高考數(shù)學(xué)的復(fù)習(xí)資料

高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料

第一章集合

一定義

集合是高中數(shù)學(xué)中最原始的不定義的概念，只給出描述性的說(shuō)明。某些確定的且不同的

對(duì)象集在一起就成為集合。組成集合的對(duì)象叫做元素。

二集合的抽象表示形式

用大寫(xiě)字母A,B,C表示集合；用小寫(xiě)字母a,b,c...表示兀素。

三元素與集合的關(guān)系

有屬于，不屬于關(guān)系兩種。元素a屬于集合A,記作aeA；元素a不屬于集合A,記

作aeA。

四幾種集合的命名

有限集：含有有限個(gè)元素的集合；

無(wú)限集：含有無(wú)限個(gè)元素的集合；

空集：不包含任何元素的集合叫做空集，用0表示；

自然數(shù)集：N；正整數(shù)集：N*或N+；整數(shù)集：Z；

有理數(shù)集：Q；實(shí)數(shù)集：R。

五集合的表示方法

(-)列舉法：把元素一一列舉在大括號(hào)內(nèi)的表示方法，

例如：｛a,b,c｝?

注意：凡是以列舉法形式出現(xiàn)的集合，往往考察元素的互異性。

(二)描述法：有以下兩種描述方式

1.代號(hào)描述：【例】方程X?-3x+2=0的所有解組成的集合，可表示為｛x*-3x+2=0｝。

x是集合中元素的代號(hào)，豎線也可以寫(xiě)成冒號(hào)或者分號(hào)，豎線后面的式子的作用是描述集合

中的元素符合的條件。

2.文字描述：將說(shuō)明元素性質(zhì)的一句話寫(xiě)在大括號(hào)內(nèi)?！纠浚笥?小于5的整數(shù)｝;

描述法表示的集合一旦出現(xiàn)，首先需要分析元素的意義，也就說(shuō)要判斷元素到底是什么。

(三)韋恩圖法：用圖形表示集合定義了兩個(gè)集合之間的所有關(guān)

系。

1.子集：如果屬于A的所有元素都屬于B,那么A就叫做B的

子集，記作：AcB,如圖1-1所示。圖1-1

子集有兩種極限情況：(1)當(dāng)A成為空集時(shí)，A仍為B的子集；

(2)當(dāng)A和B相等時(shí)，A仍為B的子集。

真子集：如果所有屬于A的元素都屬于B,而且B中至少有一個(gè)元素不屬于A,那么A

叫做B的真子集，記作N08或

真子集也是子集，和子集的區(qū)別之處在于AHB。對(duì)于同一個(gè)集合，其真子集的個(gè)數(shù)

比子集少一個(gè)。

(1)求子集或真子集的個(gè)數(shù)，由n各元素組成的集合，

有2n個(gè)子集，有2L1個(gè)真子集；

(2)空集的考查：凡是提到一個(gè)集合是另一個(gè)集合的子集，作為子集的集合首先可以是

空集，A.B的等價(jià)形式主要有：ADB=A,AUB=B。

2.交集：由兩個(gè)集合的公共元素組成的集合，叫做這兩個(gè)集合的交集，記作AAB,

讀作A交B,如圖1-2所示。

圖1-2圖1-3圖1-4

3.并集：由兩個(gè)集合所有元素組成的集合，叫做這兩個(gè)集合的并集，記作AUB,讀

作A并B,如圖1-3所示。

4.補(bǔ)集：由所有不屬于A的元素組成的集合，叫做A在全集U中的補(bǔ)集，記作CuA,

讀作A補(bǔ)，如圖1-4所示。

德摩根公式：

Cc,(AA8)=Cb.AUC^B-C^AU8)=CVAACVB.

(四)區(qū)間表示法：數(shù)軸上的?段數(shù)組成的集合可以用區(qū)間表示，區(qū)間分為開(kāi)區(qū)間和閉

區(qū)間，開(kāi)區(qū)間用小括號(hào)表示，是大于或小于的意思；閉區(qū)間用中括號(hào)表示，是大于等于或小

于等于的意思；【例】(2,3),[2,3],(2,3],[2,3]...

第二章函數(shù)

一映射與函數(shù)的基本概念

(-)映射

A集合中的每個(gè)元素按照某種對(duì)應(yīng)法則在B集合中都能找到唯一的元素和它對(duì)應(yīng)，這

種對(duì)應(yīng)關(guān)系叫做從A集合到B集合的映射。A中的元素叫做原象，B中的相應(yīng)元素叫做象。

在A到B的映射中，從A中元素到B中元素的對(duì)應(yīng)，可以多對(duì)一，不可以一對(duì)多。

圖2-1是映射圖2-2是一一映射圖2-3不是映射

(I)求映射(或??映射)的個(gè)數(shù),m個(gè)元素的集合到n個(gè)元素的集合的映射的個(gè)數(shù)是心。

(H)判斷是映射或不是映射：可以多對(duì)一，不可以一對(duì)多。

(二)函數(shù)的概念

定義域到值域的映射叫做函數(shù)。如圖24。高中階段，函數(shù)用出x)來(lái)表示：即x按照對(duì)

