“大夢(mèng)杯”初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題含參考答案

20XX年“大夢(mèng)杯”福建省初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題參考答案考試時(shí)間20XX年3月13日9：00-11：00滿分150分一、選擇題(共5小題，每小題7分，共35分)。每道小題均給出了代號(hào)為A,B,C,

D的四個(gè)選項(xiàng)，其中有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的。請(qǐng)將正確選項(xiàng)的代號(hào)填入題后的括號(hào)里，不填、多填或錯(cuò)填都得0分)1.在平面直角坐標(biāo)系xOy中AOAB沿直線AB折疊得不填、多填或錯(cuò)填都得0分)1.在平面直角坐標(biāo)系xOy中AOAB沿直線AB折疊得△G4B,A.(1,”)B.(<3,3)已知點(diǎn)6(0,2),點(diǎn)A在％軸正半軸上且/B4O=30。。將則點(diǎn)。的坐標(biāo)為(C.(3，月)D.)(<3,1)【答案】B【解答】如圖，設(shè)CD±x軸于點(diǎn)D。依題意，CA=OA=2<3,/CAO=2/BAO=60。。所以，CD=3,AD=<3,OD=<3。因此，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(<3,3)。2.若實(shí)數(shù)a,b滿足a2+3a=2,b2+3b=2,且a中b則(1+a2)(1+b2)=( )A.181296【答案】Ab為方程x2+3xb為方程x2+3x-2=0的兩個(gè)不同實(shí)根。a+b=-3,ab=-2。(1+a2)(1+b2)=(1+2-3a)(1+2-3b)=9(1-a)(1-b)=911-(a+b)+ab]=9(1+3-2)=18?；蚪猓?1+a2)(1+b2)=1+a2+b2+a2b2=1+(a+b)2-2ab+a2b2=1+9+4+4=18。3.若關(guān)于x的方程工+匚+4x+a=0只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則符合條件的所有實(shí)數(shù)a的x-2x+2x2-4值的總和為(-6【答案】--6【答案】-30-32-38【解答】方程/+=+4x+a=0化為2x2+4x+a+8=0x-2x+2x2-4若方程①有兩個(gè)相等實(shí)根，則△=16-8(a+8)=0,a=-6。a=-6時(shí)，方程①的根x=x=-1,符合要求。1 2若x=2是方程①的根，貝U8+8+a+8=0,a=-24，此時(shí)，方程①的另一個(gè)根為x=-4,符合要求。a=-8，此時(shí)，方程①的另一個(gè)根為x=0,若x=-2是方程①的根，則8a=-8，此時(shí)，方程①的另一個(gè)根為x=0,符合要求。

所以，符合條件的a有-6,-24-8，其總和為-38。所以，符合條件的a有-6,-24-8，其總和為-38。4.如圖，在△ABC中，AB=6,BC=3,CA=7,I為^ABC的內(nèi)心，連接CI并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)D。記△CAI的面積為m，△DAI的面積為n，則m=(n3 4 57A.-B.-C.-D._2 3 3 4【答案】C【解答】依題意，m=IC。nID由I為^ABC的內(nèi)心知，IC=AC=BC。IDADBD)所以,由等比定理知,mICACBC_AC+BC_7+35

