拋物線地性質(zhì)歸納及證明

拋物線的常見性質(zhì)及證明概念焦半徑：拋物線上一點與其焦點的連線段；焦點弦：兩端點在拋物線上且經(jīng)過拋物線的焦點線段稱為焦點弦.性質(zhì)及證明過拋物線y2＝2px（p＞0）焦點F的弦兩端點為,,傾斜角為,中點為C(x0,y0),分別過A、B、C作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為A’、B’、C’.1.求證：①焦半徑；②焦半徑;③eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2,p)；④弦長|AB|＝x1＋x2＋p=；特別地，當(dāng)x1=x2(=90)時，弦長|AB|最短，稱為通徑，長為2p；⑤△AOB的面積S△OAB＝.CDB(x2，y2)RA(x1，y1)xyOA1B1F圖2證明：根據(jù)拋物線的定義，|AFCDB(x2，y2)RA(x1，y1)xyOA1B1F圖2|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p如圖2，過A、B引x軸的垂線AA1、BB1，垂足為A1、B1，那么|RF|＝|AD|－|FA1|＝|AF|－|AF|cos，∴|AF|＝eq\f(|RF|,1－cos)＝eq\f(p,1－cos)同理，|BF|＝eq\f(|RF|,1＋cos)＝eq\f(p,1＋cos)∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝eq\f(p,1－cos)＋eq\f(p,1＋cos)＝eq\f(2p,sin2).S△OAB＝S△OAF＋S△OBF＝eq\f(1,2)|OF||y1|＋eq\f(1,2)|OF||y1|＝eq\f(1,2)·eq\f(p,2)·(|y1|＋|y1|)∵y1y2＝－p2，則y1、y2異號，因此，|y1|＋|y1|＝|y1－y2|∴S△OAB＝eq\f(p,4)|y1－y2|＝eq\f(p,4)eq\r((y1＋y2)2－4y1y2)＝eq\f(p,4)eq\r(4m2p2＋4p2)＝eq\f(p2,2)eq\r(1＋m2)＝eq\f(p2,2sin).2.求證：①；②；③eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2,p).當(dāng)AB⊥x軸時，有成立；當(dāng)AB與x軸不垂直時，設(shè)焦點弦AB的方程為：.代入拋物線方程：.化簡得：∵方程（1）之二根為x1，x2，∴..3.求證：Rt∠.CDB(x2，yCDB(x2，y2)RA(x1，y1)xyOFENM圖3【證法一】延長AM交BC的延長線于E，如圖3，則△ADM≌△ECM，∴|AM|＝|EM|，|EC|＝|AD|∴|BE|＝|BC|＋|CE|＝|BC|＋|AD|＝|BF|＋|AF|＝|AB|∴△ABE為等腰三角形，又M是AE的中點，∴BM⊥AE，即∠AMB＝Rt∠【證法二】取AB的中點N，連結(jié)MN，則|MN|＝eq\f(1,2)(|AD|＋|BC|)＝eq\f(1,2)(|AF|＋|BF|)＝eq\f(1,2)|AB|，∴|MN|＝|AN|＝|BN|∴△ABM為直角三角形，AB為斜邊，故∠AMB＝Rt∠.【證法三】由已知得C(－eq\f(p,2)，y2)、D(－eq\f(p,2)，y1)，由此得M(－eq\f(p,2)，eq\f(y1＋y2,2)).∴kAM＝eq\f(y1－\f(y1＋y2,2),x1＋\f(p,2))＝eq\f(y1－y2,2·\f(y\o(\s\up1(2),\s\do1(1)),2p)＋p)＝eq\f(p(y1－y2),y\o(\s\up1(2),\s\do1(1))＋p2)＝eq\f(p(y1－\f(－p2,y1)),y\o(\s\up1(2),\s\do1(1))＋p2)＝eq\f(p,y1)，同理kBM＝eq\f(p,y2)CDBRAxyOF圖41234M∴kAM·kBM＝eq\f(p,y1)·eq\f(p,y2)＝eq\f(p2,y1y2)＝eq\f(p2,－pCDBRAxyOF圖41234M∴BM⊥AE，即∠AMB＝Rt∠.