選修4-4 第二節(jié)參數(shù)方程

第二節(jié)參數(shù)方程1.參數(shù)方程的概念一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)x,y都是某個(gè)變數(shù)t的函數(shù)_________并且對(duì)于t的每一個(gè)允許值，由這個(gè)方程組所確定的點(diǎn)M(x,y)都在這條曲線上，那么這個(gè)方程組就叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系變數(shù)x,y的變數(shù)t叫做參變數(shù)，簡稱參數(shù).相對(duì)于參數(shù)方程而言，直接給出點(diǎn)的坐標(biāo)間關(guān)系的方程F(x，y)＝0叫做普通方程.

2.直線、圓錐曲線的普通方程和參數(shù)方程

軌跡普通方程參數(shù)方程直線y-y0=tanα(x-x0)(α≠點(diǎn)斜式)

x=_________,y=_________.(t為參數(shù))

圓(x-a)2+(y-b)2=r2(r＞0)x=_________,y=_________.(θ為參數(shù))

x0+tcosαy0+tsinαa+rcosθb+rsinθ軌跡普通方程參數(shù)方程橢圓

＝1(a＞b＞0)x=_______,y=_______.(φ為參數(shù))雙曲線

＝1(a＞0，b＞0)x=_______,y=_______.(φ為參數(shù))

拋物線y2＝2px(p＞0)x=____,y=____.(t為參數(shù)，p＞0)acosφbsinφasecφbtanφ2pt22pt判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”).(1)曲線的參數(shù)方程中的參數(shù)都有實(shí)際意義.()(2)參數(shù)方程與普通方程互化后表示的曲線是一致的.()(3)圓的參數(shù)方程中的參數(shù)θ與橢圓的參數(shù)方程中的參數(shù)φ的幾何意義相同.()(4)普通方程化為參數(shù)方程，參數(shù)方程的形式不惟一.()【解析】(1)錯(cuò)誤.曲線的參數(shù)方程中的參數(shù)，可以具有物理意義，可以具有幾何意義，也可以沒有明顯的實(shí)際意義.(2)錯(cuò)誤.把普通方程化為參數(shù)方程后，很容易改變變量的取值范圍，從而使得兩種方程所表示的曲線不一致.(3)錯(cuò)誤.圓的參數(shù)方程中的參數(shù)θ表示半徑的旋轉(zhuǎn)角，而橢圓的參數(shù)方程中的參數(shù)φ表示對(duì)應(yīng)的大圓或小圓半徑的旋轉(zhuǎn)角，即離心角.(4)正確.用參數(shù)方程解決轉(zhuǎn)跡問題，若選用的參數(shù)不同，那么所求得的曲線的參數(shù)方程的形式就不同.答案：(1)×(2)×(3)×(4)√

考向1直線的參數(shù)方程與應(yīng)用

【典例1】直線(t為參數(shù))的傾斜角為______.【思路點(diǎn)撥】將直線的參數(shù)方程化為普通方程，利用直線的斜率求傾斜角；也可以將直線的參數(shù)方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式再確定傾斜角.【規(guī)范解答】方法一:直線(t為參數(shù))的普通方程為y=斜率k=即tanα=又α∈［0，π)，∴α=故直線的傾斜角為方法二：直線(t為參數(shù))即直線(t為參數(shù))，令t′=2t，得故直線的傾斜角為答案：【互動(dòng)探究】本例中條件不變，M0(1，-2)，當(dāng)參數(shù)t=1時(shí)對(duì)應(yīng)直線上的點(diǎn)為M,則|MM0|=______.【解析】本例中，M0(1，-2)為直線上的點(diǎn)，當(dāng)參數(shù)t=1時(shí)對(duì)應(yīng)直線上的點(diǎn)為M(0,-2+)，則|MM0|=2.答案：2【拓展提升】直線的參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式的應(yīng)用設(shè)過點(diǎn)M0(x0,y0),傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程是

