江西省南昌縣蓮塘第一中學(xué)2023年數(shù)學(xué)高一下期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題含解析

2022-2023學(xué)年高一下數(shù)學(xué)期末模擬試卷請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．設(shè)等比數(shù)列的公比，前項(xiàng)和為，則（）A． B． C． D．2．已知平面向量，滿足，，且，則與的夾角為（）A． B． C． D．3．下列四個(gè)函數(shù)中，既是上的增函數(shù)，又是以為周期的偶函數(shù)的是（）A． B． C． D．4．直線的傾斜角大?。ǎ〢． B． C． D．5．直線的傾斜角是（）A． B． C． D．6．若，則下列結(jié)論中:(1)；(2)；(3)若，則；(4)若，則的最小值為.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為()A．1 B．2 C．3 D．47．在三棱錐中，已知所有棱長均為，是的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．8．某公司的班車在7:30，8:00，8:30發(fā)車，小明在7:50至8:30之間到達(dá)發(fā)車站乘坐班車，且到達(dá)發(fā)車站的時(shí)刻是隨機(jī)的，則他等車時(shí)間不超過10分鐘的概率是A． B． C． D．9．已知數(shù)列的前項(xiàng)為和，且，則（）A．5 B． C． D．910．如圖，在中，，點(diǎn)在邊上，且，則等于（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若，則________.12．已知在中，，則____________.13．已知向量，則___________.14．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則_______.15．?dāng)?shù)列定義為，則_______.16．一個(gè)社會(huì)調(diào)查機(jī)構(gòu)就某地居民的月收入調(diào)查了10000人，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫了樣本的頻率分布直方圖(如下圖).為了分析居民的收入與年齡、學(xué)歷、職業(yè)等方面的關(guān)系，要從這10000人中再用分層抽樣方法抽出80人作進(jìn)一步調(diào)查，則在[1500，2000)(元)月收入段應(yīng)抽出人.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數(shù)f（x）＝2cosx（sinx﹣cosx）.（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間：（2）將f（x）的圖象向左平移個(gè)單位后得到函數(shù)g（x）的圖象，若方程g（x）＝m在區(qū)間[0，]上有解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.18．求經(jīng)過直線：與直線：的交點(diǎn)，且分別滿足下列條件的直線方程.（Ⅰ）與直線平行；（Ⅱ）與直線垂直.19．如圖，在四棱錐中，底面是菱形，底面.（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）若，求二面角的余弦值.20．如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，側(cè)棱底面，垂直于和，為棱上的點(diǎn)，，.（1）若為棱的中點(diǎn)，求證：//平面；（2）當(dāng)時(shí)，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值；（3）在第（2）問條件下，設(shè)點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，與平面所成的角為，求當(dāng)取最大值時(shí)點(diǎn)的位置.21．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，.（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；（2）令，若對(duì)恒成立，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解析】

利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式表示出,利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式表示出，計(jì)算即可得出答案?！驹斀狻恳?yàn)?，所以故選C【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，屬于基礎(chǔ)題。2、C【解析】

根據(jù)列方程，結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算以及特殊角的三角函數(shù)值，求得與的夾角.【詳解】由于，故，所以，所以，故選C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查兩個(gè)向量垂直的表示，考查向量數(shù)量積運(yùn)算，考查特殊角的三角函數(shù)值，考查兩個(gè)向量夾角的求法，屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】

本題首先可確定四個(gè)選項(xiàng)中的函數(shù)的周期性以及在區(qū)間上的單調(diào)性、奇偶性，然后根據(jù)題意即可得出結(jié)果．【詳解】A項(xiàng)：函數(shù)周期為，在上是增函數(shù),奇函數(shù)；B項(xiàng)：函數(shù)周期為，在上是減函數(shù)，偶函數(shù)；C項(xiàng)：函數(shù)周期為，在上是增函數(shù)，偶函數(shù)；D項(xiàng)：函數(shù)周期為，在上是減函數(shù)，偶函數(shù)；綜上所述，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的周期性以及單調(diào)性，能否熟練的掌握正弦函數(shù)以及余弦函數(shù)的圖像性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵，考查推理能力，是簡單題．4、B【解析】

化簡得到，根據(jù)計(jì)算得到答案.【詳解】直線，即，，，故.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了直線的傾斜角，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.5、D【解析】

先求出直線的斜率，再求直線的傾斜角.【詳解】由題得直線的斜率.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查直線的斜率和傾斜角的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.6、B【解析】

利用函數(shù)知識(shí)、換元法、絕對(duì)值不等式等知識(shí)，對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行一一推理證明，即可得答案.【詳解】對(duì)（1），，∴或，∵或，∴原不等式成立，故（1）正確；對(duì)（2），∵，故（2）正確；對(duì)（3），令，則，顯然不成立，故（3）錯(cuò)誤；對(duì)（4），∵，∴，當(dāng)時(shí)，，∴的最小值為顯然不成立，故（4）錯(cuò)誤.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)與不等式的知識(shí)，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意消元法、換元法的使用.7、A【解析】

