數(shù)列求通項與求和方法總結

n+1n2n+12n22n+12n22n212為首項，以3為公差的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項公式，得an=1+(n_1)3，所以數(shù)列{a}的通項22n2n31223n=(n_n_)+(n__n_)(n_112232aa2132313l3nJ(n_n_1)+(n_1_n_2)+(n_2_n_3)+--數(shù)列通項公式的十種求法一、公式法nn+1n1nn22aaaa3an+1n2n+12n22n數(shù)列，再直接利用等差數(shù)列的通項公式求出an=1+(n_1)3，進而求出數(shù)列{a}的通項公式。2n2n例2已知數(shù)列{a}滿足a=a+2n+1，a=1，求數(shù)列{a}的通項公式。nn+1n1nn+1nn+1nnnn_1n_1n_232211所以數(shù)列{a}的通項公式為a=n2。nnn+1nn+1nnn_1n_1n_232211n例3已知數(shù)列{a}滿足a=a+2根3n+1，a=3，求數(shù)列{a}的通項公式。nn+1n1nn+1nn+1nnnn_1n_1n_232211n評注：本題解題的關鍵是把遞推關系式a=a+2根3n+1轉化為a_a=2根3n+1，進而求出n+1nn+1nnnn_1n_1n_232211n例4已知數(shù)列{a}滿足a=3a+2根3n+1，a=3，求數(shù)列{a}的通項公式。nn+1n1nnnn+13n33n+1aa21nn，故aaan_)aaan_)13n3naa3n_3n_n_1n_2233n33n_33n_33322=+33n3n3n_3n_n322naaaaaa3n3n_13n_13n_23n_23n_3求數(shù)列{a}的通項公式。n--a=n.n一1..3.2.anaaaa1nn1nnn+1naaaaa1nn評注：本題解題的關鍵是把遞推關系式a=(n+1)a(n之2)轉化為an+1=n+1(n之2)，進而求出nnaaaa2nn--三、累乘法例5已知數(shù)列{a}滿足a=2(n+1)5n人a，a=3，求數(shù)列{a}的通項公式。nn+1n1nn+1n1nanaaaan例6(2004年全國I第15題，原題是填空題)已知數(shù)列{a}滿足nn1n123n一1nn123n一1n+1123n+1nanna222nn2.nn2.naaana=6，求數(shù)列{a}的通項公式。nn+1n1nn+1nn+1nnnnn+1nnann1nnnn評注：本題解題的關鍵是把遞推關系式a=2a+3人5n轉化為a一5n+1=2(a一5n)，從而可知數(shù)n+1nn+1nnnn例8已知數(shù)列{a}滿足a=3a+5人2n+4，a=1，求數(shù)列{a}的通項公式。nn+1n1nnnn+1nnn2n2nn1 ----na+5〉2n+2，nan1nn評注：本題解題的關鍵是把遞推關系式a=3a+5〉2n+4轉化為n+1na+5〉2n+1+2=3(a+5〉2n+2)，從而可知數(shù)列{a+5〉2n+2}是等比數(shù)列，進而求出數(shù)列n+1nn{a+5〉2n+2}的通項公式，最后再求數(shù)列{a}的通項公式。nn例9已知數(shù)列{a}滿足a=2a+3n2+4n+5，a=1，求數(shù)列{a}的通項公式。nn+1n1nn+1nnnnnnnnn+1nnnn1nn評注：本題解題的關鍵是把遞推關系式a=2a+3n2+4n+5轉化為n+1nn+1nn列，進而求出數(shù)列{a+3n2+10n+18}的通項公式，最后再求出數(shù)列{a}的通項公式。nn五、對數(shù)變換法--例10已知數(shù)列{a}滿足a=2〉3n〉a5，a=7，求數(shù)列{a}的通項公式。nn+1n1nn+1n1nn+1n+1nn+1nn+1n(lg3(lg3+x=5x|x=4n+14164n4164141644164n4164n4164n41644164n41644164----n4164464111n11lg16.24)]5n1lg(34.316.24)111n11111n11=lg(75n1.34.316.24)則a=75n131624。n評注：本題解題的關鍵是通過對數(shù)變換把遞推關系式a=23na5轉化為n+1nn+14164n4164{lga+lg3n+lg3+lg2}是等比數(shù)列，進而求出數(shù)列{lga+lg3n+lg3+lg2}的通項公式，最后n4164n4164再求出數(shù)列{a}的通項公式。n六、迭代法nn+1n1nnnnnnn1n2=n+1n+1nlga=lgan.lgan1.nlgalgan1n2七、數(shù)學歸納法nlgalga1n21例12已知數(shù)列{a}滿足a=a+，a=，求數(shù)列解：由a=a+及a=，得nn(2n+1)2(2n+3)219由此可猜測a=(2n+1)21，往下用數(shù)學歸納法證明這個結論。(21+1)218 (1)當n=1時，a==，所以等式成立。(2)假設當n=k時等式成立，即a=(2k+1)21，則當n=k+1時，1=a3n1.n!.221又a=5，所以數(shù)列{a}的通項公式為a=53n1.n!.21nn評注：本題還可綜合利用累乘法和對數(shù)變換法求數(shù)列的通項公式。