【證法四】由已知得C(－eq\f(p,2)，y2)、D(－eq\f(p,2)，y1)，由此得M(－eq\f(p,2)，eq\f(y1＋y2,2)).∴eq\o(MA,\s\up6(→))＝(x1＋eq\f(p,2)，eq\f(y1－y2,2))，eq\o(MB,\s\up6(→))＝(x3＋eq\f(p,2)，eq\f(y2－y1,2))∴eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MB,\s\up6(→))＝(x1＋eq\f(p,2))(x2＋eq\f(p,2))＋eq\f((y1－y2)(y2－y1),4)＝x1x2＋eq\f(p,2)(x1＋x2)＋eq\f(p2,4)－eq\f((y1－y2)2,4)＝eq\f(p2,4)＋eq\f(p,2)(eq\f(y\o(\s\up1(2),\s\do1(1)),2p)＋eq\f(y\o(\s\up1(2),\s\do1(2)),2p))＋eq\f(p2,4)－eq\f(y\o(\s\up1(2),\s\do1(1))＋y\o(\s\up1(2),\s\do1(2))－2y1y2,4)＝eq\f(p2,2)＋eq\f(y1y2,2)＝eq\f(p2,2)＋eq\f(－p2,2)＝0∴eq\o(MA,\s\up6(→))⊥eq\o(MB,\s\up6(→))，故∠AMB＝Rt∠.【證法五】由下面證得∠DFC＝90，連結(jié)FM，則FM＝DM.又AD＝AF，故△ADM≌△AFM，如圖4∴∠1＝∠2，同理∠3＝∠4圖5CDB(x2，y2)RA圖5CDB(x2，y2)RA(x1，y1)xyOF(eq\f(p,2)，0)∴∠AMB＝Rt∠.接著證明：∠DFC＝Rt∠【證法一】如圖5，由于|AD|＝|AF|，AD∥RF，故可設(shè)∠AFD＝∠ADF＝∠DFR＝，同理，設(shè)∠BFC＝∠BCF＝∠CFR＝，CDB(x2，y2)RA(x1CDB(x2，y2)RA(x1，y1)xyOFM圖6GHD1∴2(＋)＝180，即＋＝90，故∠DFC＝90【證法二】取CD的中點M，即M(－eq\f(p,2)，eq\f(y1＋y2,2))由前知kAM＝eq\f(p,y1)，kCF＝eq\f(－y2,＋\f(p,2)＋\f(p,2))＝eq\f(－y2,p)＝eq\f(p,y1)∴kAM＝kCF，AM∥CF，同理，BM∥DF∴∠DFC＝∠AMB＝90.【證法三】∵eq\o(DF,\s\up6(→))＝(p，－y1)，eq\o(CF,\s\up6(→))＝(p，－y2)，N1NMxyOF圖7M1l∴eq\o(DF,\s\up6(→))·eq\o(CF,\s\up6(→))＝p2N1NMxyOF圖7M1l∴eq\o(DF,\s\up6(→))⊥eq\o(CF,\s\up6(→))，故∠DFC＝90.【證法四】由于|RF|2＝p2＝－y1y2＝|DR|·|RC|，即eq\f(|DR|,|RF|)＝eq\f(|RF|,|RC|)，且∠DRF＝∠FRC＝90∴△DRF∽△FRC∴∠DFR＝∠RCF，而∠RCF＋∠RFC＝90∴∠DFR＋∠RFC＝90 ∴∠DFC＝904.C’A、C’B是拋物線的切線CDB(x2，y2)RA(x1，y1)xyOFM圖8D1【證法一】∵kAM＝eq\f(p,y1)，AM的直線方程為y－y1＝eq\f(pCDB(x2，y2)RA(x1，y1)xyOFM圖8D1與拋物線方程y2＝2px聯(lián)立消去x得y－y1＝eq\f(p,y1)(eq\f(y2,2p)－eq\f(y\o(\s\up1(2),\s\do1(1)),2p))，整理得y2－2y1y＋eqy\o(\s\up1(2),\s\do1(1))＝0可見△＝(2y1)2－4eqy\o(\s\up1(2),\s\do1(1))＝0，故直線AM與拋物線y2＝2px相切，同理BM也是拋物線的切線，如圖8.