n—~D―AD―BD—AD+DB—=35.已知》,j為實(shí)數(shù)，且滿足12-町+4J2=4,記u=X2+町+4J2的最大值為M，最小TOC\o"1-5"\h\z值為m，則M+m=( )40 64 136 31 B. C. .D.—3 15 15 5【答案】C【解答】由X2-XJ+4J2=4,得X2+4J2=Xj+4,u=X2+XJ+4J2=2Xj+4。5xj=4xj+(x2+4j2-4)=(x+2j)2-4>-4,當(dāng)且僅當(dāng)x=-2j,即x=-j=乎，或X=爭(zhēng)，j=-粵時(shí)等號(hào)成立。TOC\o"1-5"\h\z4 12 12XJ的最小值為-5,u=x2+xj+4j2=2xj+4的最小值為—,即m=—V 3盯=旬-(X2+4j2-4)=4Tx-2j)2'4，當(dāng)且僅當(dāng)X=2j，即X=等，j=-笠,j=-浮時(shí)等號(hào)成立。20 20u=X2+xj+4j2=2xj+4的最大值為—,即M=—M+m=%12=呼3 5 15u=x2+xj+4j2=2xj+4?；蚪猓河蒟2-Xj+4j2=4u=x2+xj+4j2=2xj+4。設(shè)q=t，若x=0，則日=4；x牛0時(shí)，x=—，將y=—代入x2—町+4y2=4,tx4t2得x2-t+——=4，即x4-(t+4)x2+412=0, ①x244由4=(t+4)2-1612>0，解得—5<t<3。將t=—代入方程①，解得x2=-,x=±2-6；t=一3代入方程①，解得x2=—,x=土2、1°。TOC\o"1-5"\h\z3 3 3 5 5 544???xy的最大值為4，最小值為-4。8 20 8 12 20 12 136因此，M=—+4=——,m=——+4=——,M+m=——+——=。3 3 5 5 3 5 15二、填空題(共5小題，每小題7分，共35分)6.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有兩點(diǎn)A(1,1),B(2,3),若一次函數(shù)y=kx+2的圖像與線段AB有公共點(diǎn)，則k的取值范圍為?！敬鸢浮?1<k<12【解答】易得直線AB對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)的解析式為y=2x-1。TOC\o"1-5"\h\z由；y=2x-1,得(k-2)x=-3 ①[y=kx+2依題意，方程①有1<x<2的解。31 1k-2<0,且1<——<2，解得-1<k<—。故k的取值范圍為-1<k<—k-2 2 2或通過作圖求解。7.如圖，在^ABC中，D為BC邊上一點(diǎn)，E為線段AD上一點(diǎn)，延長(zhǎng)BE交AC于點(diǎn)F。BD2若——=-,BC5BD2若——=-,BC5AE_1 =—,AD2AFAC【答案】2【解答】如圖過點(diǎn)C作CGIIBF交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G則AF=笠ACAG又由CG〃BE，知△DGCs^deb。DGDC3 -——DEDB237AG=AD+DG=2DE+—DE=—DE。AF—AE—DE—2ACAGAG7CB:-2017,則nn8.設(shè)x,1x，2x，3x是n個(gè)互不相同的正整數(shù)，且x+x+x+...+Xn 1 2 3 j的最大值是 【答案】63【解答】依題意，x>1，x>2，122017=x+x12+x+???+x>1+2+3+???+nnn(n+1)2-于是,2017>中,n<63。又當(dāng)x—又當(dāng)x—1,x—2,x12312362 63—3，…，x—62,x—64時(shí)，

62 63一… 63x64x+x+x+???+x+x—1+2+3+???+62+64- +1—2017。啥二。5啥二。5,則???所求n的最大值為63。9.如圖，AB是。。的直徑，AC是。。的切線，BC交。O于E點(diǎn),AEAB【答案】g【解答】由AB為。O的直徑知，AE1BC。設(shè)CE-mOA=＜5m,AB=2j5m。由條件易得△ACEs^BAE,CEAE—————,AE2-CE?EB,即AE2-mEB。AEBE結(jié)合AB2=AE2+EB2，得(2<5m)2=mEB+EB2。(或由射影定理得BA2=BE?BC，即(25mm)2=BE?(BE+m))???EB2+mEB—20m2=0，解得EB=4m或EB=-5m(舍去)。AEAAE 2m %5AE—2^m,—————。AB2<5m5【解答】由心一戶一Z3【解答】由心一戶一Z3=3xyz，得(則xyz的最大值為12=0o>0,于是x-y-z=0。沖z有最大值84。10.若正整數(shù)X,y,Z滿足方程組］*一戶—空二3"z