應(yīng)法則f對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為出x).函數(shù)有解析式和圖像兩種具體的表示形式。偶爾也用表格表

示函數(shù)。

函數(shù)三要素：定義域A：x取值范圍組成的集合。值域B：y取值范圍組成的集合。

對(duì)應(yīng)法則f：y與x的對(duì)應(yīng)關(guān)系。有解析式和圖像和映射三種表示形式

函數(shù)與普通映射的區(qū)別在于：

(1)兩個(gè)集合必須是數(shù)集；

(2)不能有剩余的象，即每個(gè)函數(shù)值y都能找到相應(yīng)的自變量

與其對(duì)應(yīng)。

二定義域題型

(-)具體函數(shù)：即有明確解析式的函數(shù)，定義域的考查有兩種形式

直接考查：主要考解不等式。利用：在J菊中/(x)20；在&國(guó)中，/(x)WO；

/(x)

在log“/(x)中，/'(X)>0；在tan/(x)中，/(x)。左"+/；在/°(x)中，/(%)0；

在與log"X中a>0且aW1,列不等式求解。

(二)抽象函數(shù)：只要對(duì)應(yīng)法則相同，括號(hào)里整體的取值范圍就完全相同。

三值域題型

(-)常規(guī)函數(shù)求值域：畫(huà)圖像，定區(qū)間，截段。

常規(guī)函數(shù)有：一次函數(shù)，二次函數(shù)，反比例函數(shù)，指數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)，對(duì)號(hào)函數(shù)。

(二)非常規(guī)函數(shù)求值域：想法設(shè)法變形成常規(guī)函數(shù)求值域。

解題步驟：(1)換元變形：

(2)求變形完的常規(guī)函數(shù)的自變量取值范圍；

(3)畫(huà)圖像，定區(qū)間，截段。

(三)分式函數(shù)求值域：四種題型

cx+dc

(1)~~(470):則歹工一且歹€火。

ax+ba

ex+d

(2)>=——-(x>2)：利用反表示法求值域。先反表示，再利用x的范圍解不等式求

ax+b

y的范圍。

2工2+3x—2

(3)y

6x~一x-1

(2x—l)(x+2)x+2(XW；),

(2x-l)(3x+l)3x+l

1口,

則》一且yHl且yeR?

2x-l

(4)求y=i-----；的值域，當(dāng)xe火時(shí)，用判別式法

X+X+1

2x-l,

求值域。y=~-------7nA2+（y-2）x+y+l=0,

x+x+l

△=（y-2）2-4y（y+1）>0=>值域

（四）不可變形的雜函數(shù)求值域：利用函數(shù)的單調(diào)性畫(huà)出函數(shù)趨勢(shì)圖像，定區(qū)間，截段。

判斷單調(diào)性的方法：選擇填空題首選復(fù)合函數(shù)法，其次求導(dǎo)數(shù)；大題首選求導(dǎo)數(shù)，其

次用定義。詳情見(jiàn)單調(diào)性部分知識(shí)講解。

（五）原函數(shù)反函數(shù)對(duì)應(yīng)求值域：原函數(shù)的定義域等于反函數(shù)值域，原函數(shù)值域等于反

函數(shù)定義域。

（六）已知值域求系數(shù)：利用求值域的前五種方法寫(xiě)求值域的過(guò)程，將求出的以字母形

式表示的值域與已知值域?qū)φ涨笞帜溉≈祷蚍秶?/p>

四函數(shù)運(yùn)算法則

（-）指數(shù)運(yùn)算法則

①②a"，'a"=尸

③（/）"="""@an'bm=（ab）m

運(yùn)用指數(shù)運(yùn)算法則，一般從右往左變形。

（二）對(duì)數(shù)運(yùn)算法則

同底公式：①?！猙

②log,,M+log,,N=log“（TW）

③log.M_log”=log,,R

n

?\ogaM=n\o%aM

運(yùn)用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則，同底的情況，一般從右往左變形。

不同底公式：①=

log,”a

n

②logb=—logZ>

ma

③]0g,/=r^—

log/

運(yùn)用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則，不同底的情況，先變成同底。

五函數(shù)解析式

（一）換元法：如f（2x+3尸X，3x+5,求f（3-7x）,

（設(shè)2x+3=3-7t）o

1,1

（二）構(gòu)造法：如/（X+—）=%2+—,求f（x）?

