整式的乘法綜合復(fù)習(xí)講義(按知識點)

整式的乘法綜合復(fù)習(xí)講義（按知識點）1．同底數(shù)冪的乘法(1)法則：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加．(2)符號表示：am·an＝am＋n(m，n都是正整數(shù))．(3)拓展：①當(dāng)三個或三個以上同底數(shù)冪相乘時，也具有同樣的性質(zhì)，即am·an·…·ar＝am＋n＋…＋r(m，n，…，r都是正整數(shù))．②法則可逆用，即am＋n＝am·an(m，n都是正整數(shù))．談重點同底數(shù)冪的特征“同底數(shù)冪”是指底數(shù)相同的冪，等號左邊符合幾個同底數(shù)冪相乘，等號右邊，即結(jié)果為一個冪．注意不要忽視指數(shù)為1的因式．【例1】計算：(1)103×106；(2)(－2)5×(－2)2；(3)an＋2·an＋1·a；(4)(x＋y)2(x＋y)3.分析：(1)中的兩個冪的底數(shù)是10；(2)中的兩個底數(shù)都是－2；(3)中的三個冪的底數(shù)都是a；這三道題可以直接用同底數(shù)冪的運算性質(zhì)計算．(4)要把x＋y看作一個整體，再運用同底數(shù)冪的乘法法則．解：(1)103×106＝103＋6＝109；(2)(－2)5×(－2)2＝(－2)5＋2＝－27；(3)an＋2·an＋1·a＝an＋2＋n＋1＋1＝a2n＋4；(4)(x＋y)2(x＋y)3＝(x＋y)2＋3＝(x＋y)5.2．冪的乘方(1)法則：冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘．(2)符號表示：(am)n＝amn(m，n都是正整數(shù))．(3)拓展：①法則可推廣為[(am)n]p＝amnp(m，n，p都是正整數(shù))②法則可逆用：amn＝(am)n＝(an)m(m，n都是正整數(shù))警誤區(qū)冪的乘方的理解不要把冪的乘方與同底數(shù)冪的乘法混淆．冪的乘方運算是轉(zhuǎn)化為指數(shù)的乘法運算(底數(shù)不變)；同底數(shù)冪的乘法，是轉(zhuǎn)化為指數(shù)的加法運算(底數(shù)不變)．【例2】計算：(1)(102)3；(2)(am)3；(3)[(－x)3]2；(4)[(y－x)4]2.分析：解決本題的關(guān)鍵是要分清底數(shù)、指數(shù)是什么，然后再運用法則進行計算，如(2)中的底數(shù)是a，(3)中的底數(shù)是－x，(4)中的底數(shù)是y－x.解：(1)(102)3＝102×3＝106；(2)(am)3＝a3m(3)[(－x)3]2＝(－x)3×2＝x6；(4)[(y－x)4]2＝(y－x)4×2＝(y－x)8.3.積的乘方(1)法則：積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘．(2)符號表示：(ab)n＝anbn(n為正整數(shù))．(3)拓展：①三個或三個以上的數(shù)的乘積，也適用這一法則，如：(abc)n＝anbncn.a，b，c可以是任意數(shù)，也可以是冪的形式．②法則可逆用：anbn＝(ab)n.(n為正整數(shù))．警誤區(qū)積的乘方的易錯點運用積的乘方法則易出現(xiàn)的錯誤有：(1)漏乘因式；(2)當(dāng)每個因式再乘方時，應(yīng)該用冪的乘方的運算性質(zhì)，指數(shù)相乘，而結(jié)果算式為指數(shù)相加；(3)系數(shù)計算錯誤．【例3】計算：(1)(－xy)3；(2)(x2y)2；(3)(2×102)2；(4)(－eq\f(2,3)ab2)2.解：(1)(－xy)3＝(－1)3x3y3＝－x3y3；(2)(x2y)2＝(x2)2·y2＝x4y2；(3)(2×102)2＝22×(102)2＝4×104；(4)(－eq\f(2,3)ab2)2＝(－eq\f(2,3))2a2(b2)2＝eq\f(4,9)a2b4.4．單項式乘以單項式法則：單項式與單項式相乘，把它們的系數(shù)、同底數(shù)冪分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式．