取的中點(diǎn)，連接、，于是得到異面直線與所成的角為，然后計(jì)算出的三條邊長，并利用余弦定理計(jì)算出，即可得出答案．【詳解】如下圖所示，取的中點(diǎn)，連接、，由于、分別為、的中點(diǎn)，則，且，所以，異面直線與所成的角為或其補(bǔ)角，三棱錐是邊長為的正四面體，則、均是邊長為的等邊三角形，為的中點(diǎn)，則，且，同理可得，在中，由余弦定理得，因此，異面直線與所成角的余弦值為，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成角的計(jì)算，利用平移法求異面直線所成角的基本步驟如下：（1）一作：平移直線，找出異面直線所成的角；（2）二證：對(duì)異面直線所成的角進(jìn)行說明；（3）三計(jì)算：選擇合適的三角形，并計(jì)算出三角形的邊長，利用余弦定理計(jì)算所求的角．8、B【解析】試題分析：由題意，這是幾何概型問題，班車每30分鐘發(fā)出一輛，到達(dá)發(fā)車站的時(shí)間總長度為40，等車不超過10分鐘的時(shí)間長度為20，故所求概率為，選B.【考點(diǎn)】幾何概型【名師點(diǎn)睛】這是全國卷首次考查幾何概型,求解幾何概型問題的關(guān)鍵是確定“測度”,常見的測度有長度、面積、體積等.9、D【解析】

先根據(jù)已知求出數(shù)列的通項(xiàng)，再求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，可得；當(dāng)且時(shí)，，得，故數(shù)列為等比數(shù)列，首項(xiàng)為4，公比為2.所以所以.故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查項(xiàng)和公式求數(shù)列通項(xiàng)，考查等比數(shù)列的通項(xiàng)的求法，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】

在中，由余弦定理求得，在中，利用正弦定理求得BD，則可得CD.【詳解】在中，由余弦定理可得.又，故為直角三角形，故.因?yàn)?，且為銳角，故.由利用正弦定理可得，代值可得，故.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查利用正弦定理以及余弦定理解三角形，屬于綜合基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

觀察式子特征，直接寫出，即可求出。【詳解】觀察的式子特征，明確各項(xiàng)關(guān)系，以及首末兩項(xiàng)，即可寫出，所以，相比，增加了后兩項(xiàng)，少了第一項(xiàng)，故?！军c(diǎn)睛】本題主要考查學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力，正確弄清式子特征是解題關(guān)鍵。12、【解析】

根據(jù)可得，根據(jù)商數(shù)關(guān)系和平方關(guān)系可解得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以且，又，所以，所以，因?yàn)?，所?故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的符號(hào)法則，考查了同角公式中的商數(shù)關(guān)系和平方關(guān)系式，屬于基礎(chǔ)題.13、【解析】

根據(jù)向量夾角公式可求出結(jié)果.【詳解】．【點(diǎn)睛】本題考查了向量夾角的運(yùn)算，牢記平面向量的夾角公式是破解問題的關(guān)鍵．14、【解析】

由圖可得，即可求得：，再由圖可得：當(dāng)時(shí)，取得最大值，即可列方程，整理得：，解得：（），結(jié)合即可得解.【詳解】由圖可得：，所以，解得：由圖可得：當(dāng)時(shí)，取得最大值，即：整理得：，所以（）又，所以【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)圖象的性質(zhì)及觀察能力，還考查了轉(zhuǎn)化思想及計(jì)算能力，屬于中檔題．15、【解析】

由已知得兩式，相減可發(fā)現(xiàn)原數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)均為等差數(shù)列，分類討論分別算出奇數(shù)項(xiàng)的和和偶數(shù)項(xiàng)的和，再相加得原數(shù)列前的和【詳解】兩式相減得數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)，偶數(shù)項(xiàng)分別成等差數(shù)列，，，，數(shù)列的前2n項(xiàng)中所有奇數(shù)項(xiàng)的和為：，數(shù)列的前2n項(xiàng)中所有偶數(shù)項(xiàng)的和為：【點(diǎn)睛】對(duì)于遞推式為，其特點(diǎn)是隔項(xiàng)相減為常數(shù)，這種數(shù)列要分類討論，分偶數(shù)項(xiàng)和奇數(shù)項(xiàng)來研究，特別注意偶數(shù)項(xiàng)的首項(xiàng)為，而奇數(shù)項(xiàng)的首項(xiàng)為.16、16【解析】試題分析：由頻率分布直方圖知，收入在1511--2111元之間的概率為1．1114×511=1．2，所以在[1511，2111）（元）月收入段應(yīng)抽出81×1．2=16人?？键c(diǎn)：?頻率分布直方圖的應(yīng)用；?分層抽樣。三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）函數(shù)的最小正周期為π;函數(shù)的減區(qū)間為[kπ，kπ]，k∈Z（2）m∈[﹣2，1]【解析】

