)束根據(jù)所得的0-1整數(shù)線性規(guī)劃模型，利用LINGO軟件進(jìn)行求解，我們得到了一組最優(yōu)分配方案.該組最優(yōu)解其目標(biāo)函數(shù)會(huì)員總體最大滿意度為91.56%，只有6人未成功租賃（如：前30名會(huì)員中C0008被分配到DVD），其余994個(gè)會(huì)員全都得到了3張預(yù)定的DVD.第四十七頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日目錄下頁返回上頁結(jié)束五、非線性規(guī)劃模型

前面介紹了線性規(guī)劃問題，即目標(biāo)函數(shù)和約束條件都是線性函數(shù)的規(guī)劃問題，但在實(shí)際工作中，還常常會(huì)遇到另一類更一般的規(guī)劃問題，其中目標(biāo)函數(shù)和約束條件至少有一個(gè)是非線性函數(shù)的規(guī)劃問題，即非線性規(guī)劃問題.第四十八頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日目錄下頁返回上頁結(jié)束

事實(shí)上，客觀世界中的問題許多是非線性的，給予線性大多是近似的，是在作了科學(xué)的假設(shè)和簡化后得到的.為了利用線性的知識，許多非線性問題常進(jìn)行線性化處理.但在實(shí)際問題中，有一些是不能進(jìn)行線性化處理的，否則將嚴(yán)重影響模型對實(shí)際問題近似的可依賴型.第四十九頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日目錄下頁返回上頁結(jié)束

由于非線性規(guī)劃問題在計(jì)算上常是困難的，理論上的討論也不能像線性規(guī)劃那樣給出簡潔的結(jié)果形式和全面透徹的結(jié)論.這點(diǎn)又限制了非線性規(guī)劃的應(yīng)用，所以，在數(shù)學(xué)建模時(shí)，要進(jìn)行認(rèn)真的分析，對實(shí)際問題進(jìn)行合理的假設(shè)、簡化，首先考慮用線性規(guī)劃模型，若線性近似誤差較大時(shí)，則考慮用非線性規(guī)劃.第五十頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日目錄下頁返回上頁結(jié)束非線性規(guī)劃問題的標(biāo)準(zhǔn)形式為：第五十一頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日目錄下頁返回上頁結(jié)束非線性規(guī)劃模型按約束條件可分為以下三類：⑵

等式約束非線性規(guī)劃模型：⑴無約束非線性規(guī)劃模型：第五十二頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日目錄下頁返回上頁結(jié)束⑶不等式約束非線性規(guī)劃模型：1)無約束的非線性規(guī)劃問題.針對上述三類非線性規(guī)劃模型，其常用求解的基本思路可歸納如下：第五十三頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日目錄下頁返回上頁結(jié)束(表示函數(shù)的梯度）求出最優(yōu)解，但求解往往是很困難的.

若目標(biāo)函數(shù)的形式簡單，可以通過求解方程（下降迭代法）尋找，該方法的基本步驟如下：所以往往根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的特征采用搜索的方法第五十四頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日目錄下頁返回上頁結(jié)束②檢驗(yàn)是否滿足停止迭代的條件，如是，則停止迭代，用來近似問題的最優(yōu)解，否則轉(zhuǎn)至③.④從出發(fā)，沿方向，按某種方法確定步長，使得：⑤令，然后置，返回②適當(dāng)選取初始點(diǎn)，令③按某種規(guī)則確定處的搜索方向.第五十五頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日目錄下頁返回上頁結(jié)束

在下降迭代算法中，搜索方向起著關(guān)鍵的作用，而當(dāng)搜索方向確定后，步長又是決定算法好壞的重要因素.非線性規(guī)劃只含一個(gè)變量，即一維非線性規(guī)劃可以用一維搜索方法求得最優(yōu)解，一維搜索方法主要有進(jìn)退法和黃金分割法.二維的非線性規(guī)劃也可以像解線性規(guī)劃那樣用圖形求解.對于二維非線性規(guī)劃，使用搜索方法是要用到梯度的概念，最常用的搜索方法就是最速下降法.第五十六頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日目錄下頁返回上頁結(jié)束2)只有等式約束的非線性規(guī)劃問題通?？捎孟ā⒗窭嗜粘俗臃ɑ蚍春瘮?shù)法，將其化為無約束問題求解.3)