談重點單項式乘以單項式要注意的三點運用單項式與單項式相乘時要注意：(1)在計算時，應(yīng)先確定積的符號；(2)注意按運算順序進行；(3)不要丟掉只有一個單項式里含有的字母．【例4】下列計算正確的是()．A．3x3·2x2y＝6x5 B．2a2·3a3＝C．(2x)3·(－5x2y)＝－10x5y D．(－2xy)·(－3x2y)＝6x3y解析：A結(jié)果漏掉了字母“y”，C結(jié)果應(yīng)為－40x5y，D結(jié)果應(yīng)為6x3y2.答案：B5．單項式與多項式相乘法則：單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加．即m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc.單項式與多項式乘法法則的理解單項式與多項式相乘，其實質(zhì)就是乘法分配律的應(yīng)用，將單項式乘多項式轉(zhuǎn)化為單項式乘單項式，再轉(zhuǎn)化為同底數(shù)冪相乘．所以熟練掌握同底數(shù)冪乘法和單項式乘以單項式，是學(xué)好單項式乘以單項式的基礎(chǔ)和關(guān)鍵．單項式與多項式相乘，結(jié)果是一個多項式，其項數(shù)與因式中多項式的項數(shù)相同，運算時可以此來檢驗運算中是否漏乘．【例5】計算：(1)(－3ab)(2a2b－ab(2)x(x－2)－2x(x＋1)－3x(x－5)．解：(1)(－3ab)(2a2b－ab＝(－3ab)(2a2b)＋(－3ab)(－ab)＋(－3ab)×＝－6a3b2＋3a2b2－6(2)x(x－2)－2x(x＋1)－3x(x－5)＝x·x＋x·(－2)＋(－2x)x＋(－2x)·1＋(－3x)·x＋(－3x)·(－5)＝－4x2＋11x.6．多項式與多項式相乘法則：多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加．即(a＋b)(m＋n)＝am＋an＋bm＋bn.警誤區(qū)多項式乘以多項式的注意點多項式乘以多項式時，應(yīng)注意以下幾點：(1)相乘時，按一定的順序進行，必須做到不重不漏；(2)多項式與多項式相乘，仍得多項式，在合并同類項之前，積的項數(shù)應(yīng)等于原多項式的項數(shù)之積；(3)相乘后，若有同類項應(yīng)該合并．【例6】計算：(1)(5a－2b)(2a＋(2)(a2－a＋1)(a＋1)．解：(1)(5a－2b)(2a＋＝5a·2a＋5a·b－2b·2a＝10a2＋5ab－4ab－2b＝10a2＋ab－2b2(2)(a2－a＋1)(a＋1)＝a2·a＋a2·1－a·a－a·1＋1·a＋1＝a3＋a2－a2－a＋a＋1＝a3＋1.7.同底數(shù)冪的除法(1)法則同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減．(2)符號表示am÷an＝am－n(a≠0，m，n都是正整數(shù)，并且m＞n)．(3)注意①應(yīng)用法則時，必須明確底數(shù)是什么，指數(shù)是什么，然后按同底數(shù)冪相除的法則計算；②運算時要注意運算順序，同時還要注意指數(shù)為“1”的情況，如：m5÷m＝m5－1，而不是m5÷m＝m5－0(4)0次冪任何不等于0的數(shù)的0次冪都等于1，即a0＝1(a≠0)．談重點同底數(shù)冪的除法法則的理解運用同底數(shù)冪相除應(yīng)注意：(1)適用范圍：兩個冪的底數(shù)相同，且是相除的關(guān)系，被除式的指數(shù)大于或等于除式的指數(shù)，且底數(shù)不能為0；(2)底數(shù)可以是數(shù)，也可以是單項式或多項式；(3)該法則對于三個或三個以上的同底數(shù)冪相除仍然成立．【例7】計算：(1)a4÷a2；(2)(－x)5÷x3；(3)xn＋3÷xn；(4)(x＋1)4÷(x＋1)．解：(1)a4÷a2＝a4－2＝a2；(2)(－x)5÷x3＝－x5÷x3＝－x5－3＝－x2；(3)xn＋3÷xn＝xn＋3－n＝x3；(4)(x＋1)4÷(x＋1)＝(x＋1)4－1＝(x＋1)3.8．單項式除以單項式(1)法則單項式相除，把系數(shù)與同底數(shù)冪分別相除作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個因式．