湖北省咸寧市重點中學(xué)2022-2023學(xué)年數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末達(dá)標(biāo)測試試題含解析

2022-2023學(xué)年高一下數(shù)學(xué)期末模擬試卷考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．在三棱錐中，已知所有棱長均為，是的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．2．已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，函數(shù)是定義在上的單調(diào)遞增的奇函數(shù)，數(shù)列的前項和為，對于命題：①若數(shù)列為遞增數(shù)列，則對一切，②若對一切，，則數(shù)列為遞增數(shù)列③若存在，使得，則存在，使得④若存在，使得，則存在，使得其中正確命題的個數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．33．若非零實數(shù)滿足，則下列不等式成立的是（）A． B． C． D．4．在等差數(shù)列中,已知=2,=16,則為()A．8 B．128 C．28 D．145．設(shè)，則下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．6．設(shè)，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，是下列命題正確的是（）A．若，，則 B．若，，，則C．若，，，則 D．若，，，則7．的內(nèi)角的對邊分別為,邊上的中線長為,則面積的最大值為（）A． B． C． D．8．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入，則輸出（）A．13 B．15 C．40 D．469．對某班學(xué)生一次英語測試的成績分析，各分?jǐn)?shù)段的分布如下圖（分?jǐn)?shù)取整數(shù)），由此，估計這次測驗的優(yōu)秀率（不小于80分）為（）A．92% B．24% C．56% D．76%10．的值為()A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知數(shù)列的前項和為，則其通項公式__________．12．?dāng)?shù)列滿足：，，則______.13．設(shè)等差數(shù)列，的前項和分別為，，若，則__________．14．在數(shù)列中，，是其前項和，當(dāng)時，恒有、、成等比數(shù)列，則________．15．已知數(shù)列中，，，設(shè)，若對任意的正整數(shù)，當(dāng)時，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是______．16．一艘海輪從出發(fā)，沿北偏東方向航行后到達(dá)海島，然后從出發(fā)沿北偏東方向航行后到達(dá)海島，如果下次直接從沿北偏東方向到達(dá)，則______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖，在長方體中，，點為的中點．（1）求證：直線平面；（2）求證：平面平面；（3）求直線與平面的夾角．18．已知關(guān)于直線對稱，且圓心在軸上.（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知動點在直線上，過點引的兩條切線、，切點分別為.①記四邊形的面積為，求的最小值；②證明直線恒過定點.19．“我將來要當(dāng)一名麥田里的守望者，有那么一群孩子在一塊麥田里玩，幾千萬的小孩子，附近沒有一個大人，我是說……除了我”《麥田里的守望者》中的主人公霍爾頓將自己的精神生活寄托于那廣闊無垠的麥田.假設(shè)霍爾頓在一塊成凸四邊形的麥田里成為守望者，如圖所示，為了分割麥田，他將連接，設(shè)中邊所對的角為，中邊所對的角為，經(jīng)測量已知，.（1）霍爾頓發(fā)現(xiàn)無論多長，為一個定值，請你驗證霍爾頓的結(jié)論，并求出這個定值；（2）霍爾頓發(fā)現(xiàn)麥田的生長于土地面積的平方呈正相關(guān)，記與的面積分別為和，為了更好地規(guī)劃麥田，請你幫助霍爾頓求出的最大值.20．如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，側(cè)棱底面，垂直于和，為棱上的點，，.（1）若為棱的中點，求證：//平面；（2）當(dāng)時，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值；（3）在第（2）問條件下，設(shè)點是線段上的動點，與平面所成的角為，求當(dāng)取最大值時點的位置.21．已知數(shù)列的前項和為．（Ⅰ）當(dāng)時，求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）當(dāng)時，令，求數(shù)列的前項和．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】

取的中點，連接、，于是得到異面直線與所成的角為，然后計算出的三條邊長，并利用余弦定理計算出，即可得出答案．【詳解】如下圖所示，取的中點，連接、，由于、分別為、的中點，則，且，所以，異面直線與所成的角為或其補角，三棱錐是邊長為的正四面體，則、均是邊長為的等邊三角形，為的中點，則，且，同理可得，在中，由余弦定理得，因此，異面直線與所成角的余弦值為，故選A．【點睛】本題考查異面直線所成角的計算，利用平移法求異面直線所成角的基本步驟如下：（1）一作：平移直線，找出異面直線所成的角；（2）二證：對異面直線所成的角進行說明；（3）三計算：選擇合適的三角形，并計算出三角形的邊長，利用余弦定理計算所求的角．2、C【解析】

利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性，通過舉例和證明逐項分析.【詳解】①取，，則，故①錯；②對一切，，則，又因為是上的單調(diào)遞增函數(shù)，所以，若遞減，設(shè)，且，且，所以，則，則，與題設(shè)矛盾，所以遞增，故②正確；③取，則，，令，所以，但是，故③錯誤；④因為，所以，所以，則，則，則存在，使得，故④正確.故選：C.【點睛】本題函數(shù)性質(zhì)與數(shù)列的綜合，難度較難.分析存在性問題時，如果比較難分析，也可以從反面去舉例子說明命題不成立，這也是一種常規(guī)思路.3、C【解析】