具有不等式約束的非線性規(guī)劃問題解起來很復(fù)雜，求解這一類問題，通常將不等式化為等式約束，再將約束問題化為無約束問題，用線性逼近的方法將非線性規(guī)劃問題化為線性規(guī)劃問題.第五十七頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日下面介紹一個(gè)簡單的非線性規(guī)劃問題的例子，其中的一些約束條件是等式，這類非線性規(guī)劃問題可用拉格朗日方法求解.第五十八頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日目錄下頁返回上頁結(jié)束例7（石油最優(yōu)儲(chǔ)存方法）有一石油運(yùn)輸公司，為了減少開支，希望作了節(jié)省石油的存儲(chǔ)空間.但要求存儲(chǔ)的石油能滿足客戶的要求.為簡化問題，假設(shè)只經(jīng)營兩種油，各種符號表示的意義如表4所示.其中供給率指石油公司供給客戶的速度.第五十九頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日目錄下頁返回上頁結(jié)束表4

各種符號表示意義表第i種油的存儲(chǔ)量第i種油的價(jià)格第i種油的供給率第i種油的每單位的存儲(chǔ)費(fèi)用第i種油的每單位的存儲(chǔ)空間總存儲(chǔ)公式第六十頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日目錄下頁返回上頁結(jié)束由歷史數(shù)據(jù)得到的經(jīng)驗(yàn)公式為:且提供數(shù)據(jù)如表5所示：第六十一頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日目錄下頁返回上頁結(jié)束表5數(shù)據(jù)表已知總存儲(chǔ)空間石油的種類1930.5022450.24第六十二頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日目錄下頁返回上頁結(jié)束代入數(shù)據(jù)后得到的模型為：模型求解：拉格朗日函數(shù)的形式為：

第六十三頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日目錄下頁返回上頁結(jié)束即:對求各個(gè)變量的偏導(dǎo)數(shù)，并令它們等于零，得:第六十四頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日目錄下頁返回上頁結(jié)束解這個(gè)線性方程組得：從而可得最小值是12.71

.

表示當(dāng)約束條件右邊的值增大一個(gè)單位后，相應(yīng)目標(biāo)函數(shù)值的增加值。比如說：如總存儲(chǔ)空間由24變?yōu)?5時(shí)，最優(yōu)值會(huì)由12.71變?yōu)榈诹屙?，共一百一十一頁?022年，8月28日目錄下頁返回上頁結(jié)束六、多目標(biāo)規(guī)劃模型

在許多實(shí)際問題中，衡量一個(gè)方案的好壞標(biāo)準(zhǔn)往往不止一個(gè)，例如設(shè)計(jì)一個(gè)導(dǎo)彈，既要射程最遠(yuǎn)，又要燃料最省，還要精度最高.這一類問題統(tǒng)稱為多目標(biāo)最優(yōu)化問題或多目標(biāo)規(guī)劃問題.我們先來看一個(gè)生產(chǎn)計(jì)劃的例子.第六十六頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日目錄下頁返回上頁結(jié)束能耗不得超過160t標(biāo)準(zhǔn)煤其它數(shù)據(jù)如下表：布料生產(chǎn)數(shù)量（m/h）利潤（元/m）最大銷售量（m/周）能耗（t/km）A14000.15400001.2A25100.13510001.3A33600.20300001.4問每周應(yīng)生產(chǎn)三種布料各多少m，才能使該廠的利潤最高，而能源消耗最少？，該廠兩班生產(chǎn)，每周生產(chǎn)時(shí)間為80h，例8（生產(chǎn)計(jì)劃問題）某廠生產(chǎn)三種布料第六十七頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日目錄下頁返回上頁結(jié)束，總利潤為（元），總能耗為解

設(shè)該廠每周生產(chǎn)布料的小時(shí)數(shù)為（t標(biāo)準(zhǔn)煤），其中，則上述問題的數(shù)學(xué)模型為第六十八頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日目錄下頁返回上頁結(jié)束其中，，.有顯然這是一個(gè)多目標(biāo)線性規(guī)劃問題.一般的多目標(biāo)規(guī)劃問題都可寫成如下的形式：第六十九頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日目錄下頁返回上頁結(jié)束多目標(biāo)規(guī)劃問題的解法大致可分為兩類：直接解法和間接解法.到目前為止，常用的多為間接解法，即根據(jù)問題的實(shí)際背景和特征，設(shè)法將多目標(biāo)優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)優(yōu)化問題，從而得到滿意解的方法.