(2)步驟①系數(shù)相除；②同底數(shù)冪相除；③對于只在被除式里含有的字母的處理(連同指數(shù)作為商的一個因式)．單項式除以單項式的結(jié)果仍為單項式．【例8】計算：(1)(－0.5a2bc2)÷(－eq\f(2,5)ac2)；(2)(6×108)÷(3×105)；(3)(6x2y3)2÷(－3xy2)2.解：(1)(－0.5a2bc2)÷(－eq\f(2,5)ac2)＝[(－eq\f(1,2))×(－eq\f(5,2))]a2－1bc2－2＝eq\f(5,4)ab；(2)(6×108)÷(3×105)＝(6÷3)×108－5＝2×103；(3)(6x2y3)2÷(－3xy2)2＝36x4y6÷9x2y4＝(36÷9)x4－2y6－4＝4x2y2.9．多項式除以單項式(1)法則多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的商相加．(2)注意①多項式除以單項式轉(zhuǎn)化為單項式除以單項式來解決；②運算時不能漏項；③運算時注意符號的變化．警誤區(qū)多項式除以單項式的注意點(1)要注意商的符號，應(yīng)弄清多項式中每一項的符號，相除時要帶著符號與單項式相除；(2)多項式除以單項式的結(jié)果是一個多項式，多項式除以單項式是單項式乘以多項式的逆運算，可以用其進行檢驗．【例9】計算：(1)(6c2d－c3d3)÷(－2c2(2)(24m3n－16m2n2＋mn解：(1)(6c2d－c3d3)÷(－2c2＝(6c2d)÷(－2c2d)－(c3d3)÷(－2c＝－3＋eq\f(1,2)cd2；(2)(24m3n－16m2n2＋mn＝(24m3n)÷(－8m)－(16m2n2)÷(－8m＝－3m2n＋2mn2－eq\f(1,8)n3.10．整式乘法中的化簡求值整式乘法運算中的化簡求值題的主要步驟有：(1)按照題目規(guī)定的運算順序，對原式進行化簡；(2)將對應(yīng)的字母數(shù)值代入化簡后的結(jié)果進行計算；(3)注意代入時，不要代錯，在求值時，式子的運算符號和順序都不變．11．冪的運算法則的逆向運用冪的運算法則是以等式形式出現(xiàn)的，受思維定勢的影響，習(xí)慣于從左邊到右邊運用它，而忽視從右邊到左邊的應(yīng)用，即逆向運用運算法則．其實，有些問題如果逆向運用冪的運算性質(zhì)，解題會更加簡捷．(1)am＋n＝am·an(m，n都是正整數(shù))．(2)amn＝(am)n(m，n都是正整數(shù))．(3)anbn＝(ab)n(n為正整數(shù))．12．整式的混合運算在學(xué)習(xí)了整式的加減、乘除，乘法公式以后，就可以進行整式的混合運算了．整式的混合運算用到的知識點比較多，除了整式加減、乘除，乘法公式，還要用到去括號、乘法分配律等．談重點整式的混合運算的認識進行整式的混合運算首先要注意弄清運算順序，先算什么再算什么，然后注意每一步運算所用到的法則、公式等要準確無誤．【例10】當(dāng)y＝－eq\f(1,6)時，求代數(shù)式y(tǒng)(y2－6y＋9)－y(y2－8y－15)＋2y(3－y)的值．解：y(y2－6y＋9)－y(y2－8y－15)＋2y(3－y)＝y(tǒng)3－6y2＋9y－y3＋8y2＋15y＋6y－2y2＝30y，當(dāng)y＝－eq\f(1,6)時，原式＝30y＝30×(－eq\f(1,6))＝－5.【例11－1】計算：(－eq\f(3,10))2014·(3eq\f(1,3))2014.解：(－eq\f(3,10))2014·(3eq\f(1,3))2014＝(－eq\f(3,10)×eq\f(10,3))2014＝(－1)2014＝1.【例11－2】已知：3m＝6,9n＝2，求32m解：32m＋4n＝32m·34n＝(3m)2＝(3m)2·(9n)＝62×22＝36×4＝144.【例12】先化簡，再求值：[(x＋y)(x－y)－(x－y)2＋2y(x－y)]÷(－2y)，其中，x＝－eq\f(1,2)，y＝2.解：原式＝[x2－y2－(x2－2xy＋y2)＋2xy－2y2]÷(－2y)＝(x2－y2－x2＋2xy－y2＋2xy－2y2)÷(－2y)＝(－4y2＋4xy)÷(－2y)＝2y－2x，當(dāng)x＝－eq\f(1,2)，y＝2時，原式＝2y－2x＝2×2－2×(－eq\f(1,2))＝4－(－1)＝5.13．