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文檔簡介
2020年中考數(shù)學試題分類匯編之十一四邊形選擇題1.(2020廣州)如圖5,矩形ABCD的對角線AC,BD交于點O,,,過點O作OE⊥AC,交AD于點E,過點E作EF⊥BD,垂足為F,則的值為(*). (B) (C) (D)【答案】C2.(2020陜西)如圖,在?ABCD中,AB=5,BC=8.E是邊BC的中點,F(xiàn)是?ABCD內(nèi)一點,且∠BFC=90°.連接AF并延長,交CD于點G.若EF∥AB,則DG的長為()A. B. C.3 D.2【解答】解:∵E是邊BC的中點,且∠BFC=90°,∴Rt△BCF中,EF=BC=4,∵EF∥AB,AB∥CG,E是邊BC的中點,∴F是AG的中點,∴EF是梯形ABCG的中位線,∴CG=2EF﹣AB=3,又∵CD=AB=5,∴DG=5﹣3=2,故選:D.3.(2020樂山)如圖,在菱形中,,,是對角線的中點,過點作于點,連結(jié).則四邊形的周長為()A. B. C. D.【答案】B【詳解】∵四邊形ABCD是菱形,是對角線的中點,∴AO⊥BD,AD=AB=4,AB∥DC∵∠BAD=120o,∴∠ABD=∠ADB=∠CDB=30o,∵OE⊥DC,∴在RtΔAOD中,AD=4,AO==2,DO=,在RtΔDEO中,OE=,DE=,∴四邊形的周長為AO+OE+DE+AD=2++3+4=9+,故選:B.4.(2020貴陽)菱形的兩條對角線長分別是6和8,則此菱形的周長是()A.5 B.20 C.24 D.32【答案】B【詳解】解:如圖所示,根據(jù)題意得AO=,BO=,∵四邊形ABCD是菱形,
∴AB=BC=CD=DA,AC⊥BD,
∴△AOB是直角三角形,
∴AB=,
∴此菱形的周長為:5×4=20.
故選:B.5.(2020湖北黃岡)若菱形的周長為16,高為2,則菱形兩鄰角的度數(shù)之比為()A. B. C. D.解:如圖,AH為菱形ABCD的高,AH=2,∵菱形的周長為16,∴AB=4,在Rt△ABH中,sinB==,∴∠B=30°,∵AB∥CD,∴∠C=150°,∴∠C:∠B=5:1.故選:B.6.(2020山東青島)如圖,將矩形折疊,使點和點重合,折痕為,與交于點若,,則的長為()A. B. C. D.【答案】C解:由對折可得:矩形,BC=8由對折得:故選C.7.(2020上海)(4分)下列命題中,真命題是()A.對角線互相垂直的梯形是等腰梯形 B.對角線互相垂直的平行四邊形是正方形 C.對角線平分一組對角的平行四邊形是菱形 D.對角線平分一組對角的梯形是直角梯形【解答】解:A、對角線相等的梯形是等腰梯形,故錯誤;B、對角線互相垂直的平行四邊形是菱形,故錯誤;C、正確;D、對角線平分一組對角的梯形是菱形,故錯誤;故選:C.8.(2020四川南充)(4分)如圖,面積為S的菱形ABCD中,點O為對角線的交點,點E是線段BC的中點,過點E作EF⊥BD于F,EG⊥AC于G,則四邊形EFOG的面積為()A.14S B.18S C.112S D解:∵四邊形ABCD是菱形,∴OA=OC,OB=OD,AC⊥BD,S=12AC×∵EF⊥BD于F,EG⊥AC于G,∴四邊形EFOG是矩形,EF∥OC,EG∥OB,∵點E是線段BC的中點,∴EF、EG都是△OBC的中位線,∴EF=12OC=14AC,EG=∴矩形EFOG的面積=EF×EG=14AC×14故選:B.9.(2020甘肅定西)若一個正方形的面積是12,則它的邊長是()A.B.3C.D.4 答案:A10.(2020甘肅定西)如圖所示的木制活動衣帽架是由三個全等的菱形構(gòu)成,根據(jù)實際需要可以調(diào)節(jié)間的距離.若間的距離調(diào)節(jié)到,菱形的邊長,則的度數(shù)是()A.90° B.100° C.120° D.150°答案:C11.(2020遼寧撫順)(3分)如圖,四邊形ABCD是菱形,對角線AC,BD相交于點O,AC=8.BD=6,點E是CD上一點,連接OE,若OE=CE,則OE的長是()A.2 B. C.3 D.4解:∵菱形ABCD的對角線AC、BD相交于點O,∴OB=BD=×6=3,OA=OC=AC=×8=4,AC⊥BD,由勾股定理得,BC==5,∴AD=5,∵OE=CE,∴∠DCA=∠EOC,∵四邊形ABCD是菱形,∴∠DCA=∠DAC,∴∠DAC=∠EOC,∴OE∥AD,∵AO=OC,∴OE是△ADC的中位線,∴OE=AD=2.5,故選:B.12.(2020內(nèi)蒙古呼和浩特)(3分)如圖,把某矩形紙片ABCD沿EF,GH折疊(點E、H在AD邊上,點F,G在BC邊上),使點B和點C落在AD邊上同一點P處,A點的對稱點為A'、D點的對稱點為D',若∠FPG=90°,S△A′EP=8,S△D′PH=2,則矩形ABCD的長為()A.6+10 B.6+5 C.3+10 D.3+5解:∵四邊形ABCD是矩形,∴AB=CD,AD=BC,設AB=CD=x,由翻折可知:PA′=AB=x,PD′=CD=x,∵△A′EP的面積為8,△D′PH的面積為2,又∵∠A′PF=∠D′PG=90°,∴∠A′PD′=90°,則∠A′PE+∠D′PH=90°,∴∠A′PE=∠D′HP,∴△A′EP∽△D′PH,∴A′P2:D′H2=8:2,∴A′P:D′H=2:1,∵A′P=x,∴D′H=x,∵S△D′PH=D′P?D′H=A′P?D′H,即,∴x=(負根舍棄),∴AB=CD=,D′H=DH=,D′P=A′P=CD=,A′E=2D′P=,∴PE=,PH=,∴AD==,即矩形ABCD的長為,故選:D.13.(2020寧夏)(3分)如圖,菱形ABCD的邊長為13,對角線AC=24,點E、F分別是邊CD、BC的中點,連接EF并延長與AB的延長線相交于點G,則EG=()A.13 B.10 C.12 D.5解:連接BD,交AC于點O,如圖:∵菱形ABCD的邊長為13,點E、F分別是邊CD、BC的中點,∴AB∥CD,AB=BC=CD=DA=13,EF∥BD,∵AC、BD是菱形的對角線,AC=24,∴AC⊥BD,AO=CO=12,OB=OD,又∵AB∥CD,EF∥BD,∴DE∥BG,BD∥EG,∵DE∥BG,BD∥EG,∴四邊形BDEG是平行四邊形,∴BD=EG,在△COD中,∵OC⊥OD,CD=13,CO=12,∴OB=OD==5,∴BD=2OD=10,∴EG=BD=10;故選:B.14.