2023屆湖北省武漢市新洲區(qū)數(shù)學(xué)高一下期末綜合測(cè)試模擬試題含解析

2022-2023學(xué)年高一下數(shù)學(xué)期末模擬試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．某三棱錐的三視圖如圖所示，該三棱錐的外接球表面積為（）A． B． C． D．2．《張丘建算經(jīng)》中女子織布問(wèn)題為：某女子善于織布，一天比一天織得快，且從第2天開(kāi)始，每天比前一天多織相同量的布，已知第一天織5尺布，一月（按30天計(jì)）共織390尺布，則從第2天起每天比前一天多織（）尺布.A． B． C． D．3．方程的解集是（）A． B．C． D．4．在數(shù)列中，若，，則（）A． B． C． D．5．若圓錐的高擴(kuò)大為原來(lái)的3倍，底面半徑縮短為原來(lái)的12A．縮小為原來(lái)的34 B．縮小為原來(lái)的C．?dāng)U大為原來(lái)的2倍 D．不變6．已知平面平面，，點(diǎn)，，直線，直線，直線，，則下列四種位置關(guān)系中，不一定成立的是（）A． B． C． D．7．已知非零向量，滿足，且，則與的夾角為

A． B． C． D．8．若，則的最小值是（）A． B． C． D．9．已知向量，且，則的值為（）A．1 B．3 C．1或3 D．410．如圖，在四邊形ABCD中，，，，，.則（）A． B． C．4 D．3二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知數(shù)列，，且，則________．12．200名職工年齡分布如圖所示，從中隨機(jī)抽取40名職工作樣本，采用系統(tǒng)抽樣方法，按1~200編號(hào)，分為40組，分別為1~5，6~10，…，196~200，若第5組抽取號(hào)碼為22，則第8組抽取號(hào)碼為_(kāi)_______．若采用分層抽樣，40歲以下年齡段應(yīng)抽取________人．13．下列命題中：①若，則的最大值為；②當(dāng)時(shí)，；③的最小值為；④當(dāng)且僅當(dāng)均為正數(shù)時(shí)，恒成立.其中是真命題的是__________．(填上所有真命題的序號(hào))14．設(shè)公差不為零的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則__________．15．正項(xiàng)等比數(shù)列中，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，，則的取值范圍是____________．16．不等式的解集為_(kāi)________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．在中，三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，滿足.（1）求角的大?。唬?）若，求，的值.（其中）18．某種筆記本的單價(jià)是5元，買個(gè)筆記本需要y元，試用函數(shù)的三種表示法表示函數(shù).19．在等比數(shù)列中，，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.20．在公差不為零的等差數(shù)列中，成等比數(shù)列.（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，求證.21．在等差數(shù)列中，已知．（1）求通項(xiàng)；（2）求的前項(xiàng)和．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】

根據(jù)三視圖還原幾何體，由三棱錐的幾何特征即可求出其外接球表面積．【詳解】根據(jù)三視圖可知，該幾何體如圖所示：所以該幾何體的外接球，即是長(zhǎng)方體的外接球．因?yàn)?，所以外接球直徑．故該三棱錐的外接球表面積為．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查由三視圖還原幾何體，并計(jì)算其外接球的表面積，意在考查學(xué)生的直觀想象能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．2、B【解析】由題可知每天織的布的多少構(gòu)成等差數(shù)列,其中第一天為首項(xiàng),一月按30天計(jì)可得,從第2天起每天比前一天多織的即為公差.又,解得.故本題選B.3、C【解析】

把方程化為，結(jié)合正切函數(shù)的性質(zhì)，即可求解方程的解，得到答案.【詳解】由題意，方程，可化為，解得，即方程的解集為.故答案為：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的基本關(guān)系式，以及三角方程的求解，其中解答中熟記正切函數(shù)的性質(zhì)，準(zhǔn)確求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】