XX

（三）待定系數(shù)法：通過(guò)圖像求出y=Asin（sx+9）+C中系數(shù)

（四）遞推：需利用奇偶性、對(duì)稱性、周期性的定義式或運(yùn)算式遞推。

（五）求原函數(shù)的反函數(shù)：先反表示，再x、y互換。

六常規(guī)函數(shù)的圖像

常規(guī)函數(shù)圖像主要有:

指數(shù)函數(shù)：逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),對(duì)數(shù)函數(shù)：逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),

底數(shù)越來(lái)越大底數(shù)越來(lái)越小

幕函數(shù)：逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，指數(shù)越來(lái)越大。其他象限圖象看函數(shù)奇偶性確定。

七函數(shù)的單調(diào)性

(-)定義：在給定區(qū)間范圍內(nèi)，如果x越大y越大，那么原函數(shù)為增函數(shù)；如果X越

大y越小，那么原函數(shù)為減函數(shù)。

(二)單調(diào)性題型：

1.求單調(diào)性區(qū)間：先找到最基本函數(shù)單元的單調(diào)區(qū)間，用復(fù)合函數(shù)法判斷函數(shù)在這個(gè)區(qū)

間的單調(diào)性，從而確定單調(diào)區(qū)間。

-1

復(fù)合函數(shù)法：.：

71^

2.判斷單調(diào)性

(1).求導(dǎo)函數(shù)：/'")20為增函數(shù)，/'(x)W0為減函數(shù)

(2).利用定義：設(shè)X1<X<X2,比較f(X|)與f(X2)大小，把/(不)一/62)因式分解，看正負(fù)。

(3).原反函數(shù)：具有相同的單調(diào)性，一個(gè)函數(shù)具有反函數(shù)的前提條件是它具有嚴(yán)格的單

調(diào)性。

3.利用函數(shù)單調(diào)性：

(1).求值域：利用單調(diào)性畫(huà)出圖像趨勢(shì)，定區(qū)間，截?cái)唷?/p>

(2).比較函數(shù)值的大?。寒?huà)圖看

(3).解不等式：利用以下基本結(jié)論列不等式，解不等式。

增函數(shù)玉>工2=>/。］)>/(9)或/(陽(yáng))>/(82)=>石>%

減函數(shù)玉>X2=>或/(^1)>f\x2)=>X,<X2

(4).求系數(shù)：利用常規(guī)函數(shù)單調(diào)性結(jié)論，根據(jù)單調(diào)性求系數(shù)。

八函數(shù)的奇偶性

(一淀義:如果/(一幻=/(X)，貝IJ/(X)為偶函數(shù)；如果/(f)=~f(X)，貝IJ/(X)為奇

函數(shù)。這兩個(gè)式子有意義的前提條件是：定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。

(二)奇偶性題型：

1.判斷奇偶性：

(1).先看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再比較f(x)與(X)正負(fù)

(2).看圖像對(duì)稱性：關(guān)于y軸對(duì)稱為偶，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱為奇

(3).原、反函數(shù)：奇函數(shù)的反函數(shù)是奇函數(shù)，偶函數(shù)沒(méi)有反函數(shù)。

2.利用奇偶性：

(1).利用公式：f(-x)=-f(x),f(-x)=f(x),計(jì)算或求解析式

(2).利用復(fù)合函數(shù)奇偶性結(jié)論：

F(x尸f(x)g(x),奇奇得偶，偶偶得偶，奇偶得奇

F(x)=f(x)+g(x),當(dāng)f(x)為奇，g(x)為偶時(shí),代入-X得:

F(-x尸-f(x)+g(x),兩式相加可以消去f(x),兩式相減可以消去g(x),從而解決問(wèn)題。

3.奇偶函數(shù)圖像的對(duì)稱性

偶函數(shù)：關(guān)于y軸對(duì)稱n若f(a+x)=f(b-x),

則人x)關(guān)于x=審對(duì)稱

奇函數(shù)：關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱n若/■(a+x)+/(6-x)=2?j,

則f(x)關(guān)于點(diǎn)(審，m)對(duì)稱

九函數(shù)的周期性

(―)定義：

若/(x+7)=/(x),則/(x)為周期函數(shù)，T為/a)周期

(-)周期性考點(diǎn)：

1.求周期：

(1).利用f(x尸f(T+x)列出方程解出T=

(2).把所給函數(shù)化為y=Asin(cox+巾)+C標(biāo)準(zhǔn)形式，直接讀出周期T=—

0)

2.利用周期性：利用公式f(x)=f(T+x)

(1).求解析式

(2).求函數(shù)值

十函數(shù)圖像的對(duì)稱性

(-)一個(gè)圖關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱：

{"((HI))若奇函f(數(shù)a+x關(guān))于+f原(b點(diǎn)-x對(duì))稱=2m,則f(x)關(guān)于(審'm)對(duì)稱

(二)一個(gè)圖關(guān)于直線對(duì)稱：

「(I)偶函數(shù)關(guān)于夕軸對(duì)稱

X(II)f(a+x)-f(b-x),則/(x)關(guān)于x="；:對(duì)稱

(=)兩個(gè)圖關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱

[(I)丁=/(x)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)：x--x,y--y,

5即-y=f(-x)

(H)y=/(x)關(guān)于(a,b)對(duì)稱的函數(shù)：

x—2a-x,y—>26—y即2b—y=f(2a—x)

(四)兩個(gè)圖關(guān)于線對(duì)稱

((I)原函數(shù)與反函數(shù)：關(guān)于產(chǎn)x對(duì)稱

(II)y=f(x)關(guān)于y=x+c對(duì)稱加函數(shù):x->y-c,y—>x+c,

即x+c=f(y-c)