許解.多目標(biāo)規(guī)劃問題與前面講的規(guī)劃問題的主要區(qū)別在于：目標(biāo)函數(shù)不止一個(gè)，而是p個(gè)（）.稱為多目標(biāo)規(guī)劃問題的可行集或容許集，稱為可行解或容第七十頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日目錄下頁返回上頁結(jié)束在多目標(biāo)優(yōu)化問題中，若能從p個(gè)目標(biāo)中，確定一個(gè)目標(biāo)為主要目標(biāo)，例如，主要目標(biāo)法而把其余目標(biāo)作為次要目標(biāo)，并根據(jù)實(shí)際情況，確定適當(dāng)?shù)慕缦拗?，這樣就可以把次要目標(biāo)作為約束來處理，而將多目標(biāo)優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為求解如下的線性或非線性規(guī)劃問題：第七十一頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日把多目標(biāo)規(guī)劃問題中的p個(gè)目標(biāo)按其重要程度排一個(gè)次序，假設(shè)最重要，次之，目錄下頁返回上頁結(jié)束令，其中界限值取為，再次之，L，最后一個(gè)目標(biāo).先求出以第一個(gè)目標(biāo)為目標(biāo)函數(shù)而原問題則此非線性規(guī)劃問題得最優(yōu)解必為原問題的弱有效解.因此，用主要目標(biāo)法求得的解必是多目標(biāo)優(yōu)化問題的弱有效解或有效解.2）分層序列法第七十二頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日目錄下頁返回上頁結(jié)束變的問題：的最優(yōu)解及最優(yōu)值，再求問題：的最優(yōu)解及最優(yōu)值，即，其中：為問題的可行域.第七十三頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日目錄下頁返回上頁結(jié)束再求解問題：得最優(yōu)解及最優(yōu)值，L，如此繼續(xù)下去，直到求出第p個(gè)問題：得最優(yōu)解及最優(yōu)值，則就是原多目標(biāo)規(guī)劃問題在分層序列意義下得最優(yōu)解，為其最優(yōu)值.第七十四頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日目錄下頁返回上頁結(jié)束，其最優(yōu)解是唯一的，則問題的最優(yōu)解也是唯一的，且。因此常將分層序列法修改如下：選取一組適當(dāng)?shù)男≌龜?shù)，成為寬容值，把上述的問題修改如下：再按上述方法依次求解各問題.容易看出，在使用分層序列法時(shí)，若對某個(gè)問題p.第七十五頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日目錄下頁返回上頁結(jié)束對多目標(biāo)規(guī)劃問題中的p個(gè)目標(biāo)按期重要程度給以適當(dāng)?shù)臋?quán)系數(shù)

，且，然后用作為新的目得最優(yōu)解，取作為多目標(biāo)規(guī)劃問題的解.3）線性加權(quán)求和法標(biāo)函數(shù)，成為評價(jià)（目標(biāo)）函數(shù)，再求解問題第七十六頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日目錄下頁返回上頁結(jié)束在一定條件下，用線性加權(quán)求和法求得的最優(yōu)解必是原多目標(biāo)規(guī)劃問題的有效解或弱有效解.例9．求解引言中DVD在線租賃的第三個(gè)問題.下面以引言中2005年全國大學(xué)生數(shù)模競賽“DVD在線租賃”問題第三問為例，介紹多目標(biāo)線性規(guī)劃模型以及利用主要目標(biāo)法求解該模型.第七十七頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日目錄下頁返回上頁結(jié)束此問是在現(xiàn)有的在線訂單基礎(chǔ)上，為滿足一個(gè)月內(nèi)95%的會(huì)員得到他想看的DVD，我們進(jìn)行購買量預(yù)算和分配決策，使得會(huì)員的滿意度最大.預(yù)算購買量的目的是在盡可能地減少DVD購買量的前提下，滿足要求，進(jìn)行合理分配使得會(huì)員的滿意度最大.問題三的分析第七十八頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日