(2020黑龍江龍東)(3分)如圖,菱形的對角線、相交于點,過點作于點,連接,若,,則的長為A.4 B.8 C. D.6【解答】解:四邊形是菱形,,,,,,,,菱形的面積,,;故選:.15.(2020黑龍江龍東)(3分)如圖,正方形的邊長為,點在邊上運動(不與點,重合),,點在射線上,且,與相交于點,連接、、.則下列結(jié)論:①;②的周長為;③;④的面積的最大值是;⑤當時,是線段的中點.其中正確的結(jié)論是A.①②③ B.②④⑤ C.①③④ D.①④⑤解:如圖1中,在上截取,連接.,,,,,,,,,,,,,,,,,,故①正確,如圖2中,延長到,使得,則,,,,,,,,,,,故③錯誤,的周長,故②錯誤,設,則,,,,時,的面積的最大值為.故④正確,當時,設,則,在中,則有,解得,,故⑤正確,故選:.16.(2020黑龍江牡丹江)(3分)如圖,在矩形中,,,點在邊上,,垂足為.若,則線段的長為A.2 B.3 C.4 D.5【解答】解:四邊形為矩形,,,,,,,,,,,.故選:.17.(2020江蘇連云港)(3分)如圖,將矩形紙片沿折疊,使點落在對角線上的處.若,則等于A. B. C. D.【解答】解:四邊形是矩形,,由折疊的性質(zhì)得:,,,;故選:.18.(2020四川遂寧)(4分)如圖,在正方形ABCD中,點E是邊BC的中點,連接AE、DE,分別交BD、AC于點P、Q,過點P作PF⊥AE交CB的延長線于F,下列結(jié)論:①∠AED+∠EAC+∠EDB=90°,②AP=FP,③AE=102④若四邊形OPEQ的面積為4,則該正方形ABCD的面積為36,⑤CE?EF=EQ?DE.其中正確的結(jié)論有()A.5個 B.4個 C.3個 D.2個【解答】解:如圖,連接OE.∵四邊形ABCD是正方形,∴AC⊥BD,OA=OC=OB=OD,∴∠BOC=90°,∵BE=EC,∴∠EOB=∠EOC=45°,∵∠EOB=∠EDB+∠OED,∠EOC=∠EAC+∠AEO,∴∠AED+∠EAC+∠EDO=∠EAC+∠AEO+∠OED+∠EDB=90°,故①正確,連接AF.∵PF⊥AE,∴∠APF=∠ABF=90°,∴A,P,B,F(xiàn)四點共圓,∴∠AFP=∠ABP=45°,∴∠PAF=∠PFA=45°,∴PA=PF,故②正確,設BE=EC=a,則AE=5a,OA=OC=OB=OD=2∴AEAO=5a2a=根據(jù)對稱性可知,△OPE≌△OQE,∴S△OEQ=12S四邊形OPEQ=∵OB=OD,BE=EC,∴CD=2OE,OE⊥CD,∴EQDQ=OECD=∴S△ODQ=4,S△CDQ=8,∴S△CDO=12,∴S正方形ABCD=48,故④錯誤,∵∠EPF=∠DCE=90°,∠PEF=∠DEC,∴△EPF∽△ECD,∴EFED∴EQ=PE,∴CE?EF=EQ?DE,故⑤正確,故選:B.19.(2020廣西玉林)(3分)(2020?玉林)已知:點D,E分別是△ABC的邊AB,AC的中點,如圖所示.求證:DE∥BC,且DE=12證明:延長DE到點F,使EF=DE,連接FC,DC,AF,又AE=EC,則四邊形ADCF是平行四邊形,接著以下是排序錯誤的證明過程:①∴DF∥=BC②∴CF∥=AD.即CF∥=③∴四邊形DBCF是平行四邊形;④∴DE∥BC,且DE=12則正確的證明順序應是:()A.②→③→①→④ B.②→①→③→④ C.①→③→④→② D.①→③→②→④【解答】證明:延長DE到點F,使EF=DE,連接FC,DC,AF,∵點D,E分別是△ABC的邊AB,AC的中點,∴AD=BD,AE=EC,∴四邊形ADCF是平行四邊形,∴CF∥=AD.即CF∥=BD∴四邊形DBCF是平行四邊形,∴DF∥=BC∴DE∥BC,且DE=12∴正確的證明順序是②→③→①→④,故選:A.20.(2020貴州遵義)(4分)如圖,在菱形ABCD中,AB=5,AC=6,過點D作DE⊥BA,交BA的延長線于點E,則線段DE的長為()A.125 B.185 C.4 D【解答】解:如圖.∵四邊形ABCD是菱形,AC=6,∴AC⊥BD,OA=12AC=3,BD=2∵AB=5,∴OB=AB2-OA2=4∵S菱形ABCD=AB?DE=12AC?∴DE=1故選:D.21.(3分)(2020?荊門)如圖,菱形ABCD中,E,F(xiàn)分別是AD,BD的中點,若EF=5,則菱形ABCD的周長為()A.20 B.30 C.40 D.50【解答】解:∵E,F(xiàn)分別是AD,BD的中點,∴EF是△ABD的中位線,∴EF=12AB=5,∴AB=∵四邊形ABD是菱形,∴AB=BC=CD=AD=10,∴菱形ABCD的周長=4AB=40;故選:C.22.(3分)(2020?煙臺)如圖,在矩形ABCD中,點E在DC上,將矩形沿AE折疊,使點D落在BC邊上的點F處.若AB=3,BC=5,則tan∠DAE的值為()A.12 B.920 C.25 【解答】解:∵四邊形ABCD為矩形,∴AD=BC=5,AB=CD=3,∵矩形ABCD沿直線AE折疊,頂點D恰好落在BC邊上的F處,∴AF=AD=5,EF=DE,在Rt△ABF中,BF=AF2∴CF=BC﹣BF=5﹣4=1,設CE=x,則DE=EF=3﹣x在Rt△ECF中,∵CE2+FC2=EF2,∴x2+12=(3﹣x)2,解得x=4∴DE=EF=3﹣x=5∴tan∠DAE=DE故選:D.23.(2020東莞)如圖,是矩形的對角線,且,那么的度數(shù)是()A.30° B.45° C.60° D.75°答案:C24.(2020四川自貢)(4分)如圖,在平行四邊形ABCD中,AD=2,AB=6,∠B是銳角,AE⊥BC于點E,F(xiàn)是AB的中點,連結(jié)DF、EF.若∠EFD=90°,則AEA.2 B.5 C.322 D解:如圖,延長EF交DA的延長線于Q,連接DE,設BE=x.∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴DQ∥BC,∴∠Q=∠BEF,∵AF=FB,∠AFQ=∠BFE,∴△QFA≌△EFB(AAS),∴AQ=BE=x,∵∠EFD=90°,∴DF⊥QE,∴DQ=DE=x+2,∵AE⊥BC,BC∥AD,∴AE⊥AD,∴∠AEB=∠EAD=90°,∵AE2=DE2﹣AD2=AB2﹣BE2,∴(x+2)2﹣4=6﹣x2,整理得:2x2+4x﹣6=0,解得x=1或﹣3(舍棄),∴BE=1,∴AE=A故選:B.25.(2020山東濱州)(3分)下列命題是假命題的是A.對角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形 B.對角線互相垂直的矩形是正方形 C.對角線相等的菱形是正方形 D.對角線互相垂直且平分的四邊形是正方形選:.26.(2020山東濱州)(3分)如圖,對折矩形紙片,使與重合,得到折痕,把紙片展平后再次折疊,使點落在上的點處,得到折痕,與相交于點.若直線交直線于點,,,則的長為A. B. C. D.【解答】解:,由中位線定理得,由折疊的性質(zhì)可得,,,,,,,過點作于,,,由勾股定理得,,,解得,.故選:.27.(2020四川眉山)(4分)下列說法正確的是()A.一組對邊平行另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形 B.對角線互相垂直平分的四邊形是菱形 C.對角線相等的四邊形是矩形 D.對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形選:B.28.(2020四川眉山)(4分)如圖,正方形ABCD中,點F是BC邊上一點,連接AF,以AF為對角線作正方形AEFG,邊FG與正方形ABCD的對角線AC相交于點H,連接DG.以下四個結(jié)論:①∠EAB=∠GAD;②△AFC∽△AGD;③2AE2=AH?AC;④DG⊥AC.其中正確的個數(shù)為()A.1個 B.2個 C.3個 D.4個解:∵四邊形ABCD,四邊形AEFG都是正方形,∴∠EAG=∠BAD=90°,∠FAG=∠AFG=∠DAC=∠ACB=45°,AF=AG,AC=AD,∴∠EAG﹣∠BAC=∠BAD﹣∠BAG,∴∠EAB=∠DAG,故①正確;∵AF=AG,AC=AD,∴=,∵∠FAG=∠CAD=45°,∴∠FAC=∠DAG,∴△FAC∽△DAG,故②正確,∴∠ADG=∠ACB=45°,延長DG交AC于N,∵∠CAD=45°,∠ADG=45°,∴∠AND=90°,∴DG⊥AC,故④正確,∵∠FAC=∠FAH,∠AFG=∠ACF=45°,∴△AFH∽△ACF,∴,∴AF2=AH?AC,∴2AE2=AH?AC,故③正確,故選:D.29.(2020云南)(4分)如圖,平行四邊形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,E是CD的中點.則△DEO與△BCD的面積的比等于()A. B. C. D.解:∵平行四邊形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,∴點O為線段BD的中點.又∵點E是CD的中點,∴線段OE為△DBC的中位線,∴OE∥BC,OE=BC,∴△DOE∽△DBC,∴=()2=.選:B.30.(3分)(2020?懷化)在矩形ABCD中,AC、BD相交于點O,若△AOB的面積為2,則矩形ABCD的面積為()A.4 B.6 C.8 D.10選:C.31.(2020山東泰安)(4分)如圖,四邊形ABCD是一張平行四邊形紙片,其高AG=2cm,底邊BC=6cm,∠B=45°,沿虛線EF將紙片剪成兩個全等的梯形,若∠BEF=30°,則AF的長為()A.lcm B.63cm C.(23-3)cm D.(2-【解答】解:過F作FH⊥BC于H,∵高AG=2cm,∠B=45°,∴BG=AG=2cm,∵FH⊥BC,∠BEF=30°,∴EH=3∵沿虛線EF將紙片剪成兩個全等的梯形,∴AF=CE,∵AG⊥BC,F(xiàn)H⊥BC,∴AG∥FH,∵AG=FH,∴四邊形AGHF是矩形,∴AF=GH,∴BC=BG+GH+HE+CE=2+2AF+23=6∴AF=2-3(cm故選:D.32.(2020山東泰安)(4分)如圖,矩形ABCD中,AC,BD相交于點O,過點B作BF⊥AC交CD于點F,交AC于點M,過點D作DE∥BF交AB于點E,交AC于點N,連接FN,EM.則下列結(jié)論:①DN=BM;②EM∥FN;③AE=FC;④當AO=AD時,四邊形DEBF是菱形.其中,正確結(jié)論的個數(shù)是()A.1個 B.2個 C.3個 D.4個解:∵四邊形ABCD是矩形,∴AB=CD,AB∥CD,∠DAE=∠BCF=90°,OD=OB=OA=OC,AD=BC,AD∥BC,∴∠DAN=∠BCM,∵BF⊥AC,DE∥BF,∴DE⊥AC,∴∠DNA=∠BMC=90°,在△DNA和△BMC中,∠DAN∴△DNA≌△BMC(AAS),∴DN=BM,∠ADE=∠CBF,故①正確;在△ADE和△CBF中,∠ADE∴△ADE≌△CBF(ASA),∴AE=FC,DE=BF,故③正確;∴DE﹣DN=BF﹣BM,即NE=MF,∵DE∥BF,∴四邊形NEMF是平行四邊形,∴EM∥FN,故②正確;∵AB=CD,AE=CF,∴BE=DF,∵BE∥DF,∴四邊形DEBF是平行四邊形,∵AO=AD,∴AO=AD=OD,∴△AOD是等邊三角形,∴∠ADO=∠DAN=60°,∴∠ABD=90°﹣∠ADO=30°,∵DE⊥AC,∴∠ADN=ODN=30°,∴∠ODN=∠ABD,∴DE=BE,∴四邊形DEBF是菱形;故④正確;正確結(jié)論的個數(shù)是4個,故選:D.33.(2020海南)(3分)如圖,在?ABCD中,AB=10,AD=15,∠BAD的平分線交BC于點E,交DC的延長線于點F,BG⊥AE于點G,若BG=8,則△CEF的周長為()A.16 B.17 C.24 D.25【分析】先計算出△ABE的周長,然后根據(jù)相似比的知識進行解答即可.