即先將等式a=a3(n+1)2n兩邊取常n+1nanana14，求數(shù)列anana14，求數(shù)列{an}的通項公式。nn1nnnnn。所以數(shù)列n是以nananan1--kk8(k1)(2k1)2(2k1)2(2k3)2[2(k1)1]2根據(jù)(1)，(2)可知，等式對任何nN*都成立。評注：本題解題的關鍵是通過首項和遞推關系式先求出數(shù)列的前n項，進而猜出數(shù)列的通項公式，最后再用數(shù)學歸納法加以證明。八、換元法例13已知數(shù)列{a}滿足aa例13已知數(shù)列{a}滿足a11(b21)24nnn1nnnn124n1n116nn 1(b21)1[141(b21)b]24n11624nn即4b2(b3)2n1n因為b124a0，故b124a0nnn1n1n1nn12n2n12n所以{b3}是以b3124a3124132為首項，以1為公比的等比數(shù)列，因此n112nn22n2n2a()na()n()n。n3423評注：本題解題的關鍵是通過將124a的換元為b，使得所給遞推關系式轉化bb形式，nnn12n2從而可知數(shù)列{b3}為等比數(shù)列，進而求出數(shù)列{b3}的通項公式，最后再求出數(shù)列{a}的通項公nnn九、不動點法------n3423評注：本題解題的關鍵是通過將1+24a的換元為b，使得所給遞推關系式轉化b=b+形nnn+12n2從而可知數(shù)列{b-3}為等比數(shù)列，進而求出數(shù)列{b-3}的通項公式，最后再求出數(shù)列{a}的通項公nnn專題講座——數(shù)列求和的基本方法和技巧1．等差數(shù)列與等比數(shù)列是兩種最基本、最重要及應用最廣泛的數(shù)列，其他數(shù)列問題的解決往往借助它們完成，或經(jīng)過變形轉化為等差或等比數(shù)列，或利用等差、等比數(shù)列的研究方法。所以等差數(shù)列與等比數(shù)列的基礎知識是數(shù)列中最基本、最重要也最易把握的知識。2．數(shù)列的通項是數(shù)列最重要、最常見的表達形式，它是數(shù)列的核心。應弄清通項公式的意義——項數(shù)n的函數(shù)；理解通項公式的作用——可以用通項公式求數(shù)列的任意一項的值及對數(shù)列進行一般性的3．數(shù)列的遞推式是數(shù)列的另一種表達形式，可以是一階線性遞推、二階線性遞推、二次函數(shù)形式遞推、勾函數(shù)形式遞推、與奇偶聯(lián)系的遞推等，是高考的熱點。要注重疊加、疊乘、迭代等解題技巧的4．數(shù)列求和的問題往往和其他知識綜合在一起，綜合性教強。數(shù)列求和就顯得特別一大題的某一問出現(xiàn)，難度不大。7．數(shù)列的應用極其廣泛，因此盡管現(xiàn)在的應用題多為概率統(tǒng)計，但不排除考數(shù)列應用題的可能，也有可能是數(shù)列與概率交匯。一、利用常用求和公式求和n212nn2n6n2nnnnnnn(利用常用公式)nnnnnn----n2n1三、反序相加法求和二、錯位相減法求和項和，其中{an}、{bn}分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.nnnnn【鞏固練習】2：求數(shù)列2,4,6,...,2n,...前n項的和.222232n2n1解：由題可知，{}的通項是等差數(shù)列{2n}的通項與等比數(shù)列{}的通項之積2n2n62nS…①n222232n1242(n1)2n(設制錯位)(錯位相減)S=++...++………………②(設制錯位)(錯位相減)2n22232n2n+12n22223242n2n+1這是推導等差數(shù)列的前n項和公式時所用的方法，就是將一個數(shù)列倒過來排列(反序)，再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個(a+a).nnnnnnnnn把①式右邊倒轉過來得nnnnnnnnnnnnnnnnnn將①式右邊反序得(反序相加)(反序相加)①+②得--nnnnn--四、分組法求和有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當拆開，可分為幾個等差、等比，再將其合并即可.形如：{an士bn}的形式，其中{an}、{bn}是等差數(shù)列、等比數(shù)列或常見的數(shù)列.111將其每一項拆開再重新組合得n22(分組)(分組求和)1aaknkk1將其每一項拆開再重新組合得(分組)(分組)(分組求和)(分組求和)＝2五、裂項法求和這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應用.裂項法的實質是將數(shù)列中的每項(通項)分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的.通項分解(裂項)如：(1)a=f(n+1)一f(n)n11 n (5)a= (5)a==[一]nn(n一1)(n+2)2n(n+1)(n+1)(n+2) (7)a==(一)n(An+B)(An+C)C一BAn+BAn+Cn1a=n+n11111(裂項)1