線(xiàn)性代數(shù)課件

第二章線(xiàn)性方程組§2.1

消元法§2.2

n維向量§2.3

向量組的秩§2.4

矩陣的秩§2.5

線(xiàn)性方程組解的一般理論1引例1一、消元法解線(xiàn)性方程組求解線(xiàn)性方程組分析用消元法解下列方程組的過(guò)程．§2.1

消元法2解3用“回代”的方法求出解：最后一個(gè)方程是多余的，不再寫(xiě)出。上述方程組等價(jià)于4方程組的特點(diǎn)是:自上而下的各個(gè)方程所含未知數(shù)的個(gè)數(shù)依次減少，這種形式的線(xiàn)性方程組，一般稱(chēng)為階梯型方程組。由原方程化為階梯型方程的過(guò)程稱(chēng)為消元過(guò)程，由階梯形方程組得各未知量的過(guò)程稱(chēng)為回代過(guò)程。所以方程組的一般解為5其中c為任意常數(shù).（1）交換方程次序；（2）以不等于０的數(shù)乘某個(gè)方程；（3）一個(gè)方程加上另一個(gè)方程的k倍．（以替換）（以替換）（與相互替換）對(duì)方程組施行了如下三種變換：6這三種變換的每一種變換都稱(chēng)為線(xiàn)性方程組的初等變換.上述三種變換都是可逆的．

由于三種初等變換都是可逆的，所以變換前的方程組與變換后的方程組是同解的．故這三種變換是同解變換．

因?yàn)樵谏鲜鲎儞Q過(guò)程中，僅僅只對(duì)方程組的系數(shù)和常數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，未知量并未參與運(yùn)算．7提出這些數(shù)構(gòu)成矩形數(shù)表橫排稱(chēng)行，豎排稱(chēng)列，這樣的4行5列數(shù)表就稱(chēng)為一個(gè)四行五列矩陣。簡(jiǎn)稱(chēng)45矩陣。這個(gè)矩陣也稱(chēng)為方程組的增廣矩陣。矩陣中的各個(gè)數(shù)也稱(chēng)為該矩陣的元素。對(duì)方程組(1)施以初等變換，就相當(dāng)于對(duì)它的增廣矩陣的各行施以相應(yīng)的變換。它們都稱(chēng)為矩陣的初等行變換。利用矩陣記號(hào)，上述消元過(guò)程可以非常簡(jiǎn)單地寫(xiě)成下述形式：8用矩陣的初等行變換解方程組（1）：910回代過(guò)程階梯形矩陣11只要任意取定x3的值，就可以唯一地確定出對(duì)應(yīng)的x1，x2的值，從而得到原方程組的一組解。因此原方程組有無(wú)窮多組解。這時(shí)，變量x3稱(chēng)為自由未知量可以看出與原方程組同解12這種解的表達(dá)式稱(chēng)為線(xiàn)性方程組的一般解引例2解線(xiàn)性方程組13解方程組的增廣矩陣是一個(gè)35矩陣，對(duì)這一矩陣施以初等行變換，化為階梯形矩陣由最后的階梯形矩陣，可得對(duì)應(yīng)的階梯形方程組14這是一個(gè)矛盾方程組，無(wú)解。所以原方程組也無(wú)解。由上面的討論可以看出，線(xiàn)性方程組可能無(wú)解；也可能有解。在有解的情況下，可能有唯一解；也可能有無(wú)窮多組解。利用消元法解線(xiàn)性方程組時(shí)，我們只需對(duì)其增廣矩陣施以初等行變換，并把消元過(guò)程和回代過(guò)程合并在一起寫(xiě)出即可二、線(xiàn)性方程組解的情況為了便于討論一般的n元線(xiàn)性方程組的情況，首先須引入矩陣的概念。定義2.115由數(shù)域F中mn個(gè)數(shù)稱(chēng)為數(shù)域F上的一個(gè)mn矩陣.簡(jiǎn)稱(chēng)mn矩陣。排成的m