(III)y=f(x)關(guān)于y=-x+c對(duì)稱的函數(shù):x--y+c,y--x+c,

(即-x+c=f(-y+c)

(IV)f(x).與f(-x)關(guān)于y軸對(duì)=>f(a+x)與fi；b-x)關(guān)于

b~a.

x=-----對(duì)稱

2

<(V)f(x)與-f(x)關(guān)于x軸對(duì)稱

十一原函數(shù)與反函數(shù)

反函數(shù)反映了兩個(gè)函數(shù)之間的關(guān)系有兩方面考點(diǎn)：求反函數(shù)，利用原函數(shù)與反函數(shù)關(guān)

系解題。

(一)求反函數(shù)：先反表示，再互換；或先互換再反表示。一個(gè)函數(shù)有反函

數(shù)的前提條件是在整個(gè)定義域內(nèi)具有嚴(yán)格的單調(diào)性。

(-)利用原函數(shù)反函數(shù)的關(guān)系解題：己知原函數(shù)或反函數(shù)情況求反函數(shù)或原函數(shù)情

況時(shí)，往往不用求反函數(shù)可依據(jù)以下結(jié)論解題。

1.定義域、值域：

原函數(shù)自變量等價(jià)于反函數(shù)函數(shù)值，

原函數(shù)函數(shù)值等價(jià)于反函數(shù)自變量；

原函數(shù)定義域等價(jià)于反函數(shù)值域，

原函數(shù)值域等價(jià)于反函數(shù)定義域。

2.單調(diào)性：原函數(shù)與反函數(shù)具有相同的單調(diào)性

3.奇偶性：奇函數(shù)反函數(shù)是奇函數(shù)，偶函數(shù)沒(méi)有反函數(shù)。

4.對(duì)稱性：原函數(shù)與反函數(shù)圖像關(guān)于y=x對(duì)稱，原函數(shù)與反函數(shù)交點(diǎn)一定在y=x上。

第三章數(shù)列

第f分等差數(shù)列

一定義式：an-=d

=a?+(n-m)d

二通項(xiàng)公式：an"'

[=q+-l)d

一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列的等價(jià)條件：a?=an+b(a,b為常數(shù))，即是關(guān)于n的一次函數(shù)，因

為〃eZ,所以關(guān)于n的圖像是一次函數(shù)圖像的分點(diǎn)表示形式。

三前n項(xiàng)和公式：

Slt=^^………①

="a中間項(xiàng)............②

〃（〃一1）,_

=na1H---------d.....③

按照序號(hào)J頓序，使用公式。即首選①公式解題，再選②、③

一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列的另一4■充要條件：S“=a〃2+加⑶b為常數(shù)，aWO）,即S“是關(guān)于

n的二次函數(shù)，因?yàn)椤╡Z,所以S“關(guān)于n的圖像是二次函數(shù)圖像的分點(diǎn)表示形式。

四性質(zhì)結(jié)論

（~）3或4個(gè)數(shù)成等差數(shù)列求數(shù)值時(shí)應(yīng)按對(duì)稱性原則設(shè)置，

如：3個(gè)數(shù)a-d,a,a+d；4個(gè)數(shù)a-3d,a-d,a+d,a+3d

（二）。與6的等差中項(xiàng)”=也；

2

在等差數(shù)列｛々〃｝中，若m+.=.+夕,則

若"2十幾=2p,則。機(jī)+?！?2%；

（三）若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為2eN+）,則S偶-S奇=nd,

S奇_an

----------.

S偶an+\

若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為2〃-l（〃eN+）,則S2“T=（2〃—l）a“，且S奇一S偶=a”，簍=27

S偶"T

（四）凡按定規(guī)律和次序選出的組一組的和仍然成等差數(shù)列。設(shè)/=q+%+—+4,

3=q+|+%+2+―-+%”，

C=%"+i+%+2則有2B=A+C；

（五）6>0名=S,,，則前S也（m+n為偶數(shù)）或4四（m+n為奇數(shù)）最大

-—2-

第二部分等比數(shù)列

一定義：上匚=仇〃？2,4b0國(guó)#0）=｛4,｝成等比數(shù)列。

4T

M—1n—tn

二通項(xiàng)公式：an=axq,an=amq

數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列的一個(gè)等價(jià)條件是：

5?=a（b"-l）,（aHH04）當(dāng)g>0且gH0時(shí)，凡關(guān)于n的圖像是指數(shù)函數(shù)圖像的分點(diǎn)

表示形式。

叼（q=1）

三前n項(xiàng)和：s“='皿二g=幺二組第；

\-q—\-qM）

（注翻松比的討論）

四性質(zhì)結(jié)論：

（―）a與6的等比中項(xiàng)G0G2=ab=G=+\[ab（a,b同號(hào)）；

（二）在等比數(shù)列｛a“｝中，若m+n=p+q,則?an=ap-aq；

若m+n=2p,則a,ja“=W；

（三）設(shè)4=q+%+???+/'B=an+｝4-a//+2+.??+%〃，

C=%+I+%+2+…+%>則有B2=AC

第三部分求雜數(shù)列通項(xiàng)公式a.