(t是參數(shù))若M1,M2是l上的兩點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)參數(shù)分別為t1,t2，則(1)M1,M2兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(x0+t1cosα,y0+t1sinα)，(x0+t2cosα,y0+t2sinα).(2)|M1M2|=|t1-t2|.(3)若線段M1M2的中點(diǎn)M所對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t，則t=中點(diǎn)M到定點(diǎn)M0的距離|MM0|=|t|=||.(4)若M0為線段M1M2的中點(diǎn)，則t1+t2=0.【變式備選】直線l過點(diǎn)P(1，2)，其參數(shù)方程為(t是參數(shù))，直線l與直線2x+y-2=0交于點(diǎn)Q，則|PQ|=______.【解析】方法一:將直線l的參數(shù)方程化為普通方程為y=3-x，與方程2x+y-2=0聯(lián)立解得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(-1,4)，∴|PQ|=方法二:將直線l的參數(shù)方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式為代入2x+y-2=0得t′=∴|PQ|=|t′|=答案：考向2圓的參數(shù)方程與應(yīng)用【典例2】(1)已知曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，則曲線C上的點(diǎn)到直線3x-4y+4=0的距離的最大值為______.(2)(2013·湛江模擬)設(shè)P(x,y)是曲線C：(θ為參數(shù))上任意一點(diǎn)，則的取值范圍是______.【思路點(diǎn)撥】(1)將曲線的參數(shù)方程化為普通方程，利用直線與曲線的位置關(guān)系解決.(2)將參數(shù)方程代入轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求取值范圍，也可以利用曲線的普通方程以及判別式法解決.【規(guī)范解答】(1)曲線C的普通方程為(x－2)2+y2=1，這是圓心為(2，0)，半徑為1的圓，圓心到直線3x-4y+4=0的距離是故直線與圓相離，所以圓C上的點(diǎn)到直線3x-4y+4=0的距離的最大值為3.答案：3(2)方法一：由P(x,y)是曲線C：(θ為參數(shù))上任意一點(diǎn)，則即sinθ-kcosθ=-2k，得sin(θ-φ)=-2k，sin(θ-φ)=所以0≤()2≤1，即k2≤解得所以的取值范圍是［］.方法二:由曲線C：(θ為參數(shù))得(x+2)2+y2=1,令k=即y=kx，代入圓的方程，得(x+2)2+(kx)2=1，即(1+k2)x2+4x+3=0，由題意，得Δ=42-3×4(1+k2)≥0，即k2≤解得所以的取值范圍是［］.答案：［］【拓展提升】直線與圓的位置關(guān)系(1)設(shè)圓的半徑為r，圓心到直線的距離為d，直線與圓的普通方程聯(lián)立所求得的一元二次方程的根的判別式為Δ，則

位置關(guān)系幾何性質(zhì)判別式

相交d＜rΔ＞0相切d=rΔ=0相離d＞rΔ＜0(2)當(dāng)直線與圓相離時(shí)，圓上的點(diǎn)到直線的距離的最大值為d+r，最小值為d-r.【提醒】判斷直線與圓的位置關(guān)系有幾何法和解析法(即判別式法)兩種，解題時(shí)要靈活選取不同的方法.【變式訓(xùn)練】(1)若P(2,-1)為曲線(0≤θ＜2π)的弦的中點(diǎn)，則該弦所在直線的普通方程為____________.【解析】曲線(0≤θ＜2π)的普通方程為(x-1)2+y2=25,表示圓心為C(1,0)，半徑為5的圓，直線CP的斜率弦所在直線的斜率為1，所以弦所在直線的普通方程為y+1=x-2，即x-y-3=0.答案：x-y-3=0(2)(2012·西安模擬)若直線l:x-y=0與曲線C：(φ為參數(shù)，a＞0)有兩個(gè)公共點(diǎn)A,B，且|AB|=2，則實(shí)數(shù)a的值為______.【解析】曲線C：(φ為參數(shù)，a＞0)的普通方程為(x-a)2+y2=2，表示圓心為(a,0)，半徑為的圓.由|AB|=2，得圓心到直線的距離為1，即得|a|=2，∵a＞0，∴a=2.答案：2

考向3圓錐曲線的參數(shù)方程與應(yīng)用【典例3】(1)若點(diǎn)P(x,y)是曲線x2+3y2=3上一點(diǎn)，則x+y的取值范圍是______.(2)(2012·廣東高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1和C2的參數(shù)方程分別為(t為參數(shù))和(θ為參數(shù))，則曲線C1與C2的交點(diǎn)坐標(biāo)為______.【思路點(diǎn)撥】(1)由橢圓的參數(shù)方程化為求三角函數(shù)的取值范圍.(2)將曲線的參數(shù)方程化為普通方程聯(lián)立方程組解得交點(diǎn)坐標(biāo).【規(guī)范解答】(1)曲線x2+3y2=3即+y2=1，由橢圓的參數(shù)方程

