防洪物質(zhì)調(diào)運(yùn)問(wèn)題交通流

有人將高速公行駛的車輛比做奔騰的水流，我們因此受到啟發(fā)將車輛視因此我們引入流量的概念即在公一個(gè)確定的位置計(jì)數(shù)在單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)的車輛數(shù)。因此它也是位置和時(shí)間的函數(shù)。將流量的應(yīng)用到此模型中并加以數(shù)N(t)的變化關(guān)系。T的線性車輛跟隨模型對(duì)車輛的行駛情況進(jìn)行分析。在公有兩個(gè)觀測(cè)站，一個(gè)固定在x=a，另一個(gè)是移動(dòng)的x=b(t)。N(t)表示公區(qū)間[a,b(t)]內(nèi)的車輛數(shù)，證明N(t)的變化率有關(guān)系N'(t)(b(t),t)db(b(t),t)u(b(t),t)為了觀測(cè)在公行駛的a，b兩輛汽車的速度和距離（從而就可估處速度和密度在公設(shè)距離為d的兩個(gè)觀測(cè)站觀測(cè)者記錄了ab兩輛車通過(guò)觀測(cè)站的時(shí)間ta1t2t1t2設(shè)u=u(ρ),如果αα=-試對(duì)帶有反應(yīng)時(shí)間T設(shè)u

(1ρ0m結(jié)果表明隧道的資料適合于模型q(ρ)=aρ[㏑ρm-㏑ρ]。假設(shè)初始密度將在區(qū)間[-x0,0]內(nèi)從ρm0.問(wèn)兩小時(shí)后會(huì)不會(huì)有ρ=ρ/2?設(shè)uum 2).試給出公交通燈由紅變綠后的車流密度m對(duì)于第i

udxi ，常大，以至于難以每一輛汽車。這時(shí)替代記錄每輛車的速度固定在某一點(diǎn)x，xt的函數(shù)，記為u(xttx密度和流量也應(yīng)該是x與tq(xt(xt。在[t1,t2]時(shí)刻通過(guò)x點(diǎn)的車輛數(shù)為Nq(x,t)dt T時(shí)刻在區(qū)間[x1,x2]N

q(x,t)(x,t)u(x,

值得注意的是，為了完成模型的推導(dǎo)此處必須認(rèn)為qq1、測(cè)量區(qū)間的選取，本文通過(guò)對(duì)某單車道公路的區(qū)間[0，100]上的45輛汽車在x=50的車輛密度圖 某高速公路高空拍攝x=50x=502圖 區(qū)間選取對(duì)測(cè)量的影在L/2=17.5附近測(cè)量結(jié)果開(kāi)始穩(wěn)定，雖區(qū)間的選區(qū)變化不大。也就是說(shuō)，在大于35m的測(cè)量區(qū)間以后測(cè)量的數(shù)據(jù)會(huì)由于測(cè)量區(qū)間過(guò)大而不能很好地反映局部密度偏高的特點(diǎn)。在L/2=102025006Dx=12.5，37.5，62.5，87.50.48，0.44，0.56，0.32車輛守在公設(shè)置兩個(gè)觀測(cè)站，一個(gè)固定在x=a，一個(gè)固定在x=b，由2可知b某一時(shí)刻區(qū)間[a,b]N(t)(xt)dxa是不允許超車的,所以在[t0t]x=a流進(jìn)車輛數(shù)減去從x=b流出的車輛數(shù)。即滿足關(guān)系式: N(t)N(t0)q(a,)dq(b,)d[q(a,)q(b, 將此式兩端對(duì)t求導(dǎo)dadt(x,t)dtq(a,t)q(b,a

關(guān)于q的光滑性的假設(shè)下有baq(a,t)q(b,t)xq(x,ab bbdt

(x,t)dxt(x, 從而(1.4)ab a由[a,b]

(

x)dxq

(u)

現(xiàn)在在公設(shè)置另外兩個(gè)觀測(cè)站，一個(gè)固定在x=a，另一個(gè)是移動(dòng)的x=b(t)t［a,b(t)］內(nèi)的總車輛數(shù)量為b(t

N(t) (x,

N'(t)(b(t),t)dbb(t)(x,t)

t將(1.9)代入(1.8)N'(t)(b(t),t)dbb(t)q(x,t)dx(b(t),t)dbq(b(t),t)q(a, (b(t),t)db(b(t),t)u(b(t),t)(a,t)u(a,t)[ttt路段的變化的車輛數(shù)應(yīng)該等于a處所進(jìn)入的車輛t tN(t ) q(a,)d(b(tt)b(t))(b,t) q(b,N(t

