2022-2023學(xué)年福建省福州市長樂旒峰中學(xué)高一數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試題含解析

2022-2023學(xué)年福建省福州市長樂旒峰中學(xué)高一數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.方程ex﹣x﹣2=0的一個根所在的區(qū)間（k，k+1）（k∈N），則k的值為（）A．0 B．1 C．2 D．3參考答案：B【考點】函數(shù)零點的判定定理．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】令f（x）=ex﹣x﹣2，從而轉(zhuǎn)化求方程的根為求函數(shù)的零點，從而解得．【解答】解：令f（x）=ex﹣x﹣2，易知f（x）在其定義域上連續(xù)，f（1）=e﹣1﹣2＜0，f（2）=e2﹣2﹣2=e2﹣4＞0，故方程ex﹣x﹣2=0的一個根所在的區(qū)間（1，2），故k=1，故選：B．【點評】本題考查了方程的根與函數(shù)的零點的關(guān)系應(yīng)用及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．2.設(shè)G是△ABC的重心，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，若，則角A=(

)A.90° B.60° C.45° D.30°參考答案：D是的重心，，由余弦定理可得故選3.已知函數(shù)的最大值為3，的圖像在軸上的截距為2，其相鄰兩對稱軸間的距離為1，則

（

）

(A)0

(B)100

(C)150

(D)200參考答案：D4.設(shè)正實數(shù)滿足,則當(dāng)取得最大值時,的最大值為（）A．0

B．1

C．

D．3參考答案：B略5.如圖，在矩形ABCD中,E為AB的中點，將沿DE翻折到的位置,平面ABCD,M為A1C的中點,則在翻折過程中，下列結(jié)論正確的是(

)A.恒有平面B.B與M兩點間距離恒為定值C.三棱錐的體積的最大值為D.存在某個位置，使得平面⊥平面參考答案：ABC【分析】對每一個選項逐一分析研究得解.【詳解】取的中點,連結(jié)，，可得四邊形是平行四邊形，所以，所以平面，故A正確；（也可以延長交于,可證明,從而證明平面）因為，，，根據(jù)余弦定理得，得，因為，故，故B正確;因為為的中點，所以三棱錐的體積是三棱錐的體積的兩倍，故三棱錐的體積，其中表示到底面的距離，當(dāng)平面平面時，達(dá)到最大值，此時取到最大值，所以三棱錐體積的最大值為，故C正確；考察D選項，假設(shè)平面平面，平面平面，，故平面，所以，則在中，，，所以.又因為，，所以，故,,三點共線，所以，得平面，與題干條件平面矛盾，故D不正確；故選：A,B,C.【點睛】本題主要考查空間幾何元素位置關(guān)系的證明，考查空間兩點間的距離的求法和體積的最值的求法，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力，屬于中檔題.6.函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的值是（

）A、0

B、－1

C、2＋2

D、2－2參考答案：C7.已知函數(shù)的遞增區(qū)間是(－∞,4)，則實數(shù)a的值是（

）A.a=5

B.a=3

C.a=－3

D.a=－5參考答案：A8.要得到函數(shù)y=sin（4x﹣）的圖象，只需將函數(shù)y=sin4x的圖象（）A．向左平移單位 B．向右平移單位C．向左平移單位 D．向右平移單位參考答案：B【考點】函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【專題】三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【分析】直接利用三角函數(shù)的平移原則推出結(jié)果即可．【解答】解：因為函數(shù)y=sin（4x﹣）=sin[4（x﹣）]，要得到函數(shù)y=sin（4x﹣）的圖象，只需將函數(shù)y=sin4x的圖象向右平移單位．故選：B．【點評】本題考查三角函數(shù)的圖象的平移，值域平移變換中x的系數(shù)是易錯點．9.已知△ABC中，c＝，C＝，a＋b=ab，則△ABC的面積為A、B、C、D、參考答案：D10.若a，b∈(0，＋∞)，且a，b的等差中項為，α＝a＋，β＝b＋，則α＋β的最小值為()A．3