【解答】解:∵在?ABCD中,CD=AB=10,BC=AD=15,∠BAD的平分線交BC于點E,∴AB∥DC,∠BAF=∠DAF,∴∠BAF=∠F,∴∠DAF=∠F,∴DF=AD=15,同理BE=AB=10,∴CF=DF﹣CD=15﹣10=5;∴在△ABG中,BG⊥AE,AB=10,BG=8,可得:AG=6,∴AE=2AG=12,∴△ABE的周長等于10+10+12=32,∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴△CEF∽△BEA,相似比為5:10=1:2,∴△CEF的周長為16.故選:A.填空題34.(2020安徽)(5分)在數(shù)學探究活動中,敏敏進行了如下操作:如圖,將四邊形紙片沿過點的直線折疊,使得點落在上的點處.折痕為;再將,分別沿,折疊,此時點,落在上的同一點處.請完成下列探究:(1)的大小為30;(2)當四邊形是平行四邊形時,的值為.【解答】解:(1)由折疊的性質(zhì)可得:,,,,,,,,,,,,,,,,故答案為:30;(2)由折疊的性質(zhì)可得:,,四邊形是平行四邊形,,,又,,,,,,,,故答案為:.35.(2020福建)設是反比例函數(shù)圖象上的任意四點,現(xiàn)有以下結(jié)論:①四邊形可以是平行四邊形;②四邊形可以是菱形;③四邊形不可能是矩形;④四邊形不可能是正方形.其中正確的是_______.(寫出所有正確結(jié)論的序號)【答案】①④【詳解】解:如圖,反比例函數(shù)圖象關(guān)于原點成中心對稱,四邊形是平行四邊形,故①正確,如圖,若四邊形是菱形,則顯然:<所以四邊形不可能是菱形,故②錯誤,如圖,反比例函數(shù)的圖象關(guān)于直線成軸對稱,當垂直于對稱軸時,四邊形是矩形,故③錯誤,四邊形不可能是菱形,四邊形不可能是正方形,故④正確,故答案:①④.36.(2020陜西)如圖,在菱形ABCD中,AB=6,∠B=60°,點E在邊AD上,且AE=2.若直線l經(jīng)過點E,將該菱形的面積平分,并與菱形的另一邊交于點F,則線段EF的長為2.【解答】解:如圖,過點A和點E作AG⊥BC,EH⊥BC于點G和H,得矩形AGHE,∴GH=AE=2,∵在菱形ABCD中,AB=6,∠B=60°,∴BG=3,AG=3=EH,∴HC=BC﹣BG﹣GH=6﹣3﹣2=1,∵EF平分菱形面積,∴FC=AE=2,∴FH=FC﹣HC=2﹣1=1,在Rt△EFH中,根據(jù)勾股定理,得EF===2.故答案為:2.37.(2020哈爾濱)(3分)如圖,在菱形中,對角線、相交于點,點在線段上,連接,若,,,則線段的長為.【解答】解:設,則,四邊形為菱形,,,,,,,,,,解得,即,,在中,,在中,.故答案為.38.(2020杭州)(4分)如圖是一張矩形紙片,點E在AB邊上,把△BCE沿直線CE對折,使點B落在對角線AC上的點F處,連接DF.若點E,F(xiàn),D在同一條直線上,AE=2,則DF=2,BE=5-1解:∵四邊形ABCD是矩形,∴AD=BC,∠ADC=∠B=∠DAE=90°,∵把△BCE沿直線CE對折,使點B落在對角線AC上的點F處,∴CF=BC,∠CFE=∠B=90°,EF=BE,∴CF=AD,∠CFD=90°,∴∠ADE+∠CDF=∠CDF+∠DCF=90°,∴∠ADF=∠DCF,∴△ADE≌△FCD(ASA),∴DF=AE=2;∵∠AFE=∠CFD=90°,∴∠AFE=∠DAE=90°,∵∠AEF=∠DEA,∴△AEF∽△DEA,∴AEEF=DE∴EF=5-1(負值舍去),∴BE=EF=故答案為:2,5-139.(2020天津)如圖,的頂點在等邊的邊上,點在的延長線上,為的中點,連接.若,,則的長為_______.答案:40.(2020貴州黔西南)(3分)如圖,對折矩形紙片ABCD,使AB與DC重合得到折痕EF,將紙片展平,再一次折疊,使點D落到EF上點G處,并使折痕經(jīng)過點A,已知BC=2,則線段EG的長度為3.解:如圖所示:由題意可得:∠1=∠2,AN=MN,∠MGA=90°,則NG=12AM,故AN=∴∠2=∠4,∵EF∥AB,∴∠4=∠3,∴∠1=∠2=∠3=∠4=13×90∵四邊形ABCD是矩形,對折矩形紙片ABCD,使AB與DC重合得到折痕EF,∴AE=12AD=12∴AG=2,∴EG=2故答案為:3.41.(2020無錫)如圖,在菱形中,,點在上,若,則__________.解:四邊形ABCD是菱形,,∴AB∥CD,∴∠BCD=180°-∠B=130°,∠ACE=∠BCD=65°,∵,∴∠ACE=∠AEC=65°,∴∠BAE=180°-∠AEC=115°.42.(2020山東青島)如圖,在正方形中,對角線與交于點,點在的延長線上,連接,點是的中點,連接交于點.若,,則點到的距離為__________.解:如圖,過點A作AH⊥DF的延長線于點H,∵在正方形ABCD中,對角線AC與BD交于點O,∴O為AC中點∵F點是AE中點,∴OF是△ACE的中位線,∴CE=2OF=6∴G點是AD的中點,∴FG是△ADE的中位線,∴GF==1∴CD=CE-DE=4,∴AD=CD=4在Rt△ADE中,AD=4,DE=2∴AE=∴DF=AE=∴S△AFD=AD·GF=FD·AH即×4×1=××AH∴AH=∴點A到DF的距離為,故答案為:.43.(2020湖北武漢)如圖,折疊矩形紙片,使點落在邊的點處,為折痕,,.設的長為,用含有的式子表示四邊形的面積是________.解:設DE=EM=x,∴,∴x=,設CF=y,連接FM,∴BF=2?y,又∵FN=y,NM=1,∴,∴y=,∴四邊形的面積為:=?1,故答案為:.44.(2020湖北武漢)在探索數(shù)學名題“尺規(guī)三等分角”的過程中,有下面的問題:如圖,是平行四邊形的對角線,點在上,,,則的大小是________.解:設∠BAC=x∵平行四邊形的對角線∴DC//AB,AD=BC,AD//BC∴∠DCA=∠BAC=x∵AE=BE∴∠EBA=∠BAC=x∴∠BEC=2x∵∴BE=BC∴∠BCE=∠BEC=2x∴∠DCB=∠BCE+∠DCA=3x∵AD//BC,∴∠D+∠DCB=180°,即102°+3x=180°,解得x=26°.