一構(gòu)造等比數(shù)列：凡是出現(xiàn)關(guān)于后項(xiàng)和前項(xiàng)的一次遞推式都可以構(gòu)造等比數(shù)列求通項(xiàng)公式。

第一類：

3%—2%-5=0=3(%—5)=2(%_1-5)

是公比為g的等比數(shù)列n4—5=(?,-5)(|)B-',從而求出勺。

第Ayy一-..類yz.：

an+]—3an—4/7—8=0=>an+i+2(n+1)+5=3(an+2〃+5)

=%+2(〃+l)+5=2n{q,,+2〃+5}

an+2〃+5

是公比為3的等比數(shù)列na“+2〃+5=(%+7)?3"T.

第三類：a,,-an_x=3n,系數(shù)之比為1的時(shí)候用疊加法。

第四類：既有國(guó)又有可利用S“一S,1=4,將所有S換成a,或者將所有a換成S。

第五類：關(guān)于a“與a,1的二次式，或者S”與S"_]的二次式，先因式分解成一次式，再構(gòu)造等

比數(shù)列。

二構(gòu)造等差數(shù)列：遞推式不能構(gòu)造等比時(shí)，構(gòu)造等差數(shù)列。

第類凡是現(xiàn)分式遞推式都可以構(gòu)造等差數(shù)列來(lái)求通項(xiàng)公式，

例如：%—1=a-1,

2%-1

兩邊取倒數(shù)n」—+2=」一n{」一}是公差為2的等差數(shù)列

an-{-1%-1%-1

=>-------=---------1-2(〃-1),從而求出ano

%T卬-1

第二類：

(〃2-l)a?-=〃(〃-1)n

—一——41T=1n，”1是公差為1的等差數(shù)列

nn—\tnJ

77+11+12n

=>------Q“=an=—

n1n+i

三遞推：即按照后項(xiàng)和前項(xiàng)的對(duì)應(yīng)規(guī)律，再往前項(xiàng)推寫(xiě)對(duì)應(yīng)式。

例如a“==>an=n(n-l)alt_2=>??????=〃!q

【注：=-2)…1】

求通項(xiàng)公式凡的題，不育照禾河構(gòu)造等比或者構(gòu)造等差求a”的時(shí)候，一般通過(guò)遞推來(lái)求見(jiàn)。

第四部分求前n項(xiàng)和S“

一裂項(xiàng)分組法:

1111

1-22-33-4水〃+1)^?上鄉(xiāng)-^4-^…的前后口是：

11111111392781

(-1---2)+(----3)+-(---4---)〉+,?,+(-〃----〃-+--1)、a+2+3+4+…)+d1+L1_1L+1_L+Q

=1_1n392781

1H+1n+\

二錯(cuò)位相減法：凡等差數(shù)列和等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)的乘積構(gòu)成的數(shù)列求和時(shí)用此方法，

醐求：

23n2n

Sn=x+3x+5x+---+(2n-5)x-+(2n-3)x-'

+(2n-l)xn(xwl)

23n2-1

Sn=x+3x+5xH---F(2n-5)x'+(2n-3)x"+(2n-l)x"(xNl)①

xS?=x2+3X3+5X4---+(2n-5)xn-'+(2n-3)xn+(2n-l)xn”(xW1)②

①減②得：

23I>1n

(l-x)Sn=x+(2x+2x+??H-2x+2x)-(2n-l)x同

2x2(l-xn-)

=x+-------(2n-l)x^1

1-x

從而求出S“。

錯(cuò)位相減法的步驟：

(1乂鏗求和的雜數(shù)列前后各寫(xiě)出三項(xiàng)，列出①式

(2)W①式左右兩邊都乘以公比q,得到②式

(3)用①一②，錯(cuò)位相減

⑷化簡(jiǎn)計(jì)算

三倒序相加法：前兩種方法不行時(shí)考慮倒序相加法

位11：等差數(shù)列求和：

s=a

ni+a2+a3+---+an_2+an_l+an

S=aa+a++a+a+a

nn+n-1n-2"-32i

兩式相加可得：

2sli=?+an)+(a2+an_1)+(a3+an_2)+---+(a3+an_2)

+(a2+an_,)+(a,+an)

=n(a!+aJnSn

Eb：設(shè)/(x)=汨，j.利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前〃項(xiàng)和的公式的方法，可求得

/(—5)+/(-4)+……+/(0)+……/(5)+/(6)的值為.