(θ為參數(shù)，θ∈R)，得x+y=cosθ+sinθ=2sin(θ+)，則x+y的取值范圍是［-2，2］.答案：［-2，2］(2)曲線C1和C2的普通方程分別為y2=x(y≥0)和x2+y2=2，聯(lián)立方程組，解得x=1,y=1，所以曲線C1與C2的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1).答案：(1,1)【拓展提升】圓錐曲線的參數(shù)方程的特點(diǎn)(1)橢圓、雙曲線的參數(shù)方程與三角函數(shù)的關(guān)系密切，解題時(shí)要注意角的取值范圍；拋物線的參數(shù)方程與一次函數(shù)和二次函數(shù)有關(guān)，解題時(shí)注意二次方程的性質(zhì)及其應(yīng)用.(2)一般地說，如果題目中涉及圓錐曲線上的動(dòng)點(diǎn)，應(yīng)考慮用參數(shù)方程來表示點(diǎn)的坐標(biāo)，可使解題目標(biāo)明確，過程表達(dá)清晰，求解方便.【變式訓(xùn)練】(1)橢圓=1(a＞b＞0)與x軸正方向交于點(diǎn)A，O為原點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)P，使OP⊥AP，則橢圓離心率e的取值范圍是______.【解析】設(shè)橢圓=1(a＞b＞0)上的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(acosθ,bsinθ)，O(0,0)，A(a,0),由OP⊥AP，得·=0,即(acosθ,bsinθ)·(acosθ-a,bsinθ)=0，得a2cos2θ-a2cosθ+b2sin2θ=0，整理，得e2=得＜e2＜1，即＜e＜1，所以橢圓離心率的取值范圍是(1).答案：(1)(2)(2012·湖南高考)在直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線C1：

(t為參數(shù))與曲線C2：(θ為參數(shù)，a＞0)有一個(gè)公共點(diǎn)在x軸上，則a=______.【解析】曲線C1：(t為參數(shù))的普通方程為y=3-2x，與x軸的交點(diǎn)為(0)；曲線C2：(θ為參數(shù))的普通方程為=1，其與x軸交點(diǎn)為(-a,0),(a,0)，由a＞0，曲線C1與曲線C2有一個(gè)公共點(diǎn)在x軸上，知a=答案：考向極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程的綜合題【典例】(1)(2013·珠海模擬)直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)A，B分別在曲線C1：

(θ為參數(shù))和曲線C2：ρ=1上，則|AB|的最小值為______.(2)已知極點(diǎn)在直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O處，極軸與x軸的正半軸重合，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，則曲線C上的點(diǎn)到直線l的最短距離為______.【思路點(diǎn)撥】(1)將曲線的極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程化為普通方程，利用曲線的位置關(guān)系以及幾何性質(zhì)求解.(2)將曲線(含直線)的極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程，利用直線和曲線的位置關(guān)系以及幾何性質(zhì)求解.【規(guī)范解答】(1)曲線C1：(θ為參數(shù))的普通方程為(x-3)2+(y-4)2=1，曲線C2：ρ=1的直角坐標(biāo)方程為x2+y2=1，兩圓的圓心距為|C1C2|==5＞R1+R2=2,所以兩圓外離，依題意，|AB|的最小值為|C1C2|-(R1+R2)=5-2=3.答案：3(2)將曲線C的極坐標(biāo)方程ρ=2cosθ化為直角坐標(biāo)方程，得x2+y2-2x=0，即(x-1)2+y2=1，這是圓心為C(1,0)，半徑為1的圓.將直線l的參數(shù)方程(t為參數(shù))化為普通方程，得4x-3y+3=0，則圓心到直線的距離為故直線與圓相離，所以圓C上的點(diǎn)到直線l的最短距離為d-r=答案：【互動(dòng)探究】本例(1)(2)中條件不變，則(1)|AB|的最大值為______.(2)曲線C上的點(diǎn)到直線l的最遠(yuǎn)距離為______.【解析】(1)由于兩圓外離，點(diǎn)A，B分別在兩個(gè)圓上，則|AB|的最大值為|C1C2|+(R1+R2)=5+2=7.答案：7(2)由于直線與圓相離，則圓上的點(diǎn)到直線l的最遠(yuǎn)距離為答案：【拓展提升】圓與圓的位置關(guān)系以及應(yīng)用(1)兩圓的位置關(guān)系以及意義(兩圓半徑分別為R,r，且R≥r,d為圓心距)位置圖形定義幾何性質(zhì)交點(diǎn)個(gè)數(shù)

外離兩圓沒有公共點(diǎn)，且每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部d>R+r0個(gè)外切兩圓有唯一的公共點(diǎn)，且除了這個(gè)公共點(diǎn)以外，每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部

d=R+r1個(gè)位置圖形定義幾何性質(zhì)交點(diǎn)個(gè)數(shù)相交兩圓有兩個(gè)公共點(diǎn)R-r<d<R+r2個(gè)內(nèi)切兩圓有唯一的公共點(diǎn)，且除了這個(gè)公共點(diǎn)以外，一個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的內(nèi)部d=R-r1個(gè)內(nèi)含兩圓沒有公共點(diǎn)，且一個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的內(nèi)部d<R-r0個(gè)(2)若圓C1與圓C2外離，圓心距為d,兩圓的半徑分別為R,r，動(dòng)點(diǎn)A在圓C1上，動(dòng)點(diǎn)B在圓C2上，則A,B之間距離的最小值為d-R-r，最大值為d+R+r.【變式備選】(1)(20