、X2=7(y+z)【答案】84結(jié)合％,y,z為正整數(shù)得，(x+y)2+(x+z)2+(z-y)2?? %2=7x,x—7?y+z=7°當(dāng)x=7,y=3,z=4或x=7,y=4,z=3時(shí)，三、解答題(共4題，每小題20分，共80分)11.若關(guān)于X的方程元2-(〃-3)元+a-2=0有兩個(gè)不相等的整數(shù)根，求a的值?！窘獯稹吭O(shè)x,X是方程兩個(gè)不相等的整數(shù)根，貝h+x=a-3,xx=a-2。TOC\o"1-5"\h\z1 2 12 12???a-3,a-2均為整數(shù)。因此，a為整數(shù)。 5分.??△=(a-3)2-4(a-2)=a2-10a+17=(a-5)2-8為完全平方數(shù)。設(shè)(a-5)2-8=12(t為整數(shù)，且t>0)。貝”(a-5)2-12=8。于是，(a-5-1)(a-5+1)=8。 10分a-5-t=-4或<a-5+t—-2由于a-5-1,aa-5-t=-4或<a-5+t—-2a—5—t—2oa-5+1—4TOC\o"1-5"\h\z解得「二2或一=8o 15分t―1t—1經(jīng)檢驗(yàn)a—2,a—8符合要求。???a―2或a—8。 20分另解：設(shè)m,n(m<n)是方程兩個(gè)不相等的整數(shù)根?？?m2-(a-3)m+a-2—0 ①則< on2-(a-3)n+a-2—0 ②兩式相減，得(m-n)(m+n)-(a-3)(m-n)―0。由m<n，得m+n—a-3,a—m+n+3。 5分將a―m+n+3代入①，得mn-m-n-1—0。10分(m-1)(n-1)―210分由于m,n為整數(shù)，且m<n,因此，m-由于m,n為整數(shù)，且m<n,因此，，，或1 」n-1=—1 n-1—215分m—2m—2n—3時(shí)八時(shí)，n—020分（第12題）AEA(G)ZAGC=ZAHC（第12題）AEA(G)ZAGC=ZAHC=180°—/ABC,圓。因此，點(diǎn)G也在圓O上。A、G、C、B四點(diǎn)共\B12.如圖，H為AABC的垂心，圓O為AABC的外接圓。點(diǎn)E、F為以C為圓心、CH長(zhǎng)為半徑的圓與圓O的交點(diǎn)，D為線段EF的垂直平分線與圓O的交點(diǎn)。求證：（1）AC垂直平分線段HE；（2）DE=AB?！窘獯稹浚?）解法一：如圖，連結(jié)AH，AE，EC。由H為△ABC的垂心知，ZAHC+/ABC=180°。由A、B、C、E四點(diǎn)共圓，得/AEC+ZABC=180°。???ZAEC=/AHC。 5分又CH=CE,/CEH=/CHE,/AEH=ZAHE,AE=AH。AC垂直平分線段HE。 10分解法二：作點(diǎn)H關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)G。連結(jié)AH,AG,GC。則CG=CH,點(diǎn)G在以C為圓心、CH長(zhǎng)為半徑的圓上?！?分又ZAGC=ZAHC,H為AABC的垂心,E、G兩點(diǎn)重合。因此，E、H關(guān)于直線AC對(duì)稱，即AC垂直平分線段HE。 10分（2）連結(jié)CF,BH。依題意有CE=CH=CF。結(jié)合D為線段EF的垂直平分線與圓O的交點(diǎn)，知CD為圓O的直徑。?.DA±AC。又由（1）,以及H為AABC的垂心知，HE±AC,BH±AC。因此，B、H、E三點(diǎn)共線。?.BE±AC。 15分??/DCE=90°—/CDE=90。一/CBE=/ACB。.??DAE=ADB。??DE=AB。 20分或：通過△DAE^^ADB,證明DE=AB?；蛲ㄟ^證明四邊形ADBE等腰梯形，證明DE=AB。

.對(duì)于整數(shù)n>3,用①(n)表示所有小于n的素?cái)?shù)的乘積。求滿足條件中(n)=22n-32的所有正整數(shù)n?！窘獯稹拷夥ㄒ唬喝鬾>11,則11整除叭n)，但11不能整除22n-32。TOC\o"1-5"\h\z因此，n>11不符合要求。故，n<11。 10分若7<n<11,則①(n)=2x3x5x7=210，由210=22n-32,得n=11。 15分若5<6<7,則U①(n)=2x3x5=30，由30=22n-32，得正整數(shù)n不存在。若3<n<5，則①(n)=2x3=6，由6=22n-32，得正整數(shù)n不存在。若n=3，則叭n)=2，由2=22n-32，得正整數(shù)n不存在。??滿足條件的正整數(shù)n只有1個(gè)，n=11。 20分解法二：由①(n)=22n-32,得叭n)-1024=22(n-48)。由于①(n)是偶數(shù)，但不是4的倍數(shù)，因此，n-48是奇數(shù)。 5分若n-48>3，則n-48含有奇數(shù)的素?cái)?shù)因子p，即p為奇素?cái)?shù)，且p整除n-48。由n-48<n知，p整除叭n)。由此p整除1024，矛盾。故，n-48<3,即n<49,且n為奇數(shù)。 10分:n<49時(shí)，22n-32<22x49-32=1046,??①(n)<1046。又2x3x5x7=210,2x3x5x7x11=210x11>1046。??n<11。即n=3,5,7,9,11。 15分將n=3,5,7,9,11分別代入叭n)=22n-32驗(yàn)證，n=3時(shí)，①⑶=2,22n-32=34，不符合要求。n=5時(shí)，①(5)=2x3=6,22n-32=78，不符合要求。n=7時(shí)，①(7)=2x3x5=30,22n-32=122，不符合要求。n=9時(shí)，①(9)=2x3x5x7=210,22n-32=166，不符合要求。n=11時(shí)，①(11)=2x3x5x7=210,22n-32=210，符合要求。???滿足條件的正整數(shù)n???滿足條件的正整數(shù)n只有1個(gè)，n=11。20分((m,n)-(33,2),(16,4),(3,17)。 20分.在一個(gè)m義n(m行，n列，m>1)的表格的每個(gè)方格內(nèi)填上適當(dāng)?shù)恼麛?shù)，使得:(1)每一列所填的數(shù)都是1,2,3,…，m的一個(gè)排列；(即在每一列