故答案為26°.45.(2020重慶A卷)如圖,在邊長為2的正方形ABCD中,對角線AC的中點為O,分別以點A,C為圓心,以AO的長為半徑畫弧,分別與正方形的邊相交.則圖中的陰影部分的面積為__________.(結(jié)果保留)解:由圖可知,,,∵四邊形ABCD是正方形,邊長為2,∴,∵點O是AC的中點,∴OA=,∴,∴,故答案為:.46.(2020上海)(4分)如圖,AC、BD是平行四邊形ABCD的對角線,設BC→=a→,CA→=b→,那么向量BD→用向量【解答】解:∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AD=BC,AD∥BC,AB=CD,AB∥CD,∴AD→∵CD→∴BA→∵BD→∴BD→=b故答案為:2a→47.(2020遼寧撫順)(3分)如圖,四邊形ABCD是矩形,延長DA到點E,使AE=DA,連接EB,點F1是CD的中點,連接EF1,BF1,得到△EF1B;點F2是CF1的中點,連接EF2,BF2,得到△EF2B;點F3是CF2的中點,連接EF3,BF3,得到△EF3B;…;按照此規(guī)律繼續(xù)進行下去,若矩形ABCD的面積等于2,則△EFnB的面積為.(用含正整數(shù)n的式子表示)解:∵AE=DA,點F1是CD的中點,矩形ABCD的面積等于2,∴△EF1D和△EAB的面積都等于1,∵點F2是CF1的中點,∴△EF1F2的面積等于,同理可得△EFn﹣1Fn的面積為,∵△BCFn的面積為2×÷2=,∴△EFnB的面積為2+1﹣1﹣﹣…﹣﹣=2﹣(1﹣)=.故答案為:.48.(2020黑龍江牡丹江)(3分)如圖,在四邊形中,連接,.請你添加一個條件,使.(填一種情況即可)【解答】解:添加的條件:,理由是:,,,四邊形是平行四邊形,.故答案為:.49.(2020黑龍江龍東)(3分)如圖,在邊長為4的正方形中,將沿射線平移,得到,連接、.求的最小值為.【解答】解:如圖,連接,作點關(guān)于直線的對稱點,連接,,.四邊形是正方形,,,,,,,關(guān)于對稱,,,,,,,共線,,,,四邊形是平行四邊形,,,,,的最小值為.50.(2020黑龍江龍東)(3分)在矩形中,,,點在邊上,且,連接,將沿折疊.若點的對應點落在矩形的邊上,則折痕的長為或.解:分兩種情況:①當點落在邊上時,如圖1所示:四邊形是矩形,,將沿折疊.點的對應點落在矩形的邊上,,是等腰直角三角形,,;②當點落在邊上時,如圖2所示:四邊形是矩形,,,將沿折疊.點的對應點落在矩形的邊上,,,,,,在和△中,,,△,,即,解得:,或(舍去),,;綜上所述,折痕的長為或;故答案為:或.51.(2020山東棗莊)(4分)如圖,,是正方形的對角線上的兩點,,,則四邊形的周長是.【解答】解:如圖,連接交于點,四邊形為正方形,,,,,即,四邊形為平行四邊形,且,四邊形為菱形,,,,由勾股定理得:,四邊形的周長,故答案為:.52.(2020山東棗莊)(4分)各頂點都在方格紙的格點(橫豎格子線的交錯點)上的多邊形稱為格點多邊形,它的面積可用公式是多邊形內(nèi)的格點數(shù),是多邊形邊界上的格點數(shù))計算,這個公式稱為“皮克定理”.如圖給出了一個格點五邊形,則該五邊形的面積6.【解答】解:表示多邊形內(nèi)部的格點數(shù),表示多邊形邊界上的格點數(shù),表示多邊形的面積,,,該五邊形的面積,故答案為:6.53.(2020廣西南寧)(3分)如圖,在邊長為2的菱形ABCD中,∠C=60°,點E,F(xiàn)分別是AB,AD上的動點,且AE=DF,DE與BF交于點P.當點E從點A運動到點B時,則點P的運動路徑長為π.【分析】如圖,作△CBD的外接圓⊙O,連接OB,OD.利用全等三角形的性質(zhì)證明∠DPB=120°,推出B,C,D,P四點共圓,利用弧長公式計算即可.【解答】解:如圖,作△CBD的外接圓⊙O,連接OB,OD.∵四邊形ABCD是菱形,∵∠A=∠C=60°,AB=BC=CD=AD,∴△ABD,△BCD都是等邊三角形,∴BD=AD,∠BDF=∠DAE,∵DF=AE,∴△BDF≌△DAE(SAS),∴∠DBF=∠ADE,∵∠ADE+∠BDE=60°,∴∠DBF+∠BDP=60°,∴∠BPD=120°,∵∠C=60°,∴∠C+∠DPB=180°,∴B,C,D,P四點共圓,由BC=CD=BD=2,可得OB=OD=2,∵∠BOD=2∠C=120°,∴點P的運動的路徑的長==π.故答案為π.54.(3分)(2020?玉林)如圖,將兩張對邊平行且等寬的紙條交叉疊放在一起,則重合部分構(gòu)成的四邊形ABCD是菱形(填“是”或“不是”).【解答】解:如圖,∵AB∥CD,AD∥BC,∴四邊形ABCD是平行四邊形,作AE⊥BC于點E,AF⊥DC于點F,∵兩張等寬的長方形紙條交叉疊放在一起,∴AE=AF,∴S平行四邊形ABCD=BC?AE=DC?AF,∴BC=DC,∴?ABCD是菱形.故答案為:是.55.(3分)(2020?常德)如圖1,已知四邊形ABCD是正方形,將△DAE,△DCF分別沿DE,DF向內(nèi)折疊得到圖2,此時DA與DC重合(A、C都落在G點),若GF=4,EG=6,則DG的長為12.解:設正方形ABCD的邊長為x,由翻折可得:DG=DA=DC=x,∵GF=4,EG=6,∴AE=EG=6,CF=GF=4,∴BE=x﹣6,BF=x﹣4,EF=6+4=10,如圖1所示:在Rt△BEF中,由勾股定理得:BE2+BF2=EF2,∴(x﹣6)2+(x﹣4)2=102,∴x2﹣12x+36+x2﹣8x+16=100,∴x2﹣10x﹣24=0,∴(x+2)(x﹣12)=0,∴x1=﹣2(舍),x2=12.∴DG=12.故答案為:12.56.(2020貴州遵義)(4分)如圖,對折矩形紙片ABCD使AD與BC重合,得到折痕MN,再把紙片展平.E是AD上一點,將△ABE沿BE折疊,使點A的對應點A′落在MN上.若CD=5,則BE的長是1033【解答】解:∵將矩形紙片ABCD對折一次,使邊AD與BC重合,得到折痕MN,∴AB=2BM,∠A′MB=90°,MN∥BC.∵將△ABE沿BE折疊,使點A的對應點A′落在MN上.∴A′B=AB=2BM.