高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)練習(xí)試題

高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)練習(xí)試題一、解答題1．已知函數(shù)．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)設(shè)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求證：．2．已知函數(shù)，．(1)討論函數(shù)在區(qū)間的極值；(2)若函數(shù)在處取得極值，對(duì)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．3．已知，．(1)存在滿足：，，求的值；(2)當(dāng)時(shí)，討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．4．已知函數(shù)，其中(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，證明：當(dāng)時(shí)。5．已知．(1)若在處取得極值，求的最小值；(2)若對(duì)恒成立，求的取值范圍．6．已知函數(shù)．(1)分別求n=1和n=2的函數(shù)的單調(diào)性；(2)求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．7．設(shè)函數(shù)，其中(1)當(dāng)時(shí)，討論單調(diào)性；(2)證明：有唯一極值點(diǎn)，且.8．已知函數(shù)(1)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)證明：函數(shù)至多有一個(gè)零點(diǎn).9．已知函數(shù)，.(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)與有相同的極值點(diǎn)，求函數(shù)在區(qū)間上的最值.10．設(shè)函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若關(guān)于的方程有三個(gè)不等實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【參考答案】一、解答題1．(1)；(2)證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，計(jì)算和，再由點(diǎn)斜式代入寫(xiě)出切線方程；（2）設(shè)，由題意得，，將證明轉(zhuǎn)化為證明，令，即證，令，求導(dǎo)判斷單調(diào)性即可證明.由題意，，則，。所以函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為。即.設(shè)，由題意，。所以?？傻?，。要證明，只需證，即。因?yàn)?，所以可轉(zhuǎn)化為證明。即，令，則，即證。令，則。所以函數(shù)在上是增函數(shù)，所以。即得證，所以.【點(diǎn)睛】2．(1)答案見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）先討論的單調(diào)性再確定在上的極值（2）利用極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為求出，代入恒成立的不等式中，用分離參數(shù)法求的取值范圍在區(qū)間上，。當(dāng)時(shí)，恒成立，在區(qū)間上單調(diào)遞減。則在區(qū)間上無(wú)極值；當(dāng)時(shí)，令得。在區(qū)間上，，函數(shù)單調(diào)遞減。在區(qū)間上，，函數(shù)單調(diào)遞增.若，即，則在區(qū)間上極小值若或，即或，則在區(qū)間上無(wú)極值因?yàn)楹瘮?shù)在處取得極值。所以，解得，經(jīng)檢驗(yàn)可知滿足題意由已知，即。即對(duì)恒成立。令，則。當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)。所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增。所以。即.3．(1)或4；(2)答案見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）在有，構(gòu)造中間函數(shù)并利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性和零點(diǎn)情況，求參數(shù)a，在上根據(jù)已知列方程組求參數(shù)a，即可得結(jié)果.（2）討論a的范圍，利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理判斷各情況下零點(diǎn)的個(gè)數(shù).時(shí)，原條件等價(jià)于?！唷Ａ?，則?！酁樵龊瘮?shù)，由，則有唯一解，所以。時(shí)，，解得：．綜上，或4．ⅰ.時(shí)，則，。而，，即為增函數(shù)，又。當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，故?！嗪愠闪?，故時(shí)零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0；ⅱ.時(shí)，，由①知：僅當(dāng)時(shí)，此時(shí)零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1．ⅲ.時(shí)，，則，?！酁樵龊瘮?shù)，，?！鄡H有一解，設(shè)為，則在上，在上。所以最小值為，故．又，，故、上各有一零點(diǎn)，即有2個(gè)零點(diǎn)．ⅳ.時(shí)，上?！酂o(wú)零點(diǎn)，則上，，?！酁樵龊瘮?shù)，，?！嘤形ㄒ唤猓O(shè)為，則。又，，故、上，各有一個(gè)零點(diǎn)，即有2個(gè)零點(diǎn)．ⅴ.時(shí)，由（1）知：上有唯一零點(diǎn)：；在上，則，。所以為增函數(shù)，，，故使。則上，遞減；上，遞增；故，而。又，，故在、上各有一個(gè)零點(diǎn)。所以共有3個(gè)零點(diǎn)．綜上：時(shí)零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0；時(shí)零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1；時(shí)零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2；時(shí)零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：（1）根據(jù)分段函數(shù)的定義域討論x，結(jié)合函數(shù)、方程思想求參數(shù).（2）討論參數(shù)a，利用二階導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，進(jìn)而判斷其符號(hào)研究單調(diào)性，并結(jié)合零點(diǎn)存在性定理判斷區(qū)間零點(diǎn)的個(gè)數(shù).4．(1)答案不唯一，具體見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）根據(jù)導(dǎo)函數(shù)在上存在零點(diǎn)，則在上有解，則有，即，得到函數(shù)的最小值，構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)判斷出其單調(diào)性，結(jié)合不等式傳遞性可證．函數(shù)的定義域是，。①時(shí)，，令，解得：，令。解得：，故在遞減，在遞增；②時(shí)，令，解得：或。令，解得：。故在遞增，在遞減，在遞增；③時(shí)，，在遞增；④時(shí)，令，解得：或。令，解得：。故在遞增，在遞減，在遞增；綜上：時(shí)，在遞減，在遞增。時(shí)，在遞增，在遞減，在遞增；時(shí)，在遞增；時(shí)，在遞增，在遞減，在遞增；因?yàn)?。又因?yàn)閷?dǎo)函數(shù)在上存在零點(diǎn)，所以在上有解。則有，即。且當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減。當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以。設(shè)，，則，則。所以在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減。則。所以，則根據(jù)不等式的傳遞性可得。當(dāng)時(shí)?！军c(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)表示曲線上某點(diǎn)處的斜率，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，屬于難題．5．(1)【解析】【分析】（1）先求得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后利用極值的必要條件求得的值，進(jìn)而判定導(dǎo)數(shù)的正負(fù)區(qū)間，得到函數(shù)的單調(diào)性，然后結(jié)合左右兩端的極限值與極小值，求得函數(shù)的最小值；（2）分離參數(shù)得到對(duì)于任意恒成立.構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得不等號(hào)右側(cè)的最大值，進(jìn)而根據(jù)不等式恒成立的意義得到實(shí)數(shù)的取值范圍.∵，∴?！咴谔幦〉脴O值，，∴?！?，。當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.又∵當(dāng)時(shí)，，?！嗟淖钚≈禐?由已知得對(duì)于任意恒成立.令，則。在時(shí)，，所以函數(shù)