行n

列的數(shù)表簡(jiǎn)記為元素是實(shí)數(shù)的矩陣稱(chēng)為實(shí)矩陣,元素是復(fù)數(shù)的矩陣稱(chēng)為復(fù)矩陣.16例如是一個(gè)24實(shí)矩陣,是一個(gè)33復(fù)矩陣,是一個(gè)31矩陣,是一個(gè)14矩陣,是一個(gè)11矩陣.17定義2.2下面三種變換稱(chēng)為矩陣的初等行(列)變換:矩陣的初等行(列)變換統(tǒng)稱(chēng)為矩陣的初等變換。18下面考慮一般的線(xiàn)性方程組方程組中各未知量的系數(shù)組成一個(gè)mn矩陣，19稱(chēng)為方程組的系數(shù)矩陣稱(chēng)為方程組的增廣矩陣為了討論方程組的解，只需對(duì)增廣矩陣施行初等行變換不妨設(shè)A的前n列中任意一列的元素不全為零，20再對(duì)右下角的(m-1)n矩陣重復(fù)施行上述變換，直到最終化為如下的階梯形矩陣為止：2122這相當(dāng)于方程組(1)經(jīng)過(guò)一系列方程組的初等變換化為(2)所以方程組(1)與(2)同解。23這一回代過(guò)程也可以由相應(yīng)的階梯形矩陣自下而上逐次施以初等行變換，化為2425262728綜上可得下述結(jié)論：線(xiàn)性方程組(1)的增廣矩陣通過(guò)初等行變換可以化為階梯形矩陣，階梯形矩陣所對(duì)應(yīng)的方程組(2)與(1)同解，并且29對(duì)于齊次線(xiàn)性方程組所對(duì)應(yīng)的增廣矩陣為30所以對(duì)它施以行變換，最終可化為：31定理2.2含有n個(gè)未知量n個(gè)方程的齊次線(xiàn)性方程組有非零解它的系數(shù)行列式定理2.1如果齊次線(xiàn)性方程組中方程個(gè)數(shù)小于未知量個(gè)數(shù)，即m<n,則方程組有非零解.證3233證畢解對(duì)方程組的增廣矩陣施以初等行變換，將其化為階梯形矩陣：343536由此可得37例2

試確定的值，使齊次線(xiàn)性方程組38解對(duì)方程組的增廣矩陣施以初等行變換，化為階梯形有非零解39其對(duì)應(yīng)方程組：40由此得法二此題也可利用系數(shù)行列式4142例3

解線(xiàn)性方程組重要題型解43(i)若b2，則方程組無(wú)解(ii)若b=2，則44此時(shí)，方程組有無(wú)窮多組解(c為任意常數(shù))(3)若b=1時(shí)，則45方程組有無(wú)窮多組解46(c為任意常數(shù))(i)若b2，方程組無(wú)解(ii)若b=2，方程組有無(wú)窮多組解(3)當(dāng)b=1時(shí)，綜上結(jié)論：1．解的狀況

2．解的判斷有n

個(gè)未知數(shù)，m

個(gè)方程的線(xiàn)性方程組復(fù)習(xí):線(xiàn)性方程組解的狀況與判斷47增廣矩陣經(jīng)過(guò)一系列初等行變換化為如下形式的階梯形矩陣其中r:系數(shù)部分中元素不全為0的行數(shù)(階梯矩陣中階梯的個(gè)數(shù))48最后矩陣對(duì)應(yīng)的線(xiàn)性方程組為：

（2），有解有唯一解有無(wú)窮多解，恰有個(gè)非自由未知量.

（1），無(wú)解r=增廣矩陣中元素不全為0的行數(shù)r增廣矩陣中元素不全為0的行數(shù)r=未知量的個(gè)數(shù)r<未知量的個(gè)數(shù)r:系數(shù)部分中元素不全為0的行數(shù)(有效方程的個(gè)數(shù))49判定線(xiàn)性方程組解的狀況的基本思路對(duì)增廣矩陣實(shí)施一系列初等行變換，化階梯形矩陣；在階梯形矩陣中，根據(jù)系數(shù)部分中元素不全為0的行數(shù)(階梯矩陣中階梯的個(gè)數(shù))

r與增廣矩陣中元素不全為0的行數(shù)是否相等來(lái)判斷是否有解；若有解，再根據(jù)r與未知量的個(gè)數(shù)n之間的關(guān)系，判斷有唯一解還是無(wú)窮解.503.n

個(gè)未知量m個(gè)方程的齊次線(xiàn)性方程組解的判斷

(1)解的狀況一定有解

一定為051n個(gè)未知量，m個(gè)方程的齊次線(xiàn)性方程組

(2)解的狀況定理1

如果方程個(gè)數(shù)m

小于未知量個(gè)數(shù)n，一定有非零解.定理2