) q(a,)d(b(tt)b(t))(b,t) q(b,t tq(a,1)t(b(tt)b(t))(b,t)q(b(2t t1,2(t,t兩邊同時(shí)除以t，并且令t0N'(t)q(a,t)db(b(t),t)

q(x,t)(x,t)u(x,所以Nt)(b(tt)db(b(tt)u(b(tt(at)u(a速度測(cè)值，并驗(yàn)證了在一定條件下這個(gè)比值可以成區(qū)間長(zhǎng)度與時(shí)間的比值。首先給出我們需要知道的數(shù)據(jù)，選定公行駛的a，b兩輛汽車，在公路上設(shè)距離為d的兩個(gè)觀測(cè)站x1,x2，觀測(cè)者記錄了a，b兩輛車通過(guò)觀測(cè)站的時(shí)間bbata1時(shí)刻在[x1,x2]內(nèi)的車輛數(shù)等于在ta1到ta2時(shí)間內(nèi)通過(guò)x2處的車輛數(shù)。由(1.1)式可得：Nta2q(x,2

Nq(x2,1)(ta2ta1Nq(x2,1)(ta2ta1) a,bta1tb1x1ta2tb2時(shí)間內(nèi)通過(guò)x2tb1q(x,t)dttb2q(x, aq(x1,1)(tb1ta1)q(x2,2)(tb2ta2q(x2,2)q(x2,1；最后，利用關(guān)系式qu可以求得u d(tb1ta1

,u

d(tb1ta1

ab

ta

)(ta

ta1

(tb

ta

)(tb

tb1bbtb2ta2tb1ta1帶入(1.10)

ua

(ta

dta1a,bS=b1q(a,t)dtb2q(b,t)dt=

t a所以a,b之間的長(zhǎng)度為

aLq(b,2)(tb2ta2)d(tb2ta2 (ta2ta1速度-密如果知道了速度和密度的關(guān)系我們就可以通過(guò)求解偏微分方程(1.)得到密-駕駛員會(huì)根據(jù)周圍車輛密度調(diào)整駕駛速度并且測(cè)量速度的方法，我們就可以通過(guò)觀測(cè)不同密度下的車輛速度來(lái)驗(yàn)證這一點(diǎn)。本文對(duì)連接紐約市和新澤西州的隧道所觀測(cè)得到的速度—密度關(guān)系的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析得到肯定的答案接下來(lái)利用流量計(jì)算基本得到流量與密度的關(guān)系并繪制流量-密度曲線.首先將連接紐約市和新澤西州的隧道得到數(shù)據(jù)繪制成圖,觀察其特點(diǎn)418根據(jù)圖像的特點(diǎn)，本文選取關(guān)系式uabln(7.0編程求解得到a=92.4032,b=16.9929,

u92.403216.9929

5速度-密度擬合樣圖123456789誤110.558915.8333根據(jù)流量計(jì)算qu以及(1.11)可得q92.403216.9929ln(66（0流量q0m因而q0(0m 7.0求得在84.5847處流量取到最大值1437.3。我們稱之為5.3．的那么汽車在某一時(shí)刻的加速度可否用密度來(lái)描述？接下來(lái)對(duì)這一問(wèn)題根據(jù)車輛守恒方程

q0以及車輛密度以及速度之間的關(guān)系 q(xt)(xt)u(xt)(u)duu

同時(shí)由加速度的定義adu以及uu()adudu(dx)du(u dx d

將(1.12)(1.13)adud

du＝u0，故(3)d算給出密度在時(shí)間空間上的變化規(guī)律。由于不同路段的速度-密度變化規(guī)律是不同的,所以本文不試圖尋找一種普遍的關(guān)系式來(lái)建立模型,而是通過(guò)現(xiàn)有的速度-密關(guān)系式來(lái)探究密度的變化規(guī)律,為了對(duì)速度隨密度的變化有個(gè)更深入的了解,先那么我們對(duì)一種理想車輛跟隨模型進(jìn)行分析。車輛跟隨模例系數(shù)為。入反應(yīng)時(shí)間T，即經(jīng)過(guò)時(shí)間T后，駕駛員才開(kāi)始加速或者。取公路為x軸，車輛運(yùn)動(dòng)的方向?yàn)閤正向。首先提取第n輛車作為頭車來(lái)研究后面車輛的跟隨情況。T時(shí)刻第nxn(t。由速度-位移關(guān)系有：vn(t)xn

，(t 設(shè)v(tu，為方便起見(jiàn)，取一個(gè)參考系，以u(píng)0 un(t)vn(t)un(t)