B．4

C．5

D．6參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若f（x）=ax2+bx+3a+b是偶函數(shù)，其定義域為[a﹣3，2a]，則a=，b=．參考答案：1，0【考點】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)建立方程關(guān)系即可得到結(jié)論．【解答】解：∵f（x）=ax2+bx+3a+b是偶函數(shù)，∴定義域[a﹣3，2a]關(guān)于原點對稱，即a﹣3+2a=0，即3a=3，∴a=1，此時f（x）=ax2+bx+3x+b=x2+bx+3+b，由f（﹣x）=f（x）得：x2﹣bx+3+b=x2+bx+3+b，即﹣b=b，∴b=0，故答案為：1，0【點評】本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，根據(jù)奇偶性的定義域關(guān)于原點對稱以及f（﹣x）與f（x）之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．12.給出下列五個命題：①函數(shù)y=f（x），x∈R的圖象與直線x=a可能有兩個不同的交點；②函數(shù)y=log2x2與函數(shù)y=2log2x是相等函數(shù)；③對于指數(shù)函數(shù)y=2x與冪函數(shù)y=x2，總存在x0，當(dāng)x＞x0時，有2x＞x2成立；④對于函數(shù)y=f（x），x∈[a，b]，若有f（a）?f（b）＜0，則f（x）在（a，b）內(nèi)有零點．⑤已知x1是方程x+lgx=5的根，x2是方程x+10x=5的根，則x1+x2=5．其中正確的序號是．參考答案：③⑤考點：函數(shù)與方程的綜合運用；函數(shù)的概念及其構(gòu)成要素；判斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù)；函數(shù)的零點；根的存在性及根的個數(shù)判斷．專題：計算題．分析：①函數(shù)表示每個輸入值對應(yīng)唯一輸出值的一種對應(yīng)關(guān)系，根據(jù)定義進(jìn)行判定即可判斷；②根據(jù)函數(shù)的定義域進(jìn)行判定即可；③總存在x0=4，當(dāng)x＞4時，有2x＞x2成立；④缺少條件“函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上連續(xù)”；⑤第一個方程：lgx=5﹣x．第二個方程，10x=5﹣x，lg（5﹣x）=x．注意第二個方程，如果做變量代換y=5﹣x，則lgy=5﹣y，其實是與第一個方程一樣的．那么，如果x1，x2是兩個方程的解，則必有x1=5﹣x2，也就是說，x1+x2=5．解答：解：對于①函數(shù)表示每個輸入值對應(yīng)唯一輸出值的一種對應(yīng)關(guān)系，根據(jù)定義進(jìn)行判定即可判斷①錯；對于②函數(shù)y=log2x2與函數(shù)y=2log2x的定義域不等，故不是相等函數(shù)，故②錯；對于③當(dāng)x0取大于等于4的值都可使當(dāng)x＞x0時，有2x＞x2成立，故③正確；對于④函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，才有若有f（a）?f（b）＜0，則f（x）在（a，b）內(nèi)有零點．故④錯對于⑤：∵x+lgx=5，∴l(xiāng)gx=5﹣x．∵x+10x=5，∴10x=5﹣x，∴l(xiāng)g（5﹣x）=x．如果做變量代換y=5﹣x，則lgy=5﹣y，∵x1是方程x+lgx=5的根，x2是方程x+10x=5的根，∴x1=5﹣x2，∴x1+x2=5．故正確故答案為：③⑤點評：此題是個中檔題，考查函數(shù)圖象和零點問題，以及函數(shù)概念和構(gòu)成要素等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生靈活應(yīng)用知識分析解決問題的能力13.如圖，在直四棱柱中，點分別在上，且，，點到的距離之比為3：2，則三棱錐和的體積比=__▲___.參考答案：略14.某藥品經(jīng)過兩次降價，每瓶的零售價由100元降為81元，已知兩次降價的百分率相同，設(shè)為，為求兩次降價的百分率則列出方程為____________.參考答案：略15.已知||=12，||=9，?=﹣54，則與的夾角為．參考答案：【考點】平面向量數(shù)量積的運算．【分析】運用向量的數(shù)量積的定義，結(jié)合向量夾角的范圍和特殊角的三角函數(shù)值，即可得到．【解答】解：由||=12，||=9，?=﹣54，可得=12×9cos＜，＞=﹣54，即cos＜，＞=﹣，由0≤＜，＞≤π，則有與的夾角為．故答案為：．16.不查表求值：tan15°＋tan30°＋tan15°tan30°＝參考答案：1略17.函數(shù)f(x)=的定義域為________．參考答案：[0,+∞)