（1）利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的周期性和單調(diào)性，得出結(jié)論；（2）利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得的范圍，進(jìn)而可得的范圍.【詳解】（1）函數(shù)f（x）＝2cosx（sinx﹣cosx）sin2x﹣（1+cos2x）＝2sin（2x）﹣1，故函數(shù)的最小正周期為π.令2kπ2x2kπ，求得kπx≤kπ，可得函數(shù)的減區(qū)間為[kπ，kπ]，k∈Z.（2）將f（x）的圖象向左平移個(gè)單位后，得到函數(shù)g（x）＝2sin（2x）﹣1＝2sin（2x）﹣1的圖象.在區(qū)間[0，]上，2x∈[，]，sin（2x）∈[，1]，f（x）∈[﹣2，1].若方程g（x）＝m在區(qū)間[0，]上有解，則m∈[﹣2，1].【點(diǎn)睛】本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的周期性和單調(diào)性，函數(shù)的恒成立問題，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題.18、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）先求得直線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo).根據(jù)平行直線的斜率關(guān)系得與平行直線的斜率,再由點(diǎn)斜式即可求得直線方程.（Ⅱ）根據(jù)垂直直線的斜率關(guān)系得與垂直的直線斜率,再由點(diǎn)斜式即可求得直線方程.【詳解】解方程組得,所以直線與直線的交點(diǎn)是（Ⅰ）直線,可化為由題意知與直線平行則直線的斜率為又因?yàn)檫^所以由點(diǎn)斜式方程可得化簡得所以與直線平行且過的直線方程為.（Ⅱ）直線的斜率為則由垂直時(shí)直線的斜率乘積為可知直線的斜率為由題意知該直線經(jīng)過點(diǎn),所以由點(diǎn)斜式方程可知化簡可得所以與直線垂直且過的直線方程為.【點(diǎn)睛】本題考查了直線平行與垂直時(shí)的斜率關(guān)系,由點(diǎn)斜式求方程的用法,屬于基礎(chǔ)題.19、（Ⅰ）見解析（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）由底面推出，由菱形的性質(zhì)推出，即可推出平面從而得到；（Ⅱ）作，交的延長線于，連接，則二面角的平面角是，由已知條件求出AD，進(jìn)而求出AE、PD，即可求得.【詳解】（Ⅰ）證明：連接，∵底面，底面,∴.∵四邊形是菱形，∴.又∵，平面，平面，∴平面，∴.（Ⅱ）作，交的延長線于，連接.由于，于是平面，平面，，所以二面角的平面角是.設(shè)“”，且底面是菱形，，，，∴.【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直、線線垂直的證明，二面角的余弦值，屬于中檔題.20、（1）見解析；（2）；（3）即點(diǎn)N在線段CD上且【解析】

（1）取線段SC的中點(diǎn)E，連接ME，ED．可證是平行四邊形，從而有，則可得線面平行；（2）以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立分別以AD、AB、AS所在的直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出兩平面與平面的法向量，由法向量夾角的余弦值可得二面角的余弦值；（3）設(shè)，其中，求出，由MN與平面所成角的正弦值為與平面的法向量夾角余弦值的絕對(duì)值可求得結(jié)論．【詳解】（1）證明：取線段SC的中點(diǎn)E，連接ME，ED．在中，ME為中位線，∴且，∵且，∴且，∴四邊形AMED為平行四邊形．∴．∵平面SCD，平面SCD，∴平面SCD．（2）解：如圖所示以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立分別以AD、AB、AS所在的直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，由條件得M為線段SB近B點(diǎn)的三等分點(diǎn)．于是，即，設(shè)平面AMC的一個(gè)法向量為，則，將坐標(biāo)代入并取，得．另外易知平面SAB的一個(gè)法向量為，所以平面AMC與平面SAB所成的銳二面角的余弦為．（3）設(shè)，其中．由于，所以．所以，可知當(dāng)，即時(shí)分母有最小值，此時(shí)有最大值，此時(shí)，，即點(diǎn)N在線段CD上且．【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的證明，考查求二面角與線面角．求空間角時(shí)，一般建立空間直角坐標(biāo)系，由平面法向量的夾角求得二面角，由直線的方向向量與平面法向量的夾角與線面角互余可求得線面角．21、（1）證明見解析，（2）【解析】

（1）當(dāng)時(shí)，結(jié)合可求得；當(dāng)且時(shí)，利用可整理得，可證得數(shù)列為等比數(shù)列；根據(jù)等比數(shù)