人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)同步講義第22課圓的基本概念和性質(zhì)（原卷版）

第22課圓的基本概念和性質(zhì)目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航課程標(biāo)準(zhǔn)1．知識(shí)目標(biāo)：理解圓的有關(guān)概念和圓的對(duì)稱性；2．能力目標(biāo)：能應(yīng)用圓半徑、直徑、弧、弦、弦心距的關(guān)系，圓的對(duì)稱性進(jìn)行計(jì)算或證明；3．情感目標(biāo)：養(yǎng)成學(xué)生之間發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、探討問(wèn)題、解決問(wèn)題的習(xí)慣.知識(shí)精講知識(shí)精講知識(shí)點(diǎn)01圓的定義及性質(zhì)1.圓的定義

(1)動(dòng)態(tài)：如圖，在一個(gè)平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圖形叫做圓，固定的端點(diǎn)O叫做圓心，線段OA叫做.以點(diǎn)O為圓心的圓，記作“”，讀作“圓O”．要點(diǎn)詮釋：

①圓心確定圓的，半徑確定圓的；確定一個(gè)圓應(yīng)先確定圓心，再確定半徑，二者缺一不可；

②圓是一條封閉曲線.(2)靜態(tài)：圓心為O，半徑為r的圓是平面內(nèi)的集合.

要點(diǎn)詮釋：

①定點(diǎn)為圓心，定長(zhǎng)為半徑；

②圓指的是圓周，而不是圓面；

③強(qiáng)調(diào)“在一個(gè)平面內(nèi)”是非常必要的，事實(shí)上，在空間中，到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合是球面，一個(gè)閉合的曲面.2.圓的性質(zhì)

①旋轉(zhuǎn)不變性：圓是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，繞圓心旋轉(zhuǎn)任一角度都和原來(lái)圖形重合；圓是圖形，對(duì)稱中心是；

②圓是圖形：任何一條直徑都是它的對(duì)稱軸.或者說(shuō)，經(jīng)過(guò)圓心的任何一條都是圓的對(duì)稱軸.要點(diǎn)詮釋：

①圓有條對(duì)稱軸；

②因?yàn)橹睆绞窍遥矣质蔷€段，而對(duì)稱軸是，所以不能說(shuō)“圓的對(duì)稱軸是直徑”，而應(yīng)該說(shuō)“圓的對(duì)稱軸是直徑所在的直線”.

3.兩圓的性質(zhì)

兩個(gè)圓組成的圖形是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是兩圓連心線（經(jīng)過(guò)兩圓圓心的直線叫做兩圓連心線）.知識(shí)點(diǎn)02與圓有關(guān)的概念1.弦弦：叫做弦.

直徑：經(jīng)過(guò)叫做直徑.弦心距：叫做弦心距.

要點(diǎn)詮釋：

直徑是圓中通過(guò)圓心的特殊弦，也是圓中，即直徑是弦，但弦不一定是直徑.

為什么直徑是圓中最長(zhǎng)的弦？如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O中任意一條弦，求證：AB≥CD.

證明：連結(jié)OC、OD

∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(當(dāng)且僅當(dāng)CD過(guò)圓心O時(shí)，取“=”號(hào))

∴直徑AB是⊙O中最長(zhǎng)的弦.

2.弧

?。航凶鰣A弧，簡(jiǎn)稱弧.以A、B為端點(diǎn)的弧記作SKIPIF1<0，讀作“圓弧AB”或“弧AB”.

半圓：圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，都叫做半圓；

優(yōu)?。旱幕〗凶鰞?yōu)??；

劣弧：的弧叫做劣弧.

要點(diǎn)詮釋：

①半圓是弧，而弧不一定是半圓；

②無(wú)特殊說(shuō)明時(shí)，弧指的是劣弧.

3.同心圓與等圓

圓心相同，半徑不等的兩個(gè)圓叫做同心圓.

圓心不同，半徑相等的兩個(gè)圓叫做等圓.同圓或等圓的半徑相等.

4.等弧

在同圓或等圓中，叫做等弧.