【證法二】由拋物線方程y2＝2px，兩邊對x求導(dǎo)，eq(y2)\o(\s\up1(),\s\do1(x))＝eq(2px)\o(\s\up1(),\s\do1(x))，得2y·eqy\o(\s\up1(),\s\do1(x))＝2p，eqy\o(\s\up1(),\s\do1(x))＝eq\f(p,y)，故拋物線y2＝2px在點A(x1，y1)處的切線的斜率為k切＝eqy\o(\s\up1(),\s\do1(x))|y＝y(tǒng)1＝eq\f(p,y1).又kAM＝eq\f(p,y1)，∴k切＝kAM，即AM是拋物線在點A處的切線，同理BM也是拋物線的切線.【證法三】∵過點A(x1，y1)的切線方程為y1y＝p(x＋x1)，把M(－eq\f(p,2)，eq\f(y1＋y2,2))代入左邊＝y(tǒng)1·eq\f(y1＋y2,2)＝eq\f(y\o(\s\up1(2),\s\do1(1))＋y1y2,2)＝eq\f(2px1－p2,2)＝px1－eq\f(p2,2)，右邊＝p(－eq\f(p,2)＋x1)＝－eq\f(p2,2)＋px1，左邊＝右邊，可見，過點A的切線經(jīng)過點M，CDB(x2CDB(x2，y2)RA(x1，y1)xyOFENM圖95.C’A、C’B分別是∠A’AB和∠B’BA的平分線.【證法一】延長AM交BC的延長線于E，如圖9，則△ADM≌△ECM，有AD∥BC，AB＝BE，∴∠DAM＝∠AEB＝∠BAM，即AM平分∠DAB，同理BM平分∠CBA.【證法二】由圖9可知只須證明直線AB的傾斜角是直線AM的傾斜角的2倍即可，即＝2.且M(－eq\f(p,2)，eq\f(y1＋y2,2))∵tan＝kAB＝eq\f(y2－y1,x2－x1)＝eq\f(y2－y1,\f(y\o(\s\up1(2),\s\do1(2)),2p)－\f(y\o(\s\up1(2),\s\do1(1)),2p))＝eq\f(2p,y1＋y2).tan＝kAM＝eq\f(y1－\f(y1＋y2,2),x1＋\f(p,2))＝eq\f(y1－y2,2·\f(y\o(\s\up1(2),\s\do1(1)),2p)＋p)＝eq\f(p(y1－y2),y\o(\s\up1(2),\s\do1(1))＋p2)＝eq\f(p(y1－\f(－p2,y1)),y\o(\s\up1(2),\s\do1(1))＋p2)＝eq\f(p,y1).∴tan2＝eq\f(2tan,1－tan2)＝eq\f(\f(2p,y1),1－(\f(p,y1))2)＝eq\f(2py1,y\o(\s\up1(2),\s\do1(2))－p2)＝eq\f(2py1,y\o(\s\up1(2),\s\do1(2))＋y1y2)＝eq\f(2p,y1＋y2)＝tan∴＝2，即AM平分∠DAB，同理BM平分∠CBA.6.AC’、A’F、y軸三線共點，BC’、B’F、y軸三線共點【證法一】如圖10，設(shè)AM與DF相交于點G1，由以上證明知|AD|＝|AF|，AM平分∠DAF，故AG1也是DF邊上的中線，∴G1是DF的中點.CDB(x2，y2)RA(x1，CDB(x2，y2)RA(x1，y1)xyOFM圖10GHD1易知，|DD1|＝|OF|，DD1∥OF，故△DD1G2≌△FOG∴|DG2|＝|FG2|，則G2也是DF的中點.∴G1與G2重合（設(shè)為點G），則AM、DF、y軸三線共點，同理BM、CF、y軸也三線共點.【證法二】AM的直線方程為y－y1＝eq\f(p,y1)(x－eq\f(y\o(\s\up1(2),\s\do1(1)),2p))，令x＝0得AM與y軸交于點G1(0，eq\f(y1,2))，又DF的直線方程為y＝－eq\f(y1,p)(x－eq\f(p,2))，令x＝0得DF與y軸交于點G2(0，eq\f(y1,2))∴AM、DF與y軸的相交同一點G(0，eq\f(y1,2))，則AM、DF、y軸三線共點，同理BM、CF、y軸也三線共點H．