S”=/(-5)+/(-4)+-+/(5)+/(6)①

S”=/(6)+/(5)+…+/(T)+/(—5)②

2*=[/(-5)+,/(6)]+[./(-4)+/(5)]+-+[/(5)+/(-4)]

+[./'(6)+/(-5)]

,/f(-W)+/(W+1)=-----尸H------產(chǎn)=—―

2^+722田+及2'

:S=3母

第四章三角函數(shù)

一任意角的概念與弧度制

(-)角的概念的推廣

1、角概念的推廣：

在平面內(nèi)，一條射線繞它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)有兩個(gè)相反的方向，旋轉(zhuǎn)多少度角就是多少度角。

按不同方向旋轉(zhuǎn)的角可分為正角和負(fù)角，其中逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)的角叫做正角，順時(shí)針?lè)较虻?/p>

叫做負(fù)角；當(dāng)射線沒(méi)有旋轉(zhuǎn)時(shí)，我們把它叫做零角?習(xí)慣上將平面直角坐標(biāo)系X軸正半軸作

為角的起始邊，叫做角的始邊。射線旋轉(zhuǎn)停止時(shí)對(duì)應(yīng)的邊叫角的終邊。

2、特殊命名的角的定義：

(1)正角，負(fù)角，零角：見(jiàn)上文。

(2)象限角：角的終邊落在象限內(nèi)的角，根據(jù)角終邊所在的象限把象限角分為：第一象限

角、第二象限角等

(3)軸線角：角的終邊落在坐標(biāo)軸上的角

終邊在x軸上的角的集合：{⑶P=4x180。,丘z}

終邊在y軸上的角的集合：{⑶2=4x180。+90。,%ez}

終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合：物|夕=八90。,丘z}

(4)終邊相同的角：與a終邊相同的角x=a+2A/r

(5)與a終邊反向的角：x=a+(2〃+l)"

終邊在尸軸上的角的集合:{夕|?=kxl8(T+45Fez}

終邊在尸-x軸上的角的集合：物|夕=4xl8(T-45Fez}

(6)若角a與角夕的終邊在一條直線上，則角a與角2的關(guān)系：a=180Z+〃

(7)成特殊關(guān)系的兩角

若角a與角力的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱，則角a與角夕的關(guān)系：a=360。4-夕

若角a與角夕的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱，則角a與角4的關(guān)系：a=360"+180。-4

若角a與角夕的終邊互相垂直，則角a與角4的關(guān)系：a=360Z+#±90。

注：(1)角的集合表示形式不唯一.

(2)終邊相同的角不定相等,相等的角終邊?定相同.

3、本節(jié)主要題型：

1.表示終邊位于指定區(qū)間的角.

施11:寫(xiě)出在一720。到720°之間與一1050。的終邊相同的角.

硯:若a是第二象限的角，則2a,0是第幾象限的角?寫(xiě)出它們的?般表達(dá)形式.

2

四3:①寫(xiě)出終邊在y軸上的集合.

②寫(xiě)出終邊和函數(shù)丁=-國(guó)的圖像重合，試寫(xiě)出角a的集合.

ryry

③a在第二象限角，試確定2a,—,—所在的象限.

23

°

④。角終邊與168°角終邊相同，求在［0°,360°)內(nèi)與:終邊相同的角.

(-)弧度制

1、弧度制的定義：囪=，

11R

2、角度與弧度的換算公式:

360°=2萬(wàn)180°=乃1°=0.017451=57.30°=57°18,

注意：正角的弧度數(shù)為正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)為負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)為零.

一個(gè)式子中不能角度，弧度混用.

3、題型

(1)角度與弧度的互化

74

例：315°,330°，乃;〃

63

(2)\a\=—,/=ra,s=Lr■的應(yīng)用問(wèn)題

11R22

砌1:已知扇形周長(zhǎng)1OCTM,面積4c/,求中心角.

題2:已知扇形弧度數(shù)為72。，半徑等于20c，w，求扇形的面積.

施L:已知扇形周長(zhǎng)40CTM泮徑和圓心角取多大時(shí)，面積最大.

通卜:4=—570°,4=750°,/=|肛尾=二兀

a.求出必,心2弧度,象限.

b.44用角度表示出，并在-720。?0。之間找出，他們有相同終邊的所有角.

二任意角三角函數(shù)

(-)三角函數(shù)的定義

1、任意角的三角函數(shù)定義

正弦sina=^，余弦cosa='，正切tana=^，余切cota='2、三角函數(shù)的定義域:

rrxy

三角函數(shù)定義域

/(x)=sinx{X\XGR}

/(x)=cosx{x|xeR}

|X|XG7?母.女乃+；乃,左￡z}

f(x)=tanx

/(x)=cotx{x|xeRHJCWk兀、keZ}

|x|xeHfixw左乃+；萬(wàn)，％￡Z}

f(x)=secx

f(x)=cscx{X|XGRJELV工k兀,keZ}

(-)單位圓與三角函數(shù)線

1、單位圓的三角函數(shù)線定義

如圖(1)PM表示a角的正弦值，叫做正弦線。0M表示a角的余弦值,叫做余弦線。

如圖(2)AT表示a角的正切值，叫做正切線。NT'表示a角的余切值,叫做余切線。

注：線段長(zhǎng)度表示三角函數(shù)值大小，線段方向表示三角函數(shù)值正負(fù)