對每一個不等式逐一分析判斷得解.【詳解】A,不一定小于0，所以該選項不一定成立；B,如果a＜0，b＜0時，不成立，所以該選項不一定成立；C,，所以，所以該不等式成立；D,不一定小于0，所以該選項不一定成立.故選：C【點睛】本題主要考查不等式性質(zhì)和比較法比較實數(shù)的大小，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.4、D【解析】

將已知條件轉(zhuǎn)化為的形式列方程組，解方程組求得，進而求得的值.【詳解】依題意，解得，故.故選：D.【點睛】本小題主要考查等差數(shù)列通項的基本量計算，屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】

利用不等式的性質(zhì)，即可求解，得到答案.【詳解】由題意知，根據(jù)不等式的性質(zhì)，兩邊同乘，可得成立.故選：B.【點睛】本題主要考查了不等式的性質(zhì)及其應(yīng)用，其中解答中熟記不等式的基本性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】

根據(jù)空間中線線，線面，面面位置關(guān)系，逐項判斷即可得出結(jié)果.【詳解】A選項，若，，則可能平行、相交、或異面；故A錯；B選項，若，，，則可能平行或異面；故B錯；C選項，若，，，如果再滿足，才會有則與垂直，所以與不一定垂直；故C錯；D選項，若，，則，又，由面面垂直的判定定理，可得，故D正確.故選D【點睛】本題主要考查空間的線面，面面位置關(guān)系，熟記位置關(guān)系，以及判定定理即可，屬于?？碱}型.7、D【解析】

作出圖形，通過和余弦定理可計算出，于是利用均值不等式即可得到答案.【詳解】根據(jù)題意可知，而，同理，而，于是，即，又因為，代入解得.過D作DE垂直于AB于點E，因此E為中點，故，而，故面積最大值為4，答案為D.【點睛】本題主要考查解三角形與基本不等式的相關(guān)綜合，表示出三角形面積及使用均值不等式是解決本題的關(guān)鍵，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，計算能力，難度較大.8、A【解析】

模擬程序運行即可．【詳解】程序運行循環(huán)時，變量值為，不滿足；，不滿足；，滿足，結(jié)束循環(huán)，輸出．故選A．【點睛】本題考查程序框圖，考查循環(huán)結(jié)構(gòu)．解題時可模擬程序運行，觀察變量值的變化，判斷是否符合循環(huán)條件即可．9、C【解析】試題分析：．故C正確．考點：頻率分布直方圖．10、B【解析】

直接利用誘導(dǎo)公式結(jié)合特殊角的三角函數(shù)求解即可.【詳解】,故選B.【點睛】本題主要考查誘導(dǎo)公式以及特殊角的三角函數(shù)，意在考查對基礎(chǔ)知識的掌握情況，屬于簡單題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】分析：先根據(jù)和項與通項關(guān)系得當(dāng)時，，再檢驗，時，不滿足上述式子，所以結(jié)果用分段函數(shù)表示.詳解：∵已知數(shù)列的前項和，∴當(dāng)時，，當(dāng)時，，經(jīng)檢驗，時，不滿足上述式子，故數(shù)列的通項公式．點睛：給出與的遞推關(guān)系求，常用思路是：一是利用轉(zhuǎn)化為的遞推關(guān)系，再求其通項公式；二是轉(zhuǎn)化為的遞推關(guān)系，先求出與之間的關(guān)系，再求.應(yīng)用關(guān)系式時，一定要注意分兩種情況，在求出結(jié)果后，看看這兩種情況能否整合在一起.12、【解析】

可通過賦值法依次進行推導(dǎo)，找出數(shù)列的周期，進而求解【詳解】由，，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，，當(dāng)故數(shù)列從開始，以3為周期故故答案為：【點睛】本題考查數(shù)列的遞推公式，能根據(jù)遞推公式找出數(shù)列的規(guī)律是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題13、【解析】分析：首先根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得到，利用分?jǐn)?shù)的性質(zhì)，將項的比值轉(zhuǎn)化為和的比值，從而求得結(jié)果.詳解：根據(jù)題意有，所以答案是.點睛：該題考查的是有關(guān)等差數(shù)列的性質(zhì)的問題，將兩個等差數(shù)列的項的比值可以轉(zhuǎn)化為其和的比值，結(jié)論為，從而求得結(jié)果.14、.【解析】