利用倒數(shù)法構(gòu)造等差數(shù)列，求解通項(xiàng)公式后即可求解某一項(xiàng)的值.【詳解】∵，∴，即，數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為2的等差數(shù)列，∴，即，∴．故選C．【點(diǎn)睛】對(duì)于形如，可將其轉(zhuǎn)化為的等差數(shù)列形式，然后根據(jù)等差數(shù)列去計(jì)算.5、A【解析】

設(shè)原來(lái)的圓錐底面半徑為r，高為h，可得出變化后的圓錐的底面半徑為12r，高為【詳解】設(shè)原來(lái)的圓錐底面半徑為r，高為h，該圓錐的體積為V=1變化后的圓錐底面半徑為12r，高為該圓錐的體積為V'=1故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查圓錐體積的計(jì)算，考查變化后的圓錐體積的變化，解題關(guān)鍵就是圓錐體積公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題.6、D【解析】

平面外的一條直線平行平面內(nèi)的一條直線則這條直線平行平面，若兩平面垂直則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直另一個(gè)平面，主要依據(jù)這兩個(gè)定理進(jìn)行判斷即可得到答案．【詳解】如圖所示：由于，，，所以，又因?yàn)椋?，故A正確，由于，，所以，故B正確，由于，，在外，所以，故C正確；對(duì)于D，雖然，當(dāng)不一定在平面內(nèi)，故它可以與平面相交、平行，不一定垂直，所以D不正確；故答案選D【點(diǎn)睛】本題考查線面平行、線面垂直、面面垂直的判斷以及性質(zhì)應(yīng)用，要求熟練掌握定理是解題的關(guān)鍵．7、B【解析】

根據(jù)題意，建立與的關(guān)系，即可得到夾角.【詳解】因?yàn)?，所以，則，則，所以，所以?shī)A角為故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的數(shù)量積運(yùn)算，難度較小.8、A【解析】,則,當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào).所以選項(xiàng)是正確的.點(diǎn)睛：本題主要考查基本不等式，其難點(diǎn)主要在于利用三角形的一邊及這條邊上的高表示內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng).在用基本不等式求最值時(shí)，應(yīng)具備三個(gè)條件：一正二定三相等.①一正：關(guān)系式中，各項(xiàng)均為正數(shù)；②二定：關(guān)系式中，含變量的各項(xiàng)的和或積必須有一個(gè)為定值；③三相等：含變量的各項(xiàng)均相等，取得最值.9、B【解析】

先求出，再利用向量垂直的坐標(biāo)表示得到關(guān)于的方程，從而求出.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，則，解得所以答案選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，以及向量垂直的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】

在中，由正弦定理得到的長(zhǎng)，在中，先得到的值，再利用余弦定理，求出的長(zhǎng).【詳解】在中，由正弦定理，得，因?yàn)?，，所以，在中，由余弦定理得所?故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理、余弦定理解三角形，屬于簡(jiǎn)單題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

由題意可得{}是以+1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，再由已知求得首項(xiàng)，進(jìn)一步求得即可．【詳解】在數(shù)列中，滿足得，則數(shù)列是以+1為首項(xiàng)，以公比為2的等比數(shù)列，得，由，則，得．由，得，故．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列的遞推式，利用構(gòu)造等比數(shù)列方法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬于中檔題．12、371【解析】

由系統(tǒng)抽樣，編號(hào)是等距出現(xiàn)的規(guī)律可得，分層抽樣是按比例抽取人數(shù)．【詳解】第8組編號(hào)是22+5+5+5＝37，分層抽樣，40歲以下抽取的人數(shù)為50%×40＝1（人）．故答案為：37；1．【點(diǎn)睛】本題考查系統(tǒng)抽樣和分層抽樣，屬于基礎(chǔ)題．13、①②【解析】