(三)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式

同角三角函數(shù)關(guān)系式

(l)sinacsca=1,cos(2-seca=1,tanacota=1

?皿“才sinacosa

(2)商數(shù)關(guān)系：-----=tana--------=cota

cosasina

2

(3)平方關(guān)系：sin2(7+cos2a=1,1+tan2a=sec2,1+cot2a=esca

(四)誘導(dǎo)公式

sin(2Zr^"+x)=sinxsin(-x)=-sinx

cos(2Qr+x)=cosxcos(-x)=cosx

tan(2A7F+x)=tanxtan(-x)=-tanx

cot(2Ax+x)=cotxcot(-x)=-cotx

A、.

sin（44-x）=-sinxsin（2/r-x）=-sinxcos（一乃+a）=-sina

cos（乃+x）=-cosx（左一）,A、

cos2x=cosxsm（—?+a）=cos6r

tan（萬(wàn)+x）=tanx（萬(wàn)-）2

tan2x=-tanx]

cot（4+x）=cotxcot（2萬(wàn)-x）=-cotxtan（54+a）=-cota

sin（九一x）=sinx

sin（一乃一a）=cosa

cos（乃一x）=-cosx

cos（—^-￡Z）=sincr

（%一）

tanx=-tanxI2

cot（^-x）=-cotxtan（—7r-a）=cota

三三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

(-)基本圖像：

1.正弦函數(shù)

y

y=smx

-4力-7M"?/?加?加?力工_靠'x'--，,2n5"3心、一，"4TIX

~2~-|TT

2.余弦函數(shù)

3.正切函數(shù)

4.余切函數(shù)

（二）、函數(shù)圖像的性質(zhì)

正弦、余弦、正切、余切函數(shù)的圖象的性質(zhì):

=sinxy=cosxy=tanxy=cotx

RR

{x|X€R且{x|R且XN%加}

定義域x^k7r+^7r}

值域[-1,+1][-h+l]RR

周期2萬(wàn)兀71

奇偶奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)

（-g+"乃，5+?萬(wàn)）

[---F2k兀、（k兀,卜兀+兀）

2上為,I版上為增

2k/r]上為增函數(shù)上為減函數(shù)

—+2k7i]

函數(shù)（keZ）（ksZ）

單調(diào)[—H

增函數(shù)2[2后肛

（2A+1切]

—+2km

上為減函數(shù)

上為減函數(shù)（%wZ）

(kwZ)

對(duì)稱軸為對(duì)稱軸為x-kn,無(wú)對(duì)稱軸，無(wú)對(duì)稱軸，

x=A?r+工，對(duì)稱對(duì)稱中心為對(duì)稱U」心為對(duì)稱中心為

2（竿,o）keZ

（Ar^+pO）keZ（y,o）kez

對(duì)稱中心為（左》,0）,

keZ

（三）、常見(jiàn)結(jié)論：

10=卜inx|與y=|cosx|的周期是萬(wàn).

2TC

2.y=sin（0!r+夕）或y=cos（〃r+。）（0W0）的周期T

陶.

x

3j=tan-的周期為2%.

4.歹=sin（ffix+。）的對(duì)稱軸方程是x=k兀吟對(duì)稱中心（舊r,0）；

y=cos（曲+（p）的對(duì)稱軸方程是x=k7r（k&Z）,對(duì)稱中心（而■+；區(qū)0）：

k兀

y=tan（?+。）的對(duì)稱中心（光-,0）.

兀

5.當(dāng)tana-tanp=1,a+p=k7t+—（keZ）；

兀

tanatan/?=-l,=+Z）

6.函數(shù)y=tanx在尺上為增函數(shù).（X）［只能在某個(gè)單調(diào)區(qū)間單調(diào)遞增.若在整個(gè)定義域，

y=tanx為增函數(shù)，同樣也是錯(cuò)誤的.

7.奇函數(shù)特有性質(zhì)：若Oex的定義域，則/（x）一定有/（o）=o.（Oex的定義域，則無(wú)此性

質(zhì)）

8.y=sin|x|不是周期函數(shù);9=卜詁耳為周期函數(shù)（7=萬(wàn)）;

y=cos|X是周期函數(shù)（如圖）；y=|cosx|為周期函數(shù)（7=%）；

y=cos|x|圖象y=\cos2x+1/21圖象

四和角公式

兩角和與差的公式

,c、tan<2+tanB

cos(?+夕)=cosacosq一sinasin/3tan(a+￡)=----------------

1-tanortan/3

tancr-tan/?