在Rt△A′MB中,∵∠A′MB=90°,∴sin∠MA′B=BM∴∠MA′B=30°,∵MN∥BC,∴∠CBA′=∠MA′B=30°,∵∠ABC=90°,∴∠ABA′=60°,∴∠ABE=∠EBA′=30°,∴BE=AB故答案為:10357.(2020青海)(2分)如圖,在矩形ABCD中,對角線AC,BD相交于點O,已知∠BOC=120°,DC=3cm,則AC的長為6cm.解:在矩形ABCD中,∴OB=OC,∴∠OCB=∠OBC,∵∠BOC=120°,∴∠OCB=30°,∵DC=3,∴AB=CD=3,在Rt△ACB中,AC=2AB=6,故答案為:658.(2020山東濱州)(5分)如圖,點是正方形內(nèi)一點,且點到點、、的距離分別為、、4,則正方形的面積為.【解答】解:如圖,將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到,連接,過點作于.,,,,,,,,,,,,共線,,,,,,正方形的面積為.59.(2020云南)(3分)已知四邊形ABCD是矩形,點E是矩形ABCD的邊上的點,且EA=EC.若AB=6,AC=2,則DE的長是或.解:如圖,∵四邊形ABCD是矩形,∴CD=AB=6,AD=BC,∠ABC=∠ADC=90°,∴BC===2,∴AD=2,當點E在CD上時,∵AE2=DE2+AD2=EC2,∴(6﹣DE)2=DE2+4,∴DE=;當點E在AB上時,∵CE2=BE2+BC2=EA2,∴AE2=(6﹣AE)2+4,∴AE=,∴DE===,綜上所述:DE=或,解答題60.(2020北京)如圖,菱形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,E是AD的中點,點F,G在AB上,EF⊥AB,OG∥EF.(1)求證:四邊形OEFG是矩形;(2)若AD=10,EF=4,求OE和BG的長.【解析】(1)∵四邊形ABCD為菱形,∴點O為BD的中點,∵點E為AD中點,∴OE為△ABD的中位線,∴OE∥FG,∵OG∥EF,∴四邊形OEFG為平行四邊形∵EF⊥AB,∴平行四邊形OEFG為矩形.(2)∵點E為AD的中點,AD=10,∴AE=∵∠EFA=90°,EF=4,∴在Rt△AEF中,.∵四邊形ABCD為菱形,∴AB=AD=10,∴OE=AB=5∵四邊形OEFG為矩形,∴FG=OE=5,∴BG=AB-AF-FG=10-3-5=261.(2020安徽)(14分)如圖1,已知四邊形是矩形,點在的延長線上,.與相交于點,與相交于點,.(1)求證:;(2)若,求的長;(3)如圖2,連接,求證:.【解答】(1)證明:四邊形是矩形,點在的延長線上,,又,,,,,即,故,(2)解:四邊形是矩形,,,,,,即,設,則有,化簡得,解得或(舍去),.(3)如圖,在線段上取點,使得,在與中,,,,,,,,為等腰直角三角形,.62.(2020成都)(4分)如圖,在矩形中,,,,分別為,邊的中點.動點從點出發(fā)沿向點運動,同時,動點從點出發(fā)沿向點運動,連接,過點作于點,連接.若點的速度是點的速度的2倍,在點從點運動至點的過程中,線段長度的最大值為,線段長度的最小值為.【解答】解:連接交于,連接,取的中點,連接,,過點作于.四邊形是矩形,,,四邊形是矩形,,,,,,,,,當點與重合時,的值最大,此時,,,,,,,,,,,,,,,的最小值為,故答案為,.63.(2020成都)(10分)在矩形的邊上取一點,將沿翻折,使點恰好落在邊上點處.(1)如圖1,若,求的度數(shù);(2)如圖2,當,且時,求的長;(3)如圖3,延長,與的角平分線交于點,交于點,當時,求的值.【解答】解:(1)將沿翻折,使點恰好落在邊上點處,,,,,,四邊形是矩形,,,;(2)將沿翻折,使點恰好落在邊上點處,,,又矩形中,,,,,,,,,,,,,,,.(3)過點作于點,,,,,,,,,設,平分,,,,設,則,,,解得...64.(2020廣州)(本小題滿分12分)如圖10,△ABD中,∠ABD=∠ADB.(1)作點A關(guān)于BD的對稱點C;(要求:尺規(guī)作圖,不寫作法,保留作圖痕跡)(2)在(1)所作的圖中,連接BC,DC,連接AC,交BD于點O.①求證:四邊形ABCD是菱形;②取BC的中點E,連接OE,若,,求點E到AD的距離.【詳解過程】解:(1)作圖如下:∴點C為所求的點A關(guān)于BD的對稱點。(2)①證明:∵點A與點C關(guān)于BD對稱∴BC=BA,DC=DA∵△ABD中,∠ABD=∠ADB∴AB=AD∴AB=BC=CD=DA∴四邊形ABCD是菱形。②過B作BF⊥AD于點F。根據(jù)平行線上的距離處處相等可知BF的長度就是點E到AD的距離。∵四邊形ABCD是菱形∴AC⊥BD于點O,即∠BOC=90°?!咴赗T△BOC中,E為BC中點,,∴BC=2OE=13.∴AB=BC=CD=DA=13.∵BD=10.∴BO=DO=5∴在RT△BCO中,CO=12.∴AC=2CO=24.∴==120.∵∴13×BD=120,即BD=.所以點E到AD的距離。65.(2020福建)如圖,點分別在菱形的邊,上,且.求證:.解:證明:∵四邊形是菱形,∴,.在和中,∴,∴.66.(2020福建)如圖,由繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到,且點的對應點恰好落在的延長線上,,相交于點.(1)求的度數(shù);(2)是延長線上的點,且.①判斷和的數(shù)量關(guān)系,并證明;②求證:.解:(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知,,,,∴,在中,,∴,∴.(2)①.證明:由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知,,,在中,,∵,,∴,即,∴.②過點作交于點,∴,,∵,,∴,又∵,∴,∴.又∵,∴,∴,∴,又∵,∴.67.(2020陜西)如圖,在四邊形ABCD中,AD∥BC,∠B=∠C.E是邊BC上一點,且DE=DC.求證:AD=BE.證明:∵DE=DC,∴∠DEC=∠C.