2023屆山西省忻州市第二中學(xué)數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題含解析

2022-2023學(xué)年高一下數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知的模為1，且在方向上的投影為，則與的夾角為（）A．30° B．60° C．120° D．150°2．某人打靶時(shí)連續(xù)射擊兩次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（）A．至多有一次中靶B．只有一次中靶C．兩次都中靶D．兩次都不中靶3．在中，已知角的對(duì)邊分別為，若，，，，且，則的最小角的余弦值為（）A． B． C． D．4．已知，則下列不等式成立的是()A． B． C． D．5．如圖所示是一樣本的頻率分布直方圖，則由圖形中的數(shù)據(jù)，可以估計(jì)眾數(shù)與中位數(shù)分別是（）A．12.5；12.5 B．13；13 C．13；12.5 D．12.5；136．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則（）A．31 B．15 C．8 D．77．等比數(shù)列,…的第四項(xiàng)等于(

)A．-24 B．0 C．12 D．248．已知等差數(shù)列：1，a1，a2,9；等比數(shù)列：－9，b1，b2，b3，－1.則b2(a2－a1)的值為()A．8 B．－8C．±8 D．89．設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，時(shí)點(diǎn)在拋物線上，且的首項(xiàng)是二次函數(shù)的最小值，則的值為（）A．45 B．54 C．36 D．－1810．同時(shí)擲兩個(gè)骰子，向上的點(diǎn)數(shù)之和是的概率是（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知sin＝，則cos＝________．12．在中，角、、所對(duì)的邊為、、，若，，，則角________．13．在中，兩直角邊和斜邊分別為a，b，c，若則實(shí)數(shù)x的取值范圍是________.14．若（），則_______（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）．15．已知數(shù)列滿足，，則______．16．已知，，若，則______三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．在公差不為零的等差數(shù)列中，成等比數(shù)列.（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，求證.18．已知集合.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若集合，寫出集合的所有子集.19．已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足，記M的軌跡為曲線C．（1）求曲線C的方程；（2）過坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線l交C于P、Q兩點(diǎn)，點(diǎn)P在第一象限，軸，垂足為H．連結(jié)QH并延長(zhǎng)交C于點(diǎn)R．（i）設(shè)O到直線QH的距離為d．求d的取值范圍;（ii）求面積的最大值及此時(shí)直線l的方程．20．如圖所示，在直三棱柱（側(cè)面和底面互相垂直的三棱柱叫做直三棱柱）中，平面，，設(shè)的中點(diǎn)為D，.（1）求證：平面；（2）求證：.21．在一次人才招聘會(huì)上，有、兩家公司分別開出了他們的工資標(biāo)準(zhǔn)：公司允諾第一個(gè)月工資為8000元，以后每年月工資比上一年月工資增加500元；公司允諾第一年月工資也為8000元，以后每年月工資在上一年的月工資基礎(chǔ)上遞增，設(shè)某人年初被、兩家公司同時(shí)錄取，試問：（1）若該人分別在公司或公司連續(xù)工作年，則他在第年的月工資分別是多少；（2）該人打算連續(xù)在一家公司工作10年，僅從工資收入總量較多作為應(yīng)聘的標(biāo)準(zhǔn)（不計(jì)其他因素），該人應(yīng)該選擇哪家公司，為什么？

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解析】

根據(jù)投影公式，直接得到結(jié)果.【詳解】，.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了投影公式，屬于簡(jiǎn)單題型.2、D【解析】

根據(jù)互斥事件的定義逐個(gè)分析即可.【詳解】“至少有一次中靶”與“至多有一次中靶”均包含中靶一次的情況.故A錯(cuò)誤.“至少有一次中靶”與“只有一次中靶”均包含中靶一次的情況.故B錯(cuò)誤.“至少有一次中靶”與“兩次都中靶”均包含中靶兩次的情況.故C錯(cuò)誤.根據(jù)互斥事件的定義可得,事件“至少有一次中靶”的互斥事件是“兩次都不中靶”.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了互斥事件的辨析,屬于基礎(chǔ)題型.3、D【解析】