整式乘法中的開放型問題結(jié)論開放與探索：給出問題的條件，根據(jù)條件探索相應(yīng)的結(jié)論，并且符合條件的結(jié)論往往呈現(xiàn)多樣性，或者相應(yīng)的結(jié)論的“存在性”需要進行推斷，甚至探求條件在變化中的結(jié)論，這些問題都是結(jié)論開放性問題．它要求充分利用條件進行大膽而合理的猜想，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，得出結(jié)論，這類題主要考查我們的發(fā)散性思維和所學(xué)基本知識的應(yīng)用能力．14．與整式除法有關(guān)的求值問題這類與整式的除法有關(guān)的求值問題，采用傳統(tǒng)的方法很難求解，此時需根據(jù)題目的特點靈活變形采用整體代入法求解．首先應(yīng)認真觀察題目的特點，或者先將求值的式子化簡再求值，或者同時將已知式和求值式化簡．【例13】若a，b，k均為整數(shù)且滿足等式(x＋a)(x＋b)＝x2＋kx＋36，寫出兩個符合條件的k的值．解：因為(x＋a)(x＋b)＝x2＋kx＋36，所以x2＋(a＋b)x＋ab＝x2＋kx＋36，根據(jù)等式的對應(yīng)項的系數(shù)相等可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝a＋b，,ab＝36.))又因為a，b，k均為整數(shù)，36＝1×36＝2×18＝3×12＝4×9＝6×6＝(－1)×(－36)＝(－2)×(－18)＝(－3)×(－12)＝(－4)×(－9)＝(－6)×(－6)，所以a，b對應(yīng)的值共有10對，從而求出a＋b的值，即k的值有10個，分別為±37，±20，±15，±13，±12.只要寫出其中的兩個即可．【例14】已知x2－5x＋1＝0，求x2＋eq\f(1,x2)的值．解：將x＝0代入x2－5x＋1得該式子的值不等于0，故x2－5x＋1＝0中的x≠0，則x2－5x＋1＝0兩邊都除以x得，x＋eq\f(1,x)－5＝0，即x＋eq\f(1,x)＝5，又x2＋eq\f(1,x2)＝(x＋eq\f(1,x))2－2，將x＋eq\f(1,x)＝5代入可得x2＋eq\f(1,x2)＝52－2＝23.整式乘法全章綜合練習(xí)一、選擇題1、計算下列各式結(jié)果等于5的是（）A、B、Ｃ、Ｄ、2、下列計算錯誤的是()．A．(－2x)3＝－2x3B．－a2·a＝－a3C．(－x)9＋(－x)9＝－2x9D．(－2a3)23、下面是某同學(xué)的作業(yè)題：eq\o\ac(○,1)3a+2b=5abeq\o\ac(○,2)4m3n-5mn3=-m3neq\o\ac(○,3)eq\o\ac(○,4)4a3b÷(-2a2b)=-2aeq\o\ac(○,5)(a3)2=a5eq\o\ac(○,6)(-a)3÷(-a)=-a2其中正確的個數(shù)是（）A、1B、2C、3D、44、若(2x－1)0＝1，則()．A．x≥ B．x≠C．x≤ D．x≠5、若（＋m）（x－8）中不含x的一次項，則m的值為（）A、8B、－8C、0D、8或－6、化簡的結(jié)果是（）A．0B．C．D．7、下列各式的積結(jié)果是－3x4y6的是()．A．·(－3xy2)3B．·(－3xy2)3C．·(－3x2y3)2D．·(－3xy3)28、如果a2m－1·am＋2＝a7，則m的值是()．A．2 B．3 C．4 D．59、210＋(－2)10所得的結(jié)果是()．A．211 B．－211 C．－210、計算()2003×1.52002×(-1)2004的結(jié)果是()A、 B、 C、- D、-11、(－5x)2·xy的運算結(jié)果是()．A、10B、－10C、－2x2yD、2x2y12、(x－4)(x＋8)＝x2＋mx＋n則m，n的值分別是()．A．4,32 B．4，－32 C．－4,32 13、當(dāng)成立，則（）A、m、n必須同時為正奇數(shù)B、m、n必須同時為正偶數(shù)C、m為奇數(shù)D、m為偶數(shù)。14、的值是（）A、1B、－1C、0D、15、若，，則等于（）A、－5B、－3C、－1D、116、如果，，，那么（）A、＞＞B、＞＞C、＞＞D、＞＞17、若，則有（）A、B、C、