∵∠B=∠C,∴∠B=∠DEC,∴AB∥DE,∵AD∥BC,∴四邊形ABED是平行四邊形.∴AD=BE.68.(2020陜西)問題提出(1)如圖1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC>BC,∠ACB的平分線交AB于點D.過點D分別作DE⊥AC,DF⊥BC.垂足分別為E,F(xiàn),則圖1中與線段CE相等的線段是CF、DE、DF.問題探究(2)如圖2,AB是半圓O的直徑,AB=8.P是上一點,且=2,連接AP,BP.∠APB的平分線交AB于點C,過點C分別作CE⊥AP,CF⊥BP,垂足分別為E,F(xiàn),求線段CF的長.問題解決(3)如圖3,是某公園內(nèi)“少兒活動中心”的設計示意圖.已知⊙O的直徑AB=70m,點C在⊙O上,且CA=CB.P為AB上一點,連接CP并延長,交⊙O于點D.連接AD,BD.過點P分別作PE⊥AD,PF⊥BD,重足分別為E,F(xiàn).按設計要求,四邊形PEDF內(nèi)部為室內(nèi)活動區(qū),陰影部分是戶外活動區(qū),圓內(nèi)其余部分為綠化區(qū).設AP的長為x(m),陰影部分的面積為y(m2).①求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;②按照“少兒活動中心”的設計要求,發(fā)現(xiàn)當AP的長度為30m時,整體布局比較合理.試求當AP=30m時.室內(nèi)活動區(qū)(四邊形PEDF)的面積.解:(1)∵∠ACB=90°,DE⊥AC,DF⊥BC,∴四邊形CEDF是矩形,∵CD平分∠ACB,DE⊥AC,DF⊥BC,∴DE=DF,∴四邊形CEDF是正方形,∴CE=CF=DE=DF,故答案為:CF、DE、DF;(2)連接OP,如圖2所示:∵AB是半圓O的直徑,=2,∴∠APB=90°,∠AOP=×180°=60°,∴∠ABP=30°,同(1)得:四邊形PECF是正方形,∴PF=CF,在Rt△APB中,PB=AB?cos∠ABP=8×cos30°=8×=4,在Rt△CFB中,BF====CF,∵PB=PF+BF,∴PB=CF+BF,即:4=CF+CF,解得:CF=6﹣2;(3)①∵AB為⊙O的直徑,∴∠ACB=∠ADB=90°,∵CA=CB,∴∠ADC=∠BDC,同(1)得:四邊形DEPF是正方形,∴PE=PF,∠APE+∠BPF=90°,∠PEA=∠PFB=90°,∴將△APE繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90°,得到△A′PF,PA′=PA,如圖3所示:則A′、F、B三點共線,∠APE=∠A′PF,∴∠A′PF+∠BPF=90°,即∠A′PB=90°,∴S△PAE+S△PBF=S△PA′B=PA′?PB=x(70﹣x),在Rt△ACB中,AC=BC=AB=×70=35,∴S△ACB=AC2=×(35)2=1225,∴y=S△PA′B+S△ACB=x(70﹣x)+1225=﹣x2+35x+1225;②當AP=30時,A′P=30,PB=AB﹣AP=70﹣30=40,在Rt△A′PB中,由勾股定理得:A′B===50,∵S△A′PB=A′B?PF=PB?A′P,∴×50×PF=×40×30,解得:PF=24,∴S四邊形PEDF=PF2=242=576(m2),∴當AP=30m時.室內(nèi)活動區(qū)(四邊形PEDF)的面積為576m2.69.(2020哈爾濱)(10分)已知:在平面直角坐標系中,點為坐標原點,直線與軸的正半軸交于點,與軸的負半軸交于點,,過點作軸的垂線與過點的直線相交于點,直線的解析式為,過點作軸,垂足為,.(1)如圖1,求直線的解析式;(2)如圖2,點在線段上,連接,點在線段上,過點作軸,垂足為,交于點,若,求的值;(3)如圖3,在(2)的條件下,點為線段上一點,連接,過點作的垂線交線段于點,連接,過點作軸的平行線交于點,連接交軸于點,連接,若,,求點的坐標.【解答】解:(1)軸,,時,,解得,,軸,,,,設直線的解析式為,則有,解得,直線的解析式為.(2)如圖2中,,四邊形是矩形,,,,,直線的解析式為,設點的橫坐標為,則,,把,代入中,得到,,,把代入,中,得到,,,,.(3)如圖3中,設直線交的延長線于,交軸于,過點作于.軸,,,,,,四邊形是矩形,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,設,則,,,,,,,解得,,,,,,,,四邊形是矩形,,,,,由(2)可知,,,,,,,,,,,,,,.70.(2020杭州)(10分)如圖,在正方形ABCD中,點E在BC邊上,連接AE,∠DAE的平分線AG與CD邊交于點G,與BC的延長線交于點F.設CEEB=λ(λ>(1)若AB=2,λ=1,求線段CF的長.(2)連接EG,若EG⊥AF,①求證:點G為CD邊的中點.②求λ的值.解:(1)∵在正方形ABCD中,AD∥BC,∴∠DAG=∠F,又∵AG平分∠DAE,∴∠DAG=∠EAG,∴∠EAG=∠F,∴EA=EF,∵AB=2,∠B=90°,點E為BC的中點,∴BE=EC=1,∴AE=A∴EF=5∴CF=EF﹣EC=5-(2)①證明:∵EA=EF,EG⊥AF,∴AG=FG,在△ADG和△FCG中∠D∴△ADG≌△FCG(AAS),∴DG=CG,即點G為CD的中點;②設CD=2a,則CG=a,由①知,CF=DA=2a,∵EG⊥AF,∠GDF=90°,∴∠EGC+∠CGF=90°,∠F+∠CGF=90°,∠ECG=∠GCF=90°,∴∠EGC=∠F,∴△EGC∽△GFC,∴ECGC∵GC=a,F(xiàn)C=2a,∴GCFC∴ECGC∴EC=12a,BE=BC﹣EC=2a-12∴λ=CE71.(2020河南)將正方形的邊繞點逆時針旋轉(zhuǎn)至,記旋轉(zhuǎn)角為.連接,過點作垂直于直線,垂足為點,連接,如圖1,當時,的形狀為,連接,可求出的值為;
當且時,①中的兩個結(jié)論是否仍然成立?如果成立,請僅就圖2的情形進行證明;如果不成立,請說明理由;②當以點為頂點的四邊形是平行四邊形時,請直接寫出的值.