要點(diǎn)詮釋：

①等弧成立的前提條件是在同圓或等圓中，不能忽視；

②圓中兩平行弦所夾的弧相等.能力拓展能力拓展考法01圓的定義【典例1】已知：如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，求證：點(diǎn)A、B、C、D在以點(diǎn)O為圓心的同一個(gè)圓上.【即學(xué)即練1】平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)在同一圓上，則該平行四邊形一定是（）A.正方形 B.菱形 C.矩形 D.等腰梯形【典例2】爆破時(shí)，導(dǎo)火索燃燒的速度是每秒0.9cm，點(diǎn)導(dǎo)火索的人需要跑到離爆破點(diǎn)120m以外的安全區(qū)域。這個(gè)導(dǎo)火索的長(zhǎng)度為18cm，那么點(diǎn)導(dǎo)火索的人每秒鐘跑6.5m是否安全？考法02圓及有關(guān)概念【典例3】下列說(shuō)法中，正確的是（）A．兩個(gè)半圓是等弧B．同圓中優(yōu)弧與半圓的差必是劣弧C．長(zhǎng)度相等的弧是等弧D．同圓中優(yōu)弧與劣弧的差必是優(yōu)弧【即學(xué)即練2】點(diǎn)A、O、D與點(diǎn)B、O、C分別在同一直線上，圖中弦的條數(shù)為（）A．2 B．3 C．4 D．5考法03圓的對(duì)稱性【典例4】圓O所在平面上的一點(diǎn)P到圓O上的點(diǎn)的最大距離是10，最小距離是2，求此圓的半徑是多少？【即學(xué)即練3】平面上的一個(gè)點(diǎn)到圓的最小距離是4cm,最大距離是9cm，則圓的半徑是（）.A.2.5cmB.6.5cmC.2.5cm或6.5cmD.5cm或13cm【即學(xué)即練4】（1）過(guò)____________________上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓．（2）交通工具上的輪子都是做圓的，這是運(yùn)用了圓的性質(zhì)中的_________．【典例5】如圖，⊙O的直徑為10，弦AB=8，P是弦AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么OP的長(zhǎng)的取值范圍是.【即學(xué)即練5】已知⊙O的半徑為13，弦AB=24，P是弦AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則OP的取值范圍是_______．分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練1．有下列四個(gè)說(shuō)法：①半徑確定了，圓就確定了；②直徑是弦；③弦是直徑；④半圓是弧，但弧不一定是半圓．其中錯(cuò)誤說(shuō)法的個(gè)數(shù)是（）A．1B．2C．3D．42．過(guò)圓上一點(diǎn)可以作圓的最長(zhǎng)弦有（）條．A．1 B．2 C．3 D．無(wú)數(shù)條3．等于圓周的弧為()A．劣弧 B．半圓 C．優(yōu)弧 D．圓4．如果圓外一點(diǎn)P到圓上各點(diǎn)的最短距離為3，最長(zhǎng)距離為9，那么這個(gè)圓的半徑為（）A．2 B．2.5 C．3 D．3.55．以已知點(diǎn)O為圓心，已知線段a為半徑作圓，可以作()A．1B．2C．3D．無(wú)數(shù)個(gè)6．在同圓或等圓中________弧叫等弧．7．已知⊙O中最長(zhǎng)的弦為16cm，則⊙O的半徑為_(kāi)_____________cm8．下列說(shuō)法①直徑是弦；②圓心相同，半徑相同的兩個(gè)圓是同心圓；③兩個(gè)半圓是等?。虎芙?jīng)過(guò)圓內(nèi)一定點(diǎn)可以作無(wú)數(shù)條直徑．正確的是______填序號(hào)．題組B能力提升練1．下列說(shuō)法正確的是（）A．弦是直徑B．弧是半圓C．半圓是弧D．通過(guò)圓心的線段是直徑2．下列語(yǔ)句中，不正確的個(gè)數(shù)是()①弦是直徑②半圓是?、坶L(zhǎng)度相等的弧是等?、芙?jīng)過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)可以作無(wú)數(shù)條直徑A．1 B．2 C．3 D．43．如圖，SKIPIF1<0中，點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0以及點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別在一條直線上，圖中弦的條數(shù)有（）A．SKIPIF1<0條 B．SKIPIF1<0條 C．SKIPIF1<0條 D．SKIPIF1<0條4．如圖，已知⊙O的半徑為5，點(diǎn)O到弦AB的距離為3，則⊙O上到弦AB所在直線的距離為2的點(diǎn)有______個(gè)．5．如圖，點(diǎn)A、D、G、M在半圓O上，四邊形ABOC、DEOF、HMNO均為矩形，設(shè)BC=a，EF=b，NH=c，則a、b、c的大小是_________．6．如圖，MN為⊙O的弦，∠M=50°，則∠MON等于________．7．P為⊙O內(nèi)一點(diǎn)，OP＝3cm，⊙O的半徑為5cm，則經(jīng)過(guò)P點(diǎn)的最短弦長(zhǎng)為_(kāi)____cm，最長(zhǎng)弦長(zhǎng)為_(kāi)____cm．題組C培優(yōu)拔尖練1．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°；以C為圓心、CB為半徑的圓交AB于點(diǎn)D，求∠ACD的度數(shù)．2．如圖所示，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的一條弦，點(diǎn)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上一動(dòng)點(diǎn)，且SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)，直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點(diǎn)，若SKIPIF1<0的半徑為7，求SKIPIF1<0的最大值.3．如圖，點(diǎn)E為⊙O的直徑AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C、D在下半圓AB上（不含A、B兩點(diǎn)），且∠CED=∠OED=60°，連OC、OD（1）求證：∠C=∠D；（2）若⊙O的半徑為r，請(qǐng)直接寫(xiě)出CE+ED的變化范圍．4．（問(wèn)題提出）用n個(gè)圓最多能把平面分成幾個(gè)區(qū)域？（問(wèn)題探究）為了解決上面的數(shù)學(xué)問(wèn)題，我們采取一般問(wèn)題特殊化的策略，先從最簡(jiǎn)單情形入手，再逐次遞進(jìn)，最后猜想得出結(jié)論．探究一：如圖1，一個(gè)圓能把平面分成2個(gè)區(qū)域．探究二：用2個(gè)圓最多能把平面分成幾個(gè)區(qū)域？如圖2，在探究一的基礎(chǔ)上，為了使分成的區(qū)域最多，應(yīng)使新增加的圓與前1個(gè)圓有2個(gè)交點(diǎn)，將新增加的圓分成2部分，從而增加2個(gè)區(qū)域，所以，用2個(gè)圓最多能把平面分成4個(gè)區(qū)域．探究三：用3個(gè)圓最多能把平面分成幾個(gè)區(qū)域？如圖3，在探究二的基礎(chǔ)上，為了使分成的區(qū)域最多，應(yīng)使新增加的圓與前2個(gè)圓分別有2個(gè)交點(diǎn)，將新增加的圓分成SKIPIF1<0部分，從而增加4個(gè)區(qū)域，所以，用3個(gè)圓最多能把平面分成8個(gè)區(qū)域．（1）用4個(gè)圓最多能把平面分成幾個(gè)區(qū)域？仿照前面的探究方法，寫(xiě)出解答過(guò)程，不需畫(huà)圖．（2）（一般結(jié)論）用n個(gè)圓最多能把平面分成幾個(gè)區(qū)