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文檔簡介
函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)第1頁,共53頁,2023年,2月20日,星期三一.三角級數(shù)三角函數(shù)系的正交性在高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)當中,接觸兩類基函數(shù):
函數(shù)在一點的性質(zhì)
周期函數(shù)(整體性質(zhì))Fourier級數(shù)三角級數(shù)表達周期函數(shù)第2頁,共53頁,2023年,2月20日,星期三諧波分析稱為三角級數(shù).簡單的周期運動
:復(fù)雜的周期運動
:得級數(shù)(一)三角級數(shù)表達周期函數(shù)第3頁,共53頁,2023年,2月20日,星期三1757年,法國數(shù)學(xué)家克萊羅在研究太陽引起的攝動時,大膽地采用了三角級數(shù)表示函數(shù):1759年,拉格朗日在對聲學(xué)的研究中使用了三角級數(shù).1777年,歐拉在天文學(xué)的研究中,用三角函數(shù)的正交性得到了將函數(shù)表示成三角函數(shù)時的系數(shù).也就是現(xiàn)今教科書中傅立葉級數(shù)的系數(shù).第4頁,共53頁,2023年,2月20日,星期三
在歷史上,三角級數(shù)的出現(xiàn)和發(fā)展與求解微分方程
1753年.丹貝努利首先提出將弦振動方程的解表示為是分不開的.三角級數(shù)的形式,這為傅立葉級數(shù)題奠定了物理基礎(chǔ),促進了它的發(fā)展.
1822年,傅立葉在?熱的解析理論?一書中對于歐拉和貝努利等人就一些孤立的,特殊的情形采用的三角級數(shù)方法進行加工處理,發(fā)展成一般理論.傅立葉指出:可以展開成級數(shù)第5頁,共53頁,2023年,2月20日,星期三其中~第6頁,共53頁,2023年,2月20日,星期三證:同理可證:正交,上的積分等于0.即其中任意兩個不同的函數(shù)之積在機動目錄上頁下頁返回結(jié)束(二)、三角函數(shù)系的正交性第7頁,共53頁,2023年,2月20日,星期三上的積分不等于0.且有但是在三角函數(shù)系中兩個相同的函數(shù)的乘積在機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第8頁,共53頁,2023年,2月20日,星期三二、函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)問題:2.展開的條件是什么?且能展開成三角級數(shù)第9頁,共53頁,2023年,2月20日,星期三(利用正交性)第10頁,共53頁,2023年,2月20日,星期三(利用正交性)第11頁,共53頁,2023年,2月20日,星期三傅里葉系數(shù)第12頁,共53頁,2023年,2月20日,星期三代入傅里葉系數(shù)的三角級數(shù)稱為傅里葉級數(shù)問題:在什么條件下函數(shù)可以展開成傅里葉級數(shù)?狄利克雷于1829年第一次對于傅立葉級數(shù)的收斂性給出了嚴格的證明.得到了現(xiàn)今教科書中的所謂狄利克雷判定準則.第13頁,共53頁,2023年,2月20日,星期三定理(收斂定理,展開定理)設(shè)
f(x)是周期為2的周期函數(shù),并滿足狄利克雷(Dirichlet)條件:1)在一個周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個第一類間斷點;2)在一個周期內(nèi)只有有限個極值點,則f(x)的傅里葉級數(shù)收斂,且有
x
為間斷點其中(證明略
)為f(x)
的傅里葉系數(shù)
.
x
為連續(xù)點注意:
函數(shù)展成傅里葉級數(shù)的條件比展成冪級數(shù)的條件低得多.簡介目錄上頁下頁返回結(jié)束第14頁,共53頁,2023年,2月20日,星期三則有則有有既第15頁,共53頁,2023年,2月20日,星期三例1.
設(shè)
f(x)是周期為2
的周期函數(shù),它在上的表達式為解:
先求傅里葉系數(shù)將f(x)展成傅里葉級數(shù).