【答案】(1)等腰直角三角形,;(2)①結(jié)論不變,理由見解析;②3或1.【詳解】(1)由題知°,°,∴°,且為等邊三角形∴°,∴∵∴°∴°∴等腰直角三角形連接BD,如圖所示∵°∴即∵∴∴故答案為:等腰直角三角形,(2)①兩個結(jié)論仍然成立連接BD,如圖所示:
∵,∴∵∴∴∵∴∴是等腰直角三角形∴∵四邊形正方形∴∴∵∴∴∴∴結(jié)論不變,依然成立②若以點為頂點的四邊形是平行四邊形時,分兩種情況討論第一種:以CD為邊時,則,此時點在線段BA的延長線上,如圖所示:此時點E與點A重合,∴,得;②當以CD為對角線時,如圖所示:此時點F為CD中點,∵∴∵∴∴∴∴∴綜上:的值為3或1.72.(2020樂山).如圖,是矩形的邊上的一點,于點,,,.求的長度.
【答案】.解∵四邊形是矩形,∴,∵∴∵,,∴在和中,∴∴,即解得即的長度為.73..(2020樂山)點是平行四邊形的對角線所在直線上的一個動點(點不與點、重合),分別過點、向直線作垂線,垂足分別為點、.點為的中點.(1)如圖1,當點與點重合時,線段和的關(guān)系是;(2)當點運動到如圖2所示的位置時,請在圖中補全圖形并通過證明判斷(1)中的結(jié)論是否仍然成立?(3)如圖3,點在線段的延長線上運動,當時,試探究線段、、之間的關(guān)系.解:(1)如圖1,∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴OA=OC,∵AE⊥BP,CF⊥BP,∴∠AEO=∠CFO=90°,∵∠AOE=∠COF,∴△AOE≌△COF(AAS),∴OE=OF;(2)補全圖形如圖所示,仍然成立,證明如下:延長交于點,∵,∴,∴,∵點為的中點,∴,又∵,∴,∴,∵,∴;(3)當點在線段的延長線上時,線段、、之間的關(guān)系為,證明如下:延長交的延長線于點,如圖所示,由(2)可知,∴,,又∵,,∴,∴.74..(2020四川綿陽)(本題滿分14分)如圖,在矩形ABCD中,對角線交于點O,為△BCD的內(nèi)切圓,切點分別為M、P、Q,DN=4,BN=6.求BC、CD.點H從點A出發(fā),沿線段AD向點D以每秒3個單位長度的速度運動,當點H運動到點D時停止,過點H作HI∥BD交AC于點I,設運動時間為秒。①將△AHI沿AC翻折得,是否存在時刻,使得點恰好落在BC上?若存在,求出的值,若不存在,請說明理由;備用圖②若點F為線段CD上的動點,當△OFH為正三角形時,求的值。備用圖備用圖備用圖【解析】解:(1)設的半徑為r.則:由切線長定理得DC=r+4.BC=r+6.BD=10.在RT△BCD中,由勾股定理得:,即:。解得:,(舍去)。25題(225題(2)解答圖(2)存在時刻,使得點恰好落在BC上. 理由如下:由題意知,AH==3,∠HAI==∠ACB∴==3在RT△AB中,B===。所以,C=8-∴3=8-,解得:=。當=時,點恰好落在BC上。25題(2)②題解答圖②如圖當△OFH為正三角形時,過O作25題(2)②題解答圖∴OE=3,AE=DE=4,AH=3,DH=8-3.EH=3-4.延長OF交AB于點K,連接KH.∵O是矩形對角線的交點,∴△AOK≌△COF∴KO=FO=HO∵△FOH是等邊三角形∴∠HOF=∠OHF=OFH=60°。∴∠HKF=∠KHO=30°∴∠KHF=90°在△KHF中,設OH=OF=HF=,則KH=,KF=2在矩形ABCD中,∠KHF=90°,則可證得:△AHK∽△DFH∴,即:,∴AK=∴在RT△AKH中,由勾股定理得:,∴:,即:在RT△OMH中,由勾股定理得:,∴,.∴=,解得:,。∵動點H的速度是3個單位長度每秒,而AD=8,且動點從A運動到D就停止?!嗖缓项}意,舍去。故。所以當△OFH為正三角形時,的值是()秒。75.(2020貴陽)如圖,四邊形是矩形,是邊上一點,點在的延長線上,且.(1)求證:四邊形是平行四邊形;(2)連接,若,,,求四邊形的面積.【答案】(1)見解析;(2)40【詳解】解:(1)∵四邊形是矩形,∴,.∵,∴,即.∴,∴四邊形是平行四邊形.(2)如圖,連接,∵四邊形是矩形∴中,,,∴由勾股定理得,,即.∵,∴.∵,∴.∴即,解得.由(1)得四邊形是平行四邊形,又∵,高,∴.76.(2020長沙)在矩形ABCD中,E為上的一點,把沿AE翻折,使點D恰好落在BC邊上的點F.(1)求證:(2)若,求EC的長;(3)若,記,求的值.解:(1)證明:∵四邊形ABCD是矩形,∴∠B=∠C=∠D=90°,∴∠AFB+∠BAF=90°,∵△AFE是△ADE翻折得到的,∴∠AFE=∠D=90°,∴∠AFB+∠CFE=90°,∴∠
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