，(tdun1(t)(u(tT)

(tT

，(t>1)，n=1,2,…….N- 根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，正常駕駛員的滯后時(shí)間T0.3~0.4s1之間，這里取0.37s1。

1.0

dun1(t)(u un(t)

n(tT)

(tT ,NTu(tT)u(t)(T)u(t)1(T

(t)

若T(1T)un1un1[un(t)Tun

比如正弦擾動(dòng)，那么第一輛的車的速度為u1sin(t。這樣我們就可以根據(jù)常由于(3.2)是一個(gè)一階線形微分方程，則它在n=1 u(t)Cet/(1T)Asin( A22(12T2)2(2T對(duì)于un(t在n>2在結(jié)構(gòu)與(2.4)

由上式看出車

T

時(shí)，前車引起后車擾動(dòng)的振幅將不隨若保留(2.2)二次項(xiàng)以得到更精確的結(jié)果，同時(shí)由(2.1)T

[u(t)Tu(t)1T

T2r2(1T)r0(1(1T) (1T)22(T

T

2顯然T12

繼續(xù)給頭車的速度一個(gè)正弦擾動(dòng)，即令u1=sint u(t)Cer1tCer2tA 且

A1(T B(11T222 2 2(11T

)22(1T

T1時(shí)u的振幅并不會(huì)大于u 2最終我們得到結(jié)論：由(2.6)近似的模型控制的車流，在T 1時(shí)局部2進(jìn)穩(wěn)定，關(guān)于T的準(zhǔn)則可能會(huì)因?yàn)楦叽雾?xiàng)的影響而改變。在此我們不尋求一密度在此我們利用已知關(guān)系式u()=um(1-/m)，由于每個(gè)路段都會(huì)對(duì)最高速度加以限制,所以速度有最大值umc,當(dāng)車輛密度c時(shí),汽車以u(píng)m行駛.這樣關(guān)系式就擴(kuò)展為:u(

um(1-/m)

(cm

(0cq(

um(1-/mum

(cm (0c在物理學(xué)中,附近所對(duì)應(yīng)的密度波的速度,

處的切線的斜率cdq|d

等于在mcdqm

d(u)u

)d d d 由于速度以及密度的非負(fù)性可知cu(0)，也就是說(shuō)密度波的速度小于交通流量模型將uu()qu(dq

d(x,0)

f

(2.11)2.12)聯(lián)立即得帶有初值條件的一階偏微分方程。方程的特征曲線為

1(x(t),t)dxdq d故

dq(du)ud ddx

d0f(d

0uf(x0由此，根據(jù)初始條件中某一點(diǎn)x0處的密度0，我們可以得到特征曲xu(f(x0))tx0的應(yīng)已知流量-密度且初始密度線性分布的模下面我們看一個(gè)簡(jiǎn)單的例子，已知隧道的資料適合于模q()=a[lnmln]。假設(shè)初始密度將在區(qū)間[-d0,0]內(nèi)從ρm線性遞減為10045首先，對(duì)之前獲得的隧道內(nèi)18輛車的速度與車輛密度進(jìn)行擬合，7.0求解可以得到a=16.9929;m(x,0)mx,

xx0x0dx

dd

a(ln

ln(mx)1)aln(x0 ixaln(x0)ixx0 xa(ln21)t2我們兩小時(shí)后該密度波的情況，令t=2，x2a(ln21)x02此式表示m的密度波在兩小時(shí) 到了x2a(ln21)x0，即兩小時(shí) x2a(ln21x0m x20.8573，mx20.8573 在區(qū)間(x00x=x0,0處斜率為。為了更形象地揭示密度得變化情況，這里有選擇的畫出幾條特征txt071．110045x(12.5,37.5,62.5,87.5),(x)(0.48,0.44,0.56,0.32)dx

a(ln

ln(e))aln(mdd

i i由上式以及a=16.9929;m=229.924可以計(jì)算出每點(diǎn)的特征曲在x=12.5處的特征曲線為：在x=37.5處的特征曲線為：在x=62.5處的特征曲線為：在x=87.5處的特征曲線為：

x104.8754t+12.5x106.3540t+37.5x102.2559t+62.5x111.7654t型通過(guò)圖像 測(cè)型紅綠燈

12.537.562.5 圖7假設(shè)在x=0m在x0x0處的車隊(duì)將跟第一輛車運(yùn)動(dòng).而第一輛車由于前方?jīng)]有汽車,所以將以最大速度um行駛.(x0)f(x)

xx 3m平衡方程得到,m

uumm

2，那么qumm3

2)，dum(12由特征得特征線為：x