根據(jù)均值不等式依次判斷每個(gè)選項(xiàng)的正誤，得到答案.【詳解】①若，則的最大值為，正確②當(dāng)時(shí)，，時(shí)等號(hào)成立，正確③的最小值為，取錯(cuò)誤④當(dāng)且僅當(dāng)均為正數(shù)時(shí)，恒成立均為負(fù)數(shù)時(shí)也成立.故答案為①②【點(diǎn)睛】本題考查了均值不等式，掌握一正二定三相等的具體含義是解題的關(guān)鍵.14、【解析】

設(shè)出數(shù)列的首項(xiàng)和公差,根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式,代入條件化簡(jiǎn)得和的關(guān)系,再代入所求的式子進(jìn)行化簡(jiǎn)求值.【詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為,公差為,由,得,得,.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用,屬于基礎(chǔ).15、【解析】

利用結(jié)合基本不等式求得的取值范圍【詳解】由題意知，，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的前n項(xiàng)和及性質(zhì)，利用性質(zhì)結(jié)合基本不等式求最值是關(guān)鍵16、【解析】

利用兩個(gè)數(shù)的商是正數(shù)等價(jià)于兩個(gè)數(shù)同號(hào)；將已知的分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式，求出解集．【詳解】同解于解得或故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查解分式不等式，利用等價(jià)變形轉(zhuǎn)化為整式不等式是解題的關(guān)鍵．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）4，6【解析】

（1）已知等式利用正弦定理化簡(jiǎn)，整理后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，求出的值，即可確定出的度數(shù)；（2）根據(jù)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算法則計(jì)算得到一個(gè)等式，記作①，把的度數(shù)代入求出的值,記作②,然后利用余弦定理表示出，把及的值代入求出的值，利用完全平方公式表示出，把相應(yīng)的值代入，開(kāi)方求出的值,由②③可知與為一個(gè)一元二次方程的兩個(gè)解,求出方程的解,根據(jù)大于，可得出，的值.【詳解】（1）已知等式，利用正弦定理化簡(jiǎn)得，整理得，即，，則.（2）由，得，①又由（1），②由余弦定理得，將及①代入得，，，③由②③可知與為一個(gè)一元二次方程的兩個(gè)根，解此方程，并由大于，可得.【點(diǎn)睛】以三角形和平面向量為載體，三角恒等變換為手段，正弦定理、余弦定理為工具，對(duì)三角函數(shù)及解三角形進(jìn)行考查是近幾年高考考查的一類熱點(diǎn)問(wèn)題，一般難度不大，但綜合性較強(qiáng).解答這類問(wèn)題，兩角和與差的正余弦公式、誘導(dǎo)公式以及二倍角公式，一定要熟練掌握并靈活應(yīng)用，特別是二倍角公式的各種變化形式要熟記于心.18、見(jiàn)解析.【解析】

根據(jù)定義域，分別利用解析法，列表法，圖像法表示即可.【詳解】解：這個(gè)函數(shù)的定義域是數(shù)集.用解析法可將函數(shù)表示為，.用列表法可將函數(shù)表示為筆記本數(shù)12345錢數(shù)510152025用圖象法可將函數(shù)表示為：【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的表示方法，注意函數(shù)的定義域，是基礎(chǔ)題.19、（1）；（2）.【解析】

（1）設(shè)出通項(xiàng)公式，利用待定系數(shù)法即得結(jié)果；（2）先求出通項(xiàng)，利用錯(cuò)位相減法可以得到前項(xiàng)和.【詳解】（1）因?yàn)?，，所以，解得故的通?xiàng)公式為.（2）由（1）可得，則，①，②①-②得故.【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，錯(cuò)位相減法求和，意在考查學(xué)生的分析能力及計(jì)算能力，難度中等.20、（Ⅰ）（Ⅱ）見(jiàn)解析【解析】

（Ⅰ）根據(jù)題意列出方程組，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式化簡(jiǎn)求解即可；（Ⅱ）將的通項(xiàng)公式代入所給等式化簡(jiǎn)求出的通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)相消法求出，由推出，由數(shù)列是遞增數(shù)列推出.【詳解】（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為（），因?yàn)?，所以?/p>