機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第16頁,共53頁,2023年,2月20日,星期三機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第17頁,共53頁,2023年,2月20日,星期三1)
根據(jù)收斂定理可知,時,級數(shù)收斂于2)傅氏級數(shù)的部分和逼近說明:f(x)的情況見右圖.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第18頁,共53頁,2023年,2月20日,星期三
不同頻率正弦波逐個疊加成方波物理意義第19頁,共53頁,2023年,2月20日,星期三第20頁,共53頁,2023年,2月20日,星期三第21頁,共53頁,2023年,2月20日,星期三第22頁,共53頁,2023年,2月20日,星期三第23頁,共53頁,2023年,2月20日,星期三第24頁,共53頁,2023年,2月20日,星期三傅里葉級數(shù)展開式的意義——函數(shù)的整體逼近.第25頁,共53頁,2023年,2月20日,星期三解所給函數(shù)滿足狄利克雷充分條件.例2第26頁,共53頁,2023年,2月20日,星期三第27頁,共53頁,2023年,2月20日,星期三第28頁,共53頁,2023年,2月20日,星期三非周期函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)并且滿足收斂定理的條件,可利用周期的延拓展開成傅里葉級數(shù),第29頁,共53頁,2023年,2月20日,星期三周期延拓傅里葉展開上的傅里葉級數(shù)定義在[–,]上的函數(shù)f(x)的傅氏級數(shù)展開法其它機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第30頁,共53頁,2023年,2月20日,星期三例3.
將函數(shù)級數(shù).則解:
將f(x)延拓成以展成傅里葉2為周期的函數(shù)F(x),機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第31頁,共53頁,2023年,2月20日,星期三機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第32頁,共53頁,2023年,2月20日,星期三物理意義不同頻率余弦波逐個疊加成鋸齒波第33頁,共53頁,2023年,2月20日,星期三利用此傅氏展開式求幾個特殊的級數(shù)的和第34頁,共53頁,2023年,2月20日,星期三第35頁,共53頁,2023年,2月20日,星期三例4.將函數(shù)展成傅里葉級數(shù),其中E為正常數(shù).解:延拓成以2為周期的函數(shù)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第36頁,共53頁,2023年,2月20日,星期三機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第37頁,共53頁,2023年,2月20日,星期三例5解第38頁,共53頁,2023年,2月20日,星期三
三、正弦級數(shù)或余弦級數(shù)
1.奇函數(shù)與偶函數(shù)的傅里葉級數(shù)第39頁,共53頁,2023年,2月20日,星期三證奇函數(shù)同理可證(2).偶函數(shù)證畢第40頁,共53頁,2023年,2月20日,星期三定義第41頁,共53頁,2023年,2月20日,星期三解所給函數(shù)滿足狄利克雷充分條件.例1第42頁,共53頁,2023年,2月20日,星期三和函數(shù)圖象第43頁,共53頁,2023年,2月20日,星期三第44頁,共53頁,2023年,2月20日,星期三觀察兩函數(shù)圖形第45頁,共53頁,2023年,2月20日,星期三2.在[0,]上的函數(shù)展成正弦級數(shù)與余弦級數(shù)周期延拓F(x)f(x)在[0,]上展成周期延拓F(x)余弦級數(shù)奇延拓偶延拓正弦級數(shù)f(x)在[0,]上展成機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第46頁,共53頁,2023年,2月20日,星期三例1.
將函數(shù)分別展成正弦級數(shù)與余弦級數(shù).
解:
先求正弦級數(shù).去掉端點,將f(x)作奇周期延拓,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第47頁,共53頁,2023年,2月20日,星期三注意:在端點x=0,,級數(shù)的和為0,與給定函數(shù)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束因此得
f(x)=x+1的值不同.
第48頁,共53頁,2023年,2月20日,星期三第49頁,共53頁,2023年,2月20日,星期三再求余弦級數(shù).將則有作,偶周期延拓機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第50頁,共53頁,2023年,2月20日,星期三說明:
令
x=0
可得即
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