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在中，角的對邊分別為．已知．（1）求角的大??；（2）若，求的面積．參考答案：(1)（2）試題分析：(1)由變形,利用正弦定理得,進(jìn)一步得出,從而求得.（2）利用余弦定理可求出,進(jìn)一步利用面積公式得出面積.試題解析：(1)，由正弦定理得．……………3分又，從而．………………5分由于，所以.………………7分(2)解法一：由余弦定理，而，……………9分得=13，即.因為，所以.……………11分故的面積為.……………14分解法二：由正弦定理，得，從而，……………9分又由知，所以.故.……………12分所以的面積為.……………14分考點：1.正弦定理解三角形；2.余弦定理解三角形；3.三角形面積公式.19.（本小題滿分12分）在等差數(shù)列中，，．令，數(shù)列的前項和為.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和；（3）是否存在正整數(shù)，（）,使得，，成等比數(shù)列？若存在，求出所有的，的值；若不存在，請說明理由.參考答案：（1）設(shè)數(shù)列的公差為，由得解得，∴

（2）∵∴

（3）由（1）知，，，假設(shè)存在正整數(shù)、，使得、、成等比數(shù)列，則，即

經(jīng)化簡，得∴∴（*）

當(dāng)時，（*）式可化為，所以

當(dāng)時，又∵，∴（*）式可化為，所以此時無正整數(shù)解.綜上可知，存在滿足條件的正整數(shù)、，此時，.20.已知函數(shù)（1）當(dāng)時，若對任意都有求證.（2）當(dāng)時，求證；對任意的充要條件是.參考答案：解：（1）恒成立

（2）

且

略21.

已知定義域為的函數(shù)對任意實數(shù)滿足，且.（1）求及的值；（2）求證：為奇函數(shù)且是周期函數(shù).參考答案：（1）在中取，得，即，

又已知，所以

在中取，得，即，

又已知，所以

（2）在中取得，又已知，所以，即，為奇函數(shù).

在中取得，于是有，所以，即，是周期函數(shù)22.（本小題滿分12分）某賽季，甲、乙兩名籃球運動員都參加了10場比賽，比賽得分情況記錄如下（單位：分）：甲：37，21，31，20，29，19，32，23，25，33乙：10，30，47，27，46，14，26，10，44，46（Ⅰ）根據(jù)得分情況記錄，作出兩名籃球運動員得分的莖葉圖，并根據(jù)莖葉圖，對甲、乙兩運動員得分作比較，寫出兩個統(tǒng)計結(jié)論；（Ⅱ）設(shè)甲籃球運動員10場比賽得分平均值，將10場比賽得分依次輸入如圖所示的程序框圖進(jìn)行運算，問輸出的大小為多少？并說明的統(tǒng)計學(xué)意義；（Ⅲ）如果從甲、乙兩位運動員的10場得分中，各隨機抽取一場不小于30分的得分，求甲的得分大于乙的得分的概率。

參考答案：（Ⅰ）莖葉圖如右統(tǒng)計結(jié)論：①甲運動員得分的平均值小于乙運動員得分的平均值；②甲運動員得分比乙運動員得分比較集中；③甲運動員得分的中位數(shù)為27，乙運動員得分的中位數(shù)為28.5；④甲運動員得分基本上是對稱的，而且大多數(shù)集中在均值附近．乙運動員得分分布較為分散．（給分說明：寫出的結(jié)論中，1個正確得2分）………………5分（Ⅱ）．…………