由以上證明還可以得四邊形MHFG是矩形.CDB(x2，y2)RA(x1，y1CDB(x2，y2)RA(x1，y1)xyOF圖11【證法一】如圖11，kOA＝eq\f(y1,x1)＝eq\f(y1,\f(y\o(\s\up1(2),\s\do1(1)),2p))＝eq\f(2p,y1)，kOC＝eq\f(y2,－\f(p,2))＝－eq\f(2y2,p)＝－eq\f(2py2,p2)＝－eq\f(2py2,－y1y2)＝eq\f(2p,y1)∴kOA＝kOC，則A、O、C三點共線，同理D、O、B三點也共線.【證法二】設(shè)AC與x軸交于點O，∵AD∥RF∥BC∴eq\f(|RO|,|AD|)＝eq\f(|CO|,|CA|)＝eq\f(|BF|,|AB|)，eq\f(|OF|,|AF|)＝eq\f(|CB|,|AB|)，又|AD|＝|AF|，|BC|＝|BF|，∴eq\f(|RO|,|AF|)＝eq\f(|OF|,|AF|)∴|RO|＝|OF|，則O與O重合，即C、O、A三點共線，同理D、O、B三點也共線.【證法三】設(shè)AC與x軸交于點O，RF∥BC，eq\f(|OF|,|CB|)＝eq\f(|AF|,|AB|)，∴|OF|＝eq\f(|CB|·|AF|,|AB|)＝eq\f(|BF|·|AF|,|AF|＋|BF|)＝eq\f(1,\f(1,|AF|)＋\f(1,|BF|))＝eq\f(p,2)【見⑵證】∴O與O重合，則即C、O、A三點共線，同理D、O、B三點也共線.【證法四】∵eq\o(OC,\s\up6(→))＝(－eq\f(p,2)，y2)，eq\o(OA,\s\up6(→))＝(x1，y1)，∵－eq\f(p,2)·y1－x1y2＝－eq\f(p,2)·y1－eq\f(y\o(\s\up1(2),\s\do1(1)),2p)y2＝－eq\f(py1,2)－eq\f(y1y2y1,2p)＝－eq\f(py1,2)＋eq\f(p2y1,2p)＝0∴eq\o(OC,\s\up6(→))∥eq\o(OA,\s\up6(→))，且都以O(shè)為端點∴A、O、C三點共線，同理B、O、D三點共線.【推廣】過定點P(m，0)的直線與拋物線y2＝2px（p＞0）相交于點A、B，過A、B兩點分別作直線l：x＝－m的垂線，垂足分別為M、N，則A、O、N三點共線，B、O、M三點也共線，如下圖：8.若|AF|：|BF|＝m：n，點A在第一象限，為直線AB的傾斜角.則cos＝eq\f(m－n,m＋n)；【證明】如圖14，過A、B分別作準(zhǔn)線l的垂線，垂足分別為D，C，過B作BE⊥AD于E，設(shè)|AF|＝mt，|AF|＝nt，則CDBRAxyOEF圖14l|AD|＝|AF|，|BC|＝|CDBRAxyOEF圖14l∴在Rt△ABE中，cos∠BAE＝eq\f(|AE|,|AB|)＝eq\f((m－n)t,(m＋n)t)＝eq\f(m－n,m＋n)∴cos＝cos∠BAE＝eq\f(m－n,m＋n).【例6】設(shè)經(jīng)過拋物線y2＝2px的焦點F的直線與拋物線相交于兩點A、B，且|AF|：|BF|＝3：1，則直線AB的傾斜角的大小為.【答案】60或120.9.以AF為直徑的圓與y軸相切，以BF為直徑的圓與y軸相切；以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切;A’B’為直徑的圓與焦點弦AB相切.【說明】如圖15，設(shè)E是AF的中點，則E的坐標(biāo)為(eq\f(\f(p,2)＋x1,2)，eq\f(y1,2))，則點E到y(tǒng)軸的距離為d＝eq\f(\f(p,2)＋x1,2)＝eq\f(1,2)|AF|故以AF為直徑的圓與y軸相切，同理以BF為直徑的圓與y軸相切.【說明】如圖15，設(shè)M是AB的中點，作MN⊥準(zhǔn)線l于N，則