我們假設(shè)會(huì)員得到他想看的DVD就是指：會(huì)員租賃到了他預(yù)定的DVD中的三張；且假設(shè)會(huì)員每次租賃前都需要提交新的在線訂單.此問中要求在一個(gè)月內(nèi)進(jìn)行分配，因而存在部分DVD的兩次被租賃，但因?yàn)槭翘幚硗环萦唵?，因而存在?huì)員的第二次租賃.第七十九頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日目錄下頁返回上頁結(jié)束基于這個(gè)假設(shè)，為了最小化購買量，我們在允許當(dāng)前某些會(huì)員無法被滿足租賃要求，讓其等待，利用部分會(huì)員還回的DVD對其進(jìn)行租賃.根據(jù)問題一，我們認(rèn)為，一個(gè)月中每張DVD有0.6的概率被租賃兩次，0.4的概率被租賃一次.即在二次租賃的情況下，每張DVD相當(dāng)于發(fā)揮了張DVD的作用.第八十頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日目錄下頁返回上頁結(jié)束由此，在問題二建立的0-1整數(shù)規(guī)劃模型的求，考慮DVD可能的兩次分配，進(jìn)一步追求DVD基礎(chǔ)上，滿足95%的會(huì)員得到他想看DVD的要進(jìn)行求解.總的購買數(shù)量最小.建立雙目標(biāo)整數(shù)規(guī)劃模型第八十一頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日目錄下頁返回上頁結(jié)束設(shè)表示第j種DVD需要的購買量.對每種DVD，問題三的模型要求分配的總量不超過相應(yīng)的現(xiàn)有數(shù)量的1.6倍.即:為了讓95%的會(huì)員可以得到他想看的3張DVD，即:第八十二頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日目錄下頁返回上頁結(jié)束我們希望購買DVD的總數(shù)量最小，即:由此，可以得到問題三的雙目標(biāo)整數(shù)線性規(guī)劃模型如下：第八十三頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日目錄下頁返回上頁結(jié)束第八十四頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日目錄下頁返回上頁結(jié)束對于該雙目標(biāo)整數(shù)線性規(guī)劃模型，我們引入總體滿意度水平（即最小的滿意度）將其滿意度的目標(biāo)轉(zhuǎn)換為約束，如下：問題三的求解與檢驗(yàn)第八十五頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日目錄下頁返回上頁結(jié)束第八十六頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日目錄下頁返回上頁結(jié)束利用Lingo軟件，調(diào)整總體滿意度水平進(jìn)行求解。實(shí)際計(jì)算中，如果要求為整數(shù)，無法求得可行解，因而我們?nèi)∠似湔麛?shù)約束進(jìn)行計(jì)算。求得解后，對其進(jìn)行取整。當(dāng)時(shí)，我們解得DVD總的最小購買量，其中第j種DVD需要的購買量如下表：第八十七頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日表6當(dāng)時(shí)最小購買量的值目錄下頁返回上頁結(jié)束DVD編號D01D02D03D04D05D06D07D08D09D10最少購買量14211724121719212214DVD編號D11D12D13D14D15D16D17D18D19D20最少購買量18181717172418161823DVD編號D21D22D23D24D25D26D27D28D29D30最少購買量20182214181715121624DVD編號D31D32D33D34D35D36D37D38D39D40最少購買量19222019222213171717DVD編號D41D42D43D44D45D46D47D48D49D50最少購買量32201621221620152020第八十八頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日目錄下頁返回上頁結(jié)束續(xù)上表DVD編號D51D52D53D54D55D56D57D58D59D60最少購買量24171917191819172021DVD編號D61D62D63D64D65D66D67D68D69D70最少購買量16191920171917212019DVD編號D71D72D73D74D75D76D77D78D79D80最少購買量21221520151412171917DVD編號D81D82D83D84D85D86D87D88D89D90最少購買量18101412211322151317DVD編號D91D92D93D94D95D96D97D98D99D100最少購買量24171514251522201122第八十九頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日目錄下頁返回上頁結(jié)束

我們利用規(guī)劃模型求得每種DVD的購買量后，需要對其進(jìn)行可行性校驗(yàn)，測試此結(jié)果是否可以且具有盡可能大的總體滿意度.滿足一個(gè)月內(nèi)比例為95%的會(huì)員得到他想看DVD，第九十頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日目錄下頁返回上頁結(jié)束校驗(yàn)方法：

（一）根據(jù)訂單和求得的DVD購買數(shù)量，利用問題二的規(guī)劃模型進(jìn)行第一次分配，對分配情況：租賃的會(huì)員，DVD的分配情況，剩余的各種DVD數(shù)量作記錄；同時(shí)將已租賃的會(huì)員在滿意指數(shù)矩陣的指數(shù)全變?yōu)?，即不考慮對其進(jìn)行第二次分配.第九十一頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日