利用余弦定理求出和的表達(dá)式，由，結(jié)合正弦定理得出的表達(dá)式，利用余弦定理得出的表達(dá)式，可解出的值，于此確定三邊長(zhǎng)，再利用大邊對(duì)大角定理得出為最小角，從而求出．【詳解】，由正弦定理，即，，，，解得，由大邊對(duì)大角定理可知角是最小角，所以，，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，考查大邊對(duì)大角定理，在解題時(shí)，要充分結(jié)合題中的已知條件選擇正弦定理和余弦定理進(jìn)行求解，考查計(jì)算能力，屬于中等題．4、B【解析】

利用不等式的基本性質(zhì)即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，所以，故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式的基本性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題型.5、D【解析】分析：根據(jù)頻率分布直方圖中眾數(shù)與中位數(shù)的定義和計(jì)算方法，即可求解頻率分布直方圖的眾數(shù)與中位數(shù)的值.詳解：由題意，頻率分布直方圖中最高矩形的底邊的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為數(shù)據(jù)的眾數(shù)，所以中間一個(gè)矩形最該，故數(shù)據(jù)的眾數(shù)為，而中位數(shù)是把頻率分布直方圖分成兩個(gè)面積相等部分的平行于軸的直線橫坐標(biāo)，第一個(gè)矩形的面積為，第二個(gè)矩形的面積為，故將第二個(gè)矩形分成即可，所以中位數(shù)是，故選D.點(diǎn)睛：本題主要考查了頻率分布直方圖的中位數(shù)與眾數(shù)的求解，其中頻率分布直方圖中小矩形的面積等于對(duì)應(yīng)的概率，且各個(gè)小矩形的面積之和為1是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計(jì)算能力.6、B【解析】

利用基本元的思想，將已知條件轉(zhuǎn)化為的形式，由此求得，進(jìn)而求得.【詳解】由于數(shù)列是等比數(shù)列，故，由于，故解得，所以.故選：B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量的計(jì)算，考查等比數(shù)列前項(xiàng)和公式，屬于基礎(chǔ)題.7、A【解析】由x，3x+3，6x+6成等比數(shù)列得選A.考點(diǎn)：該題主要考查等比數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式，考查計(jì)算能力.8、B【解析】a2－a1＝d＝9-13又b22＝b1b因?yàn)閎2與－9，－1同號(hào)，所以b2＝－3.所以b2(a2－a1)＝-3×8本題選擇B選項(xiàng).9、B【解析】

根據(jù)點(diǎn)在拋物線上證得數(shù)列是等差數(shù)列，由二次函數(shù)的最小值求得首項(xiàng)，進(jìn)而求得的值.【詳解】由于時(shí)點(diǎn)在拋物線上，所以，所以數(shù)列是公差為的等差數(shù)列.二次函數(shù)，所以.所以.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查等差數(shù)列的證明，考查二次函數(shù)的最值的求法，考查等差數(shù)列前項(xiàng)和公式，屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】

分別計(jì)算出所有可能的結(jié)果和點(diǎn)數(shù)之和為的所有結(jié)果，根據(jù)古典概型概率公式求得結(jié)果.【詳解】同時(shí)擲兩個(gè)骰子，共有種結(jié)果其中點(diǎn)數(shù)之和是的共有：，共種結(jié)果點(diǎn)數(shù)之和是的概率為：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查古典概型問題中的概率的計(jì)算，關(guān)鍵是能夠準(zhǔn)確計(jì)算出總體基本事件個(gè)數(shù)和符合題意的基本事件個(gè)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

由sin＝，得cos2＝1－2sin2＝，即cos＝，所以cos＝cos＝，故答案為.12、.【解析】

利用余弦定理求出的值，結(jié)合角的取值范圍得出角的值.【詳解】由余弦定理得，，，故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理的應(yīng)用和反三角函數(shù)，解題時(shí)要充分結(jié)合元素類型選擇正弦定理和余弦定理解三角形，考查計(jì)算能力，屬于中等題.13、【解析】