由題意得出，當(dāng)時，由，代入，化簡得出，利用倒數(shù)法求出的通項公式，從而得出的表達(dá)式，于是可求出的值.【詳解】當(dāng)時，由題意可得，即，化簡得，得，兩邊取倒數(shù)得，，所以，數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，，，則，因此，，故答案為：.【點睛】本題考查數(shù)列極限的計算，同時也考查了數(shù)列通項的求解，在含的數(shù)列遞推式中，若作差法不能求通項時，可利用轉(zhuǎn)化為的遞推公式求通項，考查分析問題和解決問題的能力，綜合性較強，屬于中等題.15、【解析】∵，（，），當(dāng)時，，，…，，并項相加，得：，

∴，又∵當(dāng)時，也滿足上式，

∴數(shù)列的通項公式為，∴

，令（），則，∵當(dāng)時，恒成立，∴在上是增函數(shù)，

故當(dāng)時，，即當(dāng)時，，對任意的正整數(shù)，當(dāng)時，不等式恒成立，則須使，即對恒成立，即的最小值，可得，∴實數(shù)的取值范圍為，故答案為.點睛：本題考查數(shù)列的通項及前項和，涉及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于難題通過并項相加可知當(dāng)時，進而可得數(shù)列的通項公式，裂項、并項相加可知，通過求導(dǎo)可知是增函數(shù)，進而問題轉(zhuǎn)化為，由恒成立思想，即可得結(jié)論.16、【解析】

首先根據(jù)余弦定理求出，在根據(jù)正弦定理求出，即可求出【詳解】有題知.所以.在中，，即，解得.所以，故答案為：【點睛】本題主要考查正弦定理和余弦定理的實際應(yīng)用，熟練掌握公式為解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見證明；(2)見證明；(3)【解析】

（1）連接，交于，則為中點，連接OP，可證明，從而可證明直線平面；（2）先證明AC⊥BD，，可得到平面，然后結(jié)合平面，可知平面平面；（3）連接，由（2）知，平面平面，可知即為與平面的夾角，求解即可.【詳解】（1）證明：連接，交于，則為中點，連接OP，∵P為的中點，∴，∵OP?平面，?平面，∴平面；（2）證明：長方體中，，底面是正方形，則AC⊥BD，又⊥面，則．∵?平面，?平面，，∴平面．∵平面，∴平面平面；（3）解：連接，由（2）知，平面平面，∴即為與平面的夾角，在長方體中，∵，∴．在中，．∴直線與平面的夾角為．【點睛】本題考查了線面平行、面面垂直的證明，考查了線面角的求法，考查了學(xué)生的空間想象能力和計算求解能力，屬于中檔題.18、（1）（2）①②證明見解析【解析】

（1）根據(jù)圓的一般式，可得圓心坐標(biāo)，將圓心坐標(biāo)代入直線方程，結(jié)合圓心在軸上，即可求得圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）①根據(jù)切線性質(zhì)及切線長定理，表示出的長，根據(jù)圓的性質(zhì)可知當(dāng)最小時，即可求得面積的最小值；②設(shè)出M點坐標(biāo)，根據(jù)兩條切線可知M、A、C、B四點共圓，可得圓心坐標(biāo)及半徑，進而求得的方程，根據(jù)兩個圓公共弦所在直線方程求法即可得直線方程，進而求得過的定點坐標(biāo)．【詳解】（1）由題意知，圓心在直線上，即，又因為圓心在軸上，所以，由以上兩式得：，，所以.故的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）①如圖，的圓心為，半徑，因為、是的兩條切線，所以，，故又因為，根據(jù)平面幾何知識，要使最小，只要最小即可.易知，當(dāng)點坐標(biāo)為時，.此時.②設(shè)點的坐標(biāo)為，因為，所以、、、四點共圓.其圓心為線段的中點，，設(shè)所在的圓為，所以的方程為：，化簡得：，因為是和的公共弦，所以，兩式相減得，故方程為：，當(dāng)時，，所以直線恒過定點.【點睛】本題考查了圓的一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用，圓中三角形面積問題的應(yīng)用，直線過定點問題，綜合性強，屬于難題．19、（1）；（2）.【解析】

（1）在和中分別對使用余弦定理，可推出與的關(guān)系，即可得出是一個定值；（2）求出的表達(dá)式，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)以及余弦函數(shù)值的取范圍，可得出的最大值.【詳解】（1）在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，，則，；（2），，則，由（1）知：，代入上式得：，配方得：，當(dāng)時，取到最大值.【點睛】本題考查余弦定理的應(yīng)用、三角形面積的求法以及二次函數(shù)最值的求解，解題的關(guān)鍵就是利用題中結(jié)論將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)來求解，考查運算求解能力，屬于中等題.20、（1）見解析；（2）；（3）即點N在線段CD上且【解析】

（1）取線段SC的中點E，連接ME，ED．可證是平行四邊形，從而有，則可得線面平行；（2）以點A為坐標(biāo)原點，建立分別以AD、AB、AS所在的直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出兩平面與平面的法向量，由法向量夾角的余弦值可得二面角的余弦值；