cos(a_=cosacos夕+sinasin(3tan(cr一萬(wàn))=

1+tanatan/3

sin(a+夕)=sinacos/3+cosasin/3

sin(a-0)=sinacos/3-cosasin/3

五倍角公式和半角公式

(-)倍角與半角公式：

sin2a=2sinacosa

cos2cr=cos2cr-sin26r=2cos26r-l=l-2sin2a

-2tana

tan2a=----------—

l-tarra

a./I-cosasina1-cosa

tan—=±J-----------=------------=------------

2v1+cosa1+cosasina

(二)萬(wàn)能公式：

cai2aca

2tan—1-tan—2tan

,?22

sma=---------=—COS6T=------------------tana=

i2ai2a12a

1+tun1+tan—1-tan"*一

222

六三角函數(shù)的積化和差與和差化積

公式

sinacos/=；[sin(a+P)+sin(a-4)]

cossin0=—[sin(cr+^)-sin(cr-^)J

coscosB=；[cos(a+P)+cos(aM)]

sinasin0=一;[cos(a+0-cos(a-0]

a+Ba-/3

sina+sin/?=2sin-----cos......-

22

a+/?.a-Ba+B.a-B

sina-sin(3=2cos----sin...-cosa-cos夕=-2sin----sin...-

2222

■^6—y/2.sin75°=cos15°=生+立

sin15°=cos750-

44

tan15°=cot75°=2—V3,tan750=cot150=2+43

第五章平面向量

一向量的概念

向量的常識(shí)性概念

1.向量：既有大小又有方向的量

2.向量的表示：圖形表示，整以—的方向表示向量的方向，線段的長(zhǎng)短表示向量的

大小；字母表示，向量可以寫(xiě)成標(biāo),￡（手寫(xiě)版）或。（印刷版）

3.零向量：大小為零的向量叫零向量。零向量的方向是任意的。

4.向量共線或平行：兩個(gè)向量方向相同或相反時(shí)，都可以稱作兩個(gè)向量共線或平行。a與5平

行或共線的等價(jià)條件是：a=kZ>

圖9-1

二向量的加減法運(yùn)算

（-）幾何運(yùn)算：五大運(yùn)算工具，凡是加減法幾何運(yùn)算，先從加法角

度來(lái)理解，再利用加法交換律算減法

L平行四邊形法順如圖9-1）：兩個(gè)向量的和等于以

這兩個(gè)向量的臨邊的平行四邊形的對(duì)角線表示的向量

AB+AD=AC

2.三角形法則（如圖9-2）：首位相連的兩個(gè)譬之和

—等整2向量（與前兩個(gè)不首尾相連）AB+BC=AC,

AC-AB^BC圖9-2

望邊J繆則緲聿首度II連的若干個(gè)向量之和等于另一?個(gè)

向量9+元+無(wú)+而=萬(wàn)

4.中線法則(如圖94)：三角形底邊中線所表示的向量等于兩臨邊

向量之和的一半。在向量圖形中提到中點(diǎn)，一定用中線

法則解題。圖中D為BC中點(diǎn)。A

AB+AC=2AD/4\

圖94

(五)終邊在一條直線上的多向量運(yùn)期如圖9-5)：起始點(diǎn)相同,

終點(diǎn)落在同一條直線上的三個(gè)向量，其中任何一個(gè)可以用其他兩

個(gè)乘以系數(shù)加和表示。兩個(gè)系數(shù)之和定為1。凡在同一個(gè)圖中出

現(xiàn)以下形式的三個(gè)向量，

一定用此結(jié)論解題。證明過(guò)程如卜：

圖9-5

BC=AC-ABCD=AD-AC

?.?比與麗共線:.BC=kCD

:.AC-AB=kflD-AC^

_.k-1一

.-.AB=a+k)AC-kADAC=——AD+——AB

1+k1+k

—■1+k—■1—.

AD=——AC——AB

_k_k

結(jié)論：AB=mxAC+n^ADml+ni=1

AC=m2AB+n2ADm2+n2=1

AD=miAB+niAC=1

(二)坐標(biāo)運(yùn)算：基本運(yùn)算法則

已知。=(占,必)，b=(x2,y2),a+b=(xt+x2,y}+y2),a-b=(xx-x2,y1-y2)

ka=(kx],ky})-a=(-xi,-yi),表示與a大小相等方向相反的向量，叫a的相反向量。

三向量的乘法運(yùn)算

(一)算：

已知a=(x”X),b=(x2,y2)a-b=xxx2+yxy2

注：向量的加減法結(jié)果得到的是向量，向量的乘法得到是數(shù)。

(-)向量的公式運(yùn)算：

1.乘法公式：=6是a與否的夾角，6e[0,/r]

2.混合運(yùn)算公式：

(l)^+h)^+d)=a-c+a-d+h-c+b-d

(2)ab=ha

（3）abc^c-b-a即多個(gè)向量相乘除不能改變運(yùn)算日腑。

四向量運(yùn)算的應(yīng)用

（-）求向量的模：根據(jù)向量的乘法公式/=邸=爐+_/

n?h

（二）求向量的夾角：根據(jù)向量的乘法公式cose=pI4：EW，凡是提到向量夾角，一律列向量乘法

公郎帛題。

（三）投影問(wèn)題（如圖9-6）：a在加上的投影就是acose,只有

乘法運(yùn)算中才能出現(xiàn)這種形式，凡是提到一個(gè)向量在另一個(gè)向量上的

投影，?定要列這兩個(gè)向量的

磁公懶缺問(wèn)題。

（四）向量垂直:

aJL族=夾角0—90°0a.B=0=玉％+必先=。

（五）向量平行：a11b。a=kb。x]y2=x2y1

第六章不等式

一不等式的證明

證明不等式選擇方法的程序：

①做差：證明不