計(jì)算得到，根據(jù)得到范圍.【詳解】?jī)芍苯沁吅托边叿謩e為a，b，c，則，則，則，故.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理和三角函數(shù)的綜合應(yīng)用，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.14、【解析】

根據(jù)反三角函數(shù)以及的取值范圍，求得的值.【詳解】由于，所以，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查已知三角函數(shù)值求角，考查反三角函數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.15、1023【解析】

根據(jù)等比數(shù)列的定義以及前項(xiàng)和公式即可．【詳解】因?yàn)樗?，所以為首先?公比為2的等比數(shù)列，所以【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列的前項(xiàng)和：屬于基礎(chǔ)題．16、【解析】

根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示列出等式，求出，再利用二倍角公式、平方關(guān)系即可求出．【詳解】由得，，解得，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量垂直的坐標(biāo)表示以及二倍角公式、平方關(guān)系的應(yīng)用．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）（Ⅱ）見解析【解析】

（Ⅰ）根據(jù)題意列出方程組，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式化簡(jiǎn)求解即可；（Ⅱ）將的通項(xiàng)公式代入所給等式化簡(jiǎn)求出的通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)相消法求出，由推出，由數(shù)列是遞增數(shù)列推出.【詳解】（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為（），因?yàn)?，所以解得，所?（Ⅱ），.因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以?shù)列是遞增數(shù)列，于是.綜上，.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的基本量的求解，裂項(xiàng)相消法求和，數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題.18、（Ⅰ）（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）求解二次不等式從而求得集合A，利用指數(shù)函數(shù)的圖像求出集合B，再進(jìn)行并集運(yùn)算即可；（Ⅱ）依次求出，，即可寫出集合C的子集.【詳解】（Ⅰ）由，得，即有，于是.作出函數(shù)的圖象可知，于是,所以，（Ⅱ），，集合的所有子集是：.【點(diǎn)睛】本題考查集合的基本運(yùn)算，集合的子集，屬于基礎(chǔ)題.19、(1)；(2)（i）（ii）面積最大值為，直線的方程為.【解析】

（1）根據(jù)題意列出方程求解即可（2）聯(lián)立直線與圓的方程，得出P、Q、H三點(diǎn)坐標(biāo)，表示出QH直線方程，采用點(diǎn)到直線距離公式求解；利用圓的幾何關(guān)系，表示出三角形的底和高，再結(jié)合函數(shù)最值問題進(jìn)行求解【詳解】（1）由及兩點(diǎn)距離公式，有，化簡(jiǎn)整理得，．所以曲線C的方程為；（2）（i）設(shè)直線l的方程為；將直線l的方程與圓C的方程聯(lián)立，消去y，得（，解得因此，，，所以直線QH的方程為．到直線QH的距離，當(dāng)時(shí)．，所以，（ii）過O作于D，則D為QR中點(diǎn)，且由（i）知，，，又由，故的面積，由，有，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，且此時(shí)由（i）有，即.綜上，的面積最大值為的面積最大值為，且當(dāng)面積最大時(shí)直線的方程為.【點(diǎn)睛】直線與圓的綜合類題型常采用點(diǎn)到直線距離公式、圓內(nèi)構(gòu)造的直角三角形，將代數(shù)問題與幾何問題進(jìn)行有效結(jié)合，可大大降低解題難度.20、（1）見解析；（2）見解析.【解析】

（1）由可證平面；（2）先證，再證，即可證明平面，即可得出.【詳解】（1）∵三棱柱為直三棱柱，∴四邊形為矩形，∴E為中點(diǎn)，又D點(diǎn)為中點(diǎn)，∴DE為的中位線，∴，又平面，平面，∴平面；（2）∵三棱柱為直三棱柱，∴平面ABC，∴，又∵，∴四邊形為正方形，所以，∵平面，∴，和相交于C，∴平面，∴.【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的證明，考查線面垂直的判定及性質(zhì)，考查空間想象能力，屬于?？碱}.21、（1）公司：；公司：；（2）公司十年月工資總和為，公司十年月工資總和為，選公司；【解析】