（二）隨機(jī)從第一次得到DVD的會(huì)員中抽取60%，將這部分人所還回的DVD與第一次分配余下的DVD合在一起，作為第二次分配時(shí)各種DVD的現(xiàn)有量.然后，利用問題二的0-1線性規(guī)劃模型對第一次未分配到DVD的會(huì)員進(jìn)行第二次分配；第九十二頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日目錄下頁返回上頁結(jié)束

（三）統(tǒng)計(jì)出經(jīng)過兩次分配后，得到DVD的會(huì)得到DVD的會(huì)員大于95%，則認(rèn)為模型三是合理的.種算法進(jìn)行多次隨機(jī)模擬，若大多數(shù)情況下可以使員的比例，若大于95%，則此次分配成功.利用這第九十三頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日目錄下頁返回上頁結(jié)束校驗(yàn)結(jié)果：

因?yàn)槊看螜z驗(yàn)需時(shí)約1小時(shí)，我們只對問題三表77次模擬結(jié)果每次的觀看比例列表驗(yàn)證次數(shù)1234567觀看比例95.8％96.6％93.4％95.3％95.9％96.1％95.7％觀看比例大于95%）.下面給出7次模擬得到的觀求得的結(jié)果進(jìn)行了7次模擬，其中6次符合要求（看比例（表7）：第九十四頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日目錄下頁返回上頁結(jié)束七、動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型過程中的最優(yōu)控制問題.

動(dòng)態(tài)規(guī)劃所研究的對象是多階段對策問題，是在20世紀(jì)50年代初期由美國數(shù)學(xué)家R.Bellman等人提出的一類規(guī)劃模型.動(dòng)態(tài)規(guī)劃是現(xiàn)代管理領(lǐng)域的一種重要的決策方法，其主要應(yīng)用有最優(yōu)路徑問題、資源分配問題、投資決策問題、生產(chǎn)計(jì)劃與庫存問題、排序問題、貨物裝載問題以及生產(chǎn)第九十五頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日目錄下頁返回上頁結(jié)束理多階段決策問題的最優(yōu)化原理.效益的總和達(dá)到最優(yōu).多階段決策問題是指一類活動(dòng)過程，它可分為若干個(gè)相互聯(lián)系的階段，在每個(gè)階段都需要做出決策，這個(gè)決策不僅決定這一階段的效益，而定以后，就得到一個(gè)決策序列，稱為策略.多階段決策問題就是求一個(gè)策略，使各階段的效益的下面我們通過講解一個(gè)最短路問題來引出處且決定下一階段的初始狀態(tài)，每個(gè)階段的決策確第九十六頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日目錄下頁返回上頁結(jié)束例10有一輛汽車要把貨物從A城運(yùn)到E城，而可供選擇，選取怎樣的路線才能使路程最短？從A城到E城必須經(jīng)過一些城市，整段路程可以分為若干個(gè)階段，而每個(gè)階段又有若干個(gè)城市假定從A城到E城的所有路線如下圖所示：第九十七頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日目錄下頁返回上頁結(jié)束圖1從A城到E城的路線其中B1,B2,C1,C2,D1,D2是可供選擇的城市，途中的數(shù)字表示兩城之間的距離（以10千米為單位）.561327424146第九十八頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日目錄下頁返回上頁結(jié)束顯然，這是一個(gè)多階段決策問題：從A到E可以分為4個(gè)階段.從A點(diǎn)出發(fā)到B1或B2為第一階段，這時(shí)有兩個(gè)選擇：走到B1或者走到B2.若我們選擇走到B1的決策，則B1就是下一個(gè)階段的起點(diǎn).在下一階段，我們從B1出發(fā)，有一個(gè)可供選擇的決策集合{C1,C2}，很明顯，前面各階段的決策如何選擇，直接影響著其余各階段的行進(jìn)路線，我們的目的就是在各個(gè)階段選擇一個(gè)決策，使由它們決定的總路程最短.第九十九頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日目錄下頁返回上頁結(jié)束下面我們來求此問題的最短路線，并以此來說明處理多階段決策問題的最優(yōu)化原理.先引入動(dòng)態(tài)規(guī)劃的基本概念.令k表示由某點(diǎn)至終點(diǎn)之間的階段數(shù).例如從A到E可以分為4個(gè)階段，從B1到E是5個(gè)階段；第k階段的終點(diǎn)又是第k+1階段的起點(diǎn)，記為Sk，第一百頁，共一百